Pembauran dan perulangan fraksional dalam rancangan percobaan faktorial 2k - USD Repository

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

PEMBAURAN dan PERULANGAN FRAKSIONAL

k

  

DALAM RANCANGAN PERCOBAAN FAKTORIAL 2

SKRIPSI

  Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.si)

  Program Studi Matematika Disusun oleh :

  

C. Bintarti Novi Suryani

NIM : 003114019

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian dari karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagimana layaknya karya illmiah.

  Yogyakarta, 31 Juli 2007 Penulis

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

Segala sesuatu indah pada waktunya

  (Pth : 3:11) Kelak disaat begitu banyak jalan tebentang dihadapanmu dan kau tak tau jalan mana yang harus kau ambil.

  Janganlan memilihnya dengan asal saja.

  Tetapi….. Duduklah dan tinggallah sesaat,

  Tariklah nafas dalam-dalam dengan penuh kepercayaan seperti saat kau bernafas di hari pertamamu di dunia ini

  Jangan biarkan apapun mengalihkan perhatianmu, Tunggulah ….dan tunggulah lebih lama lagi…

  Berdiam dirilah tetap hening dan dengarkan hatimu… Ketika hatimu berbicara, beranjaklah dan Pergilah kemana hatimu membawamu.

  (

Va dove ti porta il Coure, Susanna Tamaro)

  Skripsi ini ku persembahkan kepada Sahabatku Yesus Kristus

  yang selalu setia dan hadir menemaniku

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

ABSTRAK

  Dalam praktek sering tidak memungkinkan untuk melakukan percobaan

  k

  faktorial 2 secara lengkap dalam keadaan yang homogen, maka dilakukan

  k-p k

  pembauran. Pembauran 2 dalam rancangan percobaan faktorial 2 merupakan suatu teknik dalam rancangan percobaan faktorial dengan membagi jumlah

  

k p

  amatan dalam percobaan faktorial 2 menjadi 2 blok dengan memilih p efek yang akan dibaurkan. Sehingga akan meminimumkan kesalahan amatan.

  k

  Banyaknya amatan dalam rancangan rancangan percobaan faktorial 2 akan mengakibatkan tidak praktis dan efisien. Jika jumlah faktor yang diamati cukup besar maka beberapa faktor akan mempunyai efek yang sama, sehingga dengan perulangan fraksional jumlah amatan lebih kecil dari rancangan faktorial

  k k-p k

  2 . Perulangan fraksional 2 dalam rancangan percobaan faktorial 2 merupakan

  k -p k

  suatu cara untuk menganalisis rancangan percobaan faktorial 2 dalam 2 dari 2 amatan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

ABSTRACT

k

  Practically, it I imposisible to do the experiment of 2 factorial completely

  k-p

  in a homogene condition, so there shuold be coufunding . Confunding in the 2 factorial design is tecnique in factorial design by divinding the number of

  k p

  treatment in 2 factorial experiment into 2 block by choosing p effect that will be diffused.

  

k

  A large number of treatment in 2 factorial design will be unpractical and unefficient. If the treatment is larger enough, some factors will have same effect

  k

  so by doing fractional replication.,the treatment will be less than 2 factorial

  k-p

• -p

  design.The 2 fractional design is a way to analyse the 2k factorial design in 2

  k from 2 treatment.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Puji dan syukur kepada Tuhan Yesus dan Bunda Maria karena berkat karunia dan rahmat yang telah diberikan , penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

  Banyak hambatan dan kesulitan yang ditemui penulis dalam menyusun dan menulis skripsi ini. Namun berkat kasih, bantuan dan dorongan dari berbagai pihak, baik langsung maupun tak langsung, akhirnya skripsi ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terimakasih kepada:

  1. Ibu CH. Enny Murwaningtyas, S.Si, M.Si, selaku dosen pembimbing yang dengan penuh kesabaran dan kasih telah meluangkan waktu, pikiran serta kesabaran membimbing penulis menyusun dan menyelesaikan skripsi ini.

  2. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc selaku Dekan FMIPA USD Yogyakarta.

  3. Bapak dan Ibu Dosen FMIPA yang telah memberikan ilmu kepada penulis selama di bangku kuliah.

  4. Ibu Suwarni dan Mas Tukijo yang telah memberikan pelayanan adminitrasi dalam urusan – urusan akademik kepada penulis.

  5. Bapak Sopir Angkot ’’twety” dan bus kota jalur 2 yang telah mengantar penulis ke kampus.

  6. Kedua orangtuaku yang tak henti-hentinya mendoakan dan memberikan dukungan baik moral maupun materi sehingga penulis dapat menyelesikan skripsi ini.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  7. Kakak-kakakku tercinta.

