Makalah 2 (Bambang Irawanto)
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER
Vol. 4. No. 2, 65 - 70, Agustus 2001, ISSN : 1410-8518
__________________________________________________________________
SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH
Bambang Irawanto
Jurusan Matematika FMIPA UNDIP
Abstact
Field is integral domain and is a such that every non-zero elemen in
it has multiplicative inverse. Extension field F of field K is splitting
field of collections polinomial { fi(x) | i I } of K if F is the
smallest subfield K containing K and all the zeros in K of the
polinomial fi(x). Elemen F is algebra over K if f () = 0 for
some 0 f (x) K[x]. Splitting field is extension algebra.
Keywords : extension fields, elemen algebra
1.
PENDAHULUAN
Lapangan adalah daerah integral yang setiap elemen yang tidak nol
mempunyai invers terhadap pergandaan. Lapangan F disebut lapangan perluasan
F atas lapangan K jika lapangan merupakan subfield dari lapangan F (Hungerford,
T. W, 1984). Polinomial f (x) K[x] dan a K adalah akar dari f (x) jika dan
hanya jika (x – a) faktor dari f (x) (Hungerford T. W, 1984). Lapangan perluasan F
disebut lapangan pemisah (splitting field) dari polinomial f (x) K [x] jika f (x)
terfaktor dalam F [x] dengan akar-akar f (x) berada dalam F ( Hungerford T.W,
1984).
Lapangan pemisah F untuk koleksi polinomial { fi (x) | I I } atas K jika
F subfield terkecil dalam penutup aljabar K yang memuat semua akar-akar dari fi
(x) dan K. (Fraleigh, J. B, 1994). Dalam tulisan ini dipelajari syarat perlu
lapangan pemisah dalam hubungan dengan elemen aljabar.
2. LAPANGAN PERLUASAN
Hungerford T.W, (1984), memberikan pengertian lapangan perluasan F
atas lapangan K, jika lapangan K merupakan subfield dari lapangan F berdasarkan
pengertian ini dibuktikan teorema Kronecker.
65
Syarat Perlu Lapangan …(Bambang Irawanto)
__________________________________________________________________
Teorema 1. (Teorema Kronecker)
Misal K adalah lapangan dan f(x) polinomial yang tidak konstan dalan
K[x], maka terdapatlah lapangan perluasan (Extension field) F dari K, dan elemen
F sedemikian sehingga f() = 0.
Bukti :
K[x] adalah daerah ideal utama, karena daerah ideal utama merupakan
daerah faktorisasi tunggal, maka f(x) K[x] dapat difaktorkan secara tunggal
sebagai f(x) = p1(x) p2(x)… pn(x), dengan pi (x) (i = 1,2,…n) adalah polinomial
prima yang tak tereduksi ; karena p(x) polinomial tak tereduksi maka
adalah ideal maximal, dalam K[x], dengan
K[x]
Didefinisikan suatu pemetaan oleh : K p(x)
K[x]
p(x)
suatu lapangan.
dengan a | a +
adalah pemetaan 1 – 1, sebab a,b K jika (a) = (b) maka a +
+
p(x)
a-b
p(x)
p(x)
p(x)
=b
a-b = k p(x), jadi a - b suatu kelipatan p(x) yang
berderajat 0 maka a - b = 0 atau a = b. homomorfisma ring.
Sehingga (K) = {a +
K[x]
p(x) , jadi K {a +
K[x]
Misal F = p(x)
p(x)
p(x)
|aK}
K[x]
p(x)
merupakan sub field dari
| a K}.
maka F merupakan lapangan perluasan dari K.
K[x]
Akan dibuktikan f() = 0, a F = p(x) , ambil F dengan = x +
p(x)
. Jika p(x) = a0x0 + a1x1 + ….. + anxn K, maka p() = a00 + a11 + ….. + ann =
_
0
K[x]
p(x)
P () = 0. Karena f(x) = p1(x). p2(x)…………. pn(x), maka f() = 0.
Contoh :
66
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER
Vol. 4. No. 2, 65 - 70, Agustus 2001, ISSN : 1410-8518
__________________________________________________________________
Misal K = R, f(x) = x 2 + 1, f(x) tak tereduksi dalam R, maka ideal
R x
maksimal dalam R[x] jadi x 2 1 lapangan dengan
R x
2
x 2 1 = {g(x) + | g(x) R[x] }.
_
R x
Ambil = x + maka f() = (x + )2 +1 = 0 x 2 1 .
Elemen F disebut elemen aljabar atas K jika f() = 0, untuk suatu 0
f(x) K[x] sebaliknya bukan aljabar disebut transedental (Fraleigh J.B, 1994).
