Welcome to ePrints Sriwijaya University - UNSRI Online Institutional Repository

ISBN : 978-979-16353-1-8

PROSIDING
SEMINAR NASIONAL
MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

“Peningkatan Kualitas Penelitian dan Pembelajaran
Matematika untuk Mencapai World Class University”
Yogyakarta, 28 November 2008

Penyelenggara :
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
Kerjasama dengan

Himpunan Matematika Indonesia (Indo-MS)
wilayah Jateng dan DIY

Jurusan Pendidikan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta
2008

PROSIDING SEMINAR NASIONAL
MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN
MATEMATIKA
28 November 2008 FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta

Artikel‐artikel dalam prosiding ini telah dipresentasikan dalam
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika
pada tanggal 28 November 2008
di Jurusan Pendidikan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta

Tim Penyunting Artikel Seminar :
1. Prof. Dr. Rusgianto HS
2. Dr. Hartono
3. Dr. Djailani
4. Sahid, M.Sc.

Jurusan Pendidikan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Yogyakarta
2008

ii

KATA PENGANTAR

Puji Syukur ke Hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala Karunia dan
RahmatNya

sehingga prosiding ini dapat diselesaikan. Prosiding ini merupakan

kumpulan makalah dari peneliti, dosen dan guru yang berkecimpung di bidang
Matematika dan Pendidikan Matematika

yang berasal dari berbagai daerah di

Indonesia. Makalah yang dipresentasikan meliputi 1 makalah utama dan 65 makalah
pendamping yang terdiri dari 4 makalah bidang Aljabar, 1 makalah bidang Analisis,

25 makalah bidang Statistika, 9 makalah bidang Terapan dan Komputer, dan 28
makalah bidang Pendidikan Matematika
Pada kesempatan ini panitia mengucapkan terimakasih kepada semua pihak
yang telah membantu dan mendukung penyelenggaraan seminar ini. Kepada seluruh
peserta seminar diucapkan terimakasih atas partisipasinya dan selamat berseminar
semoga bermanfaat.

iii

DAFTAR ISI
Cover Prosiding

i

Kata Pengantar

iii

Daftar Isi

iv

1. Makalah Bidang Matematika
Kode

Judul

Hal

M - 1. Generalized Non-Homogeneous Morrey Spaces And Olsen Inequality (I.
Sihwaningrum, H. Gunawan, Y. Soeharyadi, W. S. Budhi)

1– 1

M - 2. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks atas Aljabar Max-Plus Interval (M. Andy
Rudhito, Sri Wahyuni, Ari Suparwanto, F. Susilo)

1– 8

M - 3. Keterbatasan Operator Integral Fraksional Di Ruang Lebesgue Tak Homogen

(Herry Pribawanto Suryawan)

1 – 19

M - 4. Solusi Periodik Tunggal Suatu Persamaan Rayleigh (Sugimin)

1 – 28

( Δ ) ,1 < p < ∞ Dan Beberapa Permasalahan
Karakterisasi Produk Tensor l ( Δ ) ⊗ l ( Δ ) (Muslim Ansori)

M - 5. Ruang Barisan Selisih l

p

p

1 – 33

q

M - 6. Menampilkan Penaksir Parameter Pada Model Linear ( Mulyana )

1 – 40

M - 7. Simulasi Radius Jarak Pengaruhnya Terhadap Kebaikan Model Regresi Logistik
Spasial (Utami Dyah Syafitri, Agus M Sholeh, Poppy Suprapti)

1 – 45

M - 8. Estimasi Bayesian untuk Penentuan Besarnya Pengaruh Genetik Terhadap Sifat
Fenotip Dan Studi Simulasinya (Adi Setiawan)

1 – 50

M - 9. Penduga Maksimum Likelihood Untuk Parameter Dispersi Model PoissonGamma Dalam Konteks Pendugaan Area Kecil (Alfian F. Hadi, Nusyirwan,
Khairil Anwar Notodiputro)

1 – 63

M - 10. Penentuan Sampling Minimal Dalam Eksperimen Life-Testing menggunakan
Order Statistics (Budhi Handoko)

1 – 78

M - 11. Analisis Conjoint Sebagai Alat Menentukan Model Preferensi Nasabah
Menabung Di Bank (Budiono, Nani Hidayati)

1 – 90

M - 12. Evaluasi Tingkat Validitas Metode Penggabungan Respon ((Indeks Penampilan
Tanaman, IPT) (Gusti N Adhi Wibawa, I Made Sumertajaya, Ahmad Ansori
Mattjik)
Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika 2008

