BILANGAN BULAT DAN OPERASINYA 2
BILANGAN BULAT DAN OPERASI
+, -, x, :
BESERTA PEMBELAJARANNYA
Dony Dwi F. (103174089)
Nur Rakhmah F. (103174203)
Annisa Dita I.(103174204)
Yafita Arfina M. (103174207)
Ganang Wahyu H. (10317421 3)
Sinta Devi N. (103174228)
asi Bilangan Bulat
Operasi Penjumlahan
Operasi
Pengurangan
Operasi Perkalian
Operasi Pembagian
Operasi Campuran
rasi penjumla
Penjumlahan bilangan bulat
dapat diselesaikan
menggunakan garis bilangan
(untuk bilangan yang
sederhana). Bilangan positif
sepadan dengan langkah ke
arah kanan dan bilangan bulat
negatif sepadan dengan
langkah ke arah kiri.
7
5
2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Gambar garis bilangan menunjukkan
sebuah penjumlahan, yaitu 2 + 5. Anak
panah ditarik ke kanan sampai angka 2,
kemudian dilanjutkan 5 langkah ke kanan
(karena operasi penjumlahan) dan
menghasilkan angka 7.
Jika a dan b adalah bilangan bulat,
maka penjumlahan yang melibatkan
bilangan bulat a, b, -a, dan -b dapat
dilakukan sebagai berikut:
1. a + b = b + a
2. -a + (-b) = -(a + b)
3. a + (-b) = a - b = -b + a, jika a
>b
4. a + (-b) = -b + a = 0, jika a =
b
5. a + (-b) = -(b – a), jika a < b
l
i
b
u
t
a
u
s
n
a
w
a
l
(
jumlah
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Kita dapat mengemukakan sifat-sifat pada setiap
pasangan bilangan sebagai berikut:
1. Jika bilangan yang satu positif, maka pasangannya
negatif. Sebagai ilustrasi, 1 berpasangan dengan -1, 2
berpasangan dengan -2.
2. Selisih bilangan yang berpasangan itu dengan 0
menghasilkan bilangan yang berlawanan. Sebagai
ilustrasi: 0 – 1 = -1 dan 0 – (-1) = 1, 0 – 2 = -2 dan 0 –
(-2) = 2
3. Jumlah kedua bilangan yang berpasangan itu sama
dengan 0. Sebagai ilustrasi, 1 + (-1) = 0 dan 2 + (-2)
=0
4. Setiap anggota pasangan bilangan dinamakan lawan
atau invers jumlah dari anggota yang lain di dalam
pasangannya. Sebagai ilustrasi, lawan dari 1 adalah
-1, karena 1 +( -1) = 0 dan lawan dari 5 adalah -5
Jika a adalah
bulat, maka a
karena
5 + (-5)bilangan
= 0.
adalah lawan atau invers jumlah dari –
a dan sebaliknya, -a adalah lawan
atau invers jumlah dari a
n
a
h
a
l
m
u
at penj
Ketertutupan
Komutatif
Jika a dan b bilangan
bulat sebarang, maka a
+ b juga bilangan bulat.
Contoh: -8 + 7 = -1
Jika a dan b masingmasing bilangan bulat
sebarang, maka berlaku
hitungan: a + b = b + a.
Contoh: (-3) + 8 = 8 +
(-3)
Asosiatif
Unsur
Identitas
Untuk a, b, dan c
bilangan bulat sebarang,
berlaku (a + b) + c = a
+ (b + c).
Contoh: (5 + 6) + 8 = 5
+ (6 + 8)
Jika a adalah bilangan
bulat sebarang maka
berlaku: a + 0 = 0 + a =
a dan bilangan 0
dinamakan unsur
identitas (elemen netral)
Contoh: (-12) + 0 = -12
rasi penguran
4
4
8
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
Gambar garis bilangan menunjukkan
sebuah pengurangan, yaitu 8 - 4.
Anak panah ditarik ke kanan sampai
angka 8, kemudian dilanjutkan 5
langkah ke kiri (karena operasi
pengurangan) dan menghasilkan
angka 4.
8
gurangan dua bilangan b
Jika a dan b adalah bilangan-bilangan
bulat, maka pengurangan yang
melibatkan bilangan-bilangan bulat a, b,
-a, dan –b dapat dilakukan sebagai
berikut:
1. a – b = a + (-b)
2. a – (-b) = a + b
3. –a – (-b) = -a + b
4. –a – b = -a + (-b) = -(a + b)
n
a
g
n
a
r
u
at peng
Ketertutupan
Komutatif
Jika a dan b adalah
bilangan bulat, maka
hasil dari a – b selalu
bilangan bulat.