Selanjutnya dari pengertian aljabar diperoleh pengertian perluasan aljabar.
Definisi 1. F adalah lapangan perluasan atas lapangan K disebut perluasan aljabar
jika setiap elemen dari F merupakan aljabar atas K. F dapat dipandang sebagai
ruang vektor atas lapangan K. Dimensi ruang vektor F atas K disebut derajat dari
lapangan perluasan F atas K, yang selanjutnya dinotasikan dengan [F:K]. Lebih
lanjut lapangan perluasan disebut perluasan berhingga bila [F:K] berhingga.
Teorema 2. Setiap perluasan berhingga dari (finite extention) suatu lapangan
merupakan perluasan aljabar. (Raisinghania MD, 1980).
Bukti :
Pandang F perluasan berhingga lapangan K yang mempunyai derajat F
atas K berhingga sebut n, maka ruang vektor F atas K memiliki dimensi n. Akan
ditunjukkan F adalah perluasan aljabar berarti setiap elemen didalam F adalah
aljabar atas K. Ambil sebarang elemen dalam F, maka , 2, …., n elemenelemen dalam F dan jika 1 adalah unit dari F maka 1, , 2, …., n merupakan
elemen-elemen di dalam F berjumlah (n+1).
Karena ruang vektor F berdimensi n, maka setiap himpunan (n+1) elemen
atau lebih tak bebas linier, sehingga himpunan {1, , 2, …., n} tak bebas linear,
jadi terdapat elemen-elemen 0, 1, …., n dari K yang tidak semuannya nol
sedemikian sehingga,
a0.1+ a1+ a22+ …. + ann = 0
67
Syarat Perlu Lapangan …(Bambang Irawanto)
__________________________________________________________________
ini menunjukkan bahwa adalah akar dari polinomial tidak nol a0 + a1x + a2x2 +
….+ anxn dalam K[x], sehingga adalah aljabar atas K. Karena adalah sebarang
elemen dalam F, maka F adalah perluasan aljabar.
_
Himpunan K F = { F / aljabar atas K} merupakan subfield dari F,
selanjutnya disebut penutup aljabar ( aljabraic closure) dari K dalam F (Fraleigh J.
B, 1994).
3. LAPANGAN PEMISAH
Definisi 2. Misal K suatu lapangan dengan penutup aljabar (algebraic closure) K
. { fi (x) / i I } koleksi dari polinomial-polinomial dalam K[x]. Suatu lapangan F
K disebut lapangan pemisah (splitting field) dari { f i (x) / i I } atas K jika F
adalah sub field terkecil dari K yang memuat K dan semua akar dalam K dari
setiap fi (x), untuk i I. Suatu lapangan F K adalah lapangan pemisah
(splitting field) atas K, jika F K adalah lapangan pemisah (splitting field) dari
himpunan sebarang dari polinomial-polinomial dalam K[x].
Dean R. A (1996) menyebutkan bahwa semua lapangan K dan semua f(x)
K[x] sedemikian sehingga deg (f) 1, terdapatlah perluasan F dari K yang
merupakan lapangan pemisah untuk f(x) atas K.
Teorema 4. Misal F lapangan pemisah dari polinomial f(x) K[x] atas K, jika E
lapangan pemisah dari f(x) K[x] yang lain maka terdapatlah isomorfisma
:EF
Bukti :
Pandang polinomial jika f(x) = a0x0 + a1x1 + … + anxn, ai K, i = 0, 1, … n.
F lapangan pemisah dari polinomial f(x) atas K maka akar-akar f(x) berada dalam
F. Misal F maka f() = a00 + a11 + … + ann = 0 begitu juga untuk E
maka f() = a00 + a11 + … + ann = 0 (karena E lapangan pemisah dari f(x) atas
K).
68
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER
Vol. 4. No. 2, 65 - 70, Agustus 2001, ISSN : 1410-8518
__________________________________________________________________
Bentuk pemetaan : E F dengan | -| , maka 1, 2 E dan
1, 2 F maka (1+ 2) = (1+ 2) = 1+ 2 = (1) + (2) dan
(1. 2) = (1. 2) = 1. 2 = (1) . (2) jadi homomorfisma dan jika
(1) = (2) maka 1 = 2 dan F maka terdapatlah () = jadi
isomorfisma.
Dan untuk (f())
= (a00 + a11 + … + ann)
= a0 (0) + a1 (1) + … + an (n)
= a0 0 + a1 1 + … + an n
Teorema 5. (Raisinghania, M.D, 1980).
