IF MATERI PROBABILITAS DAN STATISTIKA

PROBABILITAS dan STATISTIKA

DASAR-DASAR

TEORI PELUANG

MK. STATISTIKA

Konsep Dasar Probabilitas

Teori Probabilitas – didasarkan pada konsep dari suatu eksperimen random

Random – fenomena/eksperimen dimana keluaran individual tidak pasti tetapi ada distribusi yg regular dari keluaran utk

jumlah pengulangan yang banyak

Probabilitas – proporsi berapa kali suatu keluaran spesifik akan muncul dlm suatu serie pengulangan yang panjang dari

KONSEP DASAR PELUANG =

PROBABILITAS

Probabilitas dan Teori Keputusan

Konsep-Konsep Dasar Probabilitas Distribusi Probabilitas Diskrit Distribusi Normal Teori Keputusan

Pengertian Probabilitas dan Manfaat Probabilitas

Pendekatan Terhadap Probabilitas

Hukum Dasar Probabilitas Teorema Bayes

Menggunakan MS Excel Untuk Probabilitas

Konsep Dasar Probabilitas

Definisi:

Probabilitas adalah peluang suatu kejadian Manfaat:

Manfaat mengetahui probabilitas adalah membantu pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada

kepastian, dan informasi yang tidak sempurna. Contoh:

• pembelian harga saham berdasarkan analisis harga saham

• peluang produk yang diluncurkan perusahaan (sukses atau tidak), dll.

Konsep Dasar Probabilitas

Probabilitas:

Suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau dalam persentase.

Percobaan:

Pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.

Hasil (outcome):

Suatu hasil dari sebuah percobaan. Peristiwa (event):

Kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan.

PENGERTIAN PELUANG

Percobaan/ Kegiatan

Pertandingan sepak bola Persita VS PSIS di Stadion Tangerang, 5 Maret 2003.

Hasil Persita menang

Persita kalah

Seri -- Persita tidak kalah dan tidak menang

Peristiwa Persita Menang

PENDEKATAN PROBABILITAS

1. Pendekatan Klasik

2. Pendekatan Relatif

8

PENDEKATAN KLASIK

Definisi:

Setiap peristiwa mempunyai kesempatan yang

sama untuk terjadi.

Rumus:

Probabilitas = jumlah kemungkinan hasil suatu peristiwa

jumlah total kemungkinan hasil

PENDEKATAN KLASIK

Percobaan

Hasil

Probabi-litas

Kegiatan

melempar uang

1. Muncul gambar 2. Muncul angka

2 ½

Kegiatan

perdagangan saham

1. Menjual saham 2. Membeli saham

2 ½

Perubahan harga 1. Inflasi (harga naik) 2. Deflasi (harga turun)

2 ½

Mahasiswa belajar 1. Lulus memuaskan

2. Lulus sangat memuaskan 3. Lulus terpuji

Definisi:

Probabilitas suatu kejadian tidak dianggap sama,

tergantung dari berapa banyak suatu kejadian terjadi.

Rumus:

PENDEKATAN RELATIF

Probabilitas

= jumlah peristiwa yang terjadi suatu peristiwa jumlah total percobaan

PENDEKATAN SUBJEKTIF

Definisi:

Probabilitas suatu kejadian didasarkan pada

penilaian pribadi yang dinyatakan dalam suatu

KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS

A. Hukum Penjumlahan

A AB B

Apabila P(AB) = 0,2, maka ,

P(A ATAU B) = 0,35 + 0, 40 – 0,2 = 0,55

Peristiwa atau Kejadian Bersama

Contoh : P(A) = 0,35, P(B) 0,40 DAN P (C) 0,25

Maka P(A ATAU C ) = 0,35 + 0,25 = 0,60 P(A ATAU B) = P(A) + P(B)

• Peristiwa Saling Lepas

P(AB) = 0

Maka P(A ATAU B) = P (A) + P(B) + 0 = P(A) + P(B)

A B

• Hukum Perkalian

P( A DAN B) = P(A) X P(B)

