ARTIKEL MELA ARNANI M0113029 1
PENDEKATAN LATTICE PATH UNTUK SISTEM ANTRIAN
M/M/c
Mela Arnani, Isnandar Slamet, Siswanto
Program Studi Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sebelas Maret
Abstrak. Sistem antrian M/M/c merupakan sistem antrian dengan laju kedatangan
berdistribusi Poisson, laju pelayanan berdistribusi eksponensial, dan mempunyai c
fasilitas pelayanan yang bekerja secara paralel. Keadaan sistem antrian yang tidak
dapat mencapai keadaan setimbang disebut sistem antrian transien. Analisis sistem
antrian dalam keadaan transien dapat dilakukan dengan menggunakan pendekatan
lattice path kombinatorik. Penelitian ini bertujuan untuk menurunkan ulang perilaku
sistem antrian M/M/c dengan pendekatan lattice path kombinatorik. Melalui pendekatan ini, sistem antrian direpresentasikan dalam bentuk lattice path pada bidang-XY.
Selanjutnya, dilakukan perhitungan banyaknya lattice path menggunakan pendekatan
lattice path kombinatorik dan diberikan contoh penerapannya.
Kata Kunci : Sistem Antrian M/M/c, keadaan transien, lattice path kombinatorik.
1. PENDAHULUAN
Dalam kehidupan sehari-hari banyak dijumpai kasus yang berkaitan dengan
menunggu dalam suatu antrian. Antrian muncul ketika terdapat ketidakseimbangan antara pelanggan yang dilayani dengan jumlah pelayanannya. Proses antrian merupakan proses yang berhubungan dengan kedatangan pelanggan pada
suatu fasilitas pelayanan kemudian pelanggan menunggu di dalam baris antrian
untuk mendapatkan pelayanan sampai pelanggan meninggalkan fasilitas pelayanan sesudah mendapatkan pelayanan (Kakiay [3]).
Sistem antrian adalah suatu himpunan pelanggan, pelayanan dan aturan
yang mengatur kedatangan para pelanggan dan pelayanannya (Bronson [1]). Sistem antrian M/M/c merupakan sistem antrian dengan laju kedatangan mengikuti
distribusi Poisson, laju pelayanan mengikuti distribusi eksponensial, dan c menyatakan banyaknya fasilitas pelayanan yang bekerja secara paralel. Pelayanan
dilakukan atas dasar pelanggan yang datang awal akan mendapatkan pelayanan
terlebih dahulu atau biasa dikenal dengan istilah first come first served (FCFS)
(Taha [9]). Contoh sistem antrian M/M/c dapat dijumpai pada antrian teller
bank. Sistem antrian pada teller bank mempunyai satu jalur antrian yang memasuki fasilitas pelayanan dan terdapat dua atau lebih fasilitas pelayanan.
Keadaan sistem antrian yang tidak mencapai keadaan setimbang disebut
keadaan transien (Kakiay [3]). Keadaan setimbang adalah keadaan setelah t
satuan waktu dengan jumlah pelanggan yang berada di dalam sistem antrian
1
Pendekatan Lattice Path untuk Sistem Antrian M/M/c
M. Arnani, I. Slamet, Siswanto
menjadi stabil (Taha [9]). Analisis sistem antrian keadaan transien dapat dilakukan menggunakan pendekatan lattice path kombinatorik (Sen dan Jain [7]).
Penelitian tentang sistem antrian transien telah dilakukan oleh Sen et al. [8]
dan Towsley [2]. Lattice path pada bidang-XY merupakan barisan titik (x1 , y1 ),
(x2 , y2 ),..., (xn , yn ) yang dilewati oleh path (Krattenthaller dan Mohanty [4]).
Analisis lattice path kombinatorik sistem antrian M/M/c dilakukan dengan
merepresentasikan suatu kedatangan atau kepergian dalam bentuk titik (x, y)
pada bidang-XY. Dalam artikel ini, dilakukan penurunan ulang perilaku sistem
antrian M/M/c yang merujuk pada Muto et al. [5].
2. METODE PENELITIAN
Langkah-langkah yang digunakan untuk mencapai tujuan penelitian adalah
sebagai berikut.
(1) Mendeskripsikan sistem antrian berada dalam keadaan tidak setimbang.
(2) Mengubah waktu awal, yaitu waktu kontinu menjadi waktu diskrit.
(3) Merepresentasikan sistem antrian M/M/c dengan lattice path.
(4) Menghitung banyaknya lattice path dengan pendekatan kombinatorik.
(5) Memberikan suatu contoh sistem antrian M/M/c.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan diuraikan hasil dari penelitian yaitu representasi lattice
path dari sistem antrian M/M/c, perhitungan lattice path dari sistem antrian
M/M/c, dan penerapannya.
3.1. Representasi Lattice Path dari Sistem Antrian M/M/c. Pada umumnya suatu sistem antrian berkaitan dengan kedatangan pelanggan dalam suatu
fasilitas pelayanan, kemudian pelanggan akan pergi setelah mendapatkan pelayanan.
