2. Mengaplikasikan Konsep Statistik - Statistika

2. M engaplikasikan Konsep Statistik

A. Tujuan Akhir

Setelah mempelajari kegiatan belajar pada Modul 14 ini diharapkan siswa dapat :

1. menyebutkan pengertian statistik dan statistika,

2. menyebutkan kegunaan statistik,

3. menyebutkan pengertian populasi dan sampel,

4. menyebutkan macam-macam data,

5. membuat tabel dari sekelompok data,

6. membuat diagram yang sesuai (batang, lingkaran, garis, gambar) dari sekelompok data,

7. membuat histogram, poligon frekuensi, dan kurva ogive dari sekelompok data,

8. mencari mean, median, dan modus dari sekelompok data tunggal,

9. mencari mean, median, dan modus dari data kelompok,

10. mencari kuartil, desil, dan persentil dari sekelompok data,

11. mencari jangkauan, jangkauan semi antarkuartil dari sekelompok data,

12. mencari simpangan rata-rata dan simpangan baku dari sekelompok rata-rata,

13. mencari nilai standar (Z-score) dari suatu data sekelompok data.

B. Kegiatan Belajar

Kegiatan Belajar 1

A. Tujuan

Setelah mempelajari Kegiatan Belajar 1 ini, diharapkan siswa dapat:

1. Memahami pengertian statistik dan statistika beserta penggunaannya.

2. Memahami pengertian populasi dan sampel beserta kegunaannya

3. Menyebutkan macam-macam data.

4. Menyajikan data dalam bentuk tabel.

B. Uraian M ateri

1. Statistik dan Statistika

Statistik adalah Catatan atau susunan data secara teratur kemudian disajikan dalam bentuk angka-angka, diagram, atau gambar-gambar. Misal : statistik penduduk, statistik kelahiran dan sebagainya. Statistika adalah ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data dan penyusunan data, pengolahan dan penganalisaan data sebagai dasar penarikan kesimpulan dan pengambilan kesimpulan.

2. Populasi dan Sampel

Populasi adalah keseluruhan objek yang akan diteliti ( diamati ). Populasi merupakan totalitas semua nilai yang mungkin, hasil menghitung atau mengukur, kuantitatif maupun kualitatif mengenai karakteristik tertentu dari semua anggota kumpulan yang lengkap dan jelas yang ingin dipelajari sifat- sifatnya. Sampel ( contoh ) adalah sebagian data yang diambil dari populasi. Pengambilan sampel harus dapat mewakili ( representatif ) bagi populasi itu sendiri. Contoh : Akan diadakan penelitian tentang pengaruh pemakaian pupuk urea pada tanaman padi di wilayah kecamatan yang terdiri atas 15 buah desa dan sebagai lahan penelitian tadi Pak Camat menunjuk 4 desa. Maka populasinya adalah seluruh desa (15 desa) di kecamatan itu. Dan sebagai sampelnya adalah 4 desa.

3. Kegunaan Statistika.

Hampir semua ilmu pengetahuan menggunakan statistika. Misalnya :

a. Di bidang kedokteran, untuk mengetahui perkembangan pasien.

c. Di bidang marketing, erat hubungannya dengan penjualan dan pemasaran. Pada umumnya statistika digunakan oleh para peneliti antara lain untuk :

a. Menentukan sampel dan mencatatnya secara sistematis.

b. Membaca data yang telah dikumpulkan.

c. Melihat ada atau tidaknya hubungan (korelasi) antar variabel.

d. Melakukan prediksi (peramalan) untuk masa lalu maupun masa depan.

e. Mengadakan interpretasi data, dan sebagainya.

4. M acam-M acam Data

Data adalah himpunan keterangan atau bilangan dari objek yang diamati. Menurut jenisnya, data dibedakan menjadi :

a. Data Kuantitatif adalah data yang dapat dinyatakan dengan bilangan.

Data kuantitatif dibagi 2 yaitu :

Data Diskrit atau Data Cacahan : data yang diperolah dari hasil membilang. Contoh :

- Banyaknya siswa SMKN 1 JA YA 700 orang. - Satu kilogram mangga berisi 4 biji.

Data Kontinu : data yang diperoleh dari hasil mengukur atau menimbang dengan alat ukur yang valid. Contoh :

- Berat badan 2 orang siswa adalah 47 kg, 50 kg. - Diameter tabung = 72,5 mm

b. Data Kualitatif adalah data yang tidak dapat dinyatakan dengan bilangan (menyatakan mutu atau kualitas).

Contoh :

- Data jenis kelamin - Data kegemaran siswa

Data yang baru dikumpulkan dan belum diolah disebut data mentah. Metode pengumpulan data ada 2 yaitu :

1. Metode Sampling adalah pengumpulan data dengan meneliti sebagian anggota populasi.

2. Metode Sensus adalah pengumpulan data dengan meneliti semua anggota

populasi. Adapun cara untuk mengumpulkan data adalah :

1. Wawancara ( Interview)

2. Angket ( Kuesioner)

3. Pengamatan ( Observasi)

4. Koleksi ( data dari media cetak atau elektronik )

5. Penyajian Data

Ada 2 macam penyajian data yang sering dipakai yaitu :

a. Bentuk Tabel / daftar

b. Bentuk Diagram / grafik

a. Penyajian Data Dalam Bentuk Tabel.

