Slide TSP205 Mek Bahan TSP 205 P4 5 6

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Mata Kuliah
Kode
SKS

: Mekanika Bahan
: TSP – 205
: 3 SKS

Analisis Penampang
Pertemuan – 4, 5, 6

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• TIU :

 Mahasiswa dapat menghitung properti dasar penampang, seperti
luas, momen statis, momen inersia

• TIK :

 Mahasiswa mampu menentukan pusat berat dan momen inersia
suatu penampang

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Sub Pokok Bahasan :
 Pusat Berat
 Momen Inersia
 Teorema Sumbu Sejajar
 Momen Inersia Polar
 Produk Inersia
 Rotasi Sumbu
 Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Pusat Berat (Center of Gravity)

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Pusat Berat (Center of Gravity)
• Letak pusat berat (CoG) merupakan

besaran dasar yang penting, yang
merupakan titik tolak untuk menentukan
besaran penampang yang lainnya
• Suatu benda sembarang berada dalam
koordinat xy, memiliki pusat berat di titik
C, maka luas dari bidang tersebut dapat
didefinisikan
menggunakan
integral
sebagai berikut :

A   dA

dA adalah elemen diferensial dari area yang mempunyai koordinat x dan y

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Pusat Berat (Center of Gravity)
• Momen pertama (statis momen) dari area tersebut terhadap sumbu x
dan y masing-masing didefinisikan sebagai berikut :

Qx   y  dA

Qy   x  dA

• Momen pertama menunjukkan jumlah dari hasil kali setiap area
diferensial dan koordinatnya
• Momen pertama dapat bertanda positif atau negatif
• Momen pertama memiliki satuan panjang pangkat tiga (mm3, m3, in3)

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Pusat Berat (Center of Gravity)

x  dA


A
 dA

 y  dA
 dA

• Koordinat pusat berat C sama dengan momen pertama dibagi luas

x

Qy

Qx
y

A

• Untuk kasus khusus, letak CoG suatu penampang dapat ditentukan
dengan mudah

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Pusat Berat (Center of Gravity)
Contoh 1
Sebuah semi segmen parabolik OAB
dibatasi dengan sumbu x, sumbu y dan

kurva parabolik yang mempunyai puncak
di A. Persamaan kurva tersebut adalah :

 x2 
y  f ( x )  h1  2 
 b 

Dengan b adalah alas dan h adalah tinggi
semi segmen. Tentukan lokasi pusat berat
C untuk semi segmen tersebut.

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
 x2 
dA = ydx = h1  2 dx
 b 
b
 x2 
2bh



A =  dA   h1  2 dx 
3
b 
0 
Jawab :

 x2 
4bh 2
1  2  dx 
15
 b 
b
 x2 
b2h
Q y   xdA   hx1  2 dx 
4
 b 
0
Q y 3b
Q x 2h

y


x
A
5
A 8
y
h2
Q x   dA  
2
2
0
b

2

 x2 
y  f ( x )  h1  2 
 b 

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Pusat Berat (Center of Gravity)
• Penampang-penampang standar yang umum dijumpai dalam dunia
teknik (persegi panjang, lingkaran, segitiga dsb.) pada umumnya sudah
ditabelkan lokasi pusat beratnya
• Yang sering dijumpai pula adalah adanya penampang yang merupakan
gabungan dari beberapa bentuk penampang standar
• Untuk menghitung lokasi pusat berat penampang gabungan tersebut,
maka penampang tersebut dapat dibagi-bagi menjadi beberapa
komponen
• Misal diasumsikan bahwa area gabungan dibagi menjadi n bagian, dan
luas bagian ke-i diberi notasi Ai

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Pusat Berat (Center of Gravity)
• Selanjutnya dapat diperoleh luas dan momen pertama dengan
penjumlahan sebagai berikut :
Qx   yi  Ai

A   Ai
n

n

i 1

i 1

Q y   xi  Ai
n

i 1

• Koordinat pusat berat penampang gabungan adalah :

x A

x

Qy
A



i 1
n

A
i 1

i

i

i

yA
n

n

Qx
y

A

i 1
n

A
i 1

i

i

i

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Pusat Berat (Center of Gravity)
Contoh 2
Sebuah penampang tersusun dari
balok baja terbuat dari profil sayap
lebar W 500.200 dengan pelat penutup
150 mm × 12 mm yang dilas di flens
atas dan profil kanal C 250× 90.
Tentukan
lokasi
pusat
berat
penampang diukur terhadap sumbu x
dalam gambar.