Apabila P(A) 0,35 DAN P(B) = 0,25

Maka P(A DAN B) = 0,35 X 0,25 = 0,0875

• Kejadian Bersyarat P(B|A)

P(B|A) = P(AB)/P(A)

KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS

• Hukum Perkalian

P( A DAN B) = P(A) X P(B)

Apabila P(A) 0,35 DAN P(B) = 0,25

Maka P(A DAN B) = 0,35 X 0,25 = 0,0875

• Kejadian Bersyarat P(B|A)

P(B|A) = P(AB)/P(A)

• Peristiwa Pelengkap (Complementary Event)

DIAGRAM POHON

1 Beli Jual 0,6 BNI BLP BCA BNI BLP BCA 0,25 0,40 0,35 0,25 0,40 0,35 Keputusan Jual atau Beli Jenis Saham

Probabilitas Bersyarat

Probabilitas bersama

1 x 0,6 x 0,35 = 0,21

1 x 0,6 x 0,40 = 0,24

1 x 0,6 x 0,25 = 0,15

1 x 0,4 x 0,35 = 0,14

1 x 0,4 x 0,40 = 0,16

1 x 0,4 x 0,25 = 0,10

0,21+0,24+0,15+0,14 +0,16+0,10 =1,0

Jumlah Harus = 1.0

Diagram Pohon Suatu diagram berbentuk pohon yang membantu mempermudah mengetahui probabilitas suatu peristiwa

TEOREMA BAYES

P(Ai|B) = P(Ai) X P (B|Ai)

P A X P B|A +P A X P B|A + … + P Ai X P B|AI

Merupakan probabilitas bersyarat-suatu kejadian terjadi

setelah kejadian lain ada.

BEBERAPA PRINSIP MENGHITUNG

Factorial = n!

Permutasi nPr = n!/ (n-r)! Kombinasi nCr = n!/r! (n-r)!

• Factorial (berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu dalam kelompok).

• Permutasi (sejumlah kemungkinan susunan jika terdapat satu kelompok objek).

• Kombinasi (berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan objek tanpa memperhatikan urutannya.

Apakah Probabiltas?

• Frekuensi relatif jangka panjang

– Jika melempar coin, frekuensi relatif dari head tidak menentu utk 2, 5 atau 10 pelemparan

– Jika pelemparan suatu coin dilakukan bbrp ribu kali, frekuensi relatif tetap stabil

• Probabilitas matematis adalah idealisasi dari apa yg terjadi thd

frekuensi relatif setelah pengulangan sejumlah tak hingga eksperimen random

Probabilitas dari

Head

Model Probabilitas

• Sample Space - set dari semua keluaran (outcomes) yg mungkin dari eksperimen random (S)

• Event – suatu keluaran (outcome) atau satu set outcomes dari suatu eksperimen

• Ukuran Probabilitas adalah suatu bilangan atau fungsi yg memetakan dari events pada sample space ke bilangan real antara 0 dan 1

• Probabilitas dari semua outcomes yg mungkin (yaitu sample space) harus sama dg 1

Model Probabilitas

•

Contoh:

Pelemparan

(toss)

suatu dadu

•

Sample Space:

S =

{1,2,3,4,5,6}

•

Event:

A

= {muncul angka genap},

B

= {muncul angka ganjil},

D

= {muncul angka 2}

•

Ukuran Probabilitas:

Aturan-Aturan Probabilitas

• Probabilitas dari sembarang event P(A) hrs memenuhi

0 < P(A) < 1

• Complement Rule = complement dari sembarang event A adalah event A tdk terjadi

 P(Ac_{) = 1 - P(A)}

Contoh: Lempar suatu dadu: S = {1,2,3,4,5,6};

mis A = {2,4}, Ac _{= {1,3,5,6}; P(A) = 1/3; P(A}c_{) = 1-1/3 = 2/3}

• Addition Rule = utk dua events A dan B yg terpisah/ disjoint (no common outcomes)

P (A or B) = P(A) + P (B)