  8. Sahabat – sahabat yang telah memberikan semangat, keceriaan dan kehangatan selama ini: Ayuk, Bunga, Lina, Vincent, Lia, Duduk, Prast, Wawan, Willy, Feliks, Ferry, Narto, Toni, Wahyu “Broto”, Fr. Resto, Ririn, Tawang, Rm Riana, Rm. Kristyanto dan Rm. Jayasewaya, Netty.

  9. Teman-teman angkatan ’00, angkatan ‘98 ,angkatan ‘99 dan angkatan ‘01

  10. Teman-teman Jumping Choir, mas Hahan, mbak Tyas dan keluarga besarnya, Andre, Ari, mas Loly Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu penulis membuka diri untuk menerima kritik serta saran yang bermanfaat bagi kesempurnaan skripsi ini. Dan akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini memberikan manfaat dan berguna bagi semua pihak.

  Yogyakarta, Juli 2007 Penulis

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Halaman

  HALAMAN JUDUL i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ii HALAMAN PENGESAHAN iii HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA iv HALAMAN PERSEMBAHAN v ABSTRAK vi

  ABSTACT vii

  KATA PENGANTAR viii DAFTAR ISI x

  DAFTAR GAMBAR xii

  DAFTAR TABEL xiii DAFTAR LAMPIRAN xv

  BAB

  I PENDAHULUAN

  1 A. Latar Belakang

  1 B. Rumusan Masalah

  3 C. Batasan Masalah

  3 D. Manfaat Penulisan

  4 E. Tujuan penulisan

  4 F. Metode Penulisan

  4 G. Sistematika Penulisan

  4

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  BAB

  II LANDASAN TEORI

  6 A. Distribusi Normal, distribusi Khi-kuadrat, dan distribusi - F

  6 B. Analisis Variansi

  23 C. Kontras

  31 D. Rancangan Percobaan

  33

  1. Tahap - Tahap Percobaan

  33

  2. Dasar Percobaan

  34

  3. Jenis-jenis rancangan Percobaan

  37

  k

  BAB III RANCANGAN PERCOBAAN FAKTORIAL 2

  39

  2 A. Rancangan Percobaan faktorial 2

  40

  3 B. Rancangan Percobaan faktorial 2

  50

  k

  C. Rancangan Percobaan faktorial 2

  57 D. Algoritma Yate’s

  61

  k-p

  BAB IV PEMBAURAN dan PERULANGAN FRAKSIONAL 2

  69 A. Pembauran

  72

  k-p

  B. Perulangan Fraksioanal 2

  81

  k-1

  1. Rancangan Fraksional 2

  83

  k-p

  2. Rancangan Fraksional 2

  94

  3. Mengabungkan Pecahan

  98 BAB

  V KESIMPULAN 105 DAFTAR PUSTAKA 108 LAMPIRAN 109

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  DAFTAR GAMBAR Halaman

  Gambar

  4.1

  77

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  DAFTAR TABEL Halaman

  Tabel 2.1

  23 Tabel 2.2

  29 Tabel 2.3

  29 Tabel 2.4

  31 Tabel 3.1

  41 Tabel 3.2

  43 Tabel 3.3

  46 Tabel 3.4

  47 Tabel 3.5

  48 Tabel 3.6

  51 Tabel 3.7

  52 Tabel 3.8

  53 Tabel 3.9

  58 Tabel

  3.10

  64 Tabel

  3.11

  65 Tabel

  3.12

  66 Tabel 4.1 73 Tabel 4.2

  75 Tabel 4.3

  75 Tabel

  4.4

  78 Tabel

  4.5

  79

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Tabel 4.6

  80 Tabel 4.7

  86 Tabel 4.8

  89 Tabel 4.9

  90 Tabel

  4.10

  93 Tabel

  4.11

  96 Tabel

  4.12

  98 Tabel

  4.13

  99 Tabel 4.14 100

Tabel 4.15 102Tabel 4.16 103

  Tabel Lampiran 1 109 Tabel Lampiran 2 110 Tabel Lampiran 3 111

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DAFTAR LAMPIRAN

  5 115

  8 122

  Tabel Lampiran

  7 120

  Tabel Lampiran

  6 118

  Tabel Lampiran

  Halaman

  Tabel Lampiran

  4 113

  Tabel Lampiran

  3 111

  Tabel Lampiran

  2 110

  Tabel Lampiran

  1 109

  Tabel Lampiran

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Rancangan percobaan (design ekperiment) merupakan langkah lengkap

  yang perlu diambil sebelum melakukan percobaan (ekperiment), agar data yang semestinya diperlukan dapat diperoleh. Sehingga akan membawa kepada analisis yang obyektif dan kesimpulan yang berlaku untuk persoalan yang dibahas.

