DIMENSI METRIK DARI (Kn × Pm ) K1

  Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 90 – 95

  ISSN : 2303–2910 Jurusan Matematika FMIPA UNAND c DIMENSI METRIK DARI × n m

  1 (K P ) ⊙ K

NOFITRI RAHMI M, ZULAKMAL

  

Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

email : nofitri.rahmi.nr@gmail.com

  Abstrak.

  Misalkan terdapat graf G = (V, E) dan W ⊆ V (G), dimana |W | = K,

dan W = {v , v , · · · , v k }. Representasi metrik dari titik v ∈ V terhadap W adalah

  1

  2

r (v | W ) = (d(v, v ), d(v, v ), · · · , d(v, v k )). Himpunan W dikatakan sebagai resolving

  1

  2 set di G jika untuk setiap pasangan dari titik-titik berbeda u, v ∈ V , r(u | W ) 6=

r (v | W ). Dimensi metrik dari G adalah kardinalitas minimum dari resolving set untuk

  G

dan dinotasikan dim(G). Graf (K n × P m ) adalah graf hasil kali Kartesius antara graf

lengkap (K n ) dengan n titik dan graf lintasan (P m ) dengan m titik. Graf (K n ×P m )⊙K

  1

adalah graf yang diperoleh dari graf (K n × P m ) dengan nm titik dan graf lengkap K

  1

dengan cara menghubungkan titik v ij di (K n ×P m ) ke titik u ij , yang merupakan salinan

ke-ij dari graf K , untuk 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ m. Pada paper ini dikaji kembali

  1

makalah [4] yang membahas tentang penentuan dim((K n × P m ) ⊙ K untuk n ≥ 3 dan

  1 m ≥ 2.

  Kata Kunci

: Dimensi metrik, resolving set, hasil kali kartesius, graf korona

1. Pendahuluan

  Misalkan G = (V, E) adalah graf sederhana dan u, v ∈ V adalah dua titik berbeda dari graf G, jarak d(u, v) antara dua titik u dan v adalah panjang dari lintasan

  1

  2 terpendek antara u dan v. Himpunan titik-titik W = {v , v , · · · , v k } dari graf G.

  Representasi metrik dari titik v ∈ V terhadap W adalah

  1

  2 r(v | W ) = (d(v, v ), d(v, v ), · · · , d(v, v k )).

  Himpunan W dikatakan sebagai himpunan pembeda (resolving set) di G jika untuk setiap pasangan dari titik-titik berbeda u, v ∈ V , r(u | W ) 6= r(v | W ). Himpunan pembeda (resolving set ) dengan kardinalitas minimum untuk graf G disebut deng- an himpunan pembeda (resolving set) minimum atau basis dari G. Dimensi metrik dari G adalah kardinalitas minimum dari himpunan pembeda (resolving set) untuk G dan dinotasikan dim(G). Kardinalitas merupakan banyaknya anggota dari suatu himpunan.

  1

  2 Misalkan terdapat graf G dengan himpunan titik V (G) = {v , v , · · · , v n } dan

  1

  2 graf H dengan himpunan titik V (H) = {u , u , · · · , u m }. Hasil kali Kartesius (Cartesian Product) dari graf G dan H adalah G × H, yang dibentuk oleh titik-titik V = {w ij | w ij = (v i , u j ) : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} dan dua titik (v i , u j ) dan (v k , u l ) bertetangga di G × H jika dan hanya jika (v i = v k dan u j bertetangga u l ) atau (v i

  Dimensi Metrik Dari (K n × P m ) ⊙ K

  91

  1 Salinan adalah graf dengan himpunan titik dan himpunan sisi yang sama dari

  graf G. Misal terdapat graf G dengan n titik. Graf G korona H, dinotasikan G ⊙ H didefinisikan sebagai graf yang diperoleh dengan mengambil satu salinan graf G dan n salinan H 1 , H 2 , · · · , H dari graf H, kemudian menghubungkan titik ke-i dari G n ke setiap titik di H i , untuk 1 ≤ i ≤ n. _{n × m}