Transisi kejadian pelanggan dalam suatu sistem merupakan suatu kedatangan atau kepergian yang membentuk suatu urutan. Dimisalkan T0 , T1 , T2 , ..., Tn
adalah waktu terjadinya suatu kejadian, sedangkan X0 , X1 , X2 , ..., Xn adalah banyaknya pelanggan di dalam sistem, dengan asumsi X0 = 0.
Kedatangan atau kepergian pelanggan yang membentuk suatu urutan merepresentasikan perpindahan titik sepanjang lattice path di bidang-XY. Apabila
perpindahan titik merupakan suatu kedatangan maka titik bergerak satu langkah
2
Pendekatan Lattice Path untuk Sistem Antrian M/M/c
M. Arnani, I. Slamet, Siswanto
pada sumbu x, sedangkan apabila perpindahan titik merupakan suatu kepergian
maka titik bergerak satu langkah pada sumbu y.
Contoh transisi kejadian pelanggan dalam suatu sistem diberikan oleh Gambar 1.
X
X7
3
X2
X6
2
X1
1
X0
0
T0= 0
X5
X3
X4
T1
T2
T3
T5
T4
T6
T7
t
Gambar 1. Transisi banyaknya pelanggan di dalam sistem
Dari Gambar 1, dapat dilihat bahwa saat T0 tidak ada pelanggan di dalam
sistem (X0 = 0). Selanjutnya, pada saat T1 terdapat satu pelanggan di dalam
sistem (X1 = 1). Pada saat T2 terdapat dua pelanggan di dalam sistem (X2 = 2).
Kemudian pada saat T3 terdapat satu pelanggan yang dilayani, sehingga terdapat
satu pelanggan di dalam sistem (X3 = 1) dan seterusnya.
Diasumsikan banyaknya kedatangan pelanggan lebih besar daripada banyaknya kepergian pelanggan setiap saat, sehingga lattice path yang sesuai dengan perilaku sistem tidak akan melewati garis x = y. Dengan representasi ini,
jarak titik (i, j) dari garis x = y adalah i − j yang merupakan banyaknya pelanggan pada sistem. Lattice path pada bidang-XY yang sesuai dengan transisi
kejadian pelanggan dalam sistem dari Gambar 1 ditunjukkan oleh Gambar 2.
2
1
0
1
2
3
4
5
X
Gambar 2. Lattice path dari transisi banyaknya pelanggan dalam sistem
Diasumsikan himpunan lattice path yang sesuai dengan transisi state memenuhi tiga kondisi berikut.
3
Pendekatan Lattice Path untuk Sistem Antrian M/M/c
M. Arnani, I. Slamet, Siswanto
i. Terdapat i kedatangan dan j kepergian dalam interval waktu (0, t).
ii. Banyaknya kedatangan pelanggan ke dalam antrian adalah rk (0 ≤ k ≤
c − 1).
iii. Banyaknya kepergian pelanggan dari antrian adalah sk (1 ≤ k ≤ c).
Dari lattice path yang memenuhi ketiga kondisi tersebut, diperoleh proposisi
berikut.
Proposisi 3.1. Untuk 1 ≤ k ≤ c,
{
rk−1 − z(k ≤ i − j), rk−1 ≥ 1;
sk =
0,
rk−1 = 0.
(3.1)
dimana z = 1 apabila benar (k ≤ i − j) dan 0 untuk yang lain.
Selanjutnya, akan diberikan beberapa definisi.
Definisi 3.2.
a. Himpunan lattice path dari titik (0, 0) ke (i, j) dinyatakan dengan L(i, j)
dimana i ≥ j ≥ 0 pada bidang-XY.
b. Langkah-x merupakan gabungan titik (h, k) dan (h + 1, k) dan langkah-y
merupakan gabungan titik (h, k) dan (h, k+1). Jarak langkah-x(y) adalah
h − k. Oleh karena itu, d-langkah-x(y) adalah suatu langkah-x(y) dimulai
dari titik pada x = y + d.
c. Lattice path direpresentasikan oleh
d = (d1 , d2 , ..., di−1 , di ),
(3.2)
dimana d merupakan jarak langkah-x.
d. Jarak vektor merupakan d-langkah-x yang dimulai dari titik pada garis x = y + d. Jarak vektor dari lattice path dinotasikan oleh vektor
rc = (r0 , r1 , ..., rc−1 , r¯c ), dengan r¯c -langkah-x merupakan langkah-x dengan lebih dari (c − 1)-langkah-x. Jarak vektor rc merupakan bilangan
bulat non negatif.
e. Untuk k = 1, 2, ..., c, r¯k dan s¯k didefinisikan sebagai berikut
r¯k = i −
k−1
∑
rn
dan
n=0
s¯k = j −
k−1
∑
sn .
n=1
Dari definisi tersebut, diperoleh sifat sebagai berikut.
i. Untuk d ∈ L(i, j), d memenuhi kondisi berikut
d1 = 0, 0 ≤ dk ≤ dk−1 + 1, untuk k = 2, ..., i.
