APLIKASI MODEL LINIER DENGAN RANK TAK PENUH.
rssN t978-3841
|rrrnal
Sains
Indonesia
Media Komanikasi
Hasil Penelitian sains dan Matematikn
Pembina
Prof. f)rs. Syarval Gultom, M.Pd' (RaAtar U ninedl
Drs. Chairul Azmi, M.Pd. (Pemhantu Rektor ttl
Drs. Biner Mabarita, MPd- (Penbantu Rektor IIl)
Prof. Drs. N{anihar Sirumr:rang, lv{.Sc', Ph.D. (Dekun li\f/P.'1)
Dewan PenYunting
Prof. I)rs. Manihar Situmorang, N{.Sc., Ph.D. (ktua)
Drs. Pasar N{autm Siiitonga, M.S. (Vakil
l)ra. Nfartina Rcstuati, M'Si. (LVuktl
Drs. Asrin Lubis, NLPd. Q4nggota)
Prof. Dr. Pargaulan Siagran. M'Pd. ('ln.ggord)
Dr. Ridwan Abdul Sani,lvI'Si' ('lngota)
Prof. Dr. Suharta, M'Si. (4ngata)
Dr. rer. nat. Binari Manurung, M.Si- (Anggota)
Penyunting Ahli
Prof. Dr. F{erbert Sipahutar, M.S., N{.Sc.
Dr. Zainuddin 1v1., M.Si.
Dr. r\.K. Prodiosantoso
l)r. Ali Imron
Tata Usaha
Drc. Zulkrfli
Dra. Sion Asmarida Purba
Tua P. Tambunan
bernana Majalah Pendidifun Sdenrc) diterbitkan xjak tahun 1976, den.gat lK llenrei
tanggal 9 Dxenbcr 1976, No. 276/SK/ Di(i€n PPC /-177'/ t976. larnal ini rliterbitkau nntuk dapat digaaakan rcbagai nedia kananifui bugi dovn, pencliti, nahaiwa ttt ud .;tftt/.! hi,lang.taint
rlan nalematika. Penge/ota mcncima arlikel hatil pent/itian, catataa penehian danf ataa telaab /txsldLa dalan bidanq ilnu
Sains Indonesia (dafula
Jutnal
-Prorro4go,
fupahlik Indat:tia S7-| Penefiit Khuwt
.1,an4
rclewn. Petanjak penuliun natkah daltat dilihat pada k*kt belakang bagiun dalan dari iurnal ini. 'r:askult diAiinkun
diwating. \atkah,yang tidak nenenahi penyaralan akan dikenba/ikan keladd ftna
ke a/amat rcdakri antnk dieaahrasi dan
li,
Diterbitkan oleh:
Fakultas lr{atematika dan Ilrnu Pengetahuan .,\lam
Universitas Negeri N{edan
Alamat Redaksi:
Jurnal Sains lndonesia
Jl. Willem Iskandar Pasar V, Medan 20221
Telp. 061-6625970
i
i1
Dari Pengelola
Volume 33 Nomor 1 jurnal Sains Indonesia ini hadir di hadapan rekan sejawat dengan jumlah
halaman yang semakin banyak. Nomor ini terbit dengan dominasi artikel hasil peneiitian dari
bidang kimia dan hanya sebagian kecil dari bidang biologi dan matematika. Masing-masing artikel
sangat menarik untuk ditelaah dan dirujuk dalam upaya pengembangan sains dan matematika.
Pengelola menanti artikel-artikel orisinal yang bermutu dari kita semuanya. Namun demikian,
sebelum menulis artikel, sangat diharapkan para penulis mempelajari terlebih dahulu, dan
selanjutnya mengikuti, petunjuk penulisan artikel yang tertera pada sampul belakang bagian ciaianr
dari jurnal ini. Pengelola juga mengharapkan agar gambar, foto, atau diagram yang akan dimuat
dalam artikel dibuat dalam lembaran terpisah dan sudah dalam bentuk cameraready. Kepafith;,n
penulis mengikuti tata cara penulisan yang telah ditetapkan dalam halaman dalam kulit belakang
jurnal ini akan sangat membantu pengelola untuk dapat menerbitkan secara teratur sesuai dengan
jadwal. Untuk nomor berikutnya, artikel yang tidak memenuhi petunjuk penulisan tersebut tidak
akan dimuat tetapi akan dikembalikan kepada penulis untuk diperbaiki.
Selamat berkarya.
