Rifqi Choiril Affan M0113040
MODEL SUSCEPTIBLE DIABETES COMPLICATION
(SDC )
Rifqi Choiril Affan, Purnami Widyaningsih, Dewi Retno Sari Saputro
Program Studi Matematika FMIPA UNS
Abstrak. Prevalensi penyakit diabetes tergolong cukup tinggi. Pemodelan matematika untuk mempelajari perubahan prevalensi diabetes telah dijelaskan melalui model
diabetes complication (DC). Insidensi pada model DC diasumsikan konstan tanpa mempertimbangkan faktor penyebabnya. Dalam artikel ini, model DC dikembangkan menjadi
model susceptible diabetes complication (SDC) dengan mempertimbangkan faktor gaya
hidup dan genetik sebagai penyebab insidensi. Model SDC berbentuk sistem persamaan
diferensial nonlinier orde satu. Model tersebut diterapkan di Amerika Serikat dengan
mengestimasi nilai parameter berdasarkan data tahun 2000-2011. Keakuratan model
diukur berdasarkan eror relatif tahun 2012-2014. Rata-rata eror relatif S, D, C, dan
prevalensi berturut-turut adalah 0.00219, 0.06231, -0.14461, dan -0.04884. Dengan demikian model cukup akurat dalam memprediksi banyaknya individu pada masing-masing
kelompok maupun prevalensi diabetes. Selama 2011-2030, prevalensi diabetes diprediksikan meningkat lebih dari dua kali lipat dengan rata-rata peningkatan 4% per tahun,
sedangkan kematiannya meningkat lebih dari dua kali lipat dengan rata-rata peningkatan
5% per tahun.
Kata Kunci: diabetes, insidensi, komplikasi, SDC.
1. Pendahuluan
Diabetes merupakan suatu penyakit kronis yang ditandai dengan kadar gula
darah yang tinggi. Organ pankreas tidak dapat bekerja dengan optimal sehingga
mengakibatkan tubuh kekurangan insulin. Tanpa adanya insulin yang cukup, sel-sel
tubuh tidak dapat menyerap dan mengolah glukosa menjadi energi sehingga kadar
gula dalam darah meningkat.
Menurut catatan International Diabetes Federation [8] tahun 2015, prevalensi
penderita diabetes cukup besar yaitu sekitar 9.1% dari penduduk dunia. Diabetes
tergolong sebagai penyakit yang mematikan dengan menempati urutan ke- 6 penyebab kematian terbanyak di dunia versi World Health Organization (W HO) [14].
Menurut Deshpande et al. [4], kematian penderita diabetes umumnya terjadi pada pasien yang mengalami komplikasi penyakit lain. Selain itu, komplikasi penyakit
diabetes juga merupakan penyebab utama amputasi yang mengakibatkan cacat permanen pada penderitanya. Oleh sebab itu, komplikasi merupakan komponen yang
penting dalam pembahasan penyakit diabetes, termasuk pembahasan dari sudut
pandang epidemiologi.
Menurut Berkman dan Kawachi [1], epidemiologi merupakan ilmu yang mempelajari penyebaran penyakit pada suatu makhluk hidup di dalam konteks lingkungannya, epidemiologi tidak hanya mempelajari penyebaran penyakit menular, namun juga mempelajari “penyebaran”penyakit tidak menular, salah satunya adalah
diabetes. Pemodelan matematika dapat digunakan sebagai alat untuk mengetahui
“penyebaran”penyakit diabetes yang diamati berdasarkan perubahan prevalensinya.
1
Model Susceptible Diabetes Complication (SDC)
R. C. Affan, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
Pada tahun 2004 Boutayeb et al. [2] memperkenalkan model diabetes complication (DC) untuk mengetahui perubahan banyaknya penderita diabetes tanpa
komplikasi (D) dan dengan komplikasi (C). Pada model tersebut banyaknya penderita baru (insidensi) penyakit diabetes diasumsikan konstan. Sementara itu menurut
data WHO [13], banyaknya insidensi diabetes tidak konstan dan cenderung meningkat setiap tahunnya. Peningkatan ini disebabkan karena gaya hidup penduduk dunia
semakin jauh dari nilai-nilai kesehatan. Menurut Gerungan [6], salah satu faktor
yang mempengaruhi gaya hidup seseorang adalah interaksi sosial dengan orangorang di sekitarnya. Interaksi sosial merupakan faktor yang berpengaruh signifikan
terhadap perubahan gaya hidup sehingga dapat meningkatkan potensi seorang individu yang sehat namun rentan (susceptible) menjadi penderita diabetes (Gary-Webb
et al. [5]). Di samping itu, insidensi diabetes juga sering dikaitkan dengan faktor
genetik dari orang tua yang mempunyai riwayat penyakit diabetes (Rich [11]).
Berbeda dengan Boutayeb et al. [2], pada penelitian ini banyaknya insidensi tidak konstan. Banyaknya insidensi ditentukan dengan memperhatikan faktor
gaya hidup dan faktor genetik. Dengan mempertimbangkan perbedaan tersebut,
lebih lanjut diteliti “penyebaran”penyakit diabetes dengan model susceptible diabetes complication (SDC). Tujuan penelitian ini adalah menurunkan model SDC,
mengukur keakuratan model tersebut dalam penerapan, serta menggunakan model
untuk memprediksi prevalensi dan banyaknya kematian karena diabetes.