  P

2. Dimensi Metrik Dari (K ) ⊙ K

  1

  1

  2 Misalkan terdapat graf K n dengan himpunan titik V (K n ) = {v , v , · · · , v n } dan

  1

  2

  1 graf P m dengan himpunan titik V (P m ) = {u , u , · · · , u m } dan graf K dengan

  1

1 V (K ) = {x }. Graf (K n × P m ) adalah graf hasil kali Kartesius antara graf K n dan

  1 graf P m . Graf (K n × P m ) ⊙ K adalah graf yang diperoleh dari graf (K n × P m )

  1 dengan nm titik dan graf lengkap K dengan cara menghubungkan titik v ij di

  1 (P n × P m ) ke titik u ij , yang merupakan salinan ke-ij dari graf K , untuk 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ m.

  n m

Gambar 1. Graf (K × P ) ⊙ K

  1 Teorema 2.1. [4] Jika m ≥ 2, maka

  n − 1, untuk n ≥ 4;

  1 dim((K n × P m ) ⊙ K ) = 3, untuk n = 3.

  Bukti. Misalkan V (K n ) = {v 1 , v 2 , · · · , v n } adalah himpunan titik dari graf K n dan V (P m ) = {u 1 , u 2 , · · · , u m } adalah himpunan titik dari graf P m . Definisikan

  1 V (K n × P m ) = {v ij | v ij = (v i , u j )} dan titik pendant dari v ij pada (K n × P m ) ⊙ K

  1 dinotasikan sebagai u ij . Karena (K n × P m ) ⊙ K bukan lintasan, maka dim((K n ×

1 P m ) ⊙ K ) ≥ 2.

  1 Akan ditunjukkan dim((K n × P m ) ⊙ K ) ≥ 3, yaitu dengan menunjukkan bahwa jika himpunan pembeda terdiri dari dua anggota, akan diperoleh dua titik pada graf tersebut dengan representasi yang sama.

  ′

  1 Pilih S = {a, b} adalah himpunan pembeda untuk (K n ×P m )⊙K . Jika terdapat dua lintasan berbeda dengan panjang d(a, b) antara a dan b, maka terdapat dua

  1 titik-titik berbeda c, e dari (K n × P m ) ⊙ K sedemikian sehingga d(c, a) = d(e, a)

  ′ ′ dan d(c, b) = d(e, b). Maka r(c | S ) = r(e | S ), kontradiksi.

  Misalkan hanya ada satu lintasan Q, dengan panjang d(a, b), antara a dan

  b, maka terdapat titik v berderajat 4 yang berada dalam lintasan Q. Sehingga,

  Nofitri Rahmi M, Zulakmal

  92

  ′ ′ d(c, a) = 1 + d(e, a) dan d(c, b) = 1 + d(v, b) = d(e, b). Maka r(c | S ) = r(e | S ),

  3

  1 kontradiksi. Karena itu, dim((K × P m ) ⊙ K ) ≥ 3.

  3

  1 Kemudian, akan ditunjukkan bahwa dim((K × P m ) ⊙ K ) ≤ 3. Pilih S =

  11

  21

  3

  3

  1 {v , v , v m } sebagai himpunan pembeda untuk (K ×P m )⊙K . Maka representasi

  3

  1 dari titik-titik (K × P m ) ⊙ K terhadap S adalah sebagai berikut:

  11

  21

  3 r(v ij | S) = (d(v ij , v ), d(v ij , v ), d(v ij , v m )),

  = (j + i − 2, j + i − 3, m + i − j − 3),

  11

  21

  3 r(u ij | S) = (d(u ij , v ), d(u ij , v ), d(u ij , v m )),

  = (j + i − 1, j + i − 2, m + i − j − 2),

  11

  21

  3 r(v kl | S) = (d(v kl , v ), d(v kl , v ), d(v kl , v m )),

  = (l + k − 2, l + k − 3, m + k − l − 3),

  11

  21

  3 r(u kl | S) = (d(u kl , v ), d(u kl , v ), d(u kl , v m )) = (l + k − 1, l + k − 2, k + m − l − 2).

