TRIGONOMETRI (JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT)
TRIGONOMETRI (JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT)
PENDAHULUAN
Sudut-sudut Istimewa : x
30
45
60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330
sin
x
cos
x x
tg
1. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT
1.1 Rumus cos ( )
Y Jika jari-jari lingkaran = 1, maka :
B OA = OB = 1
x , y
A Koordinat A( cos ,sin ) = A ( 1 1 )
x , y
Koordinat B( cos ,sin ) = B ( 2 2 ) AOB .......
O X Pada segitiga ABO berlaku : Dengan menggunakan rumus jarak : 2 2 2 AB ( x x ) ( y y )
2 1 2 1 2 2 (........... ...............)
= (........... ..........) = ......
= ..... = ..... 2 AB
2 2 (................................ .................................) ......(1)
Dengan menggunakan Aturan Cosinus : 2 2 2 AB OA OB
2 OA OB . cos AOB = ........
= .......... ........(2) Dari (1) dan (2) disimpulkan : cos( ) ..........
cos( ) cos( ( ))
) ) cos Karena sin ( , maka : sin dan cos( cos( ) ..........
Contoh 1: Tentukan nilai cos 15 !
Karena
tg
sin cos
, maka:
tg( )
sin( ) cos( )
= ...... Jika pembilang dan penyebut dibagi
1.3 Rumus tg(
cos cos
, maka : = ...... tg(
) .........
tg tg ( ) ( ( ))
= .....
Karena tg
( tg )
)
Contoh 2: Tentukan sin 165 Jawab : sin 165 = …………..
Jawab : cos 15 = ……………
sin( ) cos( ( ))
1.2 Rumus sin(
)
Karena cos( ) sin
90
dan sin( ) cos
90
, maka :
90
=
cos( ) )
90
= ..... sin( ) ............
sin( ) sin( ( ))
= .....
= ..... sin( ) ............
, maka :
) .........
tg(
8
5 cos sin )
Contoh 3: Jika dan , maka tentukan cos(
10
13
8 cos
Jawab : = .... maka y = ......
10 ........
sin = .....
5 sin ..... maka x = .....
13 cos ..... = ......
) ........
Jadi cos(
LATIHAN SOAL
1. Tentukan nilai dari : o o o
a. sin 75 o o o
b. sin 105
c. cos 165
d. cos 195
e. tg 225
f. tg 15
2. Sederhanakan ! o o o o
a. sin 137 cos 17 cos 137 sin
17 o o o o
b. cos 222 cos 42 sin 222 sin
42 o o
tg 79 tg
19
c. o o
1 tg 79 tg
19
3
12 sin
3. Jika cos dan , dan lancip, maka tentukan :
5
13
) ) )
a. sin(
b. cos( o
c. tg(
( x )
2
1
4. Jika sin x = sin 45 , buktikan tg x =
p
1 o o
tg p4
5. Jika = , maka buktikan tg 139
p
1
6. Buktikan : o o
cos( 270 a ) sin a
a. o o
sin( 180 a ) sin a
b. o o
c. tg ( 360 a ) tg a
3 cos cos
7. Jika dan maka tentukan cos !
6
4 tan 75 2
3
8. Tunjukkan bahwa ! cos x sin x tan x
45
9. Buktikan bahwa !
cos x sin x
10. Jika tan (x + y) = 1 dan tan y = 1, maka tentukan tan x !
2. RUMUS SUDUT RANGKAP sin sin( ) 2
= ……..
sin ............
2
cos cos( ) 2
= ...... = ....... .....(*) 2 2 Karena cos 1 sin maka (*) menjadi :
cos ........ 2 = ........ 2 2 Karena sin 1 cos , maka (*) menjadi :
cos ........ 2 = ........
sin ...........................
........
2 Jadi cos cos ..........................
= ......... = ........... tg ...........................
tg 2 tg ( )
= ......... tg 2 .............
sin 22 5 ,
Contoh 1: Tentukan nilai dari sin ................................ Jawab : sin 22 5 , = ...............
3 tg2
sin
Contoh 2: Jika , maka tentukan
5
3 sin
Jawab : = ..... maka x = ........
5 tg ........ ...........
tg 2 ........
LATIHAN SOAL
1. Tentukan nilai dari :
o o o o
1
1 cos 22 5 , sin 67 5 , sin112 cos157
a.
b.
c.
d.