1 – 103

iv

M - 13. Pemodelan Persamaan Struktural Dengan Partial Least Square (I Gede Nyoman

Mindra Jaya,I Made Sumertajaya)

1 – 118

M - 14. Penggerombolan Model Parameter Regresi dengan Error-Based Clustering
(I Made Sumertajaya, Gusti Adhi Wibawa, I Gede Nyoman Mindra Jaya)

1 – 133

M - 15. Koreksi Metode Connected Ammi dalam Pendugaan Data Tidak Lengkap (Made
Sumertajaya, Ahmad Ansori Mattjik, I Gede Nyoman Mindra Jaya)

1 – 145

M - 16. Pendekatan Metode Pemulusan Kernel Pada Pendugaan Area Kecil (Small
Area Estimation) (Indahwati, Kusman Sadik, Ratih Nurmasari)

1 – 162

M - 17. Penerapan Metode Pemulusan Kernel Pada Pendugaan Area Kecil

(Studi Kasus Pendugaan Pengeluaran Per Kapita Di Kota Bogor Tahun 2005)

1 – 173

(Indahwati, Utami Dyah Syafitri, Renita Sukma Mayasari)
M - 18. Zero Inflated Negative Binomial Models In Small Area Estimation (Irene
Muflikh Nadhiroh, Khairil Anwar Notodiputro, Indahwati)

1 – 183

M - 19. Aplikasi Multidimensional Scaling Untuk Peningkatan Pelayanan Proses Belajar
Mengajar (PBM). (Irlandia Ginanjar)

1 – 194

M - 20. Peranan Formulasi Inversi Pada Fungsi Karakteristik Suatu Variabel Acak
(John Maspupu)

1 – 202

M - 21. Pendugaan Berbasis Model Untuk Kasus Biner Pada Small Area Estimation
(Kismiantini)

1 – 209

M - 22. Pendugaan Komponen Utama Pada Pengaruh Acak Model Linear Campuran
Terampat (Mohammad Masjkur)

1 – 216

M - 23. Distribusi Poisson Tergeneralisasi Tak Terbatas Dan Beberapa Sifat-Sifatnya
( Suatu Pengembangan Teori Statistika Matematika) (Mutijah)

1 – 237

M - 24. Regresi Rasio Prevalensi Dengan Model Log-Binomial: Isu Ketakkonvergenan
(Netti Herawati, Alfian Futuhul Hadi, Nusyirwan, Khoirin Nisa)

1 – 249

M - 25. Pengujian Autokorelasi Terhadap Sisaan Model Spatial Logistik (Utami Dyah
Syafitri, Bagus Sartono, Salamatuttanzil)

1 – 264

M - 26. Penerapan Analisis Survival Untuk Menaksir Waktu Bertahan Hidup Bagi
Penderita Penyakit Jantung (Yani Hendrajaya,Adi Setiawan dan Hanna A.
Parhusip)

1 – 269

M - 27. Pendekatan Analisis Multilevel Respon Biner dalam Menentukan Faktor-Faktor
yang Memengaruhi Imunisasi Lengkap (Bertho Tantular, I Gede Nyoman Mindra
Jaya)

1 – 281

Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika 2008

v

M - 28. Optimasi Bobot Portofolio Dan Estimasi Var (Portfolio Weighted Optimization
And Var Estimation) (Sukono, Subanar, Dedi Rosadi )

1 – 292

M - 29. Estimasi Var Dengan Pendekatan Extreme Value (Estimation Of Var By Extreme
Value Approach) (Sukono, Subanar, Dedi Rosadi )

1 – 304

M - 30. Activities In Sunspot Group NOAA 9393 (Bachtiar Anwar, Bambang Setiahadi)

1 – 315

M - 31. Penyelesaian Asymmetric Travelling Salesman Problem
Dengan Algoritma Hungarian Dan Algoritma Cheapest Insertion Heuristic
(Caturiyati)

1 – 324

M - 32. Studi Model Variasi Harian Komponen H Berdasarkan Pola Hari Tenang
(Habirun)

1 – 335

M - 33. Pemodelan Perembesan Air dalam Tanah (Muhammad Hamzah, Djoko S,
Wahyudi W.P, Budi S)

1 – 346

M - 34. Eksistensi Dan Kestabilan Solusi Gelombang Jalan Model Kuasiliner Dissipatif
Dua Kanal (Sumardi)