2. Model DC
Model DC pertama kali dikenalkan oleh Boutayeb et al. [2] pada tahun 2004.
Populasi pada model ini adalah penderita diabetes yang kemudian diklasifikasikan
berdasarkan kondisi kesehatannya menjadi dua kelompok individu yaitu penderita
diabetes tanpa komplikasi (D) dan penderita diabetes dengan komplikasi (C).
Pada model ini jenis penyakit komplikasi tidak dibedakan, baik komplikasi
akut maupun komplikasi kronis keduanya dianggap sama. Penderita diabetes yang
awalnya tidak mengalami komplikasi dapat berkembang menjadi penderita diabetes
yang mengalami komplikasi. Laju terjadinya komplikasi pada model ini dinotasikan
dengan λ sehingga banyaknya individu kelompok D berkurang sebanyak λD dan
banyaknya individu kelompok C bertambah dalam jumlah yang sama. Penderita
diabetes yang mengalami komplikasi dapat sembuh dari penyakit komplikasinya,
meninggal, maupun mengalami cacat fisik (disabilitas). Penderita diabetes sembuh
dari penyakit komplikasi diasumsikan tetap menderita diabetes, sedangkan penderita diabetes yang meninggal maupun mengalami disabilitas karena komplikasi
dikeluarkan dari populasi. Laju kesembuhan komplikasi, laju kematian komplikasi,
dan laju disabilitas berturut-turut dinotasikan dengan γ, δ, dan ν, sehingga banyaknya individu pada kelompok C berkurang sebanyak γC, δC, dan νC. Pada saat yang
bersamaan, banyaknya individu pada kelompok D bertambah sebanyak γC karena
2
2017
Model Susceptible Diabetes Complication (SDC)
R. C. Affan, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
adanya individu yang sembuh dari penyakit komplikasi. Model DC Boutayeb et
al. [2] juga memperhatikan kematian alami pada kedua kelompok individu dengan
laju kematian alami yang besarnya sama dan dinotasikan dengan µ. Karena adanya
kematian alami, kelompok individu D dan C berturut-turut berkurang sebesar µD
dan µC. Insidensi penyakit diabetes pada model ini diasumsikan konstan sebesar
I dan dikategorikan menderita diabetes tanpa komplikasi. Banyaknya individu pada kelompok D bertambah sebanyak I karena adanya insidensi. Dengan demikian
model DC menurut Boutayeb et al. [2] dapat dituliskan sebagai
dD
= I − λD + γC − µD
dt
(2.1)
dC
= λD − γC − δC − νC − µC
dt
dengan I, λ, γ, µ, δ, ν > 0. Model (2.1) merupakan sistem persamaan diferensial orde
satu.
3. Hasil dan Pembahasan
3.1. Model SDC . Peningkatan jumlah penderita diabetes dipengaruhi oleh banyaknya insidensi yang terjadi. Insidensi penyakit diabetes sebagian besar disebabkan oleh gaya hidup yang tidak sehat seperti tingkat aktivitas fisik yang rendah, pola
makan yang tidak teratur, dan kebiasaan-kebiasaan lain yang bertentangan dengan
pola hidup sehat. Penderita diabetes yang mengalami komplikasi biasanya sudah
menyadari kelemahan kondisi fisiknya sehingga lebih memperhatikan gaya hidup
yang dijalani dalam aktivitas sehari-hari. Sebaliknya, penderita diabetes yang tidak
disertai komplikasi belum dapat menjaga gaya hidupnya, terlebih pada penderita
diabetes yang belum terdiagnosis (undiagnosis diabetes).
Dalam menjalani aktivitas sehari-hari, penderita diabetes tanpa komplikasi
cenderung memiliki gaya hidup yang tidak sehat. Menurut Hill et al. [7], interaksi
antara penderita diabetes yang memiliki gaya hidup tidak sehat dengan individu
yang sehat dapat mengakibatkan terjadinya “penularan”gaya hidup. Dampak dari
“penularan”gaya hidup adalah insidensi. Untuk menentukan banyaknya interaksi
yang mungkin terjadi, banyaknya individu yang sehat namun rentan juga harus terukur dalam suatu kelompok individu yaitu susceptible (S ). Karena adanya kelompok
individu susceptible, model DC (2.1) dimodifikasi menjadi model susceptible diabetes
complication (SDC). Jika laju interaksi yang menyebabkan terjadinya insidensi dinotasikan dengan β, maka banyaknya insidensi yang terjadi karena faktor gaya hidup sebanyak β SD
. Setiap individu yang baru saja terkena diabetes diasumsikan
N
belum mengalami komplikasi sehingga kelompok individu D bertambah sebanyak
. Pada saat yang sama, kelompok individu S juga berkurang sebanyak β SD
.
β SD
N
N
Kematian alami juga terjadi pada kelompok individu S. Besarnya laju kematian
alami pada kelompok individu S sama dengan besarnya laju kematian alami pada
3
2017
Model Susceptible Diabetes Complication (SDC)
R. C. Affan, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
kelompok individu D dan C. Oleh karena itu banyaknya individu pada kelompok
S berkurang sebanyak µS karena kematian alami. Dengan memperhatikan faktor
gaya hidup sebagai penyebab insidensi, model SDC dapat dituliskan sebagai
dS
SD
= −β
− µS
dt
N
dD
SD
=β
− λD + µD + γC
dt
N
dC
= λD − (γ + δ + ν + µ)C.
dt
(3.1)
Model SDC (3.1) merupakan sistem persamaan diferensial nonlinier orde satu yang
memuat tiga variabel terikat yaitu S, D, dan C.