  Secara umum rancangan percobaan dapat dibagi menjadi dua kelompok yaitu rancangan percobaan lengkap dan rancangan percobaan tidak lengkap.

  Yang dimaksud dengan rancangan percobaan lengkap adalah percobaan yang seluruh perlakuannya muncul bersama-sama dalam satu kelompok. Sedangkan percobaan tak lengkap ialah percobaan yang sebagian perlakuannya ada yang muncul dalam satu kelompok.

  Berikut merupakan contoh penggunaan rancangan percobaan dalam kehidupan sehari-hari:

  1. Seorang peneliti pertanaian akan meneliti faktor apa saja yang mempengaruhi hasil panenan padi, maka ia meneliti dua jenis varietas, dua jenis pupuk dan dua metode pengendalian gulma.

  2. Suatu proses kimia mempunyai dua buah faktor yang mempengaruhi kecepatan reaksi yaitu konsentrasi reaktan dan jumlah katalis, pada konsentrasi reaktan mempunyai dua jenis yaitu yang berkadar 15% dan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  yang bekadar 25%. Sedangkan jumlah katalis ditempatkan dikotak A dan kotak B.

  k

  Percobaan di atas termasuk rancangan percobaan faktorial 2 . Suatu

  k

  percobaan dapat dimasukan kedalam rancangan percobaan faktorial 2 apabila pada percobaan tersebut terdiri atas dua faktor atau lebih (k>2) yang mempengaruhi dan masing-masing faktor mempunyai dua perlakuan. Rancangan percobaan faktorial digunakan untuk menguji (menganalisis) semua kombinasi perlakuan yang ada sehingga diperoleh perlakuan yang berpengaruh terhadap percobaan tersebut

  k

  Jumlah amatan dalam sebuah rancangan faktorial 2 akan meningkat sebanding dengan jumlah faktor yang terlibat. Sebagai contoh, rancangan

  6

  percobaan 2 dengan replikasi sebanyak satu kali akan membutuhkan 64 amatan. Untuk mengetahui faktor atau kombinasi perlakuan yang mempengaruhi percobaan tersebut maka diperlukan pengamatan secara lengkap yaitu sebanyak 64 dalam keadaan yang homogen. Karena keadaan yang homogen sulit atau bahkan tidak mungkin dicapai, maka dapat dilakukan pembauran. Pembauran merupakan sebuah teknik dalam rancangan percobaan faktorial, yaitu dengan membagi rancangan percobaan faktorial kedalam blok- blok yang berukuran lebih kecil. Dengan pembauran ini akan di dapat keadaan yang lebih homogen.

  Untuk melakukan percobaan faktorial dengan jumlah amatan lengkap memerlukan biaya, waktu dan materi yang cukup banyak. Jika dalam melakukan rancangan percobaan ada keterbatasan biaya, waktu dan materi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  maka dapat dilakukan percobaan dengan mengamati sebagian dari jumlah amatan faktorial lengkap. Penyelesaian rancangan percobaan faktorial dengan mengamati sebagian dari rancangan faktorial lengkap disebut dengan perulangan fraksional. Rancangan yang terbentuk dari perulangan fraksional sering dikenal dengan rancangan fraksional.

  B. RUMUSAN MASALAH

  Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah: 1. Apa yang dimaksud dengan rancangan percobaan.

  k 2. Apa yang dimaksud rancangan percobaan faktorial 2 .

  3. Bagaimana menyelesaikan dan menganalisa rancangan percobaan faktorial _k 2 dengan pembauran.

  4. Bagaimana menyelesaikan dan menganalisa rancangan percobaan faktorial dengan perulangan fraksional.

  C. PEMBATASAN MASALAH

  Penulisan skripsi ini tidak membahas semua teori yang berhubungan dengan skripsi ini. Tetapi dibatasi pada beberapa hal yaitu:

  1. Teorema ketunggalan tidak dibuktikan, karena diluar jangkauan skripsi ini.

  k

  2. Pembahasan tentang rancangan faktorial 2 hanya dibatasi pada pembauran dan perulangan fraksional dengan jumlah amatan sama.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  3. Penambahan titik tengah, rancangan Plackett-Burman dan rancangan resolusi tidak dibahas.