  3

  1 Akan ditunjukkan bahwa representasi setiap titik di (K × P m ) ⊙ K terhadap

  3

  1 S berbeda. Representasi setiap titik di (K × P m ) ⊙ K dijabarkan sebagai berikut: r(v 11 | S) = (d(v 11 , v 11 ), d(v 11 , v 21 ), d(v 11 , v 3 m )) = (0, 1, m),

  12

  12

  11

  12

  21

  12

  3 r(v | S) = (d(v , v ), d(v , v ), d(v , v m )) = (1, 2, m − 1), ..

  .

  1

  1

  11

  1

  21

  1

  3 r(v m | S) = (d(v m , v ), d(v m , v ), d(v m , v m )) = (m − 1, m, 1), ..

  .

  3

  3

  11

  3

  21

  3

  3 r(v m | S) = (d(v m , v ), d(v m , v ), d(v m , v m )) = (m, m, 0),

  11

  11

  11

  11

  21

  11

  3 r(u | S) = (d(u , v ), d(u , v ), d(u , v m )) = (1, 2, m + 1),

  12

  12

  11

  12

  21

  12

  3 r(u | S) = (d(u , v ), d(u , v ), d(u , v m )) = (2, 1, m), ..

  . r(u 1 m | S) = (d(u 1 m , v 11 ), d(u 1 m , v 21 ), d(u 1 m , v 3 m )) = (m, m + 1, 2), ..

  .

  3

  3

  11

  3

  21

  3

  3 r(u m | S) = (d(u m , v ), d(u m , v ), d(u m , v m )) = (m + 1, m + 1, 1).

  3

  1 Andaikan terdapat dua titik berbeda x, y dari (K × P m ) ⊙ K sedemikian sehingga r(x | S) 6= r(y | S). Pandang kasus berikut.

  Kasus 1: x = v ij dan y = v kl . Jika j = l dan i 6= k sehingga untuk v i1 ∈ S diperoleh d(x, v i1 ) = j − 1 < j =

  3

  3 d(y, v i1 ). Jika j = l dan i = k = 3 diperoleh d(x, v m ) = m − j = m − l = d(y, v m ).

  Jika j < l dan i 6= k sehingga untuk v i1 ∈ S diperoleh d(x, v i1 ) = j − 1 < l − 1 ≤

  3

  3 d(y, v i1 ). Jika j < l dan i = k = 3 diperoleh d(x, v m ) = m − j > m − l = d(y, v m ).

  Untuk j > l, pembuktian dilakukan dengan cara yang sama seperti kasus j < l. Kasus 2: x = u ij dan y = u kl .

  Dimensi Metrik Dari (K n × P m ) ⊙ K

  93

  1 Kasus 3: x = v ij dan y = u kl .

  Jika j = l dan i 6= k sehingga untuk v i1 ∈ S diperoleh d(x, v i1 ) = j − 1 < j ≤ d(y, v ). Jika j = l dan i = k = 3 diperoleh d(x, v 3 ) = m − j < m − j + 1 = i1 m d(y, v 3 ). m Untuk kasus j 6= l pandang subkasus berikut.

  Subkasus 3.1 Jika j 6= l ,i = k dan j = l + 1. Diperoleh d(x, v 3 m ) = m − j + 1 = m − l < m − l + 2 = d(y, v 3 m ). Jika j 6= l , i = k dan j 6= l + 1 diperoleh d(x, v i1 ) = j − 1 6= l + 1 = d(y, v i1 ).

  Subkasus 3.2 Jika j 6= l, i = k dan j = l − 1. Diperoleh d(x, v r1 ) = j = l − 1 < l + 1 = d(y, v r1 ). Jika j 6= l, i = k dan j 6= l − 1

  3

  3 diperoleh d(x, v m ) = m − j 6= m − l + 1 = d(y, v m ). Jika j 6= l dan i 6= 3, diperoleh d(x, v r1 ) = j > j − 1 ≥ d(y, v r1 ).

  3

  1 Dengan demikian, untuk setiap titik-titik berbeda x, y dari (K × P m ) ⊙ K ,

  3

  1 r(x | S) 6= r(y | S). Oleh karena itu, dim((K × P m ) ⊙ K ) ≤ 3. Sehingga diperoleh

  3

  1 dim((K × P m ) ⊙ K ) = 3.