Selain disebabkan oleh gaya hidup yang tidak sehat, insidensi diabetes juga disebabkan oleh faktor genetik orang tua yang mempunyai riwayat penyakit diabetes
(Wu et al. [15]). Keturunan dari seorang penderita diabetes berpotensi memiliki
kelainan genetik yang mengakibatkan pankreas tidak dapat memproduksi insulin
dengan semestinya. Pada penelitian ini diasumsikan bahwa individu sehat menghasilkan keturunan yang sehat pula, sedangkan individu penderita diabetes menghasilkan keturunan dengan kelainan genetik, namun tidak menutup kemungkinan
menghasilkan keturunan yang sehat.
Jika proporsi terjadinya kelahiran dengan kelainan genetik dinotasikan dengan
ρ dan laju kelahiran dinotasikan dengan α, maka banyaknya kelahiran individu
sehat adalah αS +α(1−ρ)(D+C) dan banyaknya kelahiran dengan kelainan genetik
adalah αρ(D+C). Kelahiran individu sehat meningkatkan banyaknya individu pada
kelompok S sedangkan kelahiran individu dengan kelainan genetik meningkatkan
jumlah individu pada kelompok D. Dengan memperhatikan faktor genetik sebagai
penyebab insidensi, model SDC dapat dituliskan sebagai
dS
SD
= αS + α(1 − ρ)(D + C) − β
− µS
dt
N
SD
dD
= αρ(D + C) + β
− λD + µD + γC
dt
N
dC
= λD − (γ + δ + ν + µ)C,
dt
(3.2)
dengan α, β, γ, δ, λ, µ, ν > 0, dan 0 ≤ ρ ≤ 1. Model SDC (3.2) merupakan sistem
persamaan diferensial nonlinier orde satu
Populasi pada model SDC (3.2) didefinisikan sebagai gabungan dari kelompok individu S, D, dan C. Gabungan ketiga kelompok individu tersebut merepresentasikan jumlah penduduk yang hidup pada suatu wilayah (N ). Pada model
SDC (3.2), terdapat sebanyak νC individu yang dikeluarkan dari populasi karena
mengalami disabilitas. Dikeluarkannya individu yang mengalami disabilitas menimbulkan kontradiksi dengan definisi populasi sehingga model SDC (3.2) perlu
4
2017
Model Susceptible Diabetes Complication (SDC)
R. C. Affan, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
dimodifikasi. Individu yang mengalami disabilitas merupakan bagian dari penduduk yang masih hidup dan keberadaannya tidak perlu dikeluarkan dari populasi.
Individu yang mengalami disabilitas tetap dipertahankan dalam populasi dengan
menjadi bagian dari kelompok individu C.
Dengan demikian, model SDC yang memperhatikan faktor gaya hidup dan
faktor genetik sebagai penyebab insidensi serta tidak mengeluarkan individu yang
mengalami disabilitas dari populasi dapat dinyatakan sebagai
dS
SD
= αS + α(1 − ρ)(D + C) − β
− µS
dt
N
dD
SD
= αρ(D + C) + β
− λD + µD + γC
dt
N
dC
= λD − (γ + δ + µ)C
dt
(3.3)
dengan S(0) > 0, D(0) > 0, dan C(0) > 0. Parameter α, β, γ, δ, λ, µ, dan ρ berturutturut menyatakan laju kelahiran, laju interaksi, laju kesembuhan komplikasi, laju
kematian komplikasi, laju terjadinya komplikasi, laju kematian alami, dan proporsi
terjadinya kelahiran dengan kelainan genetik. Nilai parameter α, β, γ, δ, λ, dan µ >
0, sedangkan 0 ≤ ρ ≤ 1. Model SDC (3.3) merupakan sistem persamaan diferensial
nonlinier orde satu.
Penyelesaian model SDC (3.3) dapat digunakan untuk menentukan prevalensi
diabetes. Prevalensi merupakan standar pengukuran individu berpenyakit dalam
populasi. Prevalensi diabetes dapat dihitung dengan formula ( D(t)+C(t)
).
N (t)
3.2. Penerapan. Pada penerapan ini, model SDC digunakan untuk mengetahui
perubahan prevalensi diabetes di Amerika Serikat. Populasi diasumsikan homogen
dan tidak memperhatikan persebaran populasi berdasarkan wilayah kependudukan
maupun kategori usia. Komplikasi dibatasi pada lima penyakit yang paling sering
dijumpai pada penderita diabetes yaitu cardiovascular diseases (CVD), penyakit
ginjal kronis, lower extrimity conditions (LEC ), gangguan penglihatan, dan ketoacidosis. Data diperoleh dari Centers for Disease Control and Prevention (CDC ) [3],
National Vital Statistics Report (NVSR) [9], dan World Bank [12] tahun 2000-2014.