Contoh: Lempar suatu dadu: S = {1,2,3,4,5,6};

Aturan-Aturan Probabilitas

• Multiplication Rule = dua events A dan B adalah independent, jika diketahui bhw salah satu terjadi/muncul tdk mengubah probabilitas yg lain muncul

P (A and B) = P(A)*P(B)

Contoh: Lempar sepasang dadu

S = { , , , ,…. 6,6 }  36 kemungkinan outcomes

mis A ={dadu pertama 6} = {(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} mis B = {dadu kedua 1} = {(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)} Maka P(A) = 6/36 = 1/6;

P(B) = 6/36 = 1/6 dan

P(dadu pertama 6, dadu kedua 1) = P(A and B)

= 1/36 = P(A) P(B)

Aturan-Aturan Probabilitas

• Multiplication Rule

Contoh dari kasus Dependent: lempar sepasang dadu

S = { , , , ,…. 6,6 }  36 kemungkinan outcomes mis A ={dadu pertama 6} =

{(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

mis B = {jumlah dadu pertama & kedua =9} = {(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)}

Maka P(A) = 6/36 = 1/6; P(B) = 4/36 = 1/9 dan

P(dadu pertama 6, jumlah = 9) = P(A and B) = 1/36 tdk sama P(A) P(B) = 1/54

• Contoh: suatu web site memp tiga server A, B, dan C, yg dipilih secara independent dg probabilitas:

P(A) = ¼, P(B) = ½, P(C)= ¼.

(a) Cari probabilitas A atau B dipilih P(A or B) = ¼ + ½ = 3/4

(b) Cari probabilitas A tdk dipilih P(Ac_{) = 1} – _{P(A) = ¾}

(c) Cari probabilitas server A dipilih dua kali P(AA) = P(A)P(A) = 1/16

(d) Cari probabilitas urutan seleksi server ABCA

P(ABCA) = P(A)P(B)P(C)P(A) = (1/4)(1/2)(1/4)(1/4) = 1/128

Aturan-Aturan Probabilitas

Peluang Bersyarat = Conditional Probability

• Utk dua event A dan B probabilitas dari event A diberikan bhw event B telah terjadi dinyatakan:

P(A|B) dan ditentukan dg

P (A|B) = P(A and B)/P(B)

Contoh: Lempar satu dadu S = {1,2,3,4,5,6}. mis A ={2}, B={bil genap} = {2,4,6},

Bayes Rule

• Utk dua event A dan B yg mempartisi sample space, yaitu (A atau B) = S

dan event ketiga C ditentukan di atas A dan B

Contoh: Lempar sepasang dadu S = { , , , …. 6,6 } 36

kemungkinan outcomes. Mis A ={jumlah dadu 9 atau lebih besar}, A = {(6,3),(5,4), (4,5), (3,6), (6,4), (5,5), (4,6), (6,5), (5,6), (6,6)}

B = Ac _{= {jumlah dadu 8 atau kurang}} = { , , , , …. 6, , … ,6 }

• Mis C event jumlah dari dadu adalah bil genap {2,4,6,8,10,12}, P(C|A) =4/10 dan P(C|B) = 14/26

PEUBAH ACAK

• Suatu random variable X adalah suatu variable dimana harganya tergantung pd outcome dari suatu eksperimen random

didefinisikan pd sample space S

• Contoh: Mis X, bilangan jumlah dari head pd pelemparan dua coin yg fair. Sample space S dari eksperimen adalah:

S ={(t,t),(t,h),(h,t),(h,h)} dimana t menunjukan tail dan h

PEUBAH ACAK

• Suatu random variable X dikarakteristikan oleh salah satu:

– probability density function (pdf): f(x)

– cumulative density function (cdf):

• Contoh: perhatikan random variable X, yg merupakan jumlah head pd pelemparan dua coin

– f(x) diberikan dg P{X = 0} = .25; P{X=1} = .5 ; P{X=2} = .25

Probability Density Function

• Formula matematis

• Memperlihatkan semua harga, X, & frekuensi, f(X)