2
2 x
2. Jika sin x = 5/13 dan , maka tentukan :
2
a. sin 2x
b. cos 2x
c. tg 2x
3. Tunjukkan : 3
a. sin 3 a 4 sin a 3 sin a 3
b. cos 3 a 4 cos a 3 cos a
4. Buktikan :
sin 2 sin
2
tg ( ) a. cos 2 cos 2 sin 2 a tg
b. a
1 cos 2 a
5. Jika tg a = 1/2 dan tg b = 2/5, maka tentukan :
a. tg 2a
b. tg (2a+2b) 2
6. Jika sudut lancip yang memenuhi 2 cos
1 2 sin 2 , maka tentukan tan !
1 sin 2 x cos 2 x tan x
7. Buktikan bahwa
1 sin 2 x cos 2 x
2 n sin 2 x
8. Jika tan x = , maka buktikan 2 1 n 2 ab sin
2 A
9. Pada segitiga ABC yang siku-siku di C, buktikan bahwa 2
c
3. RUMUS PERKALIAN SINUS DAN KOSINUS sin( ) ........
sin( ) .........
- /-
(+) ............. = ..........
2 sin cos .........
(-) .............. = ............
2 cos sin .........
cos( ) .........
.. cos( ) ...........
- /- (+) ............ = ..............
2 cos cos .............
(-) ............... = ................
2 sin sin ............
Contoh 1: Hitung 4 sin 15 cos
45 sin 15 cos 45 = 4........................... Jawab : 4 = 2.2........................
= 2[..................................................................] = 2[.......................................] = .......
Contoh 2: Nyatakan sebagai bentuk penjumlahan atau pengurangan dari 2 cos( x 45 ) sin( x 45 )
Jawab : 2 cos( x 45 ) sin( x 45 ) = .........
LATIHAN SOAL
1. Tentukan nilai dari : o o o o o o
1
1 c. 4 sin 52 cos
7
a. cos 15 sin
75
b. cos 45 cos
15
2
2 o o o o
1 o o sin 15 sin
45
e. 4 cos 217 5 , cos , 7 5 f.
d. 6 cos 105 sin
15
2
2. Nyatakan sebagai bentuk penjumlahan dan pengurangan sinus dan kosinus, lalu sederhanakan dari :
cos( x ) cos( x )
a.
1
1
1
1 4 sin( x y ) sin( x y ) b.
2
2
2
2
1 sin( x 2 ) cos( x 2 )
c.
2
3. Buktikan :
2 cos( x ) cos( x ) cos 2 x
a. o o
4
4
sin 52 5 , cos , 7 5 b. o o 2
3 cos 75 cos
15
c. 2 sin 4a sin 3a + 2 cos 5a cos 2a - cos 3a = cos a
8 sin 20 . sin 40 . sin
80
3
4. Tunjukkan bahwa
5. Hitunglah
8 sin 70 sin 50 sin
10
6. Buktikan bahwa :
3 3 a . 2 sin x cos x 2 sin x cos x sin 2 x 2 b . 1 cos 5 x cos 3 x sin 5 x sin 3 x 2 sin x
4. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SINUS DAN KOSINUS 2 sin cos a .......... b ...
2 cos sin a ........... b ...
2 cos cos a ............ b ... .....(*) 2 sin sin a b ............. .
a b
Jika a b dan , maka :
a b
a b
a b a b
- ............. ..............
Maka persamaan (*) menjadi : sin sin .........
sin sin ........
cos cos ..........
cos cos ..........
Contoh 1: Tentukan cos 75 cos
15 75 cos 15 =...... Jawab : cos Contoh 2: Nyatakan dalam bentuk perkalian dari sin 3x + sin x Jawab : sin 3x + sin x = ....
LATIHAN SOAL
1. Tentukan nilai dari : o o o o o o 105 cos 15 75 sin 15 315 sin
15
a. cos o o o o
b. sin
c. sin
d. cos 285 cos
75
e. sin 54 sin
18
2. Nyatakan sebagai bentuk perkalian !
3
3 sin( p ) sin( p ) a.
b. cos (x + 2h) - cos x
2
2
3. Buktikan ! o o 1 sin 2 sin 2
sin 105 sin
15 6 tg ( )
a.
e.
cos 2 cos
2 o o 2 sin a sin 2 a sin 3 a cos
75 cos
15 1 tg a
2
b. o o f.
cos a cos 2 a cos 3 a sin 75 sin
15
3 o o o o o 2 sin 67 5 , 2 sin 22 5 , 4 2 2
10 cos 110 cos 130
c. cos g.
sin 5 a sin 3 a tga
d. cos 5 a cos 3 a
sin ( x y ) tan x tan y
4. Buktikan
cos x cos y
4 tan x
5. Diketahui . Tentukan nilai cos 3x + cos x !
3