Data tahun 2000-2011 digunakan untuk mengestimasi parameter, sedangkan data
tahun 2012-2014 digunakan untuk mengukur keakuratan model.
Berdasarkan data tahun 2000-2011, diperoleh nilai laju kelahiran α sebesar
0.01623, laju interaksi β sebesar 0.1626, laju kesembuhan komplikasi γ sebesar
0.3714, laju kematian komplikasi δ sebesar 0.0068, laju terjadinya komplikasi λ
sebesar 0.6776, dan laju kematian alami µ sebesar 0.00764. Sedangkan proporsi terjadinya kelahiran dengan kelainan genetik ρ diperoleh dari Nold dan Georgief [10]
yaitu sebesar 1/13 ≈ 0.077. Dengan mensubstitusikan nilai-nilai parameter tersebut
5
2017
Model Susceptible Diabetes Complication (SDC)
R. C. Affan, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
ke sistem (3.3), diperoleh model SDC yang diterapkan di Amerika Serikat yaitu
dS
SD
= 0.00859S + 0.01498(D + C) − 0.1626
dt
N
SD
dD
(3.4)
= 0.00125(D + C) + 0.1626
− 0.6852D + 0.3714C
dt
N
dC
= 0.6776D − 0.3858C.
dt
Sistem (3.4) merupakan sistem persamaan diferensial nonlinier yang secara
analitik sulit ditentukan penyelesaian eksaknya, oleh karena itu digunakan penyelesaian pendekatan menggunakan algoritme Runge-Kutta orde empat. Algoritme
Runge-Kutta orde empat memerlukan nilai awal. Nilai awal yang digunakan mengacu pada banyaknya individu S, D, dan C tahun 2011 (t = 0). Menurut data
CDC [3], 6.67% dari 310.5 juta penduduk Amerika Serikat adalah penderita diabetes yang terdiri dari 9.65 juta penderita diabetes yang tanpa komplikasi dan 11.05
juta penderita diabetes yang mengalami komplikasi, sedangkan 289.8 juta yang lainnya merupakan individu yang sehat namun rentan terkena diabetes. Berdasarkan
data tersebut diperoleh nilai awal dalam satuan jutaan penduduk yaitu
(S(0), D(0), C(0)) = (289.8, 9.65, 11.05).
(3.5)
Selanjutnya, ditentukan penyelesaian sistem (3.4) dengan syarat awal (3.5) dalam kurun waktu 3 tahun pertama (2011-2014). Penyelesaian tersebut dibandingkan
dengan data yang diperoleh dari CDC [3] sehingga dapat diukur nilai eror relatifnya.
Nilai eror relatif pada kelompok individu S, D, dan C, serta eror relatif prevalensi
diabetes untuk tahun 2011-2014 ditunjukkan pada Tabel 1.
Tabel 1. Eror relatif masing-masing kelompok individu dan eror relatif prevalensi diabetes
Tahun
2011
2012
2013
Rata-rata
S
0.00055
0.00075
0.00528
0.00219
D
0.07625
0.10426
0.00642
0.06231
C
Prevalensi
-0.09924 -0.01756
-0.15162 -0.03161
-0.18298 -0.09736
-0.14461 -0.04884
Keakuratan model SDC (3.4) dalam memprediksi prevalensi diabetes di Amerika Serikat dapat diketahui berdasarkan eror relatif pada Tabel 1. Rata-rata eror
relatif pada kelompok individu S, D, dan C berturut-turut adalah 0.00219, 0.06231,
dan -0.14461. Rata-rata eror relatif tergolong cukup kecil sehingga model dapat dikatakan cukup akurat untuk memprediksi banyaknya individu pada ketiga kelompok
tersebut. Sedangkan rata-rata eror relatif dalam memprediksi prevalensi diabetes
adalah -0.4884, artinya prediksi prevalensi diabetes dengan menggunakan model
6
2017
Model Susceptible Diabetes Complication (SDC)
R. C. Affan, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
SDC hanya 4.88% lebih tinggi dibandingkan data sebenarnya. Dengan demikian,
model SDC (3.4) cukup akurat dalam memprediksi prevalensi diabetes.
Selanjutnya, prevalensi diabetes berdasarkan penyelesaian model SDC (3.4)
dalam rentang waktu 2011-2030 ditunjukkan pada Gambar 1. Dari Gambar 1 ter-
Gambar 1. Prevalensi diabetes tahun 2011-2030
lihat bahwa prevalensi diabetes pada tahun 2011 adalah 6.67% dan diprediksikan
mencapai 14% pada tahun 2030, terjadi peningkatan lebih dari dua kali lipat (110%)
dalam kurun waktu 19 tahun pertama. Prevalensi diabetes cenderung selalu meningkat setiap tahunnya dengan rata-rata peningkatan 4% per tahun.
Peningkatan prevalensi berakibat pada peningkatan banyaknya kematian karena diabetes. Pada tahun 2011 terdapat 73831 individu yang meninggal karena diabetes. Banyaknya kematian karena terus mengalami peningkatan setiap tahunnya,
rata-rata terjadi peningkatan 5% dibandingkan banyaknya kematian pada tahun
sebelumnya. Kematian karena diabetes pada tahun 2030 diprediksikan mencapai
206260 jiwa, lebih dari dua kali lipat dibandingkan kematian pada tahun 2011. Jika
diakumulasikan, maka terdapat 2.74 juta individu yang meninggal karena diabetes
dalam rentang waktu 2011-2030.