– f(X) adalah probability density function (pdf)

• Properties

– Area di bawah kurva = 1

– Mean (µ)

• Suatu random variable X adalah suatu variable dimana harganya tergantung pd outcome dari suatu eksperimen random

didefinisikan pd sample space S

– Jika S adalah terbatas (finite) atau dp dihitung (countable)  X

adalah suatu discrete random variable (mis., jumlah head pd pelemparan dua coin)

– Jika S adalah kontinyu  X adalah suatu random variable kontinyu

(mis., waktu antar queries ke suatu server database)

Tipe-Tipe Peubah Acak

• Jika X discrete random variables maka

Peubah Acak Diskrit

• Discrete Random Variables yg umum:

– Bernoulli, Geometric, Binomial dan Poisson

• Bernoulli – memodelkan eksperimen spt toss suatu coin

– X adalah suatu indicator function

– X = 1  sukses; X = 0  gagal

• Geometric – memodelkan jumlah percobaan X sampai sukses pertama pd suatu deretan percobaan Bernoulli trials

P{X = x} = f(x) = (1-p)x-1_p;

dimana x = , , , … Mean = 1/p

Variance = (1-p)/p2

Sbg contoh, memodelkan jumlah tail yg terlihat sblm head

pertama pd suatu deretan coin tosses

• Binomial – memodelkan jumlah sukses X pd n percobaan/trials. Mis p menyatakan probabilitas sukses pd 1 trial, probabilitas dari k sukses diberikan dg

Mean = np, Variance = np(1-p)

Tabel pd textbook memp macam-macam harga dari P(X = k)

Eksperimen Random Variable Harga Yg Mungkin

Berat mahasiswa ITB Berat 43.2, 78, … Kg Umur hidup battery Jam 900, 875.9, … jam Lama panggilan

telepon Lama panggilan 3.2, 1,53, … menit Waktu antar

kedatangan paket ke router

Waktu antar

kedatangan 0, 1.3, 2.78, … det

Continuous Random Variable

• Continuous Random Variables yg umum:

– Exponential, Uniform, Normal

• Exponential – memodelkan waktu antar kedatangan, lama waktu pelayanan (mis., waktu dari panggilan telepon), mis

Peubah Acak Kontinyu

• Uniform – memodelkan kasus e ually likely . Mis. X uniform random variable antara a dan b – yaitu X akan mempunyai harga antara a dan b dengan kemungkinan e ually likely

Peubah Acak Kontinyu

• Normal – Normal random variable memodelkan fenomena random alamiah utk jumlah yg besar. Mis X suatu normal random variable

• Standard Normal Z adalah kasus dimana: Mean = 0, Variance = 1.

Nilai Z & Peluang

•

Normal Distribution

•

Hubungan langsung antara persentase dan

probabilitas

•

Persentase dari kurva normal dp di- rephrased sbg

problem probabilitas

• Berapakah probabilitas bhw

pekerja pabrik yg dipilih random akan melaksanakan test dibawah 81 seconds atau diatas 75

seconds?

 Suatu konsultan menyelidiki

waktu diperlukan pekerja pabrik utk assemble suatu part stlh mereka ditraining

 Konsultan menentukan bhw waktu dlm detik terdistribusi normal dg mean µ = 75 seconds dan standard deviation  = 6 seconds.

P(X<x) = P(Z <z) dimana z = (x- µ)/ 

Nilai Z & Peluang

Momentum

• Ekspektasi E[x] atau mean atau first moment dari suatu random variable X di definisikan dg

Ragam , Mode, Quantil

• Variance didefiniskan sbg

• Mode adalah titik dimana f(x) adalah maximum

• Quantile –  quantile dari X ditulis x_ adalah titik pd X dimana F(x_) =



Aturan-Aturan untuk Peubah Acak

•

Aturan utk Means

– Suatu transformasi linier dari suatu random variable

menghasilkan suatu linear scaling dari mean. Yaitu jika X

adalah suatu random variable dg mean µ_X dan a dan b

adalah konstanta maka jika Y = aX + b mean dari Y diberikan oleh µ_Y = aµ_X + b

– Mean dari sum dari suatu set dari random variables adalah sum dari individual mean. Yaitu jikaf X dan Y adalah random variables maka µ_X+Y = µ_X + µ_Y