Pada dasarnya ada 3 macam tabel yang dikenal, yaitu :

1. Tabel Baris –Kolom

Bagian-bagian tabel terdiri: judul tabel, judul kolom, judul baris, sel dan sumber.

Judul tabel, ditulis di tengah-tengah paling atas, dengan huruf kapital dan memuat apa, macam, klasifikasi, dimana, kapan dan satuan data yang digunakan secara singkat. Judul kolom dan judul baris ditulis dengan singkat. Sel adalah tempat nilai-nilai data. Sumber menjelaskan asal data.

Contoh.

PEM BELIA N BA RANG-BARA NG OLEH TOKO M ULYA DA LA M RIBUA N UNIT DA N JUTA A N RUPIAH TAHUN 2004-2007

Barang A

Barang B

Keterangan : Data karangan

2. Tabel Kontingensi

Tabel kontingensi berukuran m x n terdiri dari 2 faktor dengan m kategori faktor pertama dan n kategori faktor kedua.

Contoh :

BA NYAK SISW A DI SMK A BA DI TA HUN 2009

Kelas I

Kelas II

Kelas III

Keterangan : Data karangan

3. Tabel Distribusi Frekuensi

Jika suatu tabel berisi nilai data berkelompok dengan frekuensi tertentu. Contoh :

NILA I MA TEMA TIKA SISW A KELA S I SM K JAYA SEM ESTER I TAHUN 2010

Nilai Matematika

Banyak Siswa ( f )

C. Lembar Kerja Siswa Jawablah dengan benar !

1. Jika ingin meneliti jenis tetang kenakalan remaja pada suatu kabupaten, maka

apakah populasinya ?

2. Berikut ini, manakah yang merupakan data diskrit, dan manakah yang merupakan

data kontinu ?

a. Besar gempa 5,6 SR

b. Banyak Petani di Desa Hura ada 1225 siswa

c. Kecepatan Mobil tiap jam

d. Luas lapangan sepak bola 10.000 m 2

3. Perhatikan tabel berikut :

JENIS SEPEDA M OTOR YA NG DIGUNAKAN SISW A SMK JAYA KE SEKOLAH TAHUN 2001-2003

Sumber : data karangan

a. Berapakah banyak vespa yang digunakan siswa SMK Jaya tahun 2003 ?

b. Jenis sepeda motor apakah yang paling banyak digunakan siswa SMK Jaya

pada tahun 2003?

c. Pada tahun 2001, jenis sepeda motor apakah yang paling sedikit digunakan oleh

siswa SMK Jaya?

d. Beberapa banyak sepeda motor yang digunakan siswa SMK Jaya pada tahun

3. Tentukan populasinya jika kita ingin meneliti hobi semua siswa SMK Jaya ?

4. Manakah yang merupakan data diskrit dan manakah yang merupakan data kontinu berikut ?

a. Ternak yang mati karena penyakit

b. Berat Rata-rata melon dalam satu musin panen

c. Banyak peserta lomba lari

d. Ukuran panjang jembatan 45 km

e. Jumlah pemian sepakbola

5. Buatlah tabel dari kumpulan data berikut ! (Data karangan)

Sebuah toko alat tulis akan membuat tabel penjualan dan pembelian buku tulis dan bollpoint dari bulan Januari sampai Maret 2010. Januari, membeli buku tulis 720 buah laku 350 buah, membeli bollpoint 240 biji terjual 175 biji. Pebruari, membeli buku tulis 400 buah laku 375 buah, membeli bollpoint 150 biji terjual 145 biji. Maret, membeli buku tulis 700 buah laku 550 buah, membeli bollpoint 400 biji terjual 375 biji

6 . Jelaskan pengertian dari :

a. Populasi dan sampel

b. Data kuantitatif dan kualitatif

c. Data diskrit dan data kontinu

7. Manakah yang tergolong data diskrit dan mana yang tergolong data kontinu ?

a. Jumlah penduduk pada akhir tahun 1960 adalah 95,3 juta jiwa

b. Jarak terjauh negara RI dari barat ke timur adalah 5.110 km, sedang dari

utara ke selatan adalah 1.888 km

c. Luas wilayah RI adalah 1.904.345 km persegi.

d. Calon haji Indonesia tahun 2006

8. Buatlah tabel untuk data berikut : Rumah Makan Sedap mencatat laba dari hasil rumah makannya adalah sebagai

berikut :

a. Bulan Januari, laba R p 3.254.000,00

b. Bulan Februari, laba R p 2.312.000,00

c. Bulan Maret, laba R p 1.921.000,00

d. Bulan April, laba R p 1.580.000,00

Kegiatan Belajar 2

A. Tujuan

Setelah mempelajari kegiatan belajar 2 ini, diharapkan siswa dapat: Membaca dan membuat diagram batang, lingkaran, garis, dan gambar beserta

kegunaannya. Membaca dan membuat histogram beserta kegunaannya.

Membuat polygon frekuensi dan kurva ogive beserta kegunaannya.

B. Uraian M ateri

1. Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram

Beberapa bentuk diagram (grafik), diantaranya : a)

Diagram batang

Diagram garis

Diagram lingkaran

Diagram gambar

Histogram, poligon frekuensi dan kurva ogive Kegunaan diagram atau grafik antara lain untuk : -

Mempertegas dan memperjelas penyajian data

Mempercepat pengertian

Mengurangi kejenuhan melihat angka

Menunjukkan arti secara menyeluruh

DIA GRAM BA TANG

Yaitu penyajian data statistik dengan menggunakan gambar berbentuk balok atau batang untuk menggambarkan perkembangan nilai-nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu.