Medan,
Pengelola
Juni 2009
Volume 33 | Nomor I lJanuari-Juniz00t
Jurnal
Sains
Indonesia
Medi"a lbnustikosi Hasil Penelitian Sains dnn Matematika
Daftar Isi
Manihar Situmorang,
Boxsa loserizal Singa,
In d ah F r i ani Situmor an g,
7-7
Rancang Bangun Strip Biosensor untuk
Penenhran Asam Urat dalam Daging dan Ikan
Kaleng
dan Fernando M.T.
Marpaung
Anna Juniar
Pengembangan Teknik Pemisahan dan Pemurnian Ion Logam Melalui Modifikasi Pelarut
Herlinaznati
Kajian Pendahuluan Teknik Tandem Kromato- 73-1,7
grafi Pasangan Ion Fasa Terbalik-HG-FAAS
untuk Spesiasi Senyawa Organotin
lasmidi
Penggunaan Berulang Biomassa Saccharomyces
cereui siae Terimobi lisasi Sebagai Penyerap Ion
78-27
B-72
Timbal(II)
Marudut Sinaga,
lamalum Purba, dan
Manihar Situmorang
Pembuatan Elektroda Ion Selektif (ISE-Pb)
tuk Penentuan Timbal dalam Limbah Cair
un-
22-29
Ida Duma Riris dan
Pengaruh Konsentrasi Gula dan Lama Fermentasi terhadap Kadar Tanin pada N4inuman Teh
Kombucha
30-35
Martina Nadapdap
luly FitrianaNst dan Ayi Optimasi Pemucatan Crude Ghlcerol
Hasil
36-
40
Darmana
Samping Pembuatan Biodiesel dengan Tanah
Pemucat (Bl eachi n g Earth)
Nurmalis dan Asep
Wahyu Nugraha
Sintesis dan Karakterisasi Senyawa Kompleks
antara Logam Perak dengan Ligan NH3, C1-,
en, difos, glim, ncac, py,bpy,dandien Melalui
Pendekatan Komputasi Kimia dan Eksperimen
47-46
Ratna Sari Derni
Reaksi Aminasi Sorbitol dengan Gas NH3
Bertekanan Menggunakan Katalis Nikel
47
-50
51
- 56
M. Sitorus, S.Ibrahim, H. Optimasi Dehidrator pada Pembuatan Minyak
:'
Nw'din, dan D. Darwis
Jarak Terdehidrasi (Dehydrated Castor Oil
DCO)
Zul Amry
Aplikasi Model Linier dengan Rank Tak Penuh 57
-60
Psnal M. Siahqan
P-e1g3rgh Pemberian Sari Buah Mengkudu
(Morinda citrifolia) terhadap Gambaran
Khqiriza Lubis
Leukosit pada Mencit (Mis musculus) Jantan
Pengaruh Jenis dan Lama Penjemuran
terhadap Kadar Vitamin C Sale Pisang
67-66
67
-70
Jurnal Sains lndonesia
Volume 33(l):57 - 60.
Aplikasi Model Linier dengan Rank Tak Penuh
Zul Amry
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Medan
Jl. Willem Iskandar Pasar V, Medan 20221
Diterima 20 Januari 2009, disetujui untuk publikasi
d
I
15
Mei 2009
Abstract Linear model in the form of Y=fX+e is called linear model not of fuII rank
when inaerse of matrices [XTX] does not exist, sa that parameter of p can be estimated by
where G is genualized inaerse matrices of IXTXI and this model to represent of statistics
models haae hem extensiuely used many felds. This paper explains an arwlysis of linear
model not of full rank which aVplied for problem of plant yoducL The analysis ltegin zuith
tlrc estimation of tozuard parameter of rnodel zohich is assumed, aftenuard to be continued
test of model up to and including fix on canfidence interaal for conclude. [AppLrCATIoN
oF Ln{EAR IVfoDEL oF NoN FULL RANKI (1. Sains Indon" 33(1): 57 - 60,2008)
Kata kunci:
Estimabte function,
generatized inverse
ntati!!',ir":
iiineti nrlir.i.
Pendahuluan
Seringkali, variabel random hasil observasi
pada suatu eksprimen mempunyai hubungan
dengan satu atau lebih variabel random yang lain,
sehingga nilai satu variabel dapat diramal
hasilnva berdasarkan nilai-ni1ai pada variabel
yang lain. Salah safu metode statistik yang paling
umum untuk menganalisis hubr,mgan semacam
ini adalah model linier. Bentuk umum dari model
= XF * e dimana :
linier adalah Y
X=
B=
l,l
I
dane=
ks Ina ers T ergen er ali sir
Defnisi f. i\4akiks invers tergeneralnir \iirr
suatu matriks A didefinisikan sebagai matrjL: L,
I
lB
LB-
bahwa matriks XTX merupakan matriks ,1r::ng;ui
rank tak penuh. Sehubungan dengan itrr. ,1, I ,r.,
tulisan ini akan dipaparkan suatu infer"-"r:,i : , '
tika dalam model linier dengan ranr.
yang difokuskan pada masalah produkr; .,, ., ,.