  D. MANFAAT PENULISAN

  Manfaat penulisan adalah untuk mempelajari tentang pembauran dan _k pengulangan fraksional dalam rancangan percobaan faktorial 2 .

  E. TUJUAN PENULISAN

  Tujuan yang ingin dicapai adalah memahami teknik dalam rancangan

  k

  percobaan khususnya rancangan percobaan faktorial 2 dengan pembauran dan perulangan fraksional.

  F. METODE PENULISAN

  Metode yang digunakan dalam penulisan ini adalah studi pustaka yaitu dengan membaca buku-buku yang berkaitan dengan rancangan percobaan faktorial.

  G. SISTEMATIKA PENULISAN

  Sebagai gambaran tentang hal apa saja yang dibahas dalam penulisan ini , berikut adalah sistematika pembahasan yang ada dalam skripsi ini.

  Bab I membahas tentang gambaran umum skripsi ini yang terdiri dari latar belakang masalah, rumusan masalah, pembatasan masalah, manfaat penulisan, tujuan penulisan, dan metode penulisan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Bab II akan membahas tentang distribusi normal, Khi-kuadrat dan distibusi -F, Analisis variansi, rancangan percobaan, serta tentang kontras.

  2 3 k

  Pada bab III berisi tentang rancangan percobaan faktorial 2 ,2 , 2 dan algoritma Yate’s yang akan digunakan untuk menghitung jumlah kuadrat dan

  k estimasi efek dalam rancangan faktorial 2 . k

  Bab IV berisi tentang pembauran rancangan faktorial 2 dalam 2 blok

  k dan dalam p blok serta perulangan fraksional dalam rancangan faktorial 2 .

  Dan untuk bab V berisi tentang kesimpulan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB II LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan membahas materi yang berhubungan dengan

  k pembauran dan perulangan fraksional rancangan percobaan faktorial 2 .

A. Distribusi Normal, distribusi Khi-kuadrat dan distribusi-F

  Subbab ini akan membahas distribusi normal, distribusi Khi-kuadrat dan distribusi-F karena dalam pembahasan selanjutnya ketiga distribusi tersebut sangat diperlukan.

  Definisi 2.1

  Sebuah variabel random X dikatakan berdistribusi normal jika fungsi densitasnya di berikan sebagai berikut: _{1 x 2}

  ⎛ − μ ⎞ − ⎜ ⎟

  1 ₂

  σ ⎝ ⎠ f ( x ) = e untuk - ∞<x<∞

  2 σ π dengan parameter μ dan σ berada dalam interval -∞<μ<∞ dan σ > 0.

  Teorema 2.1

  Jika X variabel random yang berdistribusi normal maka rata-rata dan variansi

  2 variabel random X adalah E(X) = μ dan V(X) =σ .

  Bukti:

  Rata-rata distribusi normal dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  _{1 x μ}

  2 ⎛ − ⎞ ∞ ∞

  − ⎜ ⎟ x _{2 σ}

  ⎝ ⎠ E [ ] X = x . f ( x ) dx = e dx

  ∫ ∫

  2 σ π

  − ∞ − ∞

  μ

  x −

  misal y maka

  =

  σ _{1 2 1 2}

  ∞ ∞ _{y y} − −

  σ μ σ μ

  ( y ) ( y ) ₂ + + ₂ E X = e σ dy = e dy [ ]

  ∫ ∫

  σ

  2 π 2 π − ∞ − ∞ _{1 1} ∞ _{y y} ^{2 ∞}

²

− −

  σ ₂

  1 ₂

  μ μ μ

  = ye dy e dy = ⋅ + + 1 = ∫ ∫

  2 π 2 π − ∞ − ∞

  sedangkan variansi dari distribusi normal adalah _{1 ( x μ ) 2}

  ∞ ∞ ^{2 −} _{2 − μ}

_{2 ( x )}

− _{2 2} σ

  V ( ) X = E ( X − μ ) = ( x − μ ) . f ( x ) dx = e dx [ ]