BA NYAK SISW A 5 SMK DI KOTA BA RU BERDA SA RKA N JENIS KELA M IN Tahun 1970

Banyak Siswa

Data tersebut bisa disajikan dalam diagram batang tunggal sebagai berikut :

S MK-A

S MK-B

S MK- C

S MK- D

S MK-E

Data dapat disajikan dalam bentuk diagram batang dua komponen sebagai berikut :

Peremp uan

DIA GRAM GARIS

Untuk menyajikan perkembangan data yang berkesinambungan dengan menggunakan gambar berbentuk garis lurus. Seperti : data suhu badan pasien Untuk menyajikan perkembangan data yang berkesinambungan dengan menggunakan gambar berbentuk garis lurus. Seperti : data suhu badan pasien

Contoh :

BA NYAK KENDA RA A N YA NG DIPA RKIR

DICA TA T TIA P 2 JAM PUKUL 06.00-18.00

06.00 08.00 10.00 12.00 14.00 16.00 18.00 BANYAK KENDARAAN

PUKUL

Data di atas dapat disajikan dalam bentuk diagram garis berikut :

DIA GRAM LINGKARAN

Yaitu penyajian data statistik dengan menggunakan gambar berbentuk daerah lingkaran yang dibagi menjadi sektor-sektor (juring). Digunakan untuk menunjukkan perbandingan antara objek yang satu dengan yang lain serta terhadap keseluruhan dalam suatu penyelidikan.

Contoh :

DATA OLA HRAGA W AN SM U PERTIW I

Jenis Olah raga

Jumlah

Sepak bola

Bulu tangkis

Tenis meja

Untuk membuat diagram lingkaran ditentukan dulu besar prosentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran sebagai berikut :

Jenis Olahraga

Jumlah

Persen

Sudut pusat

Sepakbola

60 60/ 200 x 100 % = 30%

60/ 200 x 360 ° = 108 °

Basket

50 50/ 200 x 100 % = 25%

50/ 200 x 360 ° = 90 °

Volley

45 45/ 200 x 100 % =

45/ 200 x 360 ° = 81 °

Bulu tangkis

25 25/ 200 x 100 % =

25/ 200 x 360 ° = 45 °

Tenis meja

20 20/ 200 x 100 % = 10%

10/ 200 x 360 ° = 36 °

Data tersebut dapat disajikan dalam bentuk diagram lingkaran berikut :

Tenis Meja10.0% Sepak Bo la

Bulu Tangkis

Sepak bola

Basket Volley Bulu tangkis Tenis meja

Volley 22.5% Bas ket 25.0%

d).

DIA GRAM GAM BA R/ LAM BANG

Yaitu penyajian data statistik dengan menggunakan gambar/ lambang. Digunakan untuk mendapatkan gambaran kasar suatu hal.

JUM LA H SISW A DI TIA P JURUSA N PA DA SM K 1 KOTA X

PROGRAM STUDI

JUMLA H SISWA

LAMBANG

Konstruksi Bangunan

Listrik Instalasi

Mesin Produksi

Mekanik Otomotif

Keterangan : = 10 siswa

2. Tabel (Daftar) Distribusi Frekuensi Dan Grafiknya

Dalam melakukan pengukuran (observasi) diperoleh sejumlah data yang dinamakan data kasar. Untuk memudahkan dalam pengamatan, data dibagi menjadi beberapa kelompok dan disajikan dalam suatu tabel yang disebut Tabel Distribusi Frekuensi. 1). Distribusi Frekuensi Tunggal

Digunakan apabila data yang diperoleh mempunyai ukuran yang kecil ( tidak terlalu banyak ).

Data nilai ulangan matematika dari 40 siswa adalah

7 6 4 7 3 6 5 7 4 6 Dapat disajikan dalam tabel distribusi frekuensi sebagai berikut : Nilai ulangan (X i )

Turus

Frekuensi (f i )

5 IIII III

6 IIII IIII I

7 IIII I

8 IIII

2). Distribusi Frekuensi Berkelompok

Digunakan bila data yang diperoleh mempunyai ukuran besar sehingga data dikelompokkan menjadi beberapa interval kelas. Adapun cara membuat Digunakan bila data yang diperoleh mempunyai ukuran besar sehingga data dikelompokkan menjadi beberapa interval kelas. Adapun cara membuat

Jangkauan ( Range ) = data terbesar – data terkecil

:R=X max - X min

b. Tentukan banyaknya kelas interval

Digunakan Aturan STURGES yaitu

: k = 1 + 3,3 log n

dengan k = banyaknya kelas n = banyaknya data

c. Tentukan panjang kelas interval ( p) R

dengan

p = panjang kelas

k R = jangkauan ( Range ) k = banyaknya kelas

d. Tentukan batas bawah kelas interval pertama, biasanya diambil data

terkecil. Usahakan titik tengah kelas berupa bilangan bulat.

e. Tentukan frekuensi tiap kelas dengan menggunakan sistem turus. Hasil ulangan matematika dari 50 siswa sebagai berikut :

64 53 59 63 54 59 63 64 54 64 o Jangkauan ( R ) = 79 – 45

= 34 o Banyak kelas ( k) = 1 + 3,3 log 50 = 1 + 3,3 (1,699)

Panjang kelas interval p =

Maka dapat disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berikut :