•

Aturan utk Variances

– Suatu transformasi liniear dari suatu random variable

menghasilkan suatu squared scaling dari variance. Yaitu jika

X adalah suatu random variable dg variance _x2 _{dan a dan b}

adalah konstanta maka jika Y = aX + b variance dari Y

diberikan oleh _y2 _{= a}2  x2

– Variance dari sum dari suatu set dari independent random variables adalah sum dari individual variances. Yaitu jika X

dan Y adalah random variables maka _x+y2 ₌ 

x2 + y2

Statistik Inferensial

•

Menggunakan teori probabilitas utk membuat

kesimpulan mengenai suatu populasi dari data sampel

•

Tdk dp memperoleh data dari setiap anggota populasi

maka menguji suatu

sampel random dari populasi

dan

berdasarkan statistik dari sampel menyimpulkan

Statistik Inferensial

• Statistical Inference: menggunakan statistik dari suatu sampel random utk menyimpulkan mengenai parameter dari suatu populasi

– Sbg contoh menguji mean x dari sampel utk menyimpulkan mean dari populasi µ

– Perlu mengerti bagaimana perubahan statistik dengan tiap sampel

• Sample Distribution: distribusi probabilitas dari suatu statistik (spt mean, standard deviation) dari semua sampel yg mungkin dari ukuran yg sama dari suatu populasi

Distribusi Sampel dari

Counts dan Proporsi

• Perhatikan suatu sampel random tetap (fixed) ukuran n dari observasi independen dari suatu populasi. Tiap observasi jatuh

kedala satu da i dua katego i, sukses atau gagal

– P obabilitas suatu sukses p sa a utk tiap obse vasi

– P obabilitas suatu gagal -p)

• Mis X menyatakan count dari jumlah sukses dalam suatu sampel ukuran n. X memp distribusi Binomial

• Ingat distribusi Binomial memodelkan jumlah sukses X dlm n

percobaan Bernoulli dan memp. Mean = np, Variance = np(1-p)

• Dg n bertambah besar distribusi dari X mendekati distribusi Normal dg mean dan variance

Distribusi Sampel dari

Counts dan Proporsi

• Utk estimasi probabilitas atau proportion dari suatu populasi p kita uji sample proportion:

dimana X adalah ju lah da i sukses dl suatu sa pel uku a n

• adalah estimasi unbiased dari population proportion p.

• Jika ukuran sampel n besar, mendekati suatu distribusi Normal dg

Distribusi Sampel dari

Counts dan Proporsi

Sample Distribution of Means

• Perhatikan suatu sampel random ukuran tetap n dari suatu populasi dg mean µ dan standard deviation . Distribusi dari sample mean x (jika dihasilkan dari repeated random samples) memp. mean = µ dan standard deviation

• Jika populasi memp. distribusi Normal maka distribusi dari sample mean adalah Normal

• Dari Central Limit Theorem – distribusi dari suatu sum dari random variables mendekati distribusi Normal jika jumlah terms dlm sum menjadi besar

• Central limit theorem menyatakan bhw dg bertambah besarnya ukuran sampel n, tdk tergantung pd distribusi populasi, distribusi dari sample mean mendekati distribusi Normal utk ukuran sampel yg besar, dg mean = µ dan

standard deviation =

Tipe-Tipe Statistik Inferensial

• Confidence Intervals: mengestimasi harga suatu parameter populasi dg suatu harga rentang

– Berapakah mean IQ dari mahasiswa SIT ITB?

– Berapakah proporsi dari switches pd suatu network perlu perbaikan?

• Hypothesis Testing: menilai bukti yg disediakan data menyetujui suatu claim mengenai populasi

– Apakah mean IQ dari mhs SIT ITB sama dg dg IQ populasi secara umum?