4
(3.3)
Pendekatan Lattice Path untuk Sistem Antrian M/M/c
M. Arnani, I. Slamet, Siswanto
ii. Untuk d ∈ L(i, j), apabila w = max(dk | 1 ≤ k ≤ i) + 1 maka r¯w = 0
(max((i − j), 1) ≤ w ≤ i).
iii. Diasumsikan r = (r0 , r1 , ..., rc−1 , r¯c ) merupakan jarak vektor. Apabila
w ≤ c maka rh ≥ 1
(0 ≤ h ≤ w − 1), rh = 0
(w ≤ h ≤ c − 1) dan
r¯c = 0. Apabila w > c maka rh ≥ 1 (0 ≤ h ≤ c − 1) dan r¯c > 0.
Dengan menggunakan rc dan w, definisi berikut menjelaskan tentang klasifikasi himpunan lattice path.
Definisi 3.3.
Himpunan lattice path L(i, j) dengan jarak vektor rc dinyatakan dengan
L(i, j; rc ). Selanjutnya, l(i, j) dan l(i, j; rc ) didefinisikan sebagai
l(i, j) =| L(i, j) |
dan
l(i, j; rc ) =| L(i, j; rc ) | .
(3.4)
Himpunan lattice path L(i, j) dapat diklasifikasikan sebagai berikut.
min(c,i)
∑
l(i, j) =
c+
l(i, j; rc ∈ Rw
ij ) + l(i, j; rc ∈ Rij )
(3.5)
w=max(i−j,1)
dimana,
Rc+
¯c ) | rk ≥ 1 (0 ≤ k ≤ c − 1), r¯c ≥ max(1, i − j − c),
ij ={(r0 , ..., rc−1 , r
c−1
∑
rk + r¯c = i}, dan
k=0
Rw
¯c ) | rk ≥ 1 (0 ≤ k ≤ w − 1), rk = 0 (w ≤ k ≤ c − 1),
ij ={(r0 , ..., rc−1 , r
r¯c = 0,
w−1
∑
(3.6)
rk = i}.
k=0
3.2. Perhitungan Lattice Path Menggunakan Jarak Vektor. Pada bagian
ini, diberikan teorema tentang perhitungan banyaknya elemen L(i, j; rc ) menggunakan jarak vektor rc yang mengacu dari Mohanty [6].
Teorema 3.4. Untuk i ≥ j ≥ 0, i ̸= 0,
l(i, j; rc ) =
r¯c−1 −¯
sc+1
r¯c−1 +¯
sc+1
(
r¯c−1 + s¯c+1
r¯c−1
)
∏c−1
k=1
(
rk−1 + sk+1 − 1
rk−1 − 1
)
(
∏w−1 rk−1 + sk+1 − 1
k=1
, r c ∈ Rw
ij .
rk−1 − 1
5
)
, rc ∈ Rc+
ij ;
(3.7)
Pendekatan Lattice Path untuk Sistem Antrian M/M/c
M. Arnani, I. Slamet, Siswanto
Bukti.
a. Untuk kasus rc ∈ Rw
ij . Diketahui bahwa untuk beberapa n (0 ≤ n ≤ c−1),
apabila rk ≥ 1 (0 ≤ k ≤ n) maka
(
)
n
{∏
rk−1 + sk+1 − 1 }
l(i, j; rc ) =
l(¯
rn , s¯n+1 ; (rn , ..., rc−1 , r¯c )).
rk−1 − 1
k=1
Dari definisi Rw
ij , dengan mensubtitusikan n = w − 1 pada persamaan
di atas, diperoleh
l(i, j; rc ) =
{ w−1
∏
k=1
(
)
rk−1 + sk+1 − 1
rk−1 − 1
}
l(¯
rw−1 , s¯w ; (rw−1 , 0, ..., 0)).
Terdapat satu path dari (0, 0) ke (¯
rw−1 , s¯w−1 ) dengan jarak vektor
(rw−1 , 0, .., 0) yang hanya terdiri dari 0-langkah-x dan 1-langkah-y. Dengan demikian, teorema terbukti. ✷
b. Untuk rc ∈ Rc+
ij , dengan mensubtitusikan n = c − 1 pada persamaan
(
)
n
{∏
rk−1 + sk+1 − 1 }
l(i, j; rc ) =
l(¯
rn , s¯n+1 ; (rn , ..., r¯c−1 , r¯c )).
rk−1 − 1
k=1
diperoleh
l(i, j; rc ) =
c−1
{∏
k=1
(
)
rk−1 + sk+1 − 1
rk−1 − 1
}
l(¯
rc−1 , s¯c ; (rc−1 , r¯c )).
Selanjutnya, dilakukan perhitungan untuk l(¯
rc−1 , s¯c ; (rc−1 , r¯c )).
i. Untuk i − j ≥ c, r¯c−1 > s¯c . Dengan mensubtitusikan i = r¯c−1 , j = s¯c ,
dan r0 = rc−1 pada persamaan
i − j + r0 − 1
l(i, j; (r0 , r¯1 )) =
i + j − r0 + 1
(
i + j − r0 + 1
i
)
diperoleh
r¯c−1 − s¯c + rc−1 − 1
l(¯
rc−1 , s¯c ; (rc−1 , r¯c )) =
r¯c−1 + s¯c − rc−1 + 1
(
r¯c−1 + s¯c − rc−1 + 1
r¯c−1
)
.