Kelas Interval

IIII IIII

IIII III

IIII IIII II

IIII I

Keterangan tabel adalah : • Banyaknya kelas interval ada 7 yaitu : 45-49, 50-54, 55-59, 60-64, 65-69, 70-

74, 75-79 • Bilangan 45,50,55,60,65,70,75 disebut Batas bawah kelas ( Bb ) • Bilangan 49,54,59,64,69,74,79 disebut Batas atas kelas ( Ba ) • Tepi bawah kelas ( Tb ) = batas bawah kelas – 0,5 • Tepi atas kelas ( Ta ) = batas atas kelas + 0,5 • 1

Nilai tengah kelas ( X t ) =

( Ba + Bb )

• Panjang interval ( p ) = Ta - Tb

Contoh pada interval kelas pertama 45 - 49 maka : Tepi bawah kelas

Tb = 45 – 0,5 = 44,5

Tepi atas kelas

Ta = 49 + 0,5 = 49,5

Nilai tengah kelas

X t = ( 49 + 45 ) = 47

Panjang interval

p = 49,5 – 44,5 = 5

3). Distribusi Frekuensi Kumulatif

Ada 2 macam frekuensi kumulatif yaitu frekuensi kumulatif kurang dari dan frekuensi kumulatif lebih dari. Pada tabel distribusi frekuensi di atas dapat dibuat tabel distribusi frekuensi kumulatif berikut :

1). Frekuensi kumulatif kurang dari (F k )

Nilai

F Frekuensi kumulatif

Kurang dari 49,5

Kurang dari 54,5

Kurang dari 59,5

Kurang dari 64,5

Kurang dari 69,5

Kurang dari 74,5

Kurang dari 79,5

2). Frekuensi kumulatif lebih dari ( F k )

Nilai

F Frekuensi kumulatif

Lebih dari 44,5

Lebih dari 49,5

Lebih dari 54,5

Lebih dari 59,5

Lebih dari 64,5

Lebih dari 69,5

Lebih dari 74,5

e).

HISTOGRAM , POLIGON FREKUENSI DAN OGIV E

HISTOGRAM

Penyajian data yang dikelompokkan menurut distribusi frekuensi dapat dinyatakan dengan grafis yang berbentuk diagram batang yang saling berhimpitan disebut histogram. Dengan frekuensi dinyatakan dengan sumbu tegak dan interval kelas dengan sumbu mendatar.

Contoh : Dari data ulangan matematika 50 siswa yang sudah dibuat tabel distribusi frekuensi (di depan) dapat dibuat histogram, poligon frekuensi dan ogive berikut :

POLIGON FREKUENSI

Bila titik-titik tengah dari tiap sisi atas pada histogram saling dihubungkan maka diperoleh diagram yang disebut poligon frekuensi ( segi banyak ).

NILAI ULANGAN MATEMATIKA

OGIV E

Ogive dibuat dari “ tabel frekuensi kumulatif kurang dari” atau “ tabel frekuensi kumulatif lebih dari” . Contoh ogive kurang dari:

Dari data yang sama, buatlah ogive lebih dari!

c. Lembar Kerja Siswa Jawablah dengan benar !

1. Buat diagram batang yang menggambarkan pekerjaan Wali Murid 150 siswa

berikut : Tabel Pekerjaan Wali Murid Siswa

Pekerjaan orang tua

Jumlah

Pegawai Negeri

2. Buatlah histogram dan poligon frekuensi yang menggambarkan banyaknya

pengunjung Perpustakaan Daearah berdasarkan usia pada tabel berikut : Tabel Pengunjung Perpustakaan Daerah Berdasar Usia

(Dalam Tahun) Umur

3. Daftar Peminjam Buku Perpustakaan Daerah selama sebulan (Berdasarkan

Kategori dalam %)

Macam barang

Dari data di atas gambarlah diagram lingkarannya !

4. Data Curah Hujan tahun 2006

Bulan

Curah Hujan (cm 3 )

Dari data di atas gambarlah diagram garisnya !

5. Data kasar dari 40 kali pengukuran (dalam mm ) adalah :

Buatlah daftar distribusi frekuensi data berkelompok dengan menggunakan aturan Sturges !

6. Data tinggi badan anggota Pramuka SMK Jaya adalah :

Tinggi (cm)

Banyak siswa

a) Gambarlah histogram dan poligon frekuensinya !

b) Gambarlah kurva ogive !

Kegiatan Belajar 3

A. Tujuan

Setelah mempelajari kegiatan belajar 3 ini, diharapkan Anda dapat:

1. Memahami pengertian mean data tunggal dan data kelompok beserta penggunaannya.

2. Memahami pengertian median data tunggal dan data kelompok beserta penggunaannya.

3. Memahami pengertian modus data tunggal dan data kelompok beserta penggunaannya.

B. Uraian M ateri UKURA N TENDENSI SENTRA L

Suatu kumpulan data biasanya memiliki kecenderungan memusat (tendensi sentral) ke sebuah nilai tertentu yang dapat mewakili seluruh data. Nilai tersebut biasanya terletak di pusat data dan disebut nilai sentral (nilai pusat). Ukuran tendensi sentral yang banyak digunakan adalah :

1. Mean ( Rata-rata hitung )

2. Median ( Nilai tengah )

3. Modus ( Nilai yang sering muncul )

1. M EA N /Rata-rata hitung ( x )

a. Data Tunggal

Jika terdapat n buah nilai x 1, x 2, x 3, ……,x n maka Jika terdapat n buah nilai x 1, x 2, x 3, ……,x n maka