1 – 354

M - 35. Minimal Edge Dari Graf 2-Connected dengan Circumference Tertentu
(On Edge Minimal 2-Connected Graphs With Prescribed Circumference)
(Tri Atmojo Kusmayadi)

1 – 365

M - 36. Model Sis dengan Pertumbuhan Logistik (Eti Dwi Wiraningsih, Widodo, Lina
Aryati, Syamsuddin Toaha)

1 – 373

M - 37. Aplikasi Model Dinamik Pada Bursa Efek (Joko Purwanto)

1 – 386

M - 38. Analisis Fraktal Emisi Sinyal ULF Dan Kaitannya Dengan Gempa Bumi
di Indonesia (Sarmoko Saroso)

1 – 400

M - 39. Pengujian Hipotesis Rata-Rata Berurut untuk Membandingkan Tingkat
kebocoran di Daerah Dinding Gingival menggunakan Tiga Macam Bahan
Tambalan Sementara (Pendekatan Parametrik) (H. Bernik Maskun)

1 – 407

Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika 2008

vi

2. Makalah Bidang Pendidikan Matematika
Kode

Judul

Hal

P- 1

Pengembangan Model Creative Problem Solving Berbasis Teknologi Dalam
Pembelajaran Matematika Di SMA (Adi Nur Cahyono)

2- 1

P–2

Mengembangkan Soal Terbuka (Open-Ended Problem) dalam Pembelajaran
Matematika (Ali Mahmudi)

2 - 12

P–3

Pengaruh Pemberian Tugas Creative Mind Map Setelah Pembelajaran Terhadap
Kemampuan Kreativitas Dan Koneksi Matematik Siswa (Ayu Anzela Sari,
Jarnawi Afgani D)

2 - 23

P–4

Kontribusi Matematika Dan Pembelajarannya bagi Pendidikan Nilai
(Gregoria Ariyanti )

2 - 38

P–5

Mahasiswa Field Independent Dan Field Dependent dalam Memahami Konsep
Grup * (Herry Agus Susanto)

2 - 64

P–6

Peningkatan Pembelajaran Konsep Pengolahan Data Melalui Tutor Sebaya
Dengan Komputer (Endah Ekowati )

2 - 78

P-7

Pembelajaran Matematika Untuk Meningkatkan Kemampuan Pemecahan
Masalah Matematis Siswa Sekolah Menengah Atas (Ibrahim)

2 - 90

P–8

Strategi Pembelajaran Kolaboratif Berbasis Masalah (Djamilah Bondan
Widjajanti)

2 - 101

P–9

Pembelajaran Matematika dengan Pendekatan Kooperatif Tutor Sebaya
Bertingkat dalam Persiapan Menghadapi UN 2009 (Kukuh Guntoro)

2 - 111

P – 10

Melatih Kemampuan Metakognitif Siswa dalam Pembelajaran Matematika
(Risnanosanti, M.Pd)

2 - 115

P – 11

Teori Van Hiele Dan Komunikasi Matematik (Apa, Mengapa Dan Bagaimana)
( Hj.Epon Nur’aeni)

2 - 124

P – 12

Meningkatkan Kemampuan Berpikir Matematis Tingkat Tinggi Calon Guru
Matematika Melalui Pembelajaran Berbasis Komputer Pada Perguruan Tinggi
Muhammadiyah (Bambang Priyo Darminto)

2 - 139

P – 13

Pembelajaran Matematika dengan Konflik Kognitif (Dasa Ismaimuza)

2 - 155

P – 14

Peran Penalaran dalam Pemecahan Masalah Matematik (E. Elvis Napitupulu)

2 - 167

Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika 2008

vii

P – 15

Meningkatkan Hasil Belajar Matematika Dengan Menerapkan Pembelajaran
Kooperatif Tipe STAD Pada Materi Pokok Aljabar Dan Aritmatika Sosial di
Kelas 7C SMPN I Pringsurat Tahun Pelajaran 2008/2009 (Hidayati)

2 - 181

P – 16

Rekonstruksi Tingkat-Tingkat Berpikir Probabilistik Siswa Sekolah Menengah
Pertama (Imam Sujadi)

2 - 187

P – 17

Mengembangkan Board Game Labirin Matematika Bagi Siswa Kelas Rendah
Guna Menghindari Mind In Chaos Terhadap Matematika (Maman
Fathurrohman, Hepsi Nindiasari, Dan Ilmiyati Rahayu)

2 - 209

P – 18

Pemahaman Konsep Matematik Dalam Pembelajaran Matematika (Nila
Kesumawati)

2 - 229

P – 19

Meningkatkan Pemahaman Mahasiswa Pendidikan Matematika Fkip Ups Tegal
Pada Konsep Distribusi Peluang Khusus melalui Pembelajaran Kooperatif Model
STAD (Nina R. Chytrasari,Eleonora D. W.)