(3.8)
ii. Untuk 0 ≤ i−j < c, r¯c−1 = s¯c . Dengan mensubtitusikan i = r¯c−1 , j = s¯c ,
dan r0 = rc−1 pada persamaan
i − j + r0
l(i, j; (r0 , r¯1 )) =
i + j − r0
6
(
i + j − r0
i
)
Pendekatan Lattice Path untuk Sistem Antrian M/M/c
M. Arnani, I. Slamet, Siswanto
diperoleh
r¯c−1 − s¯c + rc−1
l(¯
rc−1 , s¯c ; (rc−1 , r¯c )) =
r¯c−1 + s¯c − rc−1
(
r¯c−1 + s¯c − rc−1
r¯c−1
)
(3.9)
Selanjutnya, persamaan (3.8) dan (3.9) diringkas dengan mensubsitusikan s¯c =
s¯c+1 + sc . Dari proposisi 3.1 diketahui bahwa sc = rc−1 − 1, jika i − j ≥ c dan
sc = rc−1 , jika 0 ≤ i − j < c. Dengan demikian, teorema terbukti. ✷
3.3. Penerapan Kasus. Teorema 3.4 akan diilustrasikan pada kasus transisi
kejadian pelanggan yang direpresentasikan dalam bentuk lattice path yang diberikan oleh Gambar 3 dengan asumsi jumlah fasilitas pelayanan sebanyak 4 buah.
w
Akan dilakukan perhitungan banyaknya lattice path pada Rc+
ij dan Rij .
y
x=y
6
x=y+4
x=y+2
(7,5)
5
4
d
3
d
,
2
1
0
1
2
3
4
5
Gambar 3. d ∈ L(7, 5) ∈
6
7
Rw
ij
x
dan d’ ∈ L(7, 5) ∈ Rc+
ij
Dari lattice path yang sesuai dengan perilaku sistem di atas, diketahui bahw
wa untuk rc ∈ Rc+
ij mempunyai r = (1, 1, 2, 1, 2), sedangkan untuk rc ∈ Rij
mempunyai w = 3 dan r = (3, 3, 1, 0, 0).
i. Untuk kasus rc ∈ Rc+
ij .
Untuk i = 7, j = 5, r = (1, 1, 2, 1, 2) dan s = (0, 0, 2, 1, 2).
(
)(
)(
)(
)
r¯3 + s¯5
r0 + s2 − 1
r1 + s3 − 1
r2 + s4 − 1
r¯3 − s¯5
l(i, j; rc ) =
r¯3 + s¯5
r¯3
r0 − 1
r1 − 1
r2 − 1
(
)(
)(
)(
)
1+0−1
1+2−1
2+1−1
3−2 3+2
=
3+2
3
1−1
1−1
2−1
( )( )( )( )
0
2
2
1 5
=
5 3
0
0
1
= 4.
Dengan demikian, banyaknya lattice path untuk rc ∈ Rc+
ij adalah 4.
7
Pendekatan Lattice Path untuk Sistem Antrian M/M/c
M. Arnani, I. Slamet, Siswanto
ii. Untuk kasus rc ∈ Rw
ij .
Untuk i = 7, j = 5, w = 3, r = (3, 3, 1, 0, 0) dan s = (2, 2, 1, 0, 0).
(
)(
)
r0 + s2 − 1
r1 + s3 − 1
l(i, j; rc ) =
r0 − 1
r1 − 1
(
)(
)
3+2−1
3+1−1
=
3−1
3−1
( )( )
4
3
=
2
2
= 18.
Dengan demikian, banyaknya lattice path untuk rc ∈ Rw
ij adalah 18.
4. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan diperoleh kesimpulan yaitu sistem antrian M/M/c pada keadaan transien dapat diselesaikan menggunakan pendekatan
lattice path kombinatorik. Pendekatan ini, merepresentasikan transisi kejadian ke
dalam bentuk lattice path pada bidang-XY. Selanjutnya, perhitungan banyaknya
lattice path dapat dilakukan menggunakan jarak vektor.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Bronson, R., Theory and Problem of Operation Research, Mc Graw-Hill, Inc, New York,
1991.
[2] Towsley, D., An Application of the Reflection Principle to the Transient Analysis of the
M/M/1 Queue, Res. Logist,34 (1987), 451-456.
[3] Kakiay, T. J., Dasar Teori Antrian Untuk Kehidupan Nyata, Andi, Yogyakarta, 2004.
[4] Krattenthaler, C. and Mohanty, S.G., Lattice Path Combinatorics - Applications to
Probability and Statistics, Encyclopedia of Statistical Sciences, 2 (2003).
[5] Muto, K. et.al, Lattice Path Counting and M/M/c Queueing Systems, Queueing Systems, 19 (1995), 193-214.
[6] Mohanty, S.G., Lattice Path Counting and Applications, Academic Press, New York,
1979.
[7] Sen, K. et al., Combinatorial Approach to Markovian Queueing Models, Journal of
Statistical Planning and Inference, 34 (1993), 269-279.
[8] Sen, K., J. L. Jain and J. M Gupta, Lattice Path Approach to Transient Solution of
M/M/1 with (0,k) Control Policy, Journal of Statistical Planning and Inference, 34
(1993), 259-267.