Mean

x 1 x 2 x 3 ...... x n

x ∑ = jumlah semua data dan n = banyak data

dengan

Contoh:

Carilah mean (rata-rata hitung) dari data : 7, 4, 5, 4, 6

Jawab : x =

Untuk data berbobot yaitu apabila setiap x i mempunyai frekuensi f i maka mean (rata-rata hitung) adalah :

1 + f 2 . x 2 + f 3 . x 3 + .... + f k . x k

atau x = i = 1 k

atau x =

f 1 + f 2 + f 3 + .... + f k

Contoh :

Hitung mean data nilai fisika 40 anak berikut :

f ∑ 40

b. Data Berkelompok

Untuk menentukan mean (rata-rata hitung) data berkelompok dengan menggunakan rumus berikut :

atau

Keterangan : x i = x = titik tengah interval kelas ke-i

f i = f = frekuensi pada interval kelas ke-i

f = banyak data ( jumlah semua frekuensi )

Contoh : Tentukan mean (rata-rata hitung) dari data berikut :

Interval

Frekuensi

21-25

26-30

31-35

36-40

41-45

46-50

Maka mean x

c. Data Berkelompok Dengan Rata-rata Sementara ( x s )

Dengan menentukan rata-rata sementara (rata-rata yang diduga) x s ,yaitu biasanya diambil dari titik tengah dari frekuensi terbesar. Kemudian menghitung besarnya simpangan tiap nilai tengah terhadap rata-rata

sementara dengan rumus d i =x i - x s . Dan mean (rata-rata hitung) sebenarnya dinyatakan dengan rumus

= x s + ∑ atau x = x s + ∑

Contoh. Hitung mean (rata-rata) data pada tabel di atas dengan menggunakan rata-rata sementara. Jawab.

∑ i Maka Mean i x = x s +

2. M EDIAN/Nilai Tengah ( M e )

Median adalah nilai yang letaknya di tengah dari data yang telah diurutkan dari nilai terkecil sampai terbesar. Notasi Median = Me.

a. M edian Data Tunggal

Jika banyak data ganjil maka Me adalah data yang terletak tepat yang di tengah setelah diurutkan.

Jika banyak data genap maka Me adalah rata-rata dari dua data yang terletak di tengah setelah diurutkan.

Contoh: Tentukan Median dari data

5, 6, 3, 7, 5, 5, 9, 8 Jawab. ♠ Data diurutkan menjadi 3, 4, 4, 6, 7, 8, 9 Nilai yang di tengah adalah 6, maka Me = 6

♠ Data diurutkan menjadi 3, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 9 Nilai yang di tengah adalah 5 dan 6, maka Median Me =

b. M edian Data Berkelompok

Letak Median yaitu di kelas interval yang frekuensi komulatifnya

setengah dari banyak data  1  ∑ f   .

Median data berkelompok dihitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut:

 Me = Tb + p. 2

f dengan Tb = tepi bawah kelas Median

p = panjang kelas interval n = banyak data () ∑ f

F = frekuensi komulatif sebelum kelas Me

f = frekuensi pada kelas Me Contoh:

Tentukan Median dari data berikut:

Jawab: Interval F F k

Kelas median = 40 – 49 Tb = 39,5

Maka median Me = 39,5 +

3. M ODUS (M o)

Modus adalah data yang paling sering muncul atau yang memiliki frekuensi terbanyak.

a. M odus Data Tunggal

Contoh: • Sekumpulan data : 2, 3, 4, 4, 5

Maka modusnya adalah 4 muncul 2 kali. • Sekumpulan data : 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 9

Maka modusnya adalah 3 dan 5 masing-masing muncul 3 kali. • Sekumpulan data : 3, 4, 5, 6, 7

Maka modusnya tidak ada.

b. M odus Data Berkelompok

Untuk menentukan modus data berkelompok digunakan rumus:

Mo = Tb + p. 

d 1 + d 2 

Keterangan: Tb =

tepi bawah kelas modus

panjang kelas interval

selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya.

Contoh: Tentukan modus dari data berikut:

Jawab: Frekuensi paling banyak adalah 9 pada interval 31 – 35. Jadi kelas modus pada interval 31 – 35. Tb = 30,5 p =5

d 1 =9–8=1

d 2 =9–6=3 Maka Mo = 30,5 + 5  1   

C, Lembar Kerja Siswa Jawablah dengan benar !

1. Diketahui data A = 10, 12, 8, 8, 14 dan data B = 4, x, 6, 5 Jika nilai rata-rata data A dua kali nilai rata-rata data B, maka berapakah nilai x?