– Apakah proporsi switches yg memerlukan perbaikan pd jaringan Telkom berbeda dg proporsi pd jaringan Indosat?

Titik Estimasi

• Menyediakan harga tunggal/single value, mis., sample mean, sample proportion

– Berdasarkan observasi dari 1 sample

• Tdk memberikan informasi mengenai seberapa dekat harga point estimate thd parameter populasi yg tdk diketahui

• Contoh: Sample mean X = 22.9 adalah point estimate dari mean populasi yg tdk diketahui µ

Selang Estimasi

• Menyediakan nilai interval (a, b) dimana parameter populasi µ

diprediksi berada

– Interval berdasarkan observasi dari 1 sampel

• Memberikan informasi mengenai seberapa dekat dari estimasi ke parameter populasi yg tdk diketahui

– Dp dinyatakan sbg

Tingkat Kepercayaan

• Nilai  adalah probabilitas bhw parameter tidak berada dalam interval (a,b)

• 100(1 - ) % adalah confidence level dan adalah

kemungkinan bhw parameter populasi yg tdk diketahui jatuh dlm interval (a,b)

• Nilai tipikal adalah  = .1, .05, .01 yg memberikan confidence levels masing-masing 90%, 95%, dan 99%

• Contoh: Mean populasi yg tdk diketahui terletak antara 50 & 70 dg 95% confidence

Selang Kepercayaan untuk Rataan Populasi

• Asumsi

– Standard deviation populasi  diketahui

• Ukuran sampel n cukup besar shg hasil central limit theorem dp diaplikasikan dan sample mean distribution dp diperkirakan dg

distribusi normal. Aturan umum (Rule of thumb) utk ukuran sampel adalah (n ≥

•

Catatan

– x adalah sample mean.

– Z_(1-/2) adalah nilai standard normal value dimana /2 adalah tail ke sebelah kanan dari nilai Z

–  adalah standard deviation populasi

– n adalah ukuran sampel

Contoh: Confidence Interval utk

Population Mean

• Suatu retailer e-commerce spt Amazon.com, ingin melakukan studi waktu rata-rata (mean time) yg diperlukan utk

memproses dan mengapalkan pesanan. Suatu random sample dari waktu utk proses dan mengapalkan 33 pesanan

dikumpulkan dan dinyatakan sbg n dlm jam di bawah. Dari data yg lalu standard deviation dari populasi  = 9

{23, 33, 14, 15, 42, 28, 33, 45, 23, 34, 39, 21, 36, 23, 34, 36, 25, 9, 11, 19, 35, 24, 31, 29, 16, 23, 34, 24, 38, 15, 13, 35, 28}

• Tentukan 90% confidence interval dari rata-rata waktu proses dan pengapalan pesanan.

– sample mean x adalah = 26.9091, ukuran sampel n = 33 pd 90% confidence level Z_(1-/2) = Z_.95 = 1.645

Contoh: Confidence Interval utk

Population Mean

• Krnnya confidence interval adalah menghasilkan

Cat margin of error kadang-kadang diekspresikan sbg persentase dari estimasi. Utk contoh e-commerce:

margin of error % = 100 * (2.577 / 26.9091) = 9.57%

• Juga confidence interval dp diekspresikan sbg (24.332, 29.486) yg dp diinterpretasikan sbg

SELANG KEPERCAYAAN =

Confidence Intervals

• Trade off antara confidence level 100(1-) % dan margin of error

– Lebih tinggi confidence  lebih tinggi harga Z  lebih besar margin of error

• Contoh proses dan pengiriman pemesanan e-commerce. Suatu 95% confidence interval memp. Z = 1.96 (dimana 90% memp Z = 1.645) dan sbg hasil

Selang Kepercayaan

• Margin of error juga tergantung pd ukuran sampel n, lebih besar n makin kecil margin of error

• Utk confidence interval pd population mean, margin of error berkurang setengahnya utk tiap pertambahan faktor 4 pd ukuran sampel