  ∫ ∫

  2 σ π

  − ∞ − ∞ x − μ

  misal maka

  y =

  σ _{2 1}

  ∞ _y ² −

  σ

  ( ) y ₂ V X = e σ dy [ ]

  ∫

  σ

  2 π − ∞ _{2 1} ∞ _y ² − _{2 ( )} y ₂

  σ

  = e dy ∫

  π

  2 − ∞ _{1 1 2} ∞

₂

− y − y ₂ ⎡ ⎤ − y

  1 ₂ ∞ ₂

  σ

  = ∫

• e e dy

  ⎢ − ∞ ⎥

  π π

  2

  2 − ∞

  ⎣ ⎦ = σ ² +

  1 ₂ ( )

  σ

  =

  2 Jadi fungsi distribusi normal mempunyai dua parameter yaitu μ dan σ ,

  2 dengan adalah variansi.

  μ adalah rata-rata dan σ ฀

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Teorema 2.2

  Jika X variabel random yang berdistribusi normal maka fungsi pembangkit momennya adalah: _{t t 1 2 2}

  μ σ + ₂ m t = e _X ( )

  Bukti:

  2 Misalkan X berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan variansi σ maka

  mempunyai fungsi pembangkit momen: _tx

  m ( t ) = E e _{X [ ]} ∞ _tx

  = e . f ( ) x dx

  ∫ − ∞ _{1 ( x μ ) 2} ∞ −

  − _tx

  1 ₂ ²

  σ

  = e e dx

  ∫

  2 σ π

  − ∞ _{2 2 2} ∞ − − ^{2 σ tx x 2 x μ μ}

  ( ) ₂

• 1 _{2 σ}

  = e dx

  ∫

  2 σ π

  − ∞ _{2 2 2 2 2 4 2} ⎛ ⎞ _{x 2 μ σ t x μ σ t ( 2 μσ t σ t} − − −

• ⎜ ( ) ( ) ⎟ ∞ ⎝ ⎠
₂

  1 _{2 σ} = e dx

  ∫

  σ 2 π

  − ∞ _{2 2 2 2 2 4 2 x −} ⎛ ⎞ _{2 μ σ t x μ σ t}

• _{2 μσ t σ + t}

  ⎜ ( ) ( ) ⎟ ∞ ⎝ ⎠ ₂ −

₂

₂

  1 ₂ σ σ

  = e e dx ∫

  σ

  2 π − ∞ ₂

• _{2 t t ∞ x μ σ t}
^{2 4 2} − ² μσ &s
• ₂

  ( ( ) )

  − _{2 2 σ}

  1 _{2 σ} e e dx

  = ∫

  2

  σ π ₁ − ∞ ^{t t 2 2}

  μ σ ₂

• = e . ฀

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Teorema 2.3

  Jika X

  1 , X 2 , X 3 , …,X n suatu sampel random berukuran n dari suatu distribusi

  2

  normal yang mempunyai rata-rata μ dan variansi σ maka: _n

  1 X =

  X _i

∑

n

_i

₁

  

=

₂

  σ berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan variansi

  n Bukti:

  Karena X

  1 , X 2 , X 3 , …,X n adalah sampel random dari populasi normal dengan rata-

  2

  rata μ dan variansi σ dan X i adalah variabel random saling bebas yang

  2

  berdistribusi normal dengan E(X) = μ dan V(X) =σ , i = 1,2,3,…,n _n

  1

  1

  1

  1

  1 Selanjutnya X = X =

  X X Κ

• n i

  ^{1 n n n n}

  X + + +

  X _i ( ) ( ) ( ) ( ) ₁

₂

_{3 n} ∑

  = :

  Sehingga X berdistribusi normal dengan rata-rata dan variansi sebagai berikut

  1

  1

  1

  1 ⎡ ⎤ E = ( ) ( ) + + + +

  X E

  X X ( )

X Κ ( )

  X ( ) ^{1 2}

^{3 n}

n n n n

  ⎢⎣ ⎥⎦

  1

  1

  1

  1

• = Κ + + + μ μ μ μ

  n n n n

  = μ

  1

  1

  1

  

1

⎡ ⎤

  V X =

  V X

  X ( ) ( ) ( ) ( )

  ( ) ^{1 2 3 n} n n n n

  X X Κ + + + +

  ⎢⎣ ⎥⎦

  1 ₂

  1 ₂

  1 ₂

  1 ₂ σ σ σ σ = Κ ₂ + + + + _{2 2 2} n n n n

  1 ₂ n σ

  = ⋅ ₂ n ₂

  σ = n

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Dari Teorema 2.3 diatas maka dapat disimpulkan bahwa rata-rata distribusi sampel X sama dengan rata-rata dari variabel random X i dan variansi distribusi sampel X sama dengan variansi X di bagi ukuran sampel n.

  i

  Berdasarkan Teorema 2.3 X berdistribusi normal dengan rata-rata μ = μ dan _{2 X} σ variansi X = maka:

  n X − X − μ

  μ _X Z = =

  σ σ _X

  n berdisrribusi normal standart.