2. Tentukan mean (rata-rata hitung) dan median dari data berikut :

Tinggi (cm)

3. Tentukan modus data berikut :

4. Seorang siswa dinyatakan lulus jika nilai ujiannya lebih dari nilai rata-rata dikurangi satu. Tentukan banyak siswa yang lulus dari data berikut :

Nilai

frekuen

5. Tentukan mean, median dan modus data berikut :

6. Tentukan rata-rata nilai siswa dengan menggunakan rata-rata sementara !

7. Tentukan mean, median dan modus dari data berikut :

Tinggi (cm)

Frekuensi

141-145

146-150

151-155

156-160

161-165

166-170

8. Tentukan mean, median dan modus dari data berikut :

Kegiatan Belajar 4

A. Tujuan

Setelah mempelajari Kegiatan Belajar 4 ini diharapkan siswa dapat memahami ukuran penyebaran data, yang rinciannya adalah sebagai berikut :

1. Memahami jangkauan beserta kegunaannya.

2. Memahami simpangan rata-rata dan simpangan baku beserta penggunaannya.

3. Memahami jangkauan semi antar kuartil beserta penggunaannya.

4. Memahami nilai standar (Z-score) beserta penggunaannya.

5. Memahami koefisien variasi beserta penggunaannya.

B. Uraian M ateri UKURAN PENYEBARAN DATA (DISPERSI)

Ukuran penyebaran data (dispersi) meliputi : jangkauan, kuartil,desil,presentil, simpangan kuartil, simpangan rata-rata dan simpangan baku.

1. JA NGKA UA N.

Jangkauan atau Range (R) adalah selisih data terbesar (x max ) dengan data terkecil (x min ).

R=x max -x min

Contoh. Tentukan jangkauan data : 7, 12, 9, 11, 15, 27, 14, 17, 19, 24, 16 Jawab : R = 27 –7 = 20

2. KUA RTIL

Jika median membagi data terurut menjadi 2 bagian yang sama maka kuartil adalah nilai yang mambagi data terurut menjadi 4 bagian yang sama.

Q 1 = kuartil bawah Q 2 = kuartil tengah (median) Q 3 = kuartil atas

Kuartil data tunggal

i .( n + 1 )

Letak Q i = data ke

dengan i = 1,2, 3

4 Contoh . Tentukan semua kuartil pada data : a)

(banyak data ganjil)

(banyak data genap)

Jawab : a) data diurutkan menjadi 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10

Jadi kuartil bawah ( Q 1 ) =6 kuartil tengah ( Q 2 ) =7 kuartil atas ( Q 3 ) =9 Jadi kuartil bawah ( Q 1 ) =6 kuartil tengah ( Q 2 ) =7 kuartil atas ( Q 3 ) =9

Kuartil bawah Q 1 =

Kuartil tengah Q 2 =

Kuartil atas Q 3 =

Kuartil data berkelompok

Untuk menghitung kuartil data berkelompok digunakan rumus :

Q i = Tb + p.

 dengan i = 1,2,3 

Q i = kuartil ke-i Tb = tepi bawah interval Q i P = panjang kelas interval Q i

= banyak data

F = frekuensi kumulatif sebelum kelas Q i

f = frekuensi pada kelas Q i

Contoh. Hitung kuartil bawah dan kuartil atas pada data berikut :

Jawab : Kelas interval kuartil bawah (Q 1 ) terletak pada 26-30

Q 1 = 25,5 + 5. 4 = 25,5 +

9 Kelas interval kuartil atas (Q 3 ) terletak pada 46-50

Q 3 = 45,5 + 5. 

Jangkauan A ntar Kuartil ( Hamparan = H )

Adalah selisih antara kuartil atas dengan kuartil bawah. H=Q 3 –Q 1

Jangkauan Semi Inter Kuartl (Simpangan Kuartil = Q d )

Adalah setengah dari selisih antara kuartil atas dengan kuartil bawah.

1 Q d = .( Q 3 –Q 1 )

3. DESIL

Jika data yang telah diurutkan dibagi menjadi 10 bagian sama, maka akan diperoleh 9 data yang menjadi batas dan disebut desil ke-1 (D 1 ), desil ke-2 (D 2 ),…..,dan seterusnya hingga desil ke-9 (D 9 ).

Untuk data tunggal, jika banyak data n dan D i adalah desil ke-i, maka Untuk data tunggal, jika banyak data n dan D i adalah desil ke-i, maka

Letak D i = data ke

dengan i = 1,2,3,4,…,9

10 Desil data berkelompok dihitung dengan rumus :

10 . n − F 

D i = Tb + p.

 i = 1,2,3,4,…,9

f   

Dengan D i = desil ke-i Tb = tepi bawah interval kelas D i P = panjang kelas interval D i

= banyak data

F = frekuensi kumulatif sebelum kelas D i

f = frekuensi pada kelas D i

4. PERSENTIL Jika sekelompok data dibagi menjadi 100 bagian yang sama, maka diperoleh 99 data yang menjadi batas dan disebut persentil.

Persentil data tunggal maka :

i .( n + 1 ) Letak P i = data ke

100 Persentil data berkelompok dihitung dengan rumus :

100 . n − F 

P i = Tb + p.

 i = 1,2,3,……,99  

Dengan : P i = persentil ke-i Tb = tepi bawah interval kelas P i p = panjang kelas interval P i

f = banyak data

F = frekuensi kumulatif sebelum kelas P i

f = frekuensi pada kelas P i

Jangkauan Persentil (JP)

Dirumuskan dengan : JP = P 90 –P 10

5. SIM PA NGA N RATA -RATA ( SR)

Simpangan rata-rata sekumpulan data adalah rata-rata dari selisih mutlak nilai semua data terhadap rata-ratanya.