Contoh: 8 – (-12) = 20
Jika a dan b sebarang
bilangan bulat, maka tidak
berlaku hubungan a – b =
b–a
Contoh: 14 – 9 ≠ 9 – 14
Asosiatif
Jika a, b, dan c adalah
bilangan bulat, maka tidak
berlaku hubungan (a – b) –
c = a – (b – c)
Contoh: (19 – 9) – 7 = 19 –
(9 – 7)
perasi perkalia
Perkalian-perkalian itu memiliki
pengertian sebagai penjumlahan
berulang (tidak berlaku untuk
bilangan bulat < 0), sehingga
dapat kita jabarkan sebagai
berikut :
5 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
3x3=3+3+3=9
1x3=3
erhatikan tabel di bawah ini
X
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5
25
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
-4
20
16
12
8
4
0
-4
-8
-12
-16
-20
-3
15
12
9
6
3
0
-3
-6
-9
-12
-15
-2
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-1
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
2
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
3
-15
-12
-9
-6
-3
0
3
6
9
12
15
4
-20
-16
-12
-8
-4
0
4
8
12
16
20
5
-25 -20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
Dari tabel di atas, maka dalam
perkalian bilangan bulat a, b, -a,
dan -b dapat diartikan sebagai
berikut:
1. a x b = +(a x b)
2. -a x (-b) = +(a x b)
3. -a x b = -(a x b)
4. a x (-b) = -(a x b)
n
a
i
l
a
k
r
e
ifat p
Ketertutupan
Komutatif
Jika a dan b adalah
bilangan bulat, maka
hasil dari a x b selalu
bilangan bulat.
Contoh: 12 x 6 = 72
Hasil kali dari dua bilangan
bulat selalu tetap
walaupun urutannya
dipertukarkan. Untuk
setiap bilangan bulat a x b
berlaku a x b = b x a.
Contoh: 9 x (-4) = (-4) x 9
Asosiatif
Distributif
Untuk setiap bilangan
bulat a, b, dan c berlaku:
(a x b) x c = a x (b x c).
Contoh: (5 x 7) x 4 = 5 x
(7 x 4)
Untuk setiap bilangan
bulat a, b, dan c berlaku a
x (b + c) = (a x c) = ab +
ac
Contoh: 9 x (-4) = (-4) x 9
Unsur
Identitas
Bilangan
Nol
Perkalian suatu bilangan
bulat dengan 1 atau
sebaliknya akan
menghasilkan bilangan
itu sendiri. Untuk setiap
bilangan bulat a
sembarang berlaku a x 1
=1xa=a
Contoh: (-15) x 1 = -15
Setiap perkalian bilangan 0
dengan bilangan bulat dan
sebaliknya hasilnya adalah
0.
Untuk setiap bilangan bulat
a sembarang berlaku a x 0
=0xa=0
Contoh: 14 x 0 = 0
erasi pembag
Pembagian bilangan bulat diartikan
sebagai operasi kebalikan dari perkalian.
Jika a, b, c bilangan bulat, b ≠ 0 dan
memenuhi a : b = , maka:
1. Untuk a, b berlainan tanda, c adalah
bilangan bulat negatif.
2. Untuk a, b bertanda sama, c adalah
bilangan bulat positif.
3. Untuk a = 0, maka c = 0
n
a
i
g
a
b
m
e
fat p
Ketertutupan
Komutatif
Pembagian bulat tidak
selalu menghasilkan
bilangan bulat. Jadi,
pembagian pada bilangan
bulat bersifat tidak
tertutup.
Contoh: (-28 : 4) : 2 = -3,5
Jika a,b dan c sebarang
bilangan bulat dan tidak
sama dengan nol, maka
berlaku a : b ≠ b : a.
Dengan begitu pembagian
tidak bersifat komutatif
Contoh: 9 : (-3) = (-3) : 9
Asosiatif
Jika a,b dan c sebarang
bilangan bulat dan tidak
sama dengan nol, maka
berlaku (a : b) : c ≠ a (b :
c). Dengan demikian,
pembagian tidak bersifat
asosiatif.
Contoh: (64 : 8) : 2 ≠ 64 :
(8 : 2)
erasi campur
Operasi hitung campuran pada
bilangan bulat adalah suatu
perhitungan yang menggunakan
bermacam-macam operasi.