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

A1  150  12  1800mm2

y1  500 / 2  12 / 2  256mm

A3  4.407mm2

y3  500 / 2  24,3  149,3mm

Jawab :

A2  11.420mm2

y2  0mm

A   Ai  A1  A2  A3  17.627mm2
3

i 1

Q x   yi Ai  y1 A1  y2 A2  y3 A3  197.165,1mm3
3

i 1

y

Q x  197.165,1

 11,185mm
17.627
A

Soal 2.1 – 2.10

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Momen Inersia
• Momen Inersia (I) suatu bidang terhadap
sumbu x dan y didefinisikan dalam bentuk
integral sebagai berikut :

I x   y2 dA

I y   x2 dA

• Karena elemen dA dikalikan dengan
kuadrat jarak dari sumbu referensi, maka
momen inersia disebut juga momen
kedua dari area
• Momen Inersia suatu area selalu bernilai
positif dan memiliki satuan panjang
pangkat empat (mm4, in4, m4 dst.)

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Momen Inersia
• Tinjau sebuah persegi panjang dengan lebar b
dan tinggi h
• Sumbu x, y melalui pusat berat C
• Elemen luas diferensial dA, diambil berupa
strip horizontal tipis dengan lebar b dan tinggi
dy (dA = b∙dy)
• Sehingga momen inersia terhadap sumbu x
adalah :
3
bh
I x   y2 dA   y2b  dy 
12
h / 2
h/ 2

Iy = ???
IBB = ???

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Momen Inersia
Radius Girasi
• Radius Girasi suatu area bidang didefinisikan sebagai akar dari momen
inersia untuk area tersebut dibagi dengan luasnya
• Radius Girasi (r) terhadap sumbu x dan y dapat dituliskan dalam bentuk
persamaan sebagai berikut :

rx 

Ix
A

ry 

Iy
A

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Momen Inersia
Contoh 3
Tentukan momen inersia Ix dan Iy dari
sebuah semi segmen parabolik OAB
dengan persamaan :

 x2 
y  f ( x )  h1  2 
 b 

(area ini sama dengan yang dipakai dalam Contoh 4-1)

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Jawab :
Elemen diferensial dA dipilih berupa strip vertikal yang lebarnya
dx dan tingginya y.


x2
dA  ydx  h1  2
b



dx



x2
I y   x dA   x h1  2
b

0
b

2

2


2hb 3
dx 
15


y3
1
3
dx , maka :
Karena dI x  (dx) y 
3
3
Ix 


b

0

y3
dx 
3

h3
0 3
b


x2
1  2
b



16bh 3
 dx 
105

3

Soal 2.11 – 2.17

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Teorema Sumbu Sejajar
• Teorema sumbu sejajar memberikan
hubungan antara momen inersia
terhadap sumbu berat dan momen
inersia terhadap sumbu lain yang
sejajar dengannya.
• Tinjau suatu area sembarang dengan
pusat berat C yang dilengkapi dengan
dua sistem koordinat, yaitu sistem xcyc
(yang berpusat di pusat berat C), serta
sistem xy (yang sejajar xcyc, dan
berpusat di O)
• Jarak antara kedua sistem koordinat
adalah d1 dan d2.