  Teorema 2.4 (Teorema ketunggalan)

  Misalkan X dan Y dua variabel random, dengan fungsi pembangkit momen m (t)

  X

  dan m Y (t). Jika m

  X (t) = m Y (t) untuk semua nilai t, maka X adan Y mempunyai distribusi probabilitas yang sama.

  Teorema 2.4 dalam Skripsi ini tidak dibuktikan.

  Definisi 2.2 ∞ _{k 1 t} − −

  Fungsi gamma didefinisikan dengan Γ k = t e dt untuk semua k >0

  ( ) ∫

  Definisi 2.3

  Suatu variabel random X mempunyai fungsi densitas _{r x}

  − ^{1 −}

  1 _{2 2}

  f ( x ) = x e , x ∈ [0,∞) _{X r 2} r

  2 Γ

  ( )

  2

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Teorema 2.5

  Jika X variabel random berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas r maka mempunyai fungsi pembangkit momen: _{2 r}

  1 ⎛ ⎞

  m t _{X ( ) ⎜ ⎟} = 1 −

  2 t ⎝ ⎠

  Bukti:

  Fungsi pembangkit momen distribusi Khi-kuadrat akan ditunjukkan seperti di bawah ini:

  ∞ _tx m ( t ) = e ⋅ f ( x ) dx _X

  ∫ _{r 1} ∞ _{1 x tx} − −

  1 _{2 2}

  m ( t ) = e x e dx _{X r} ∫ ₂ r

  ⎛ ⎞ Γ

  2 ⎜ ⎟

  2 ⎝ ⎠

  r

  misalkan a = −

  1 maka

  2 _x ∞ − _{tx a}

  1 ₂

  m ( t ) = e x e dx ^{X a 1} ∫

  Γ a

• ∞ a − −

  1

  2 _{x ( 1 2 t )}

  ( )

  x ₂

  = e dx ₁

  ∫

  Γ a

  1

  ( ) = −

  2 ^a

  misalkan y x (

  1 2 t ) maka _{a y} − y

  ⎛ ⎞ ₂ e

  ∞ ⎜ ⎟ dy

  1 − 2 t ⎝ ⎠ m ( t ) = ⋅ ^{X a 1}

  ∫ Γ ( a +

• 1 )

  2 ( 1 − 2 t )

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

y

_a − ∞ a

₂

  1 1 y e ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

  = dy ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ _{a 1}

  ∫

• 1 −

  2 t 1 − + 2 t Γ ( a 1 )

  2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ _y

  − ∞ a ₂

  1 y e = dy

  ∫

  2 ¹

  ( 1 − 2 t ) Γ ( a ^{a 1 a} 1 )

  1 = ^a + ¹

  ( 1 − 2 t )

  1

  untuk t maka diperoleh fungsi pembangkit momen dari distribusi Khi-

  <

  2

  kuadrat _{2 r}

  1

  1 ⎛ ⎞ yaitu m ( t ) = = . ฀ _{X ⎜ ⎟ r}

  1 2 t − ₂ ⎝ ⎠

  ( 1 − 2 t )

  Teorema 2.6

  2 Jika X i berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan variansi σ maka _{2 μ 2} X − ⎛ i ⎞ Z = berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas 1. _i ⎜ ⎟

  σ

  ⎝ ⎠ Bukti: _{2 w}

  Misal fungsi distribusi F w = P Z ≤ w = P − w ≤ Z ≤ w = f z dz dengan _{W [ ]} ( ) [ ] ( )

  ∫ _w − dy

  transformasi z = y sehingga dz = maka _{w w 1 w y y 2} 2 y _{1 2}

  

− −

  1 dy ₂

  1 ₂ F ( ) w = _W 2 f ( ) z dz = 2 e = e dy , w ≥

  ∫ ∫ ∫

  2 2 y 2 y π π

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  1 w − ^{1 −}

  1

  ’ _{2 2}

  karena f(w)=F (w) maka f w w e berdasarkan Definisi 2.2 maka

  W ( ) =

  π

  2

2 Z berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas 1.

  i

  

  Teorema 2.7

  Jika variabel random X

  1 .X 2 ,…,X k berdistribusi normal dan saling bebas dengan

  2

  rata-rata dan variansi maka _k μ σ ₂ X − μ

  ⎛ i ⎞ U =

  ⎜ ⎟ ∑ _{i 1} σ

  = ⎝ ⎠ berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas k.