[9] Taha, H. A., Operations Research an Introduction, Macmillan Publishing Co Inc, New
York, 4th (1987).
8
M/M/c
Mela Arnani, Isnandar Slamet, Siswanto
Program Studi Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sebelas Maret
Abstrak. Sistem antrian M/M/c merupakan sistem antrian dengan laju kedatangan
berdistribusi Poisson, laju pelayanan berdistribusi eksponensial, dan mempunyai c
fasilitas pelayanan yang bekerja secara paralel. Keadaan sistem antrian yang tidak
dapat mencapai keadaan setimbang disebut sistem antrian transien. Analisis sistem
antrian dalam keadaan transien dapat dilakukan dengan menggunakan pendekatan
lattice path kombinatorik. Penelitian ini bertujuan untuk menurunkan ulang perilaku
sistem antrian M/M/c dengan pendekatan lattice path kombinatorik. Melalui pendekatan ini, sistem antrian direpresentasikan dalam bentuk lattice path pada bidang-XY.
Selanjutnya, dilakukan perhitungan banyaknya lattice path menggunakan pendekatan
lattice path kombinatorik dan diberikan contoh penerapannya.
Kata Kunci : Sistem Antrian M/M/c, keadaan transien, lattice path kombinatorik.
1. PENDAHULUAN
Dalam kehidupan sehari-hari banyak dijumpai kasus yang berkaitan dengan
menunggu dalam suatu antrian. Antrian muncul ketika terdapat ketidakseimbangan antara pelanggan yang dilayani dengan jumlah pelayanannya. Proses antrian merupakan proses yang berhubungan dengan kedatangan pelanggan pada
suatu fasilitas pelayanan kemudian pelanggan menunggu di dalam baris antrian
untuk mendapatkan pelayanan sampai pelanggan meninggalkan fasilitas pelayanan sesudah mendapatkan pelayanan (Kakiay [3]).
Sistem antrian adalah suatu himpunan pelanggan, pelayanan dan aturan
yang mengatur kedatangan para pelanggan dan pelayanannya (Bronson [1]). Sistem antrian M/M/c merupakan sistem antrian dengan laju kedatangan mengikuti
distribusi Poisson, laju pelayanan mengikuti distribusi eksponensial, dan c menyatakan banyaknya fasilitas pelayanan yang bekerja secara paralel. Pelayanan
dilakukan atas dasar pelanggan yang datang awal akan mendapatkan pelayanan
terlebih dahulu atau biasa dikenal dengan istilah first come first served (FCFS)
(Taha [9]). Contoh sistem antrian M/M/c dapat dijumpai pada antrian teller
bank. Sistem antrian pada teller bank mempunyai satu jalur antrian yang memasuki fasilitas pelayanan dan terdapat dua atau lebih fasilitas pelayanan.
Keadaan sistem antrian yang tidak mencapai keadaan setimbang disebut
keadaan transien (Kakiay [3]). Keadaan setimbang adalah keadaan setelah t
satuan waktu dengan jumlah pelanggan yang berada di dalam sistem antrian
1
Pendekatan Lattice Path untuk Sistem Antrian M/M/c
M. Arnani, I. Slamet, Siswanto
menjadi stabil (Taha [9]). Analisis sistem antrian keadaan transien dapat dilakukan menggunakan pendekatan lattice path kombinatorik (Sen dan Jain [7]).
Penelitian tentang sistem antrian transien telah dilakukan oleh Sen et al. [8]
dan Towsley [2]. Lattice path pada bidang-XY merupakan barisan titik (x1 , y1 ),
(x2 , y2 ),..., (xn , yn ) yang dilewati oleh path (Krattenthaller dan Mohanty [4]).
Analisis lattice path kombinatorik sistem antrian M/M/c dilakukan dengan
merepresentasikan suatu kedatangan atau kepergian dalam bentuk titik (x, y)
pada bidang-XY. Dalam artikel ini, dilakukan penurunan ulang perilaku sistem
antrian M/M/c yang merujuk pada Muto et al. [5].
2. METODE PENELITIAN
Langkah-langkah yang digunakan untuk mencapai tujuan penelitian adalah
sebagai berikut.
(1) Mendeskripsikan sistem antrian berada dalam keadaan tidak setimbang.
(2) Mengubah waktu awal, yaitu waktu kontinu menjadi waktu diskrit.
(3) Merepresentasikan sistem antrian M/M/c dengan lattice path.
(4) Menghitung banyaknya lattice path dengan pendekatan kombinatorik.
(5) Memberikan suatu contoh sistem antrian M/M/c.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan diuraikan hasil dari penelitian yaitu representasi lattice
path dari sistem antrian M/M/c, perhitungan lattice path dari sistem antrian
M/M/c, dan penerapannya.
3.1. Representasi Lattice Path dari Sistem Antrian M/M/c. Pada umumnya suatu sistem antrian berkaitan dengan kedatangan pelanggan dalam suatu
fasilitas pelayanan, kemudian pelanggan akan pergi setelah mendapatkan pelayanan.
Transisi kejadian pelanggan dalam suatu sistem merupakan suatu kedatangan atau kepergian yang membentuk suatu urutan. Dimisalkan T0 , T1 , T2 , ..., Tn
adalah waktu terjadinya suatu kejadian, sedangkan X0 , X1 , X2 , ..., Xn adalah banyaknya pelanggan di dalam sistem, dengan asumsi X0 = 0.