  1 Selanjutnya, untuk n ≥ 4 akan ditunjukkan bahwa dim((K n ×P m )⊙K ) = n−1.

  1

  31

41 Pilih S = {v m , v , v , · · · , v n1 } sebagai himpunan pembeda untuk (K n × P m ) ⊙

  1

  1 K . Maka representasi dari titik-titik di (K n ×P m )⊙K terhadap S sebagai berikut:

  1

  21

  41 r(v ij | S) = (d(v ij , v m ), d(v ij , v ), d(v ij , v ), · · · , d(v ij , v n1 )),

  = (m + i − j − 1, i + j − 4, i + j − 5, · · · , i + j − n − 1),

  1

  21

  41 r(u ij | S) = (d(u ij , v m ), d(u ij , v ), d(u ij , v ), · · · , d(u ij , v n1 )),

  = (m + i − j, i + j − 3, i + j − 4, · · · , j + i − 1),

  1

  21

  41 r(v kl | S) = (d(v kl , v m ), d(v kl , v ), d(v kl , v ), · · · , d(v kl , v n1 )),

  = (k + l − m − 1, l + k − 4, l + k − 5, · · · , k + l − n − 1),

  1

  21

  41 r(u kl | S) = (d(u kl , v m ), d(u kl , v ), d(u kl , v ), · · · , d(u kl , v n1 )), = (m + k − l, k + l − 3, k + l − 4, · · · , j + i − 1).

  1 Akan ditunjukkan bahwa representasi setiap titik di (K n × P m ) ⊙ K adalah sebagai berikut:

  11

  11

  1

  11

  31

  11

  41

  11 r(v | S) = (d(v , v m ), d(v , v ), d(v , v ), · · · , d(v , v n1 ) = (m − 1, 1, 1, · · · , 1), r(v

  12 | S) = (d(v 12 , v 1 ), d(v 12 , v 31 ), d(v 12 , v 41 ), · · · , d(v 1 ), v ) = (m − 2, 2, 2, · · · , 2), m n1 .. .

  1

  1

  1

  1

  31

  1

  41

  1 r(v m | S) = (d(v m , v m ), d(v m , v ), d(v m , v ), · · · , d(v m , v n1 ) = (0, m, m, · · · , m), ..

  . r(v nm | S) = (d(v nm , v 1 m ), d(v nm , v 31 ), d(v nm , v 41 ), · · · , d(v nm , v n1 ) = (1, n + m − 4, n + m − 5, · · · , m − 1).

  11

  11

  1

  11

  31

  11

  41

  11 r(u | S) = (d(u , v m ), d(u , v ), d(u , v ), · · · , d(u , v n1 ) = (m, 2, 2, · · · 2),

  12

  12

  1

  12

  31

  12

  41

  12 r(u | S) = (d(u , v m ), d(u , v ), d(u , v ), · · · , d(u , v n1 ) = (m − 1, 3, 3, · · · 3), ..

  Nofitri Rahmi M, Zulakmal

  94

  1

  1

  1

  1

  31

  1

  41

  1 r(u m | S) = (d(u m , v m ), d(u m , v ), d(u m , v ), · · · , d(u m , v n1 ) = (1, m + 1, m + 1,

  · · · , n + 1), .. . r(u | S) = (d(u , v 1 ), d(u , v 31 ), d(u , v 41 ), · · · , d(u , v ) = (2, m + n − 3, nm nm m nm nm nm n1 · · · , m + n − 4).

  1 Andaikan terdapat dua titik berbeda x, y dari (K n × P m ) ⊙ K sedemikian sehingga r(x | S) 6= r(y | S). Pandang kasus berikut.

  Kasus 1. x = v ij dan y = v kl .