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Teorema Sumbu Sejajar
• Dengan menggunakan definisi momen inersia, maka dapt dituliskan
persamaan untuk momen inersia Ix, terhadap sumbu x yaitu :

I x    y  d1  dA   y2 dA 2d1  ydA  d1
2

I x  I xc  A d1

2

 dA

2

• Dengan cara sama dituliskan momen inersia terhadap y, Iy :

I y  I yc  A d 2

2

• Kedua persamaan tersebut menyatakan teorema sumbu sejajar untuk
momen inersia
Teorema Sumbu Sejajar : Momen Inersia suatu area terhadap sembarang sumbu di dalam
bidangnya sama dengan momen inersia terhadap sumbu berat sejajar ditambah dengan hasil kali
luas tersebut dan kuadrat jarak antara kedua sumbu

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Teorema Sumbu Sejajar

• Tentukan besarnya IBB
dengan menggunakan
teorema sumbu sejajar
• Samakah hasilnya dengan
menggunakan teknik
integral ?

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Teorema Sumbu Sejajar
Contoh 4
Tentukan momen inersia Ic terhadap
sumbu horizontal C-C yang melalui pusat
berat C untuk penampang dalam gambar
berikut. Lokasi pusat berat sudah
ditentukan dalam kuliah sebelumnya.

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Jawab :
Dari contoh sebelumnya diperoleh :
A1  150  12  1800mm2 y1  256mm

y2  0mm

A2  11.420mm2

y3  149,3mm

A3  4.407mm2

c = 11,185 mm
I1 

bh 3 150  12 3

 21.600mm4
12
12

I 2  47.800  10 4 mm4
I 3  342  10 4 mm4

Inersia masing-masing bagian terhadap sumbu C-C :
I c1  I 1  A1  y1  c   128.539.816,6mm4
2

I c 2  I 2  A2 c 2  479.428.690,3mm4

I c 3  I 3  A3  y3  c   87.486.844,5mm4
2

Sehingga Ic = Ic1 + Ic2 + Ic3 = 695.455.351,4 mm4

Soal 2.18 – 2.21

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Momen Inersia Polar
•

•

•

Momen inersia yang dibahas sejauh ini
didefinisikan terhadap sumbu yang terletak
di dalam bidang area itu sendiri, seperti
sumbu x dan y dalam gambar
Kini akan ditinjau sumbu yang tegak lurus
bidang area dan berpotongan dengan
bidang tersebut di titik pusat O
Momen inersia terhadap sumbu yang tegak
lurus ini disebut momen inersia polar (Ip)
yang dapat didefinisikan dalam bentuk :

I p    2 dA

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Momen Inersia Polar

• Besaran  adalah jarak dari titik O ke elemen luas diferensial
dA
• Karena 2 = x2 + y2, maka :





I p    2 dA   x2  y2 dA   x2 dA  y2 dA
I p  Ix  Iy

• Dengan menggunakan
dinyatakan pula bahwa :

I   I 
p O

p C

teorema

 Ad 2

sumbu

sejajar

dapat

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Momen Inersia Polar
Contoh 5
Tentukan momen inersia polar (Ip) dari
suatu lingkaran dengan jari-jari r,
terhadap pusat berat C, serta terhadap
titik B di tepi luar lingkaran.

IPC = ???
IPB = ???

Jawab :

I P c   

dA   2 d 
r

2

3

0

I P B  I P c  Ad

2



r 4
2

r 4
2

 

 r r
2

2

3r 4

2

Soal 2.22 – 2.25

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Produk Inersia
• Produk inersia suatu area terhadap sumbu x dan
y, didefinisikan dalam bentuk integral sebagai
berikut :

I xy   xydA

• Produk inersia dapat bertanda positif, negatif
atau bernilai nol
• Produk inersia suatu area adalah nol terhadap
sepasang sumbu yang salah satunya merupakan
sumbu simetri dari area tersebut

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Produk Inersia
• Dengan menggunaka teorema sumbu
sejajar, maka produk inersia dapat
dituliskan sebagai berikut :

I xy  I xc . yc  A d1  d 2

• Produk Inersia untuk suatu area terhadap
sepasang sumbu dalam bidang sama
dengan produk inersia terhadap sumbu
yang sejajar sumbu berat ditambah hasil
kali luas dan koordinat pusat berat
terhadap sepasang sumbu tersebut

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Produk Inersia
Contoh 6
Tentukanlah produk inersia Ixy dari penampang-penampang dalam gambar
berikut.