  Bukti: X − _i μ

  Jika Z maka Z berdistribusi normal standar. Maka fungsi pembangkit _i = i σ momen dari U ditentukan sebagai berikut _{t z ⎤ k k k i 2}

  ⎡ ∑ _{2 2 tu tz tz i = i i 1} ⎡ ⎤ ⎢ ⎥

  = m ( t ) E e = E e = E e = E e _{U [ ]}

  [ ]

  ⎢ ∏ ⎥ ∏ ⎢ ⎥ _{i 1 i 1}

  = =

  ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ dengan _{1 1 2} ∞ _{2 z} ^{2 ∞} _{1 2 t z} ² _{tz tz ⎛} − i − ( − ) i _{i i} 1 ⎞ ₂

  1

₂

E e = e e dz = e dz ⎜ ⎟ [ ]

  ∫ ∫ 2 π 2 π

  − ∞ ⎝ ⎠ − ∞

  1

  untuk maka

  t <

  2 _{1 tz 2 − ( − ) i} ∞ _{1 2 t z} ² _i

  1 1 − 2 t ₂

  1 E e = e dz = [ ]

  ∫

  1 2 t 2 π

  

1

2 t − − − ∞

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  1 ∞ ² − ( ^{1 − 2 t ) z} _i 1 − 2 t ₂ Karena e dz menunjukkan luas daerah di bawah kurva normal

  ∫

  π

  2 − ∞ _{k k 2 2 k}

  1 tz

  1

  1

  ⎛ ⎞ i ⎛ ⎞

  dengan variansi . Maka E e = merupakan

  = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ [ ]

  ∏ ∏ 1 − t 2 i ^{1 i 1}

  1 − 2 t

  ⎝ ⎠ = = 1 − 2 t ⎝ ⎠ fungsi pembangkit momen dari distribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas k. _{k 2} X − μ ⎛ i ⎞ Sehingga berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas k.

  U =

  

  ⎜ ⎟ ∑ _{i 1} σ

  = ⎝ ⎠

  Teorema 2.8

  Jika X merupakan rata-rata dari X , X , X , …,Xn adalah sampel random

  1

  2

  3 ₂

  σ berukuran n yang mempunyai rata-rata μ dan variansi maka: ₂ n

X − μ

  

( )

U = ₂

  σ

  n berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat bebas 1.

  Bukti:

  Menurut Teorema 2.3 X berdistribusi normal dengan rata-rata μ dan variansi ₂ X − μ

  σ , maka Z = berdistribusi normal standart, sehingga Fungsi Pembangkit

  σ

  n n

  momen dari U dapat ditentukan sebagai berikut: _{t z ⎤ k 2 tu} ⎡ ∑ _{i = 1} ⎢ ⎥

  = m ( t ) E e = E e _{U [ ]}

  ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ dengan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  1

¹

₂ ∞ ∞ _{2 z 2 1 2 t Z 2 tz tz} − − ( − ) ⎛ 1 ⎞ ₂

  1

₂

E e e e dz e dz = = [ ]

  ⎜⎜ ⎟⎟ ∫ ∫

  2 π 2 π − ∞ ⎝ ⎠ − ∞

  1

  untuk t < maka

  2 _{1 1 tz 2 − (} ∞ _{1 − 2 t ) z 2 2}

  1 1 − 2 t ₂ 1 ⎛ 1 ⎞ E e

  =

  = e dz = [ ]

  ⎜⎜ ⎟⎟ ∫

  ( 1 − t 2 )

  1 2 t 2 π

  

1

2 t − − − ∞ ⎝ ⎠ ₂ X

  − μ

  

( )

  maka menurut Teorema 2.5 maka U = berdistribusi Khi-kuadrat dengan ₂ σ

  n

  derajat bebas 1. 