Kedatangan atau kepergian pelanggan yang membentuk suatu urutan merepresentasikan perpindahan titik sepanjang lattice path di bidang-XY. Apabila
perpindahan titik merupakan suatu kedatangan maka titik bergerak satu langkah
2
Pendekatan Lattice Path untuk Sistem Antrian M/M/c
M. Arnani, I. Slamet, Siswanto
pada sumbu x, sedangkan apabila perpindahan titik merupakan suatu kepergian
maka titik bergerak satu langkah pada sumbu y.
Contoh transisi kejadian pelanggan dalam suatu sistem diberikan oleh Gambar 1.
X
X7
3
X2
X6
2
X1
1
X0
0
T0= 0
X5
X3
X4
T1
T2
T3
T5
T4
T6
T7
t
Gambar 1. Transisi banyaknya pelanggan di dalam sistem
Dari Gambar 1, dapat dilihat bahwa saat T0 tidak ada pelanggan di dalam
sistem (X0 = 0). Selanjutnya, pada saat T1 terdapat satu pelanggan di dalam
sistem (X1 = 1). Pada saat T2 terdapat dua pelanggan di dalam sistem (X2 = 2).
Kemudian pada saat T3 terdapat satu pelanggan yang dilayani, sehingga terdapat
satu pelanggan di dalam sistem (X3 = 1) dan seterusnya.
Diasumsikan banyaknya kedatangan pelanggan lebih besar daripada banyaknya kepergian pelanggan setiap saat, sehingga lattice path yang sesuai dengan perilaku sistem tidak akan melewati garis x = y. Dengan representasi ini,
jarak titik (i, j) dari garis x = y adalah i − j yang merupakan banyaknya pelanggan pada sistem. Lattice path pada bidang-XY yang sesuai dengan transisi
kejadian pelanggan dalam sistem dari Gambar 1 ditunjukkan oleh Gambar 2.
2
1
0
1
2
3
4
5
X
Gambar 2. Lattice path dari transisi banyaknya pelanggan dalam sistem
Diasumsikan himpunan lattice path yang sesuai dengan transisi state memenuhi tiga kondisi berikut.
3
Pendekatan Lattice Path untuk Sistem Antrian M/M/c
M. Arnani, I. Slamet, Siswanto
i. Terdapat i kedatangan dan j kepergian dalam interval waktu (0, t).
ii. Banyaknya kedatangan pelanggan ke dalam antrian adalah rk (0 ≤ k ≤
c − 1).
iii. Banyaknya kepergian pelanggan dari antrian adalah sk (1 ≤ k ≤ c).
Dari lattice path yang memenuhi ketiga kondisi tersebut, diperoleh proposisi
berikut.
Proposisi 3.1. Untuk 1 ≤ k ≤ c,
{
rk−1 − z(k ≤ i − j), rk−1 ≥ 1;
sk =
0,
rk−1 = 0.
(3.1)
dimana z = 1 apabila benar (k ≤ i − j) dan 0 untuk yang lain.
Selanjutnya, akan diberikan beberapa definisi.
Definisi 3.2.
a. Himpunan lattice path dari titik (0, 0) ke (i, j) dinyatakan dengan L(i, j)
dimana i ≥ j ≥ 0 pada bidang-XY.
b. Langkah-x merupakan gabungan titik (h, k) dan (h + 1, k) dan langkah-y
merupakan gabungan titik (h, k) dan (h, k+1). Jarak langkah-x(y) adalah
h − k. Oleh karena itu, d-langkah-x(y) adalah suatu langkah-x(y) dimulai
dari titik pada x = y + d.
c. Lattice path direpresentasikan oleh
d = (d1 , d2 , ..., di−1 , di ),
(3.2)
dimana d merupakan jarak langkah-x.
d. Jarak vektor merupakan d-langkah-x yang dimulai dari titik pada garis x = y + d. Jarak vektor dari lattice path dinotasikan oleh vektor
rc = (r0 , r1 , ..., rc−1 , r¯c ), dengan r¯c -langkah-x merupakan langkah-x dengan lebih dari (c − 1)-langkah-x. Jarak vektor rc merupakan bilangan
bulat non negatif.
e. Untuk k = 1, 2, ..., c, r¯k dan s¯k didefinisikan sebagai berikut
r¯k = i −
k−1
∑
rn
dan
n=0
s¯k = j −
k−1
∑
sn .
n=1
Dari definisi tersebut, diperoleh sifat sebagai berikut.
i. Untuk d ∈ L(i, j), d memenuhi kondisi berikut
d1 = 0, 0 ≤ dk ≤ dk−1 + 1, untuk k = 2, ..., i.
4
(3.3)
Pendekatan Lattice Path untuk Sistem Antrian M/M/c
M. Arnani, I. Slamet, Siswanto
ii. Untuk d ∈ L(i, j), apabila w = max(dk | 1 ≤ k ≤ i) + 1 maka r¯w = 0
(max((i − j), 1) ≤ w ≤ i).
iii. Diasumsikan r = (r0 , r1 , ..., rc−1 , r¯c ) merupakan jarak vektor. Apabila
w ≤ c maka rh ≥ 1
(0 ≤ h ≤ w − 1), rh = 0
(w ≤ h ≤ c − 1) dan
r¯c = 0. Apabila w > c maka rh ≥ 1 (0 ≤ h ≤ c − 1) dan r¯c > 0.