Lapangan pemisah meerupakan
perluasan aljabar.
Bukti :
Pandang F lapangan pemisah dari polinomial f(x) atas lapangan K dan 1,
2 , … n adalah akar –akar dari f(x), maka F dapat ditulis F = K (1, 2 , … n)
atau
F1 = K (1)
F2 = K1 (2) = ( K(1)) (2) = K (1, 2)
.
.
.
Fn = Kn-1 (n) = ( K(1, 2,…n-1)) (n) = K (1, 2,…n) = F.
Tetapi setiap elemen-elemen 1, 2,…n merupakan akar-akar polinomial tidak
nol f(x) atas lapangan K, jadi 1, 2,…n merupakan aljabar atas K, maka F
merupakan perluasan berhingga dari lapangan K (sebab [K (1, 2,…n ) : K]
berhingga).
Jadi (menurut Teorema 2) F merupakan perluasan ajabar.
Contoh :
Misal f(x) = x4 – x = x2 – x Z2[x], p = 2, n = 2.
x4 – x = x (x – 1) (x2 + x + 1). Ambil = x +
69
Syarat Perlu Lapangan …(Bambang Irawanto)
__________________________________________________________________
Maka 0, 1, , 1 + , adalah akar-akar dari f(x) = x4 – x sehingga Z2 ()
merupakan lapangan pemisah dari f(x) = x4 – x atas Z2 yang merupakan suatu
perluasan aljabar.
4. KESIMPULAN
1. Setiap perluasan berhingga merupakan perluasan aljabar.
2. Untuk semua lapangan K dan semua f(x) K[x] sedemikian sehingga
deg (f) 1, terdapatlah perluasan F dari K yang merupakan lapangan pemisah
untuk f(x) atas K.
3. Lapangan pemisah merupakan perluasan aljabar.
DAFTAR PUSTAKA
1. Dean R. A. Element of Abstract Algebra, John Wiley & Sons, USA, 1966.
2. Fraleigh, J. B , A First Course in Abstract Algebra, Addison – Wesley
Publishing Company, USA, 1994.
3. Hungerford, T. W, Graduete Text in Mathematics Algebra, Springer Verlag,
New York, Heidelberg Berlin, 1984.
4. Raisinghania M. D, Aggarwal R. S, Modern Algebra, S Chand & Company
Ltd, New Delhi, 1980.
70
Vol. 4. No. 2, 65 - 70, Agustus 2001, ISSN : 1410-8518
__________________________________________________________________
SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH
Bambang Irawanto
Jurusan Matematika FMIPA UNDIP
Abstact
Field is integral domain and is a such that every non-zero elemen in
it has multiplicative inverse. Extension field F of field K is splitting
field of collections polinomial { fi(x) | i I } of K if F is the
smallest subfield K containing K and all the zeros in K of the
polinomial fi(x). Elemen F is algebra over K if f () = 0 for
some 0 f (x) K[x]. Splitting field is extension algebra.
Keywords : extension fields, elemen algebra
1.
PENDAHULUAN
Lapangan adalah daerah integral yang setiap elemen yang tidak nol
mempunyai invers terhadap pergandaan. Lapangan F disebut lapangan perluasan
F atas lapangan K jika lapangan merupakan subfield dari lapangan F (Hungerford,
T. W, 1984). Polinomial f (x) K[x] dan a K adalah akar dari f (x) jika dan
hanya jika (x – a) faktor dari f (x) (Hungerford T. W, 1984). Lapangan perluasan F
disebut lapangan pemisah (splitting field) dari polinomial f (x) K [x] jika f (x)
terfaktor dalam F [x] dengan akar-akar f (x) berada dalam F ( Hungerford T.W,
1984).
Lapangan pemisah F untuk koleksi polinomial { fi (x) | I I } atas K jika
F subfield terkecil dalam penutup aljabar K yang memuat semua akar-akar dari fi
(x) dan K. (Fraleigh, J. B, 1994). Dalam tulisan ini dipelajari syarat perlu
lapangan pemisah dalam hubungan dengan elemen aljabar.
2. LAPANGAN PERLUASAN
Hungerford T.W, (1984), memberikan pengertian lapangan perluasan F
atas lapangan K, jika lapangan K merupakan subfield dari lapangan F berdasarkan
pengertian ini dibuktikan teorema Kronecker.
65
Syarat Perlu Lapangan …(Bambang Irawanto)
__________________________________________________________________
Teorema 1. (Teorema Kronecker)
Misal K adalah lapangan dan f(x) polinomial yang tidak konstan dalan
K[x], maka terdapatlah lapangan perluasan (Extension field) F dari K, dan elemen
F sedemikian sehingga f() = 0.