Soal 2.26 – 2.31

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Rotasi Sumbu
• Tinjau suatu area bidang dalam sistem
sumbu xy, maka besarnya momen
inersia dan produk inersia terhadap
sumbu-sumbu tersebut adalah :

I x   y2 dA I y   x2 dA I xy   xydA

• Selanjutnya terdapat sumbu x1y1 yang
sepusat dengan sumbu xy namun
diputar melalui sudut q berlawanan
jarum jam terhadap xy

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

x1  x cos q  y sin q

y
x

dA
q

q

y1  y cos q  x sin q

y

q

x

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Rotasi Sumbu
• Sehingga momen inersia terhadap sumbu x1 adalah

I x1   y1 dA    y cos q  x sin q  dA
2

2

 cos 2 q  y2 dA sin 2 q  x2 dA 2 sin q cos q  xydA

 I x cos 2 q  I y sin 2 q  2I xy sin q cos q

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Rotasi Sumbu
• Dengan mengingat hubungan trigonometri :
1
cos q  1  cos 2q 
2

sin 2 q 

2

1
1  cos 2q 
2

2 sin q cos q  sin 2q

• Maka momen inersia terhadap sumbu x1 adalah :

I x1 

Ix  Iy

2



Ix  Iy

2

cos 2q  I xy sin 2q

• Dengan cara sama dapat diperoleh momen inersia untuk sumbu y1

I y1 

Ix  Iy

2



Ix  Iy

2

cos 2q  I xy sin 2q

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Rotasi Sumbu

I x1 y1   x1 y1dA   x cos q  y sin q  y cos q  x sin q dA

• Produk inersia terhadap sumbu x1y1 dapat dituliskan sebagai berikut :



 I x  I y sin q cos q  I xy cos 2 q  sin 2 q



• Dengan menggunakan aturan trigonometri sekali lagi dapat dirumuskan
produk inersia terhadap sumbu x1y1 dalam bentuk :

I x1 y1 

Ix  Iy

2

sin 2q  I xy cos 2q

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Rotasi Sumbu
• Dari rumusan untuk Ix1 dan Iy1, akhirnya dapat diperoleh suatu
hubungan khusus sebagai berikut :

I x1  I y1  I x  I y

• Persamaan ini hendak menunjukkan bahwa jumlah momen inersia
terhadap sepasang sumbu akan tetap konstan apabila sumbusumbunya diputar terhadap pusatnya
• Ingat pula hubungan Ix + Iy = Ip!!

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama
Contoh 7
Tentukan Ix1, Iy1 dan Ix1y1 dari suatu
penampang Z pada gambar. Jika
sumbu xy diputar 30o berlawanan
jarum jam. Gunakan nilai h = 200 mm,
b = 90 mm dan t = 15 mm
Dari perhitungan
dilakukan diperoleh :
Ix = 29,29∙106 mm4
Iy = 5,667∙106 mm4
Ix = -9,366∙106 mm4

yang

sudah

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

I x1 

Ix  Iy



Ix  Iy

cos 2q  I xy sin 2q


29 ,29  5,667  10 6 29 ,29  5,667  10 6


cos 60 o   9 ,366 10 6 sin 60 o
2

2

 ....

I y1 

2

Ix  Iy

2



Ix  Iy

Ix = 29,29∙106 mm4
Iy = 5,667∙106 mm4
Ix = -9,366∙106 mm4
q  30o

cos 2q  I xy sin 2q


29 ,29  5,667  10 6 29 ,29  5,667  10 6


cos 60 o   9 ,366 10 6 sin 60 o
 ....

2

2

2

2

Soal 2.32 – 2.35

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama
• Persamaan – persamaan untuk momen inersia dengan sumbu yang
dirotasi sering disebut juga sebagai persamaan transformasi
• Pada persamaan tersebut terdapat variabel sudut rotasi q, yang
besarnya dapat berubahan- ubah
• Pada suatu nilai q tertentu, maka akan menghasilkan nilai fungsi yang
maksimum atau minimum.
• Nilai maksimum dan minimum dari momen inersia tersebut dinamakan
sebagai momen inersia utama (principal moments of inertia)
• Sedangkan sumbu yang berkaitan dinamakan sumbu utama (principal
axes)