  1 Jika j = l, maka i 6= k. Anggap i = 1 dan k = 2. Sehingga untuk v m ∈ S,

  1

  1 diperoleh d(x, v m ) = m − j < m − j + 1 = d(y, v m ). Jika i / ∈ {1, 2} atau k 6∈ {1, 2} diperoleh d(x, v i1 ) = j − 1 < j = l = d(y, v i1 ). Jika j 6= l, pilih j < l, maka terdapat v t1 ∈ S, t ∈ 3, · · · , n, t 6= k, akibatnya d(x, v t1 ) = d(x, v i1 ) + d(v i1 , v t1 ),

  ≤ j − 1 + d(v k1 , v t1 ), < l − 1 + d(v k1 , v t1 ), = d(y, v k1 ) + d(v k1 , v t1 ), = d(y, v t1 ).

  Kasus 2: x = u ij dan y = u kl . Karena d(u ij , v) = d(v ij , v) + 1 untuk setiap v ∈ S, pembuktian dilakukan dengan cara analog seperti kasus diatas dan diperoleh r(u ij | S) 6= r(u kl | S).

  Kasus 3: x = v ij dan y = u kl . Jika j ≤ l, maka untuk setiap v t1 ∈ S diperoleh d(x, v ) = d(x, v ) + d(v , v ), t1 i1 i1 t1

  = j − 1 + d(v , v ), i1 t1

  < l − 1 + d(v i1 , v t1 ),

  6 l + d(v k1 , v t1 ), = d(y, v k1 ) + d(v k1 , v t1 ), = d(y, v t1 ).

  Jika j > l, maka

  1

  1 d(x, v m ) = d(x, v im ) + d(v im , v m ),

  1 = m − j + d(v im , v m ),

  1 < m − l + d(v im , v m ),

  6

  1 m − l + 1 + d(v km , v m ),

  1 = d(y, v km ) + d(v km , v m ),

  1 = d(y, v m ).

  Dengan demikian, untuk setiap titik-titik berbeda x, y dari (K n × P m ) ⊙ K 1 , r(x |

  1 S) 6= r(y | S). Oleh karena itu, dim((K n × P m ) ⊙ K ) = n − 1.

  Dimensi Metrik Dari (K n × P m ) ⊙ K

  95

  1

  3. Kesimpulan Pada tulisan ini telah dikaji kembali makalah [4] mengenai dimensi metrik dari graf (K × P ) ⊙ K 1 untuk n ≥ 3 dan m ≥ 2, dimana diperoleh bahwa jika m ≥ 2, n m maka; n − 1, untuk n ≥ 4;

  1 dim((K n × P m ) ⊙ K = 3, untuk n = 3.

  4. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr. Lyra Yulianti, Bapak Dr. Mah- dhivan Syafwan, Bapak Narwen, M.Si, Bapak Syafruddin, M.Si yang telah mem- berikan masukan dan saran sehingga makalah ini dapat diselesaikan dengan baik.

  Daftar Pustaka [1] Bondy, J.A dan Murty, U.S.R. 2008. Graph Theory. New York. Springer. [2] Caceres, J., Hernando, C., Mora, M., Pelayo, I.M., Puertas, M.L., dan Seara,

C. 2005. On the metric dimension of some families of graphs. SIAM Journal of

  Discrete Mathematics. 22: 129 – 133

  [3] Chartrand, G., Eroh, L., Jhonson, M., dan Oellerman, O.R. 2000. Resolvability in graph and the metric dimension of a graph. Discrete Applied Mathematics 105: 99 – 107

  [4] D. Kuziak, J.A. Rodriguez-Velazquez dan I.G. Yero. Correction to the arti- cle ”The metric dimension of graph with pendant edges”. [Journal of Com- binatorial Mathematics and Combinatorial Computing, 65 (2008) 139 – 145].

  arXiv:1010.1784v1 [math.CO] 8 Oktober 2010.

  [5] H. Iswadi, E.T. Baskoro, R. Simanjuntak, A.N.M. Salman. 2008. The metric dimension of graph with pendant edges. Journal of Combinatorial Mathematics

  and Combinatorial Computing 65 : 139 – 145.

  [6] F. Harary, R.A. Melter. 1976. On the metric dimension of a graph. Ars Combi-

  natoria 2 : 191 – 195

  [7] M. Bahri, Nurdin, M.Zakir, G. Mahie dan Darmo. 2013. The metric dimension

  2

  2 of cross product of path graphs P m × P × P , m ≥ 2. Manasir 1 : 15 – 18