Dalam operasi hitung campuran pada bilangan bulat
terdapat prioritas-prioritas operasi:
1. Perpangkatan atau akar
2. Perkalian atau pembagian dikerjakan terlebih
dahulu dari sebelah kiri
3. Penjumlahan atau pengurangan dikerjakan dari
kiri ke kanan
1. 6 x 3 + (5 – 2) maksudnya 6 x 3 + (3) =
18 + 3 = 21
2. [{(579 + 682) : 13) x 9} + 9 x 3 ]: 30
maksudnya
= [(1261 : 13) x 9} + 27 ]: 30
= [{97 x 9} + 27 ]: 30
h
o
t
c on
hank you
+, -, x, :
BESERTA PEMBELAJARANNYA
Dony Dwi F. (103174089)
Nur Rakhmah F. (103174203)
Annisa Dita I.(103174204)
Yafita Arfina M. (103174207)
Ganang Wahyu H. (10317421 3)
Sinta Devi N. (103174228)
asi Bilangan Bulat
Operasi Penjumlahan
Operasi
Pengurangan
Operasi Perkalian
Operasi Pembagian
Operasi Campuran
rasi penjumla
Penjumlahan bilangan bulat
dapat diselesaikan
menggunakan garis bilangan
(untuk bilangan yang
sederhana). Bilangan positif
sepadan dengan langkah ke
arah kanan dan bilangan bulat
negatif sepadan dengan
langkah ke arah kiri.
7
5
2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Gambar garis bilangan menunjukkan
sebuah penjumlahan, yaitu 2 + 5. Anak
panah ditarik ke kanan sampai angka 2,
kemudian dilanjutkan 5 langkah ke kanan
(karena operasi penjumlahan) dan
menghasilkan angka 7.
Jika a dan b adalah bilangan bulat,
maka penjumlahan yang melibatkan
bilangan bulat a, b, -a, dan -b dapat
dilakukan sebagai berikut:
1. a + b = b + a
2. -a + (-b) = -(a + b)
3. a + (-b) = a - b = -b + a, jika a
>b
4. a + (-b) = -b + a = 0, jika a =
b
5. a + (-b) = -(b – a), jika a < b
l
i
b
u
t
a
u
s
n
a
w
a
l
(
jumlah
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Kita dapat mengemukakan sifat-sifat pada setiap
pasangan bilangan sebagai berikut:
1. Jika bilangan yang satu positif, maka pasangannya
negatif. Sebagai ilustrasi, 1 berpasangan dengan -1, 2
berpasangan dengan -2.
2. Selisih bilangan yang berpasangan itu dengan 0
menghasilkan bilangan yang berlawanan. Sebagai
ilustrasi: 0 – 1 = -1 dan 0 – (-1) = 1, 0 – 2 = -2 dan 0 –
(-2) = 2
3. Jumlah kedua bilangan yang berpasangan itu sama
dengan 0. Sebagai ilustrasi, 1 + (-1) = 0 dan 2 + (-2)
=0
4. Setiap anggota pasangan bilangan dinamakan lawan
atau invers jumlah dari anggota yang lain di dalam
pasangannya. Sebagai ilustrasi, lawan dari 1 adalah
-1, karena 1 +( -1) = 0 dan lawan dari 5 adalah -5
Jika a adalah
bulat, maka a
karena
5 + (-5)bilangan
= 0.
adalah lawan atau invers jumlah dari –
a dan sebaliknya, -a adalah lawan
atau invers jumlah dari a
n
a
h
a
l
m
u
at penj
Ketertutupan
Komutatif
Jika a dan b bilangan
bulat sebarang, maka a
+ b juga bilangan bulat.
Contoh: -8 + 7 = -1
Jika a dan b masingmasing bilangan bulat
sebarang, maka berlaku
hitungan: a + b = b + a.
Contoh: (-3) + 8 = 8 +
(-3)
Asosiatif
Unsur
Identitas
Untuk a, b, dan c
bilangan bulat sebarang,
berlaku (a + b) + c = a
+ (b + c).
Contoh: (5 + 6) + 8 = 5
+ (6 + 8)
Jika a adalah bilangan
bulat sebarang maka
berlaku: a + 0 = 0 + a =
a dan bilangan 0
dinamakan unsur
identitas (elemen netral)
Contoh: (-12) + 0 = -12
rasi penguran
4
4
8
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
Gambar garis bilangan menunjukkan
sebuah pengurangan, yaitu 8 - 4.
Anak panah ditarik ke kanan sampai
angka 8, kemudian dilanjutkan 5
langkah ke kiri (karena operasi
pengurangan) dan menghasilkan
angka 4.
8
gurangan dua bilangan b
Jika a dan b adalah bilangan-bilangan
bulat, maka pengurangan yang
melibatkan bilangan-bilangan bulat a, b,
-a, dan –b dapat dilakukan sebagai
berikut:
1. a – b = a + (-b)
2. a – (-b) = a + b
3. –a – (-b) = -a + b
4. –a – b = -a + (-b) = -(a + b)
n
a
g
n
a
r
u
at peng
Ketertutupan
Komutatif
Jika a dan b adalah
bilangan bulat, maka
hasil dari a – b selalu
bilangan bulat.