M&ti
[;:]
[8,
data dilapangan tidak dapat menjamin l)Ct-Xl-l
selalu ada, dalam kasus seperti ini dikatal..an
an yang mencakup asumsi model. esiii.
meter model, pengujian model sarhpat lri.r ,.
interval konfidensi unfuk keperluan inJr r.1i:rl
Iv, I
Y=
mempakan matriks dengan rank penuh atau
t
[XTX1 ada. Tetapi, pada kenyataannya bahrvl
syarat:
l
yang memenuhi AGA:A.
Eksistensi G im tidaklah tunggaf karena ada
sejumlah tak hingga G yang dapat mernenuh,
AGA=A dan G dapat dihitung dengan rurirlrr i
QAt P, dimana:
,
E(V):
x
Ig
i=l
,Varff)-o'2
danCov(Yi,Y,)=0.
[n '
=t
^ L0
Persyaratan ini menyatakan bahwa mean
dari suku galat e adalah Q variansi yi tidak ter-
gantung pada
x dan yl,
y2,...,\,n saling
independen.
Salah satu masalah penting dalam menganalisis model linier adalah bagaimana cara
mengestimasi parameter yang terdapat dalam
model tersebut berdasarkan samplg cara yang
lazim dilakukan unhrk mengestimasi paameter B
pada model Y=Xp + e adalah dengan metode
kuadrat terkecil yang menghasilkan asalkan
p=[XrX] -rXrY menghasilkan matriks XTX
Fakultas Matematika dan llmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Medan
o-l
I
0l
r.
P dan Q adalah hasil operasi baris elemc:ni,.r
l
memenuhi:
Au.n-%.nAo,Qo,,
lo
=lo ''r
L"(P-r) l
atau
n
q
'/n
'
[n ol
-PAO-l
'[o '''
l
ol
57
ZulAmry
dapat ditunjukkan bahwa untuk
PAQ:A,
diperoleh:
statistik:
PACAQ:A
|rrrnal
Sains
Indonesia
Media Komanikasi
Hasil Penelitian sains dan Matematikn
Pembina
Prof. f)rs. Syarval Gultom, M.Pd' (RaAtar U ninedl
Drs. Chairul Azmi, M.Pd. (Pemhantu Rektor ttl
Drs. Biner Mabarita, MPd- (Penbantu Rektor IIl)
Prof. Drs. N{anihar Sirumr:rang, lv{.Sc', Ph.D. (Dekun li\f/P.'1)
Dewan PenYunting
Prof. I)rs. Manihar Situmorang, N{.Sc., Ph.D. (ktua)
Drs. Pasar N{autm Siiitonga, M.S. (Vakil
l)ra. Nfartina Rcstuati, M'Si. (LVuktl
Drs. Asrin Lubis, NLPd. Q4nggota)
Prof. Dr. Pargaulan Siagran. M'Pd. ('ln.ggord)
Dr. Ridwan Abdul Sani,lvI'Si' ('lngota)
Prof. Dr. Suharta, M'Si. (4ngata)
Dr. rer. nat. Binari Manurung, M.Si- (Anggota)
Penyunting Ahli
Prof. Dr. F{erbert Sipahutar, M.S., N{.Sc.
Dr. Zainuddin 1v1., M.Si.