• Utk contoh e-commerce jika utk 90% confidence interval ukuran sample adalah 4 kali lebih besar (yaitu 132) dg mean dan

• Cat utk margin of error yg diinginkan m kita dp tentukan ukuran sampel yg diperlukan n utk mencapai m. Kita mendpkan

• Utk contoh e-commerce pd 90% confidence level jika diinginkan margin of error 3%, m.x = .03 x 26.9091= .80727 dan selesaikan utk ukuran sampel n

Cat perlu 337-33= 304 tambahan observasi

Selang Kepercayaan untuk Proporsi Populasi

• Dari aproksimasi Normal pd distribusi Binomial kita dapatkan 100(1- )% confidence interval pd suatu population proportion sbg

dimana Z_{1-  /2} adalah /2 critical point dari standard distribusi Normal

Confidence Interval utk Proportion of population

• Contoh: Perhatikan suatu link komunikasi satelit. Spy dp mengestimasi packet error rate pd link kita transmit 5000 packets dan observasi bhw 23 diterima error. Tentukan 90% confidence interval pd packet error

probability. Dari, Z_.95 = 1.645, n = 5000,

• Krnnya 90% confidence interval utk packet error probability diberikan oleh (.0030, .0062)

Confidence Interval utk

Quantile of population

• Quantile: Harga x_q dimana CDF mempunyai harga q disebut q -quantile atau 100-q-percentile

• 50-percentile (atau 0.5-quantile) disebut median

• Posisi dari suatu harga q-quantile value dari suatu sorted order list

x₁, x₂, x₃, …, x_n adalah

Confidence Interval utk

Quantile of population

•

100(1-



)% confidence interval pd suatu harga populasi

q-quantile x

_q

adalah

Confidence Interval utk

Quantile of population

• Contoh: 45 titik data (n=45)

• 6, 6, 7, 8, 8.5, 9, 11, 13, 15, 24, 29, 30, 32, 34, 37, 39, 41, 42, 42, 43, 46, 47, 47.5, 49, 50, 52, 54, 55, 59, 62, 63, 66, 68, 71, 81, 83, 84, 88, 93, 97, 103, 108, 111, 116, 134

Cari 90% c.i. pd 0.5 quantile.

Posisi dari 0.5 quantile = (45-1)*0.5 + 1 = 23  x_0.5 = 47.5

Tugas

(kumpulkan minggu depan)

1. Perhatikan N mobile phones dlm suatu cell. Tiap phone mungkin berusaha utk transmit data pd suatu kanal shared time slot. Tiap

transmisi terjadi tepat pd satu slot, dan tdk ada pencegahan collision digunakan serta tiap phone akan transmit dlm suatu slot dg

probabilitas p, independen thd phone lainnya.

a). Berapakah probabilitas suatu time slot kosong, yaitu tdk ada usaha dari sembarang phone? b). Berapakah probabilitas suatu transmisi sukses,

yaitu secara tepat satu phone berusaha transmit.

c). Berapakah probabilitas collision pd suatu slot, yaitu dua atau lebih phone berusaha transmit pd

Tugas (cont.)

2. Dlm suatu access switched data network, user bisa request suatu koneksi utk di-set up utk suatu transfer data. Jika suatu call-setup request tiba, suatu access network node akan menentukan apakah menerima permintaan atau menolak berdasarkan

ketersediaan resources. Jika permintaan ditolak, user akan mengulang usaha sampai 10 kali sblm menyerah. Asumsikan bhw tiap permintaan call-setup memp. probabilitas 0.02 utk diterima dan usaha permintaan panggilan adalah independent.

a). Berapakah probabilitas suatu permintaan panggilan diberikan pd usaha pertama?

b). Berapakah probabilitas bhw suatu panggilan pertama diterima adalah usaha yg ke-empat?

c). Berapakah probabilitas bhw memerlukan lebih dari lima usaha bagi user utk koneksi?

d). Berapakah probabilitas bhw user akhirnya menyerah?

e). Berapakah rata-rata jumlah usaha panggilan diperlukan utk koneksi?

Tugas (cont.)