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama
• Untuk mencari nilai q yang menghasilkan momen inersia Ix1 yang
maksimum atau minimum, maka dapat diambil turunan Ix1 terhadap q
dan menyamakannya dengan nol





dI x1
 I x  I y sin 2q  2 I xy cos 2q  0
dq

• Dari persamaan tersebut dapat dituliskan hubungan :

tan 2q p  

2 I xy

Ix  Iy

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama

• Sudut qp menunjukkan sudut yang memberikan sumbu
utama
• Persamaan tersebut akan menghasilkan dua nilai sudut 2qp
dalam selang 0o – 360o, yang keduanya berbeda 180o
• Hal ini berarti kedua harga qp berselisih 90o, atau dengan
kata lain keduanya saling tegak lurus
• Salah satu sumbu berkaitan dengan momen inersia
maksimum dan satu lagi dengan momen inersia minimum

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama
Sekarang tinjau variasi produk inersia Ix1y1 apabila sudut q bervariasi
Jika q = 0, diperoleh Ix1y1 = Ixy
Jika q = 90o, diperoleh Ix1y1 = − Ixy
Artinya selama berputar 90o, produk inersia akan berubah tanda, dan
berarti pula pada salah satu sumbu ada nilai produk inersia yang sama
dengan nol
• Samakan persamaan Ix1y1 dengan nol

•
•
•
•

I x1 y1 

Ix  Iy

2

sin 2q  I xy cos 2q  0

( I x  I y ) sin 2q  2I xy cos 2q  0

Merupakan persamaan untuk sumbu utama

Produk Inersia bernilai nol pada sumbu utama

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama

• Sumbu utama yang melalui pusat O adalah
sepasang sumbu orthogonal dengan momen inersia
maksimum dan minimum
• Orientasi sumbu utama dinyatakan dengan sudut qp
• Produk inersia adalah nol pada sumbu utama
• Sumbu simetri selalu merupakan sumbu utama
• Titik yang dilewati oleh semua sumbu utama
disebut titik utama (principal point)

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama
• Dari rumusan untuk tan 2qp, dapat dituliskan pula

cos 2q p 

Ix  Iy

2R

sin 2q p 

 I xy
R

• R selalu diambil bernilai positif, dan merupakan sisi miring segitiga
dalam gambar

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama
• Substitusikan nilai cos 2qp dan sin 2qp ke dalam rumusan untuk Ix1, guna
mendapatkan momen inersia utama yang lebih besar

I1 

Ix  Iy

2

 Ix  Iy 
  I xy 2
 
 2 
2

• Momen inersia utama yang lebih kecil diperoleh dari I1 + I2 = Ix + Iy, atau

I2 

Ix  Iy

2

 Ix  Iy 
  I xy 2
 
 2 
2

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
Sumbu Utama dan Momen Inersia Utama
Contoh 8
Tentukan orientasi sumbu utama
serta besarnya momen inersia utama
dari suatu penampang Z pada
gambar. Gunakan nilai h = 200 mm, b
= 90 mm dan t = 15 mm
Dari perhitungan
dilakukan diperoleh :
Ix = 29,29∙106 mm4
Iy = 5,667∙106 mm4
Ix = -9,366∙106 mm4

yang

sudah

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship
I x1 

Jawab :
Hasil perhitungan momen inersia memberikan :
Ix = 29,29∙106 mm4

Iy = 5,667∙106 mm4

Ixy = − 9,366∙106 mm4

Dari persamaan 2.26 :

tan 2q p  

2 I xy

Ix  Iy

 0,7930 2qp = 38,4o atau 218,4o

I y1 

Ix  Iy

2
Ix  Iy

2




Ix  Iy

2
Ix  Iy

2

cos 2q  I xy sin 2q
cos 2q  I xy sin 2q

Sehingga qp = 19,2o dan 109,2o

Dengan menggunakan kedua harga qp ini dalam persaman
transformasi untuk Ix1 , diperoleh I1 = 32,6∙106 mm4 dan I2 = 2,4∙106
mm4.

Soal 2.36 – 2.38