Dr. r\.K. Prodiosantoso
l)r. Ali Imron
Tata Usaha
Drc. Zulkrfli
Dra. Sion Asmarida Purba
Tua P. Tambunan
bernana Majalah Pendidifun Sdenrc) diterbitkan xjak tahun 1976, den.gat lK llenrei
tanggal 9 Dxenbcr 1976, No. 276/SK/ Di(i€n PPC /-177'/ t976. larnal ini rliterbitkau nntuk dapat digaaakan rcbagai nedia kananifui bugi dovn, pencliti, nahaiwa ttt ud .;tftt/.! hi,lang.taint
rlan nalematika. Penge/ota mcncima arlikel hatil pent/itian, catataa penehian danf ataa telaab /txsldLa dalan bidanq ilnu
Sains Indonesia (dafula
Jutnal
-Prorro4go,
fupahlik Indat:tia S7-| Penefiit Khuwt
.1,an4
rclewn. Petanjak penuliun natkah daltat dilihat pada k*kt belakang bagiun dalan dari iurnal ini. 'r:askult diAiinkun
diwating. \atkah,yang tidak nenenahi penyaralan akan dikenba/ikan keladd ftna
ke a/amat rcdakri antnk dieaahrasi dan
li,
Diterbitkan oleh:
Fakultas lr{atematika dan Ilrnu Pengetahuan .,\lam
Universitas Negeri N{edan
Alamat Redaksi:
Jurnal Sains lndonesia
Jl. Willem Iskandar Pasar V, Medan 20221
Telp. 061-6625970
i
i1
Dari Pengelola
Volume 33 Nomor 1 jurnal Sains Indonesia ini hadir di hadapan rekan sejawat dengan jumlah
halaman yang semakin banyak. Nomor ini terbit dengan dominasi artikel hasil peneiitian dari
bidang kimia dan hanya sebagian kecil dari bidang biologi dan matematika. Masing-masing artikel
sangat menarik untuk ditelaah dan dirujuk dalam upaya pengembangan sains dan matematika.
Pengelola menanti artikel-artikel orisinal yang bermutu dari kita semuanya. Namun demikian,
sebelum menulis artikel, sangat diharapkan para penulis mempelajari terlebih dahulu, dan
selanjutnya mengikuti, petunjuk penulisan artikel yang tertera pada sampul belakang bagian ciaianr
dari jurnal ini. Pengelola juga mengharapkan agar gambar, foto, atau diagram yang akan dimuat
dalam artikel dibuat dalam lembaran terpisah dan sudah dalam bentuk cameraready. Kepafith;,n
penulis mengikuti tata cara penulisan yang telah ditetapkan dalam halaman dalam kulit belakang
jurnal ini akan sangat membantu pengelola untuk dapat menerbitkan secara teratur sesuai dengan
jadwal. Untuk nomor berikutnya, artikel yang tidak memenuhi petunjuk penulisan tersebut tidak
akan dimuat tetapi akan dikembalikan kepada penulis untuk diperbaiki.
Selamat berkarya.
Medan,
Pengelola
Juni 2009
Volume 33 | Nomor I lJanuari-Juniz00t
Jurnal
Sains
Indonesia
Medi"a lbnustikosi Hasil Penelitian Sains dnn Matematika
Daftar Isi
Manihar Situmorang,
Boxsa loserizal Singa,
In d ah F r i ani Situmor an g,
7-7
Rancang Bangun Strip Biosensor untuk
Penenhran Asam Urat dalam Daging dan Ikan
Kaleng
dan Fernando M.T.
Marpaung
Anna Juniar
Pengembangan Teknik Pemisahan dan Pemurnian Ion Logam Melalui Modifikasi Pelarut
Herlinaznati
Kajian Pendahuluan Teknik Tandem Kromato- 73-1,7
grafi Pasangan Ion Fasa Terbalik-HG-FAAS
untuk Spesiasi Senyawa Organotin
lasmidi
Penggunaan Berulang Biomassa Saccharomyces
cereui siae Terimobi lisasi Sebagai Penyerap Ion
78-27
B-72
Timbal(II)
Marudut Sinaga,
lamalum Purba, dan
Manihar Situmorang
Pembuatan Elektroda Ion Selektif (ISE-Pb)
tuk Penentuan Timbal dalam Limbah Cair
un-
22-29
Ida Duma Riris dan
Pengaruh Konsentrasi Gula dan Lama Fermentasi terhadap Kadar Tanin pada N4inuman Teh
Kombucha
30-35
Martina Nadapdap
luly FitrianaNst dan Ayi Optimasi Pemucatan Crude Ghlcerol
Hasil
36-
40
Darmana
Samping Pembuatan Biodiesel dengan Tanah
Pemucat (Bl eachi n g Earth)
Nurmalis dan Asep
Wahyu Nugraha
Sintesis dan Karakterisasi Senyawa Kompleks
antara Logam Perak dengan Ligan NH3, C1-,
en, difos, glim, ncac, py,bpy,dandien Melalui
Pendekatan Komputasi Kimia dan Eksperimen
47-46
Ratna Sari Derni
Reaksi Aminasi Sorbitol dengan Gas NH3
Bertekanan Menggunakan Katalis Nikel
47
-50
51
- 56
M. Sitorus, S.Ibrahim, H. Optimasi Dehidrator pada Pembuatan Minyak
:'
Nw'din, dan D. Darwis
Jarak Terdehidrasi (Dehydrated Castor Oil
DCO)
Zul Amry
Aplikasi Model Linier dengan Rank Tak Penuh 57
-60
Psnal M. Siahqan
P-e1g3rgh Pemberian Sari Buah Mengkudu
(Morinda citrifolia) terhadap Gambaran
Khqiriza Lubis
Leukosit pada Mencit (Mis musculus) Jantan
Pengaruh Jenis dan Lama Penjemuran
terhadap Kadar Vitamin C Sale Pisang
67-66
67
-70
Jurnal Sains lndonesia
Volume 33(l):57 - 60.