2 - 236

P –20

Pembelajaran Kooperatif Tipe Teams-Games-Tournaments (Tgt) guna
Meningkatkan Kemandirian Belajar Mahasiswa Statistika Matematika Program
Studi Pendidikan Matematika FKIP UNTIRTA (Nurul Anriani, Novaliyosi,
Maman Fathurahman)

2 - 248

P –21

Pengembangan Bahan Ajar Berdasarkan Perkembangan Kognitif Untuk
Meningkatkan Hasil Belajar Matematika Siswa SD (Rasiman)

2 - 257

P –22

Problem-Based Learning dan Kemampuan Berpikir Reflektif dalam
Pembelajaran Matematika (Sri Hastuti Noer)

2 - 267

P –23

Pengaruh Penilaian Portofolio Dan Kecerdasan Emosional Terhadap Hasil
Belajar Matematika Topik Dimensi Tiga Siswa Kelas X Sma Negeri 4 Kendari
Tahun 2006 (Sunandar)

2 - 281

P –24

Proses Pembelajaran Student Centered Pada Mata Kuliah Statistik Nonparametrik 2 - 200
(Penerapan Strategi Instant Assessment, Index Card Match, Practice Rehearsal
Pairs, Dan Case Study) (Yuliana Susanti)

P –25

Mengembangkan Keterampilan Berfikir Matematika ( Sehatta Saragih)

P –26

Pembelajaran Matematika Dengan Melibatkan Manajemen Otak (Suatu Alternatif 2 - 327
Pembelajaran Interaktif) (Somakim)

P –27

Kemampuan Komunikasi Matematik Dan Keterampilan Sosial Siswa Dalam
Pembelajaran Matematika (Kadir)

2 - 339

P –28

Pengaruh Bimbingan Belajar terhadap Hasil Belajar Mahasiswa (Studi Kasus
Terhadap Mata Kuliah Analisis II) (Sugimin)

2 - 351

Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika 2008

2 - 310

viii

P – 29

Keterbatasan Memori dan Implikasinya dalam Mendesain Metode Pembelajaran
Matematika (Endah Retnowati)

Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika 2008

2 - 359

ix

Generalized Non-Homogeneous Morrey Spaces
And Olsen Inequality
I. Sihwaningrum *) , H. Gunawan, Y. Soeharyadi, W. S. Budhi

Analysis and Geometry Group
Faculty of Mathematics and Natural Sciences
Bandung Institute of Technology, Bandung 40132, Indonesia
hanidha@students.itb.ac.id, hgunawan, yudish, wono@math.itb.ac.id

Abstract
In this paper, we shall discuss some properties of generalized non-homogeneous
Morrey spaces. In addition, we will also prove the Olsen inequality in the nonhomogeneous setting. Our proof utilizes the result of (García-Cuerva and Martell,
2001) on the boundedness of the fractional integral operator on Lebesgue spaces of
non-homogeneous type.
Keywords: Olsen inequality, fractional integral operator, non-homogeneous
Lebesgue spaces, generalized non-homogeneous Morrey spaces.

1. Introduction
We shall study here the fractional integral operator Iαn (for 0 < α < n ≤ d ), on
non-homogeneous spaces, which is defined by the formula
Iαn f ( x ) :=

∫
R

d

f ( y)
x− y

n −α

dμ ( y ) .

The formula reduced to the classical version of (Hardy and Littlewood, 1927; Hardy
and Littlewood, 1932; and Sobolev, 1938) when n = d and μ is the usual Lebesgue
measure. By a non-homogeneous space we mean a metric space -- here we will consider
only the Euclidean space Rd -- equipped with an n-dimensional measure (GarcíaCuerva and Martell, 2000). A positive Borel measure μ satisfies n-dimensional
measure (for 0 < n ≤ d) if there exists a constant C > 0 such that

μ ( B (a, r )) ≤ Cr n
*)

Permanent address: Department of Mathematics General Soedirman University, Purwokerto 53122.

Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika 2008

1-1

M-1 Generalized Non-Homogeneous Morrey Spaces And Olsen Inequality

for every open ball B (a ,r ) centered at a ∈ Rd with radius r > 0 (García-Cuerva and
Gatto, 2004). This condition -- also known as the growth condition of order n (Sawano,
2005) -- replaces the doubling condition, which is the key property for a metric space to
be a homogeneous space. Notice that a positive Borel measure μ satisfies the doubling
condition if there exists a constant C > 0 such that for every ball B (a, r ) we have

μ ( B ( a,2r )) ≤ Cμ ( B ( a, r ))
(Coifman and Gusmán, 1970/1971). The ball B ( a,2r ) is concentric to B (a, r ) with
radius 2r. We may consult (Krantz, 1999) for examples of the spaces of homogeneous
type and (Verderra, 2002) for that of non-homogeneous type.

(

)

Now, let L p (μ ) = L p R d , μ , 1 ≤ p < ∞ , denote the non-homogeneous Lebesgue
spaces. It is well known from (García-Cuerva and Martell, 2001) that Iαn is a bounded
operator from Lp ( μ ) to Lq ( μ ) for 1 < p <

n

α

and

1 1 α
= − . Further, the following
q p n

Olsen inequality
n

WI α f : L p ( μ ) ≤ C W : L α ( μ ) f : L p ( μ ) ,
n

for W∈: L α(μ) , can be viewed as a consequence of the L p ( μ ) − Lq ( μ ) boundedness of Iαn
(Sihwaningrum, et.al., 2008b). The inequality was first introduced -- in homogeneous
setting -- by (Olsen, 1995) to study the solution of the Schrödinger equation with a
small perturbed potential W on Morrey spaces. Later on, (Kurata et al., 2002; Gunawan
and Eridani, 2008) extended the Olsen's result to the homogeneous generalized Morrey
spaces. In this paper, we will extend further the Olsen's result to the generalized Morrey
spaces of non-homogeneous type.

2. Main Results
2.1 Generalized non-homogeneous Morrey spaces
For 1 ≤ p < ∞ and φ : (0, ∞) → (0, ∞) , let us define the generalized nonhomogeneous Morrey spaces Μ p ,φ ( μ ) = Μ p ,φ (R d , μ ) to be the set of all functions
p
f ∈ Lloc
( μ ) for which f : Μ p ,φ ( μ ) < ∞ . Here,

1-2

1 ⎛⎜ 1
f : M p ,ϕ ( μ ) := sup
n
r >0 φ (r ) ⎜ r
⎝

1

⎞p
⎟ ,
μ
f
y
d
(
)
∫
⎟
B ( x,r )
⎠

1≤ p < ∞.

p

Our definition is in line with the definition of Hardy-L ittlewood maximal operator M n
given by the formula
M n f ( x) := sup
r >0

1
rn

∫

f ( y ) dμ ( y ) .

B ( a , r ))

The reader may also refer (Gunawan, et.al., 2007) and (Sawano, 2008) for other types
of generalized non-homogeneous Morrey spaces – which are defined in accordance with
the k-dilated Hardy-Littlewood maximal operator M k :
M k f ( x) := sup
Q∋ x

1
f ( y ) dμ ( y )
μ (kQ) Q∫

Note that along with our definition, if φ (r ) = r
Meanwhile, for

1 < p < q < ∞ , we have

−n p

, we obtain M

M q ,φ ( μ ) ⊆ M

p ,φ

p ,φ

(μ ) = Lp (μ ) .

( μ ) ⊆ M 1,φ ( μ )

(see

(Sihwaningrum, et. al., 2008a) for the proof). Furthermore, the generalized nonhomogeneous Morrey spaces obey the following property.
Fact 2.1 If 1 ≤ p < ∞ and φ (r ) ≤ Cψ (r ) (for r > 0 ), then M
f :M

p ,ψ

p ,φ

(μ ) ≤ C f : M

Proof. Notice first that

(μ ) ⊆ M

p ,φ

p ,φ

(μ ) and

(μ ) .