4. Kesimpulan
Dari pembahasan yang telah dilakukan, diambil 3 kesimpulan.
(1) Model SDC adalah
dS
SD
= αS + α(1 − ρ)(D + C) − β
− µS
dt
N
dD
SD
= αρ(D + C) + β
− (λ + µ)D + γC
dt
N
dC
= λD − (γ + δ + µ)C
dt
dengan α, β, γ, δ, λ, µ, dan ρ berturut-turut menyatakan parameter laju kelahiran, laju interaksi, laju kesembuhan komplikasi, laju kematian komplikasi,
7
2017
Model Susceptible Diabetes Complication (SDC)
R. C. Affan, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
laju terjadinya komplikasi, laju kematian alami, dan proporsi terjadinya kelahiran dengan kelainan genetik.
(2) Model SDC diterapkan di Amerika Serikat, nilai parameter diestimasi berdasarkan data 2000-2011, diperoleh nilai parameter α = 0.01623, β = 0.1626,
γ = 0.3714, δ = 0.0068, λ = 0.6776, µ = 0.00764, dan ρ = 0.077. Penyelesaian model dibandingkan dengan data 2012-2014. Berdasarkan rata-rata
eror relatifnya, model SDC cukup akurat untuk memprediksi S, D, C, serta
prevalensi diabetes.
(3) Dalam rentang waktu 2011-2030, prevalensi diabetes diprediksikan meningkat lebih dari dua kali lipatnya dengan rata-rata peningkatan 4% per tahun.
Sedangkan banyaknya kematian karena diabetes meningkat lebih dari dua
kali lipatnya dengan rata-rata peningkatan 5% per tahun. Diprediksikan
terdapat 2.74 juta individu yang meninggal karena diabetes selama periode
2011-2030.
DAFTAR PUSTAKA
1. Berkman, L. F. and I. Kawachi, Social Epidemiology, Oxford University Press, New York,
2001.
2. Boutayeb, A., E. H. Twizell, K. Achouayb, and A. Chetouani, A Mathematical Model for The
Burden of Diabetes and Its Complication, BioMedical Engineering Online 3 (2004), no. 20.
3. Centers for Disease Control and Prevention (CDC), National Data of Diabetes, 2015.
4. Deshpande, A. D., M. Harris-Hayes, and M. Schootman, Epidemiology of Diabetes and
Diabetes-Related Complications, Physical Therapy 88 (2008), no. 11, 1254–1264.
5. Gary-Webb, T. L., S. F. Suglia, and P. Tehranifar, Social Epidemiology of Diabetes and Associated Conditions, Current Diabetes Reports 13 (2013), no. 6, 850–859.
6. Gerungan, W.A., Psikologi Sosial, Refika Aditama, Bandung, 2004.
7. Hill, J., M. Nielsen, and M. H. Fox, Understanding the Social Factors That Contribute to
Diabetes: A Means to Informing Health Care and Social Policies for the Chronically Ill, The
Permanente Journal 2 (2013), no. 17, 67–72.
8. International Diabetes Federation (IDF), IDF Atlas Seventh Edition, 2015.
9. National Vital Statistics Reports (NVSR), Deaths : Final Data 2000-2014, 2000-2014.
10. Nold, J. L. and M. K. Georgieff, Infant of Diabetic Mothers, Pediatric Clinics of North America
51 (2004), 619–637.
11. Rich, S. S., Genetics of Diabetes and Its Complications, Journal of The American Society of
Nephrology 17 (2006), 353–360.
12. World Bank, Birth and Death Rate, Crude, 2015.
13. World Health Organization (WHO), Definition and Diagnosis of Diabetes Mellitus and Intermediate Hyperglycaemia, Report of a WHO/IDF Consultation, 2016.
14. World Health Organization (WHO), The Top 10 Causes of Death, 2017.
15. Wu, Y., Y. Ding, W. Tanaka, and W. Zhang, Risk Factors Contributing to Type 2 Diabetes and
Recent Advances in the Treatment and Prevention, International Journal of Medical Sciences
11 (2014), no. 11, 1185–1200.
8
2017
(SDC )
Rifqi Choiril Affan, Purnami Widyaningsih, Dewi Retno Sari Saputro
Program Studi Matematika FMIPA UNS
Abstrak. Prevalensi penyakit diabetes tergolong cukup tinggi. Pemodelan matematika untuk mempelajari perubahan prevalensi diabetes telah dijelaskan melalui model
diabetes complication (DC). Insidensi pada model DC diasumsikan konstan tanpa mempertimbangkan faktor penyebabnya. Dalam artikel ini, model DC dikembangkan menjadi
model susceptible diabetes complication (SDC) dengan mempertimbangkan faktor gaya
hidup dan genetik sebagai penyebab insidensi. Model SDC berbentuk sistem persamaan
diferensial nonlinier orde satu. Model tersebut diterapkan di Amerika Serikat dengan
mengestimasi nilai parameter berdasarkan data tahun 2000-2011. Keakuratan model
diukur berdasarkan eror relatif tahun 2012-2014. Rata-rata eror relatif S, D, C, dan
prevalensi berturut-turut adalah 0.00219, 0.06231, -0.14461, dan -0.04884. Dengan demikian model cukup akurat dalam memprediksi banyaknya individu pada masing-masing
kelompok maupun prevalensi diabetes. Selama 2011-2030, prevalensi diabetes diprediksikan meningkat lebih dari dua kali lipat dengan rata-rata peningkatan 4% per tahun,
sedangkan kematiannya meningkat lebih dari dua kali lipat dengan rata-rata peningkatan
5% per tahun.