Aplikasi Model Linier dengan Rank Tak Penuh
Zul Amry
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Medan
Jl. Willem Iskandar Pasar V, Medan 20221
Diterima 20 Januari 2009, disetujui untuk publikasi
d
I
15
Mei 2009
Abstract Linear model in the form of Y=fX+e is called linear model not of fuII rank
when inaerse of matrices [XTX] does not exist, sa that parameter of p can be estimated by
where G is genualized inaerse matrices of IXTXI and this model to represent of statistics
models haae hem extensiuely used many felds. This paper explains an arwlysis of linear
model not of full rank which aVplied for problem of plant yoducL The analysis ltegin zuith
tlrc estimation of tozuard parameter of rnodel zohich is assumed, aftenuard to be continued
test of model up to and including fix on canfidence interaal for conclude. [AppLrCATIoN
oF Ln{EAR IVfoDEL oF NoN FULL RANKI (1. Sains Indon" 33(1): 57 - 60,2008)
Kata kunci:
Estimabte function,
generatized inverse
ntati!!',ir":
iiineti nrlir.i.
Pendahuluan
Seringkali, variabel random hasil observasi
pada suatu eksprimen mempunyai hubungan
dengan satu atau lebih variabel random yang lain,
sehingga nilai satu variabel dapat diramal
hasilnva berdasarkan nilai-ni1ai pada variabel
yang lain. Salah safu metode statistik yang paling
umum untuk menganalisis hubr,mgan semacam
ini adalah model linier. Bentuk umum dari model
= XF * e dimana :
linier adalah Y
X=
B=
l,l
I
dane=
ks Ina ers T ergen er ali sir
Defnisi f. i\4akiks invers tergeneralnir \iirr
suatu matriks A didefinisikan sebagai matrjL: L,
I
lB
LB-
bahwa matriks XTX merupakan matriks ,1r::ng;ui
rank tak penuh. Sehubungan dengan itrr. ,1, I ,r.,
tulisan ini akan dipaparkan suatu infer"-"r:,i : , '
tika dalam model linier dengan ranr.
yang difokuskan pada masalah produkr; .,, ., ,.
M&ti
[;:]
[8,
data dilapangan tidak dapat menjamin l)Ct-Xl-l
selalu ada, dalam kasus seperti ini dikatal..an
an yang mencakup asumsi model. esiii.
meter model, pengujian model sarhpat lri.r ,.
interval konfidensi unfuk keperluan inJr r.1i:rl
Iv, I
Y=
mempakan matriks dengan rank penuh atau
t
[XTX1 ada. Tetapi, pada kenyataannya bahrvl
syarat:
l
yang memenuhi AGA:A.
Eksistensi G im tidaklah tunggaf karena ada
sejumlah tak hingga G yang dapat mernenuh,
AGA=A dan G dapat dihitung dengan rurirlrr i
QAt P, dimana:
,
E(V):
x
Ig
i=l
,Varff)-o'2
danCov(Yi,Y,)=0.
[n '
=t
^ L0
Persyaratan ini menyatakan bahwa mean
dari suku galat e adalah Q variansi yi tidak ter-
gantung pada
x dan yl,
y2,...,\,n saling
independen.
Salah satu masalah penting dalam menganalisis model linier adalah bagaimana cara
mengestimasi parameter yang terdapat dalam
model tersebut berdasarkan samplg cara yang
lazim dilakukan unhrk mengestimasi paameter B
pada model Y=Xp + e adalah dengan metode
kuadrat terkecil yang menghasilkan asalkan
p=[XrX] -rXrY menghasilkan matriks XTX
Fakultas Matematika dan llmu Pengetahuan Alam
Universitas Negeri Medan
o-l
I
0l
r.
P dan Q adalah hasil operasi baris elemc:ni,.r
l
memenuhi:
Au.n-%.nAo,Qo,,
lo
=lo ''r
L"(P-r) l
atau
n
q
'/n
'
[n ol
-PAO-l
'[o '''
l
ol
57
ZulAmry
dapat ditunjukkan bahwa untuk
PAQ:A,
diperoleh:
statistik:
PACAQ:A