1

⎞p
⎛
p
⎟ ≤ C sup 1 ⎜ 1
(
)
μ
f
y
d
n
∫
⎟
r > 0 φ (r ) ⎜ r
B ( x ,r )
⎠
⎝

The above inequality implies that
p ,ψ

(μ ) ⊆ M

1
1
≤C
for all r > 0 . Then, for f ∈ M p ,φ (μ ) , we get
ψ (r )
φ (r )

1 ⎛⎜ 1
sup
n
r > 0 ψ (r ) ⎜ r
⎝

M

p ,ψ

f :M

p ,ψ

1

⎞p
p
⎟ 0; dan Q ( x, kr ), dengan k > 0, menyatakan kubus
konsentris dengan jari-jari kr. Misalkan juga C adalah konstanta positif, yang dalam
makalah ini tidak perlu sama dari baris ke baris. Ruang metrik – disini hanya
dibicarakan R d –yang dilengkapi dengan ukuran Borel μ disebut ruang homogen
apabila μ memenuhi kondisi doubling:

μ (Q ( x, 2r )) ≤ C μ (Q ( x, r )).
Sementara itu, ( R d , μ ) dengan μ yang tidak memenuhi kondisi doubling tetapi
memenuhi kondisi growth

μ (Q( x, r )) ≤ Cr n ,
untuk 0 < n ≤ d , disebut sebagai ruang tak homogen. Beberapa hasil yang berkenaan
dengan ruang tak homogen dapat dilihat misalnya pada [2, 9,11 12].
Di ruang tak homogen, operator integral fraksional Iα didefinisikan dengan
Iα f ( x) := ∫

฀d

f ( y)
d μ ( y ).
| x − y |n −α

Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika 2008

1 - 19

Keterbatasan Operator Integral Fraksional Di Ruang Lebesgue Tak Homogen

Perhatikan bahwa di ruang homogen, pangkat dari | x − y | adalah d − α . Operator Iα ,
yang dikenal pula sebagai potensial Riesz, pertama kali dipelajari oleh Hardy dan
Littlewood [6, 7] serta Sobolev [13], sedangkan hasil selanjutnya – di ruang homogen –
dapat dilihat pada [1, 4, 5, 8, 10].
Dalam [3], operator Iα telah dibuktikan terbatas dari ruang Lebesgue tak
homogen Lp ( μ ) ke Lq ( μ ). Dalam makalah ini, keterbatasan tersebut akan dibuktikan
ulang dan kemudian digunakan untuk membuktikan ketaksamaan Olsen di ruang
Lebesgue tak homogen.

Keterbatasan Operator Iα
Diberikan f adalah sebarang fungsi terukur- μ pada R d , dengan μ adalah ukuran
Borel yang memenuhi kondisi growth . Didefinisikan

|| f : Lp ( μ ) || =

(∫

฀

)

1
p

| f ( y) | p d μ ( y) , 1 ≤ p < ∞
d

dan
|| f : L∞ ( μ ) || = ess sup {| f ( x ) | : x ∈ R d }

dengan ess sup {| f ( x ) | : x ∈ R d } menyatakan batas atas terkecil esensial dari | f | .
Ruang Lebesgue tak homogen Lp ( μ ) = Lp ( R d , μ ), 1 ≤ p ≤ ∞, adalah ruang kelas-kelas
ekuivalen f sedemikian sehingga || f : Lp ( μ ) || < ∞. Di ruang Lebesgue tak homogen,
diketahui Iα bersifat terbatas.
Teorema 2.1 [2, 3] Diberikan 0 < α < n. Jika 1 < p < αn dan

1
q

= 1p − αn , maka Iα

terbatas dari Lp ( μ ) ke Lq ( μ ).
Bukti keterbatasan Iα di ruang Lebesgue tersebut dapat diperoleh menggunakan
ketaksamaan Hedberg yang melibatkan operator maksimal radial Hardy-Littlewood M
dengan
Mf ( x) := sup
r >0

1
rn

∫

Q ( x ,r )

| f ( y ) | d μ ( y ).

Operator M ini bertipe lemah-(1,1) dan bertipe kuat- (∞, ∞ ).

1 - 20

Teorema 2.2 [3] Operator maksimal M memenuhi

μ { x ∈ R d : Mf ( x) > λ} ≤

C

λ

∫

Rd

| f ( x) | d μ ( x)

dan
|| Mf : L∞ ( μ ) || ≤ C || f : L∞ ( μ ) || .
Bukti: Ambil f ∈ L1 ( μ ) dan definisikan
Eλ = { x ∈ R d : Mf ( x) > λ} .

Jika x ∈ Eλ , maka terdapat rx > 0 sehingga
1
rxn

∫

Q ( x , rx )

| f ( y ) | d μ