3. Perhatikan waktu transaksi pd suatu aplikasi web-based, dari 3000 transaksi terdistribusi normal dg mean 66 sec dan

standard deviation 3 sec. jika 80 sampel masing-masing terdiri dari 25 transaksi didapat,

a). berapakah mean dan standard deviation yg diharapkan sbg hasil dari mean dari

distribusi sampling?

b). Dalam berapa banyak sampel kita bisa

mengharapkan mean: (i) antara 64.8 dan 66.3 sec dan (ii) kurang dari 64.4 sec?

Confidence Interval utk

Quantile of population

•

Quantile: Harga

x

_q

dimana CDF mempunyai harga

q

disebut

q

-quantile

atau

100-q-percentile

•

50-percentile (atau 0.5-quantile) disebut median

•

Posisi dari suatu harga q-quantile value dari suatu sorted order list

x

₁

, x

₂

, x

₃

, …, x

_n

adalah

Confidence Interval utk

Quantile of population

•

100(1-



)% confidence interval pd suatu harga populasi

q-quantile x

_q

adalah

Confidence Interval utk

Quantile of population

•

Contoh: 45 titik data (

n

=45)

•

6, 6, 7, 8, 8.5, 9, 11, 13, 15, 24, 29, 30, 32, 34, 37, 39, 41, 42, 42,

43, 46, 47,

47.5

, 49, 50, 52, 54, 55, 59, 62, 63, 66, 68, 71, 81, 83,

84, 88, 93, 97, 103, 108, 111, 116, 134

Cari 90% c.i. pd 0.5 quantile.

Posisi dari 0.5 quantile

= (45-1)*0.5 + 1 = 23



x

_0.5

= 47.5

Tugas

(kumpulkan minggu depan)

1. Perhatikan

N

mobile phones dlm suatu cell. Tiap phone mungkin

berusaha utk transmit data pd suatu kanal shared time slot. Tiap

transmisi terjadi tepat pd satu slot, dan tdk ada pencegahan collision

digunakan serta tiap phone akan transmit dlm suatu slot dg

probabilitas

p

, independen thd phone lainnya.

a). Berapakah probabilitas suatu time slot kosong,

yaitu tdk ada usaha dari sembarang phone?

b). Berapakah probabilitas suatu transmisi sukses,

yaitu secara tepat satu phone berusaha transmit.

c). Berapakah probabilitas collision pd suatu slot,

yaitu dua atau

lebih phone berusaha transmit pd

Tugas (cont.)

2. Dlm suatu access switched data network, user bisa request suatu koneksi utk di-set up utk suatu transfer data. Jika suatu call-setup request tiba, suatu access network node akan menentukan apakah menerima permintaan atau menolak berdasarkan

ketersediaan resources. Jika permintaan ditolak, user akan mengulang usaha sampai 10 kali sblm menyerah. Asumsikan bhw tiap permintaan call-setup memp. probabilitas 0.02 utk diterima dan usaha permintaan panggilan adalah independent.

a). Berapakah probabilitas suatu permintaan panggilan diberikan pd usaha pertama?

b). Berapakah probabilitas bhw suatu panggilan pertama diterima adalah usaha yg ke-empat?

c). Berapakah probabilitas bhw memerlukan lebih dari lima usaha bagi user utk koneksi?

d). Berapakah probabilitas bhw user akhirnya menyerah?

e). Berapakah rata-rata jumlah usaha panggilan diperlukan utk koneksi?

Tugas (cont.)

3. Perhatikan waktu transaksi pd suatu aplikasi web-based, dari

3000 transaksi terdistribusi normal dg mean 66 sec dan

standard deviation 3 sec. jika 80 sampel masing-masing terdiri

dari 25 transaksi didapat,

a). berapakah mean dan standard deviation yg

diharapkan sbg hasil dari mean dari

distribusi sampling?

b). Dalam berapa banyak sampel kita bisa

mengharapkan mean: (i) antara 64.8 dan

66.3 sec dan (ii) kurang dari 64.4 sec?