§ Data tunggal

SR = ∑

dengan x i = nilai data

n x = mean (rata-rata)

n = banyak data Contoh. Tentukan simpangan rata-rata data : 7,11,10,9,8,6

Jaw ab :

SR =

6 § Data berkelompok

SR =

dengan f i ∑ = frekuensi data kelas ke-i

i = nilai tengah kelas ke-i x

x = mean (rata-rata)

= n = banyak data

Contoh : Tentukan simpangan rata-rata data

∑ f i . x i Mean 1020 x = = = 34

SR =

6. SIM PANGA N BAKU (Deviasi Standar = SD)

§ Data tunggal Simpangan baku (SD) dari data x 1 ,x 2 ,x 3 , …..,x n adalah :

SD = ∑

dengan x i = data ke-I

n x = mean (rata-rata)

n = banyak data Contoh: Tentukan simpangan baku data 5, 3, 7, 6, 4, 3, 10, 2

Jawab :

SD =

§ Data berkelompok

SD = ∑

i .( x i − x )

dengan f i ∑ = frekuensi kelas ke-i

i = nilai tengah kelas ke-i x x = mean(rata-rata)

= n = banyak data

Contoh. Hitung simpangan baku dari data :

(x i - x ) 2 f i. (x i - x ) 2

Mean x = 34 ( sudah dicari di atas) 1270

SD =

7. NILA I STA NDAR (Z-SCORE)

Nilai standar (Z-Score) adalah nilai yang menyatakan perbedaan antara besar suatu

digunakan untuk membandingkan dua hasil pengukuran atau lebih sehingga diketahui keberhasilan dua usaha yang dinyatakan dalam data (angka).

Nilai standar

Untuk menghitung besarnya Nilai Standar (Z-Score) digunakan rumus :

dengan Z = nilai standar

x = nilai data x = mean (rata-rata)

s = simpangan baku (SD) Contoh 1. Pada tes matematika, Budi mendapat nilai 65, rata-rata kelasnya 50 dan simpangan baku 10. Berapa Nilai Standar matematika Budi ?

Jawab : x = 65 , x = 50 , s = 10 x − x 65 − 50

Berarti nilai matematika Anik menyimpang 1,5 di atas nilai rata-rata. Contoh 2.

Nilai matematika 40 siswa rata-ratanya = 68 dan simpangan bakunya 10. Nilai fisika ke 40 siswa rata-ratanya =75 dan simpangan bakunya 15. Surya mendapat nilai matematika 80 dan nilai fisika 85. Dalam mata pelajaran apa Surya mendapatkan kedudukan yang lebih baik dari 40 siswa ? Jawab :

Nilai standar matematika Z m =

Nilai Standar fisika Z f =

Karena Z m > Z f maka kedudukan Surya lebih tinggi dalam matematika

dibandingkan dengan fisika.

8. KOEFISIEN V A RIA SI (KV )

Koefisien variasi adalah nilai yang menyatakan prosentase simpangan baku dari rata-ratanya. Digunakan untuk melihat merata tidaknya suatu nilai data (keseragaman). Makin kecil nilai KV data makin seragam (homogen). Makin besar nilai KV data makin heterogen. Koefisien Variasi dirumuskan dengan :

KV =

x 100 % dengan KV = koefisien variasi

x s = simpangan baku (SD)

x = mean (rata-rata)

Contoh.

Lampu neon merk A rata-rata dapat dipakai selama 3000 jam dengan simpangan baku 500 jam. Lampu neon merk B rata-rata dapat dipakai selama 5000 jam dengan simpangan baku 600 jam. Lampu merk manakah yang lebih merata masa pakainya ? Jawab :

KV lampu merk A =

x 100 % = 16,67 %

KV lampu merk B =

x 100 % = 12 %

Karena KV lampu merk B lebih kecil dari KV lampu merk A, berarti lampu merk B lebih merata masa pakai lampunya.

C, Lembar Kerja Siswa Jawablah soal berikut dengan singkat dan benar !

1. Nilai praktek komputer dari 10 siswa adalah 65, 67, 60, 57, 81, 78, 72, 69, 62,

60. Tentukan jangkauan, simpangan baku, koefisien variasi dan Z-Score untuk nilai praktek siswa 69 !

2. Tersedia data sebagai berikut :

Tentukan : Q 1 ,D 4 dan P 10

3. Tersedia data nilai praktek bengkel 40 siswa :

a. simpangan rata-ratanya

b. simpangan bakunya

4. Dari data berikut tentukan nilai jangkauan semi interkuartil, desil ke-5 dan

jangkauan persentil !

Umur (th)

5, Tentukan Q 1 ,Q 2 ,Q 3 ,D 6 ,P 75 dari data berikut :

6. Tentukan jangkauan, simpangan rata-rata, simpangan baku dan koefisien variasi dari data 5, 10, 10, 20, 27, 25, 24, 41, 37, 51

7. Suatu perusahaan mempunyai dua unit mesin yaitu mesin A dan mesin B. Mesin A rata-rata pakai 25 jam dan simpangan bakunya 1,6. Mesin B rata-rata pakai 20 jam dan simpangan baku 0,9. Mesin manakah yang mempunyai masa pakai lebih baik ?

8. Tentukan simpangan rata-rata, simpangan baku dan koefisien variasi dari data :

Nilai

41-45

46-50

51-55

56-60

61-65

66-70

EVALUASI KOM PETENSI

Kerjakan soal-soal berikut ini dengan memilih salah satu jawaban yang ada berikut cara pengerjaannya !