Dengan menggunakan rc dan w, definisi berikut menjelaskan tentang klasifikasi himpunan lattice path.
Definisi 3.3.
Himpunan lattice path L(i, j) dengan jarak vektor rc dinyatakan dengan
L(i, j; rc ). Selanjutnya, l(i, j) dan l(i, j; rc ) didefinisikan sebagai
l(i, j) =| L(i, j) |
dan
l(i, j; rc ) =| L(i, j; rc ) | .
(3.4)
Himpunan lattice path L(i, j) dapat diklasifikasikan sebagai berikut.
min(c,i)
∑
l(i, j) =
c+
l(i, j; rc ∈ Rw
ij ) + l(i, j; rc ∈ Rij )
(3.5)
w=max(i−j,1)
dimana,
Rc+
¯c ) | rk ≥ 1 (0 ≤ k ≤ c − 1), r¯c ≥ max(1, i − j − c),
ij ={(r0 , ..., rc−1 , r
c−1
∑
rk + r¯c = i}, dan
k=0
Rw
¯c ) | rk ≥ 1 (0 ≤ k ≤ w − 1), rk = 0 (w ≤ k ≤ c − 1),
ij ={(r0 , ..., rc−1 , r
r¯c = 0,
w−1
∑
(3.6)
rk = i}.
k=0
3.2. Perhitungan Lattice Path Menggunakan Jarak Vektor. Pada bagian
ini, diberikan teorema tentang perhitungan banyaknya elemen L(i, j; rc ) menggunakan jarak vektor rc yang mengacu dari Mohanty [6].
Teorema 3.4. Untuk i ≥ j ≥ 0, i ̸= 0,
l(i, j; rc ) =
r¯c−1 −¯
sc+1
r¯c−1 +¯
sc+1
(
r¯c−1 + s¯c+1
r¯c−1
)
∏c−1
k=1
(
rk−1 + sk+1 − 1
rk−1 − 1
)
(
∏w−1 rk−1 + sk+1 − 1
k=1
, r c ∈ Rw
ij .
rk−1 − 1
5
)
, rc ∈ Rc+
ij ;
(3.7)
Pendekatan Lattice Path untuk Sistem Antrian M/M/c
M. Arnani, I. Slamet, Siswanto
Bukti.
a. Untuk kasus rc ∈ Rw
ij . Diketahui bahwa untuk beberapa n (0 ≤ n ≤ c−1),
apabila rk ≥ 1 (0 ≤ k ≤ n) maka
(
)
n
{∏
rk−1 + sk+1 − 1 }
l(i, j; rc ) =
l(¯
rn , s¯n+1 ; (rn , ..., rc−1 , r¯c )).
rk−1 − 1
k=1
Dari definisi Rw
ij , dengan mensubtitusikan n = w − 1 pada persamaan
di atas, diperoleh
l(i, j; rc ) =
{ w−1
∏
k=1
(
)
rk−1 + sk+1 − 1
rk−1 − 1
}
l(¯
rw−1 , s¯w ; (rw−1 , 0, ..., 0)).
Terdapat satu path dari (0, 0) ke (¯
rw−1 , s¯w−1 ) dengan jarak vektor
(rw−1 , 0, .., 0) yang hanya terdiri dari 0-langkah-x dan 1-langkah-y. Dengan demikian, teorema terbukti. ✷
b. Untuk rc ∈ Rc+
ij , dengan mensubtitusikan n = c − 1 pada persamaan
(
)
n
{∏
rk−1 + sk+1 − 1 }
l(i, j; rc ) =
l(¯
rn , s¯n+1 ; (rn , ..., r¯c−1 , r¯c )).
rk−1 − 1
k=1
diperoleh
l(i, j; rc ) =
c−1
{∏
k=1
(
)
rk−1 + sk+1 − 1
rk−1 − 1
}
l(¯
rc−1 , s¯c ; (rc−1 , r¯c )).
Selanjutnya, dilakukan perhitungan untuk l(¯
rc−1 , s¯c ; (rc−1 , r¯c )).
i. Untuk i − j ≥ c, r¯c−1 > s¯c . Dengan mensubtitusikan i = r¯c−1 , j = s¯c ,
dan r0 = rc−1 pada persamaan
i − j + r0 − 1
l(i, j; (r0 , r¯1 )) =
i + j − r0 + 1
(
i + j − r0 + 1
i
)
diperoleh
r¯c−1 − s¯c + rc−1 − 1
l(¯
rc−1 , s¯c ; (rc−1 , r¯c )) =
r¯c−1 + s¯c − rc−1 + 1
(
r¯c−1 + s¯c − rc−1 + 1
r¯c−1
)
.