Bukti :
K[x] adalah daerah ideal utama, karena daerah ideal utama merupakan
daerah faktorisasi tunggal, maka f(x) K[x] dapat difaktorkan secara tunggal
sebagai f(x) = p1(x) p2(x)… pn(x), dengan pi (x) (i = 1,2,…n) adalah polinomial
prima yang tak tereduksi ; karena p(x) polinomial tak tereduksi maka
adalah ideal maximal, dalam K[x], dengan
K[x]
Didefinisikan suatu pemetaan oleh : K p(x)
K[x]
p(x)
suatu lapangan.
dengan a | a +
adalah pemetaan 1 – 1, sebab a,b K jika (a) = (b) maka a +
+
p(x)
a-b
p(x)
p(x)
p(x)
=b
a-b = k p(x), jadi a - b suatu kelipatan p(x) yang
berderajat 0 maka a - b = 0 atau a = b. homomorfisma ring.
Sehingga (K) = {a +
K[x]
p(x) , jadi K {a +
K[x]
Misal F = p(x)
p(x)
p(x)
|aK}
K[x]
p(x)
merupakan sub field dari
| a K}.
maka F merupakan lapangan perluasan dari K.
K[x]
Akan dibuktikan f() = 0, a F = p(x) , ambil F dengan = x +
p(x)
. Jika p(x) = a0x0 + a1x1 + ….. + anxn K, maka p() = a00 + a11 + ….. + ann =
_
0
K[x]
p(x)
P () = 0. Karena f(x) = p1(x). p2(x)…………. pn(x), maka f() = 0.
Contoh :
66
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER
Vol. 4. No. 2, 65 - 70, Agustus 2001, ISSN : 1410-8518
__________________________________________________________________
Misal K = R, f(x) = x 2 + 1, f(x) tak tereduksi dalam R, maka ideal
R x
maksimal dalam R[x] jadi x 2 1 lapangan dengan
R x
2
x 2 1 = {g(x) + | g(x) R[x] }.
_
R x
Ambil = x + maka f() = (x + )2 +1 = 0 x 2 1 .
Elemen F disebut elemen aljabar atas K jika f() = 0, untuk suatu 0
f(x) K[x] sebaliknya bukan aljabar disebut transedental (Fraleigh J.B, 1994).
Selanjutnya dari pengertian aljabar diperoleh pengertian perluasan aljabar.
Definisi 1. F adalah lapangan perluasan atas lapangan K disebut perluasan aljabar
jika setiap elemen dari F merupakan aljabar atas K. F dapat dipandang sebagai
ruang vektor atas lapangan K. Dimensi ruang vektor F atas K disebut derajat dari
lapangan perluasan F atas K, yang selanjutnya dinotasikan dengan [F:K]. Lebih
lanjut lapangan perluasan disebut perluasan berhingga bila [F:K] berhingga.
Teorema 2. Setiap perluasan berhingga dari (finite extention) suatu lapangan
merupakan perluasan aljabar. (Raisinghania MD, 1980).
Bukti :
Pandang F perluasan berhingga lapangan K yang mempunyai derajat F
atas K berhingga sebut n, maka ruang vektor F atas K memiliki dimensi n. Akan
ditunjukkan F adalah perluasan aljabar berarti setiap elemen didalam F adalah
aljabar atas K. Ambil sebarang elemen dalam F, maka , 2, …., n elemenelemen dalam F dan jika 1 adalah unit dari F maka 1, , 2, …., n merupakan
elemen-elemen di dalam F berjumlah (n+1).
Karena ruang vektor F berdimensi n, maka setiap himpunan (n+1) elemen
atau lebih tak bebas linier, sehingga himpunan {1, , 2, …., n} tak bebas linear,
jadi terdapat elemen-elemen 0, 1, …., n dari K yang tidak semuannya nol
sedemikian sehingga,
a0.1+ a1+ a22+ …. + ann = 0
67
Syarat Perlu Lapangan …(Bambang Irawanto)
__________________________________________________________________
ini menunjukkan bahwa adalah akar dari polinomial tidak nol a0 + a1x + a2x2 +
….+ anxn dalam K[x], sehingga adalah aljabar atas K. Karena adalah sebarang
elemen dalam F, maka F adalah perluasan aljabar.
_
Himpunan K F = { F / aljabar atas K} merupakan subfield dari F,
selanjutnya disebut penutup aljabar ( aljabraic closure) dari K dalam F (Fraleigh J.
B, 1994).