  Teorema 2.9

  Andaikan X , X , X ,…, X adalah sampel random yang saling bebas dan

  1

  2 3 n

  berukuran n dari suatu distribusi normal yang mempunyai rata-rata μ dan variansi μ

  ⎛ i ⎞

2 X −

  maka Z = adalah sampel random yang saling bebas dan σ ⎜ ⎟ _i

  σ

  ⎝ ⎠ _{n n 2 2 ⎛ i ⎞}

X − μ

  berdistribusi normal dan berdistribusi Khi-kuadrat dengan

  Z = _i

⎜ ⎟

∑ ∑ _{i 1 i 1} σ

  = =

⎝ ⎠

derajat bebas n.

  Bukti:

  Karena X

  1 , X 2 , X 3 ,…,X n adalah sampel random yang saling bebas dan berukuran n

  2

  dari distribusi normal yang mempunyai rata-rata maka μ dan variansi σ

  μ

  X − ⎛ i ⎞

  

Z berdistribusi normal standar. Sampel Z saling bebas sehingga

_i = ⎜ ⎟ i

  σ

  ⎝ ⎠

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  _{n n}

  2 ₂ μ X −

  ⎛ i ⎞

  menurut Teorema 2.6 maka Z berdistribusi Khi-kuadrat _i = ⎜ ⎟

  ∑ ∑ _{i 1 i 1} σ = =

  ⎝ ⎠

  dengan derajat bebas n. 

  Teorema 2.10

  Jika X , X ,…, X merupakan sampel dari distribusi normal dengan rata-rata

  1 2 n

  μ dan

  2

  variansi σ maka: _{2 ( n − 2} 1 ) S

  Z = _{i 2}

  σ berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas n-1.

  Bukti:

  Dengan menambah dan mengurangi rata-rata sampel X maka: _{n n 2 2 i = 1 i =} +

  X − μ = _{1 n n n} X −

  X ₂ X − μ ₂ ( ) ( ) ( ) _{i [ i ]}

  ∑ ∑

  X − _{i i}

  X

_{1 i}

X − μ +

• +

  = _{i 1 i}

  2 X − μ ₁ X −

  X ( ) ( ) ( ) ( )

  ∑ ∑ ∑ = = =

  karena _{n n n} ⎛ ⎞

  2 X − μ

  X − X =

  2 X − μ ⎜

  X − X ⎟ ( ) ( i ) ( ) i ∑ ∑ ∑ _{i 1 i 1 i 1}

  = = = _{n n} ⎝ ⎠

  ⎡ ⎤

  X X X n

  X X n

  X

  = − − μ μ _{i i}

• 2

  ∑ ∑

  ⎢ ⎥ _{i 1 i 1}

  = =

  ⎣ ⎦ _{n n} ⎡ ⎤ _{n n}

  X _{i i}

  X

  ⎢ ∑ ∑ ⎥ _{i 1 i 1}

  = =

  = 2 ⎢

  X X −

X n −

X − n ⎥ _{i i} μ μ ∑ ∑ _{i 1 n i 1 n}

  ⎢ = = ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  n n n n

  ⎡ ⎤

  2 X

  X X

  X X

  X

  = − − μ − μ _{i i i i}

  ∑ ∑ ∑ ∑

  ⎢ ⎥ _{i 1 i 1 i 1 i 1}

  = = = =

  ⎣ ⎦ = maka _{n n 2 2 2 i 1 i}

  (

• X − μ ) = _{i (}
₁ X − _{i ) ( )} X n

X − μ

  ∑ ∑ = =

  Dan _{n n 2 2}

  ( X − ) X −

  X _{i i} μ ( ) ² ∑ ∑

  ( X − μ ) ^{i 1 i 1 i} + = = ₂ = _{2 2}

  σ σ σ _{2 2} n

  X μ ( n − 1 ) S ( − )

  = ₂ ⁱ ₂

• σ σ

  n

  2 Karena X i berdistribusi normal dengan μ dan variansi σ /n berdasarkan Teorema ₂ X μ ( − ) _i

  2.8 maka berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas 1 dan ₂ σ

  n _{n 2} X −

( μ )

_i

  ∑ _{i 1} =

  berdasarkan Teorema 2.9 maka berdistribusi Khi-kuadrat dengan _{2 2} σ

  S

  derajat bebas n, maka n − berdistribusi Khi-kuadrat dengan derajat bebas (n-

  ( ) ₂

  1 σ 1 ).  Salah satu distribusi yang terpenting dalam statistika ialah distribusi-F.