(3.8)
ii. Untuk 0 ≤ i−j < c, r¯c−1 = s¯c . Dengan mensubtitusikan i = r¯c−1 , j = s¯c ,
dan r0 = rc−1 pada persamaan
i − j + r0
l(i, j; (r0 , r¯1 )) =
i + j − r0
6
(
i + j − r0
i
)
Pendekatan Lattice Path untuk Sistem Antrian M/M/c
M. Arnani, I. Slamet, Siswanto
diperoleh
r¯c−1 − s¯c + rc−1
l(¯
rc−1 , s¯c ; (rc−1 , r¯c )) =
r¯c−1 + s¯c − rc−1
(
r¯c−1 + s¯c − rc−1
r¯c−1
)
(3.9)
Selanjutnya, persamaan (3.8) dan (3.9) diringkas dengan mensubsitusikan s¯c =
s¯c+1 + sc . Dari proposisi 3.1 diketahui bahwa sc = rc−1 − 1, jika i − j ≥ c dan
sc = rc−1 , jika 0 ≤ i − j < c. Dengan demikian, teorema terbukti. ✷
3.3. Penerapan Kasus. Teorema 3.4 akan diilustrasikan pada kasus transisi
kejadian pelanggan yang direpresentasikan dalam bentuk lattice path yang diberikan oleh Gambar 3 dengan asumsi jumlah fasilitas pelayanan sebanyak 4 buah.
w
Akan dilakukan perhitungan banyaknya lattice path pada Rc+
ij dan Rij .
y
x=y
6
x=y+4
x=y+2
(7,5)
5
4
d
3
d
,
2
1
0
1
2
3
4
5
Gambar 3. d ∈ L(7, 5) ∈
6
7
Rw
ij
x
dan d’ ∈ L(7, 5) ∈ Rc+
ij
Dari lattice path yang sesuai dengan perilaku sistem di atas, diketahui bahw
wa untuk rc ∈ Rc+
ij mempunyai r = (1, 1, 2, 1, 2), sedangkan untuk rc ∈ Rij
mempunyai w = 3 dan r = (3, 3, 1, 0, 0).
i. Untuk kasus rc ∈ Rc+
ij .
Untuk i = 7, j = 5, r = (1, 1, 2, 1, 2) dan s = (0, 0, 2, 1, 2).
(
)(
)(
)(
)
r¯3 + s¯5
r0 + s2 − 1
r1 + s3 − 1
r2 + s4 − 1
r¯3 − s¯5
l(i, j; rc ) =
r¯3 + s¯5
r¯3
r0 − 1
r1 − 1
r2 − 1
(
)(
)(
)(
)
1+0−1
1+2−1
2+1−1
3−2 3+2
=
3+2
3
1−1
1−1
2−1
( )( )( )( )
0
2
2
1 5
=
5 3
0
0
1
= 4.
Dengan demikian, banyaknya lattice path untuk rc ∈ Rc+
ij adalah 4.
7
Pendekatan Lattice Path untuk Sistem Antrian M/M/c
M. Arnani, I. Slamet, Siswanto
ii. Untuk kasus rc ∈ Rw
ij .
Untuk i = 7, j = 5, w = 3, r = (3, 3, 1, 0, 0) dan s = (2, 2, 1, 0, 0).
(
)(
)
r0 + s2 − 1
r1 + s3 − 1
l(i, j; rc ) =
r0 − 1
r1 − 1
(
)(
)
3+2−1
3+1−1
=
3−1
3−1
( )( )
4
3
=
2
2
= 18.
Dengan demikian, banyaknya lattice path untuk rc ∈ Rw
ij adalah 18.
4. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan diperoleh kesimpulan yaitu sistem antrian M/M/c pada keadaan transien dapat diselesaikan menggunakan pendekatan
lattice path kombinatorik. Pendekatan ini, merepresentasikan transisi kejadian ke
dalam bentuk lattice path pada bidang-XY. Selanjutnya, perhitungan banyaknya
lattice path dapat dilakukan menggunakan jarak vektor.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Bronson, R., Theory and Problem of Operation Research, Mc Graw-Hill, Inc, New York,
1991.
[2] Towsley, D., An Application of the Reflection Principle to the Transient Analysis of the
M/M/1 Queue, Res. Logist,34 (1987), 451-456.
[3] Kakiay, T. J., Dasar Teori Antrian Untuk Kehidupan Nyata, Andi, Yogyakarta, 2004.
[4] Krattenthaler, C. and Mohanty, S.G., Lattice Path Combinatorics - Applications to
Probability and Statistics, Encyclopedia of Statistical Sciences, 2 (2003).
[5] Muto, K. et.al, Lattice Path Counting and M/M/c Queueing Systems, Queueing Systems, 19 (1995), 193-214.
[6] Mohanty, S.G., Lattice Path Counting and Applications, Academic Press, New York,
1979.
[7] Sen, K. et al., Combinatorial Approach to Markovian Queueing Models, Journal of
Statistical Planning and Inference, 34 (1993), 269-279.
[8] Sen, K., J. L. Jain and J. M Gupta, Lattice Path Approach to Transient Solution of
M/M/1 with (0,k) Control Policy, Journal of Statistical Planning and Inference, 34
(1993), 259-267.
[9] Taha, H. A., Operations Research an Introduction, Macmillan Publishing Co Inc, New
York, 4th (1987).
8