3. LAPANGAN PEMISAH
Definisi 2. Misal K suatu lapangan dengan penutup aljabar (algebraic closure) K
. { fi (x) / i I } koleksi dari polinomial-polinomial dalam K[x]. Suatu lapangan F
K disebut lapangan pemisah (splitting field) dari { f i (x) / i I } atas K jika F
adalah sub field terkecil dari K yang memuat K dan semua akar dalam K dari
setiap fi (x), untuk i I. Suatu lapangan F K adalah lapangan pemisah
(splitting field) atas K, jika F K adalah lapangan pemisah (splitting field) dari
himpunan sebarang dari polinomial-polinomial dalam K[x].
Dean R. A (1996) menyebutkan bahwa semua lapangan K dan semua f(x)
K[x] sedemikian sehingga deg (f) 1, terdapatlah perluasan F dari K yang
merupakan lapangan pemisah untuk f(x) atas K.
Teorema 4. Misal F lapangan pemisah dari polinomial f(x) K[x] atas K, jika E
lapangan pemisah dari f(x) K[x] yang lain maka terdapatlah isomorfisma
:EF
Bukti :
Pandang polinomial jika f(x) = a0x0 + a1x1 + … + anxn, ai K, i = 0, 1, … n.
F lapangan pemisah dari polinomial f(x) atas K maka akar-akar f(x) berada dalam
F. Misal F maka f() = a00 + a11 + … + ann = 0 begitu juga untuk E
maka f() = a00 + a11 + … + ann = 0 (karena E lapangan pemisah dari f(x) atas
K).
68
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER
Vol. 4. No. 2, 65 - 70, Agustus 2001, ISSN : 1410-8518
__________________________________________________________________
Bentuk pemetaan : E F dengan | -| , maka 1, 2 E dan
1, 2 F maka (1+ 2) = (1+ 2) = 1+ 2 = (1) + (2) dan
(1. 2) = (1. 2) = 1. 2 = (1) . (2) jadi homomorfisma dan jika
(1) = (2) maka 1 = 2 dan F maka terdapatlah () = jadi
isomorfisma.
Dan untuk (f())
= (a00 + a11 + … + ann)
= a0 (0) + a1 (1) + … + an (n)
= a0 0 + a1 1 + … + an n
Teorema 5. (Raisinghania, M.D, 1980).
Lapangan pemisah meerupakan
perluasan aljabar.
Bukti :
Pandang F lapangan pemisah dari polinomial f(x) atas lapangan K dan 1,
2 , … n adalah akar –akar dari f(x), maka F dapat ditulis F = K (1, 2 , … n)
atau
F1 = K (1)
F2 = K1 (2) = ( K(1)) (2) = K (1, 2)
.
.
.
Fn = Kn-1 (n) = ( K(1, 2,…n-1)) (n) = K (1, 2,…n) = F.
Tetapi setiap elemen-elemen 1, 2,…n merupakan akar-akar polinomial tidak
nol f(x) atas lapangan K, jadi 1, 2,…n merupakan aljabar atas K, maka F
merupakan perluasan berhingga dari lapangan K (sebab [K (1, 2,…n ) : K]
berhingga).
Jadi (menurut Teorema 2) F merupakan perluasan ajabar.
Contoh :
Misal f(x) = x4 – x = x2 – x Z2[x], p = 2, n = 2.
x4 – x = x (x – 1) (x2 + x + 1). Ambil = x +
69
Syarat Perlu Lapangan …(Bambang Irawanto)
__________________________________________________________________
Maka 0, 1, , 1 + , adalah akar-akar dari f(x) = x4 – x sehingga Z2 ()
merupakan lapangan pemisah dari f(x) = x4 – x atas Z2 yang merupakan suatu
perluasan aljabar.
4. KESIMPULAN
1. Setiap perluasan berhingga merupakan perluasan aljabar.
2. Untuk semua lapangan K dan semua f(x) K[x] sedemikian sehingga
deg (f) 1, terdapatlah perluasan F dari K yang merupakan lapangan pemisah
untuk f(x) atas K.
3. Lapangan pemisah merupakan perluasan aljabar.
DAFTAR PUSTAKA
1. Dean R. A. Element of Abstract Algebra, John Wiley & Sons, USA, 1966.
2. Fraleigh, J. B , A First Course in Abstract Algebra, Addison – Wesley
Publishing Company, USA, 1994.
3. Hungerford, T. W, Graduete Text in Mathematics Algebra, Springer Verlag,
New York, Heidelberg Berlin, 1984.
4. Raisinghania M. D, Aggarwal R. S, Modern Algebra, S Chand & Company
Ltd, New Delhi, 1980.
70