Kata Kunci: diabetes, insidensi, komplikasi, SDC.
1. Pendahuluan
Diabetes merupakan suatu penyakit kronis yang ditandai dengan kadar gula
darah yang tinggi. Organ pankreas tidak dapat bekerja dengan optimal sehingga
mengakibatkan tubuh kekurangan insulin. Tanpa adanya insulin yang cukup, sel-sel
tubuh tidak dapat menyerap dan mengolah glukosa menjadi energi sehingga kadar
gula dalam darah meningkat.
Menurut catatan International Diabetes Federation [8] tahun 2015, prevalensi
penderita diabetes cukup besar yaitu sekitar 9.1% dari penduduk dunia. Diabetes
tergolong sebagai penyakit yang mematikan dengan menempati urutan ke- 6 penyebab kematian terbanyak di dunia versi World Health Organization (W HO) [14].
Menurut Deshpande et al. [4], kematian penderita diabetes umumnya terjadi pada pasien yang mengalami komplikasi penyakit lain. Selain itu, komplikasi penyakit
diabetes juga merupakan penyebab utama amputasi yang mengakibatkan cacat permanen pada penderitanya. Oleh sebab itu, komplikasi merupakan komponen yang
penting dalam pembahasan penyakit diabetes, termasuk pembahasan dari sudut
pandang epidemiologi.
Menurut Berkman dan Kawachi [1], epidemiologi merupakan ilmu yang mempelajari penyebaran penyakit pada suatu makhluk hidup di dalam konteks lingkungannya, epidemiologi tidak hanya mempelajari penyebaran penyakit menular, namun juga mempelajari “penyebaran”penyakit tidak menular, salah satunya adalah
diabetes. Pemodelan matematika dapat digunakan sebagai alat untuk mengetahui
“penyebaran”penyakit diabetes yang diamati berdasarkan perubahan prevalensinya.
1
Model Susceptible Diabetes Complication (SDC)
R. C. Affan, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
Pada tahun 2004 Boutayeb et al. [2] memperkenalkan model diabetes complication (DC) untuk mengetahui perubahan banyaknya penderita diabetes tanpa
komplikasi (D) dan dengan komplikasi (C). Pada model tersebut banyaknya penderita baru (insidensi) penyakit diabetes diasumsikan konstan. Sementara itu menurut
data WHO [13], banyaknya insidensi diabetes tidak konstan dan cenderung meningkat setiap tahunnya. Peningkatan ini disebabkan karena gaya hidup penduduk dunia
semakin jauh dari nilai-nilai kesehatan. Menurut Gerungan [6], salah satu faktor
yang mempengaruhi gaya hidup seseorang adalah interaksi sosial dengan orangorang di sekitarnya. Interaksi sosial merupakan faktor yang berpengaruh signifikan
terhadap perubahan gaya hidup sehingga dapat meningkatkan potensi seorang individu yang sehat namun rentan (susceptible) menjadi penderita diabetes (Gary-Webb
et al. [5]). Di samping itu, insidensi diabetes juga sering dikaitkan dengan faktor
genetik dari orang tua yang mempunyai riwayat penyakit diabetes (Rich [11]).
Berbeda dengan Boutayeb et al. [2], pada penelitian ini banyaknya insidensi tidak konstan. Banyaknya insidensi ditentukan dengan memperhatikan faktor
gaya hidup dan faktor genetik. Dengan mempertimbangkan perbedaan tersebut,
lebih lanjut diteliti “penyebaran”penyakit diabetes dengan model susceptible diabetes complication (SDC). Tujuan penelitian ini adalah menurunkan model SDC,
mengukur keakuratan model tersebut dalam penerapan, serta menggunakan model
untuk memprediksi prevalensi dan banyaknya kematian karena diabetes.
2. Model DC
Model DC pertama kali dikenalkan oleh Boutayeb et al. [2] pada tahun 2004.
Populasi pada model ini adalah penderita diabetes yang kemudian diklasifikasikan
berdasarkan kondisi kesehatannya menjadi dua kelompok individu yaitu penderita
diabetes tanpa komplikasi (D) dan penderita diabetes dengan komplikasi (C).
