PROS Sumardyono, Soeparna D.W, Supama Teorema Abel Dini Full text

Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VIII, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW 
Salatiga, 15 Juni 2013, Vol 4, No.1, ISSN:2087‐0922 

 

TEOREMA ABEL-DINI DAN DUAL KÖTHE-TOEPLITZ
PADA DERET GANDA
Sumardyono1, Soeparna D.W2 & Supama3
1

PPPPTK Matematika, Mahasiswa S3 UGM
1
smrdyn2007@gmail.com
2,3

Jurusan Matematika, FMIPA, UGM
3

supama@ugm.ac.id

ABSTRAK

Pada paper ini Teorema Abel-Dini diperluas pada deret ganda. Dipaparkan pula aplikasinya pada Dual
Köthe-Toeplitz suatu Ruang Barisan Ganda.
Kata-kata kunci: Teorema Abel-Dini, Dual Köthe-Toeplitz, Deret Ganda

PENDAHULUAN
Pada studi analisis, dikenal beberapa
teorema yang namanya dikaitkan dengan
nama Abel maupun Dini. Salah satu
teorema yang berkaitan dengan deret tak
hingga dikenal dengan nama Teorema
Abel-Dini. Beberapa literatur yang
membahas tentang Teorema Abel-Dini
antara lain Hildebrandt [5], Rajagopal [9],
dan Knopp [7].
Sementara konsep dual Köthe-Toeplitz
telah dirintis oleh Köthe & Toeplitz [8],
Garling [3],Chillingworth [2], dan masih
banyak lagi. Topik ini juga dibahas
dengan cukup lengkap dalam Kamthan &
Gupta [6] dan Wilansky [10]. Konsep

dual ini berbeda dengan dual topologis
yang anggotanya merupakan fungsional
kontinu.
Pada paper ini, notasi

∑

i ≥1

atau

∑
i

menyatakan jumlahan dari i = 1 sampai
dengan tak hingga. Jika terbatas maka
batas atas akan dinyatakan pada notasi
sigma.
Berikut Teorema Abel-Dini untuk deret
tunggal bilangan real.

Teorema 1. ([1], [7])
Jika ∑i ≥1 a i adalah deret real non-negatif
yang divergen dan An =

∑

n

i =1

a i maka

konvergen untuk δ > 0 (dan
1+δ
Ai
divergen untuk δ ≤ 0)
i ≥1

ai

Pengertian dual-α dinyatakan sebagai
berikut.
Definisi 1
Diberikan ruang vektor tak nol λ ⊂ ω
dengan ω adalah koleksi semua barisan
bilangan real (atau kompleks) maka
didefinisikan dual-α sebagai berikut.
λα = {x : x ∈ ω, ∑i ≥1 x i y i < ∞ , ∀y ∈ λ}
Selain dual-α, juga dikenal dual-β, dualγ, dan dual-δ dari λ. Namun dalam paper
ini hanya akan dikaji yang berkaitan
dengan dual-α. Kesemua dual ruang
vektor di atas, terutama dual-α, sering
disebut dengan dual Köthe-Toeplitz.
Selanjutnya akan dibahas perluasan
Teorema Abel-Dini pada ruang barisan
ganda, dan terapannya dalam menentukan
dual Köthe-Toeplitz pada suatu ruang
barisan ganda.
457 

 

∑

Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VIII, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW 
Salatiga, 15 Juni 2013, Vol 4, No.1, ISSN:2087‐0922 

 

TEOREMA
ABEL-DINI
DERET GANDA

PADA

Pada studi ini, elemen barisan dibatasi
pada bilangan real. Perluasan ke elemen
bilangan kompleks mudah dikonstruksi.

Untuk 0 < δ < 1.
Dipandang deret
Aijδ − A(δi −1)( j −1)

∑ ∑
i ≥1

Definisi 2
Barisan ganda didefinisikan
fungsi sebagai berikut
x:N × N → R

sebagai

Notasi ( xij ) menyatakan barisan ganda

dengan xij ∈ R, ∀i, j

Selanjutnya untuk membuktikan Teorema
Abel-Dini pada deret ganda, diperlukan

beberapa lemma sebagai berikut.
Lemma 1. ([1], [4])
Jika x, r ∈ R, x > 0, x ≠ 1 maka
xr – 1 > r (x – 1) untuk r > 1
xr – 1 < r (x – 1) untuk 0 < r < 1
Lemma 2. ([1], [4])
Jika x, y ∈ R+, x ≠ y, r ∈ R, maka
(a). rxr – 1 (x – y) > xr – yr > r.yr – 1 (x – y)
untuk r < 0 atau r > 1
r–1
(b). rx (x – y) < xr – yr < r.yr – 1 (x – y)
untuk 0 < r < 1
Sekarang, kita siap untuk memperluas
Teorema Abel-Dini pada deret ganda.
Teorema 2 (Teorema Abel-Dini untuk
Deret Ganda)
Jika ∑i ≥1 ∑ j ≥1 a ij deret divergen real
non-negatif dan Amn =
maka
δ > 0.

∑ ∑
i ≥1

j ≥1

a ij
Aij

1+δ

∑ ∑
m

i =1

n

a
j =1 ij

konvergen untuk

∑ ∑

=  δ. Aij .aij
δ −1

Sehingga diperoleh
δ . Aijδ −1 .aij

∑ ∑
i ≥1

<

j ≥1

∑ ∑
i ≥1

A(δi −1)( j −1) . Aijδ

j ≥1

Aijδ − . A(δi −1)( j −1)
A(δi −1)( j −1) . Aijδ

Karena ruas kanan adalah deret (1) yang
konvergen dan berdasarkan uji banding,
maka diperoleh
δ . Aijδ −1 .aij
∑i≥1 ∑ j≥1 Aδ . Aδ konvergen.
ij
( i −1)( j −1)

∑ ∑

Labih lanjut,
i ≥1

=
=

j ≥1

δ . Aijδ −1 .aij

A(δi −1)( j −1) . Aijδ

∑ ∑
i ≥1

j ≥1

i ≥1

j ≥1

∑ ∑

δ . Aij−1 .aij
A(δi −1)( j −1)
δ

δ .a ij

A( i −1)( j −1) . Aij

A(i – 1)(j – 1) maka
δ .a ij

∑ ∑
i ≥1

<

j ≥1

∑ ∑
i ≥1

Aijδ . Aij

j ≥1

458 

δ

δ .a ij

A( i −1)( j −1) . Aij

δ. Aijδ −1 ( Aij − A(i −1)( j −1) )  
=

Barisan ganda (double sequences)
merupakan suatu generalisasi dari barisan
tunggal (single sequences).

j ≥1

Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains VIII, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW 
Salatiga, 15 Juni 2013, Vol 4, No.1, ISSN:2087‐0922 

 

∑ ∑
i ≥1

j ≥1

δ .a ij

Aijδ +1

δ .∑i ≥1 ∑ j ≥1

Aijδ +1

∑ ∑

δ +1

a ij

Karena δ ≠ 0 maka
a ij
i ≥1

j ≥1

Aij

∑ ∑

< ∞ atau

i ≥1