Contoh: 8 – (-12) = 20
Jika a dan b sebarang
bilangan bulat, maka tidak
berlaku hubungan a – b =
b–a
Contoh: 14 – 9 ≠ 9 – 14
Asosiatif
Jika a, b, dan c adalah
bilangan bulat, maka tidak
berlaku hubungan (a – b) –
c = a – (b – c)
Contoh: (19 – 9) – 7 = 19 –
(9 – 7)
perasi perkalia
Perkalian-perkalian itu memiliki
pengertian sebagai penjumlahan
berulang (tidak berlaku untuk
bilangan bulat < 0), sehingga
dapat kita jabarkan sebagai
berikut :
5 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
3x3=3+3+3=9
1x3=3
erhatikan tabel di bawah ini
X
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5
25
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
-4
20
16
12
8
4
0
-4
-8
-12
-16
-20
-3
15
12
9
6
3
0
-3
-6
-9
-12
-15
-2
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-1
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
2
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
3
-15
-12
-9
-6
-3
0
3
6
9
12
15
4
-20
-16
-12
-8
-4
0
4
8
12
16
20
5
-25 -20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
Dari tabel di atas, maka dalam
perkalian bilangan bulat a, b, -a,
dan -b dapat diartikan sebagai
berikut:
1. a x b = +(a x b)
2. -a x (-b) = +(a x b)
3. -a x b = -(a x b)
4. a x (-b) = -(a x b)
n
a
i
l
a
k
r
e
ifat p
Ketertutupan
Komutatif
Jika a dan b adalah
bilangan bulat, maka
hasil dari a x b selalu
bilangan bulat.
Contoh: 12 x 6 = 72
Hasil kali dari dua bilangan
bulat selalu tetap
walaupun urutannya
dipertukarkan. Untuk
setiap bilangan bulat a x b
berlaku a x b = b x a.
Contoh: 9 x (-4) = (-4) x 9
Asosiatif
Distributif
Untuk setiap bilangan
bulat a, b, dan c berlaku:
(a x b) x c = a x (b x c).
Contoh: (5 x 7) x 4 = 5 x
(7 x 4)
Untuk setiap bilangan
bulat a, b, dan c berlaku a
x (b + c) = (a x c) = ab +
ac
Contoh: 9 x (-4) = (-4) x 9
Unsur
Identitas
Bilangan
Nol
Perkalian suatu bilangan
bulat dengan 1 atau
sebaliknya akan
menghasilkan bilangan
itu sendiri. Untuk setiap
bilangan bulat a
sembarang berlaku a x 1
=1xa=a
Contoh: (-15) x 1 = -15
Setiap perkalian bilangan 0
dengan bilangan bulat dan
sebaliknya hasilnya adalah
0.
Untuk setiap bilangan bulat
a sembarang berlaku a x 0
=0xa=0
Contoh: 14 x 0 = 0
erasi pembag
Pembagian bilangan bulat diartikan
sebagai operasi kebalikan dari perkalian.
Jika a, b, c bilangan bulat, b ≠ 0 dan
memenuhi a : b = , maka:
1. Untuk a, b berlainan tanda, c adalah
bilangan bulat negatif.
2. Untuk a, b bertanda sama, c adalah
bilangan bulat positif.
3. Untuk a = 0, maka c = 0
n
a
i
g
a
b
m
e
fat p
Ketertutupan
Komutatif
Pembagian bulat tidak
selalu menghasilkan
bilangan bulat. Jadi,
pembagian pada bilangan
bulat bersifat tidak
tertutup.
Contoh: (-28 : 4) : 2 = -3,5
Jika a,b dan c sebarang
bilangan bulat dan tidak
sama dengan nol, maka
berlaku a : b ≠ b : a.
Dengan begitu pembagian
tidak bersifat komutatif
Contoh: 9 : (-3) = (-3) : 9
Asosiatif
Jika a,b dan c sebarang
bilangan bulat dan tidak
sama dengan nol, maka
berlaku (a : b) : c ≠ a (b :
c). Dengan demikian,
pembagian tidak bersifat
asosiatif.
Contoh: (64 : 8) : 2 ≠ 64 :
(8 : 2)
erasi campur
Operasi hitung campuran pada
bilangan bulat adalah suatu
perhitungan yang menggunakan
bermacam-macam operasi.
Dalam operasi hitung campuran pada bilangan bulat
terdapat prioritas-prioritas operasi:
1. Perpangkatan atau akar
2. Perkalian atau pembagian dikerjakan terlebih
dahulu dari sebelah kiri
3. Penjumlahan atau pengurangan dikerjakan dari
kiri ke kanan
1. 6 x 3 + (5 – 2) maksudnya 6 x 3 + (3) =
18 + 3 = 21
2. [{(579 + 682) : 13) x 9} + 9 x 3 ]: 30
maksudnya
= [(1261 : 13) x 9} + 27 ]: 30
= [{97 x 9} + 27 ]: 30
h
o
t
c on
hank you