Pada model ini jenis penyakit komplikasi tidak dibedakan, baik komplikasi
akut maupun komplikasi kronis keduanya dianggap sama. Penderita diabetes yang
awalnya tidak mengalami komplikasi dapat berkembang menjadi penderita diabetes
yang mengalami komplikasi. Laju terjadinya komplikasi pada model ini dinotasikan
dengan λ sehingga banyaknya individu kelompok D berkurang sebanyak λD dan
banyaknya individu kelompok C bertambah dalam jumlah yang sama. Penderita
diabetes yang mengalami komplikasi dapat sembuh dari penyakit komplikasinya,
meninggal, maupun mengalami cacat fisik (disabilitas). Penderita diabetes sembuh
dari penyakit komplikasi diasumsikan tetap menderita diabetes, sedangkan penderita diabetes yang meninggal maupun mengalami disabilitas karena komplikasi
dikeluarkan dari populasi. Laju kesembuhan komplikasi, laju kematian komplikasi,
dan laju disabilitas berturut-turut dinotasikan dengan γ, δ, dan ν, sehingga banyaknya individu pada kelompok C berkurang sebanyak γC, δC, dan νC. Pada saat yang
bersamaan, banyaknya individu pada kelompok D bertambah sebanyak γC karena
2
2017
Model Susceptible Diabetes Complication (SDC)
R. C. Affan, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
adanya individu yang sembuh dari penyakit komplikasi. Model DC Boutayeb et
al. [2] juga memperhatikan kematian alami pada kedua kelompok individu dengan
laju kematian alami yang besarnya sama dan dinotasikan dengan µ. Karena adanya
kematian alami, kelompok individu D dan C berturut-turut berkurang sebesar µD
dan µC. Insidensi penyakit diabetes pada model ini diasumsikan konstan sebesar
I dan dikategorikan menderita diabetes tanpa komplikasi. Banyaknya individu pada kelompok D bertambah sebanyak I karena adanya insidensi. Dengan demikian
model DC menurut Boutayeb et al. [2] dapat dituliskan sebagai
dD
= I − λD + γC − µD
dt
(2.1)
dC
= λD − γC − δC − νC − µC
dt
dengan I, λ, γ, µ, δ, ν > 0. Model (2.1) merupakan sistem persamaan diferensial orde
satu.
3. Hasil dan Pembahasan
3.1. Model SDC . Peningkatan jumlah penderita diabetes dipengaruhi oleh banyaknya insidensi yang terjadi. Insidensi penyakit diabetes sebagian besar disebabkan oleh gaya hidup yang tidak sehat seperti tingkat aktivitas fisik yang rendah, pola
makan yang tidak teratur, dan kebiasaan-kebiasaan lain yang bertentangan dengan
pola hidup sehat. Penderita diabetes yang mengalami komplikasi biasanya sudah
menyadari kelemahan kondisi fisiknya sehingga lebih memperhatikan gaya hidup
yang dijalani dalam aktivitas sehari-hari. Sebaliknya, penderita diabetes yang tidak
disertai komplikasi belum dapat menjaga gaya hidupnya, terlebih pada penderita
diabetes yang belum terdiagnosis (undiagnosis diabetes).
Dalam menjalani aktivitas sehari-hari, penderita diabetes tanpa komplikasi
cenderung memiliki gaya hidup yang tidak sehat. Menurut Hill et al. [7], interaksi
antara penderita diabetes yang memiliki gaya hidup tidak sehat dengan individu
yang sehat dapat mengakibatkan terjadinya “penularan”gaya hidup. Dampak dari
“penularan”gaya hidup adalah insidensi. Untuk menentukan banyaknya interaksi
yang mungkin terjadi, banyaknya individu yang sehat namun rentan juga harus terukur dalam suatu kelompok individu yaitu susceptible (S ). Karena adanya kelompok
individu susceptible, model DC (2.1) dimodifikasi menjadi model susceptible diabetes
complication (SDC). Jika laju interaksi yang menyebabkan terjadinya insidensi dinotasikan dengan β, maka banyaknya insidensi yang terjadi karena faktor gaya hidup sebanyak β SD
. Setiap individu yang baru saja terkena diabetes diasumsikan
N
belum mengalami komplikasi sehingga kelompok individu D bertambah sebanyak
. Pada saat yang sama, kelompok individu S juga berkurang sebanyak β SD
.
β SD
N
N
Kematian alami juga terjadi pada kelompok individu S. Besarnya laju kematian
alami pada kelompok individu S sama dengan besarnya laju kematian alami pada
3
2017
Model Susceptible Diabetes Complication (SDC)
R. C. Affan, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
kelompok individu D dan C. Oleh karena itu banyaknya individu pada kelompok
S berkurang sebanyak µS karena kematian alami. Dengan memperhatikan faktor
gaya hidup sebagai penyebab insidensi, model SDC dapat dituliskan sebagai
dS
SD
= −β
− µS
dt
N
dD
SD
=β
− λD + µD + γC
dt
N
dC
= λD − (γ + δ + ν + µ)C.
dt
(3.1)
Model SDC (3.1) merupakan sistem persamaan diferensial nonlinier orde satu yang
memuat tiga variabel terikat yaitu S, D, dan C.
Selain disebabkan oleh gaya hidup yang tidak sehat, insidensi diabetes juga disebabkan oleh faktor genetik orang tua yang mempunyai riwayat penyakit diabetes
(Wu et al. [15]). Keturunan dari seorang penderita diabetes berpotensi memiliki
kelainan genetik yang mengakibatkan pankreas tidak dapat memproduksi insulin
dengan semestinya. Pada penelitian ini diasumsikan bahwa individu sehat menghasilkan keturunan yang sehat pula, sedangkan individu penderita diabetes menghasilkan keturunan dengan kelainan genetik, namun tidak menutup kemungkinan
menghasilkan keturunan yang sehat.