1. Simpangan quartil dari data : 3, 5, 9, 10, 10, 12, 13, 15, 15 adalah …

D.12 E. 14

2. Nilai ulangan matematika dari 15 siswa adalah : 5, 6, 7, 9, 7, 4, 4, 7, 6, 8, 8, 9, 7, 6, 5. Median dari data tersebut adalah …

3. Dari hasil pengukuran tinggi badan siswa, tinggi rata-rata siswa laki-laki 160 cm , tinggi rata- rata siswa wanita 150 cm. Jika jumlah siswa laki-laki 25 orang dan wanita 15 orang, maka tinggi badan siswa rata-rata gabungan adalah …

A . 156,50 cm

B. 156, 25 cm

C. 156,00 cm

D. 155,00 cm

E. 153,75 cm

4. Simpangan baku dari data : 2, 3, 5, 8, 7 adalah …

A. 5 , 2 B. 5 , 25 C. 6 D. 7 E. 7 , 2

5. Data nilai ulangan matematika pada suatu kelas adalah sebagai berikut :

Nilai

Frekuensi

Modus dari data tersebut adalah …

6. Hasil ulangan dari 50 siswa SMK adalah sebagai berikut :

Nilai

Frekuensi

Persentil 40 (P 40 ) adalah …

7. Perhatikan data di bawah ini ! Nilai

Frekuensi

Maka median data tersebut adalah …

8. Perhatikan data di bawah ini !

Nilai

Frek.

Median dari data tersebut

5 adalah …

6 A. 65,375

6 B. 65,735

8 C. 66,375

6 D.66,735

5 E.67,735

9. Perhatikan tabel di bawah ini ! Nilai

Frekuensi

Maka simpangan rata-rata data di atas adalah …

Tinggi (cm)

Frekuensi

3 Tinggi badan 34 orang siswa suatu kelas

5 tercatat seperti pada tabel berikut.

12 Setelah data diurutkan, tinggi badan yang

7 membagi data disamping menjadi 2 kelompok

5 sama banyak adalah …

2 A . 158.25 cm

B. 157.63 cm

C. 155.74 cm

Jumlah

34 D. 155.68 cm

E. 155.25 cm

12. Hasil pendataan usia dari 12 anak balita (dalam tahun) diketahui sebagai berikut : 4, 3, 4, 4, 2,

1, 1, 2, 1, 3, 3, 4. Kuartil atas(Q3) dari data tersebut adalah …

Perhatikan tabel disamping ! 5 6 Jika nilai rata-rata data disamping sama 6 8 dengan 7, maka A adalah ….

Panjang (cm)

Frek.

Hasil pengukuran panjang potongan besi

2 disajikan pada tabel di samping.

8 Modus dari data tersebut adalah ….

22 A . 116.00 cm

40 B. 116.50 cm

18 C. 117.00 cm

7 D. 117.75 cm

3 E. 118.00 cm

15. Hasil tes pelajaran matematika 15 orang siswa adalah sebagai berikut : 30, 45, 50, 55, 50, 60,

60, 65, 85, 70, 75, 55, 60, 35, 30 . Jangkauan semi interkuatil (Qd) data diatas adalah ….

Jml Sumbangan

Jml. Warga

Daftar sumbangan warga dlm

Rp 2.500

4 peringatan HUT RI seperti tabel di

Rp 5.000

3 samping. Rata-rata sumbangan

2 A. Rp 7.500

D. Rp 9.000

Rp 15.000

7 B. Rp 8.000

E. Rp 9.500

C. Rp 8.500

17. Simpangan baku dari sekelompok data tunggal : 3, 6, 4, 7, 5 adalah ….

A. 1/ 2

B. 1/ 2 √ 2 C. 1/ 2 √ 3 D. √ 2 E. √ 3

18. Tinggi rata-rata dari 15 anak adalah 162 cm, setelah ditambah 5 anak tinggi rata-rata menjadi 166 cm. Tinggi rata-rata 5 anak adalah ….

19. Simpangan baku (SD) dari data : 2, 11, 1, 10, 3, 9 adalah ….

Tinggi badan 40 orang anggota PMR

150 – 154

3 di suatu SMK disajikan pada tabel di

155 – 159

4 samping. Maka rata-rata dari data di

160 – 164

16 samping adalah ….

21. Untuk menentukan rata-rata kekuatan nyala lampu listrik, dicoba menyalakan 30 lampu listrik dan diperoleh data sebagai berikut :

Kekuatan nyala lampu

45 46 47 48 49 50 51 52 53

(hari) Banyaknya lampu

Median dari data di atas adalah ….

A. 47 hari

B. 48 hari

C. 50 hari

D. 51 hari

E. 52 hari

22. Tinggi badan dari 30 siswa ditunjukkan tabel di bawah ini. Rata-rata data tersebut adalah …

Tinggi (cm)

Frek.

150 – 154

2 A . 163,30 cm

155 – 159

5 B. 153,83 cm

160 – 164

8 C. 168,53 cm

165 – 169

10 D. 163,83 cm

170 – 174

5 E. 164,83 cm

23. Standar deviasi dari data : 3,5,5,6,7,8,8 adalah ….

f. Perhatikan tabel di samping!

30 – 34

2 Median dan Modus dari data tabel di samping adalah ….

35 – 39

3 A. 51,5 dan 52

15 C. 52 dan 52,5

50 – 54

25 D. 52,5 dan 54,5

55 – 59

15 E. 49,5 dan 54,5

5 25. Simpangan rata-rata dari data : 6, 3, 2, 5, 7, 8, 6, 7, 9, 7 adalah ….

60 – 64

A. 2,1

B. 2

C. 1,6

D. 1,1

E. 1

2. Mengaplikasikan Konsep Statistik - Statistika