Jika proporsi terjadinya kelahiran dengan kelainan genetik dinotasikan dengan
ρ dan laju kelahiran dinotasikan dengan α, maka banyaknya kelahiran individu
sehat adalah αS +α(1−ρ)(D+C) dan banyaknya kelahiran dengan kelainan genetik
adalah αρ(D+C). Kelahiran individu sehat meningkatkan banyaknya individu pada
kelompok S sedangkan kelahiran individu dengan kelainan genetik meningkatkan
jumlah individu pada kelompok D. Dengan memperhatikan faktor genetik sebagai
penyebab insidensi, model SDC dapat dituliskan sebagai
dS
SD
= αS + α(1 − ρ)(D + C) − β
− µS
dt
N
SD
dD
= αρ(D + C) + β
− λD + µD + γC
dt
N
dC
= λD − (γ + δ + ν + µ)C,
dt
(3.2)
dengan α, β, γ, δ, λ, µ, ν > 0, dan 0 ≤ ρ ≤ 1. Model SDC (3.2) merupakan sistem
persamaan diferensial nonlinier orde satu
Populasi pada model SDC (3.2) didefinisikan sebagai gabungan dari kelompok individu S, D, dan C. Gabungan ketiga kelompok individu tersebut merepresentasikan jumlah penduduk yang hidup pada suatu wilayah (N ). Pada model
SDC (3.2), terdapat sebanyak νC individu yang dikeluarkan dari populasi karena
mengalami disabilitas. Dikeluarkannya individu yang mengalami disabilitas menimbulkan kontradiksi dengan definisi populasi sehingga model SDC (3.2) perlu
4
2017
Model Susceptible Diabetes Complication (SDC)
R. C. Affan, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
dimodifikasi. Individu yang mengalami disabilitas merupakan bagian dari penduduk yang masih hidup dan keberadaannya tidak perlu dikeluarkan dari populasi.
Individu yang mengalami disabilitas tetap dipertahankan dalam populasi dengan
menjadi bagian dari kelompok individu C.
Dengan demikian, model SDC yang memperhatikan faktor gaya hidup dan
faktor genetik sebagai penyebab insidensi serta tidak mengeluarkan individu yang
mengalami disabilitas dari populasi dapat dinyatakan sebagai
dS
SD
= αS + α(1 − ρ)(D + C) − β
− µS
dt
N
dD
SD
= αρ(D + C) + β
− λD + µD + γC
dt
N
dC
= λD − (γ + δ + µ)C
dt
(3.3)
dengan S(0) > 0, D(0) > 0, dan C(0) > 0. Parameter α, β, γ, δ, λ, µ, dan ρ berturutturut menyatakan laju kelahiran, laju interaksi, laju kesembuhan komplikasi, laju
kematian komplikasi, laju terjadinya komplikasi, laju kematian alami, dan proporsi
terjadinya kelahiran dengan kelainan genetik. Nilai parameter α, β, γ, δ, λ, dan µ >
0, sedangkan 0 ≤ ρ ≤ 1. Model SDC (3.3) merupakan sistem persamaan diferensial
nonlinier orde satu.
Penyelesaian model SDC (3.3) dapat digunakan untuk menentukan prevalensi
diabetes. Prevalensi merupakan standar pengukuran individu berpenyakit dalam
populasi. Prevalensi diabetes dapat dihitung dengan formula ( D(t)+C(t)
).
N (t)
3.2. Penerapan. Pada penerapan ini, model SDC digunakan untuk mengetahui
perubahan prevalensi diabetes di Amerika Serikat. Populasi diasumsikan homogen
dan tidak memperhatikan persebaran populasi berdasarkan wilayah kependudukan
maupun kategori usia. Komplikasi dibatasi pada lima penyakit yang paling sering
dijumpai pada penderita diabetes yaitu cardiovascular diseases (CVD), penyakit
ginjal kronis, lower extrimity conditions (LEC ), gangguan penglihatan, dan ketoacidosis. Data diperoleh dari Centers for Disease Control and Prevention (CDC ) [3],
National Vital Statistics Report (NVSR) [9], dan World Bank [12] tahun 2000-2014.
Data tahun 2000-2011 digunakan untuk mengestimasi parameter, sedangkan data
tahun 2012-2014 digunakan untuk mengukur keakuratan model.
Berdasarkan data tahun 2000-2011, diperoleh nilai laju kelahiran α sebesar
0.01623, laju interaksi β sebesar 0.1626, laju kesembuhan komplikasi γ sebesar
0.3714, laju kematian komplikasi δ sebesar 0.0068, laju terjadinya komplikasi λ
sebesar 0.6776, dan laju kematian alami µ sebesar 0.00764. Sedangkan proporsi terjadinya kelahiran dengan kelainan genetik ρ diperoleh dari Nold dan Georgief [10]
yaitu sebesar 1/13 ≈ 0.077. Dengan mensubstitusikan nilai-nilai parameter tersebut
5
2017
Model Susceptible Diabetes Complication (SDC)
R. C. Affan, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
ke sistem (3.3), diperoleh model SDC yang diterapkan di Amerika Serikat yaitu
dS
SD
= 0.00859S + 0.01498(D + C) − 0.1626
dt
N
SD
dD
(3.4)
= 0.00125(D + C) + 0.1626
− 0.6852D + 0.3714C
dt
N
dC
= 0.6776D − 0.3858C.
dt
Sistem (3.4) merupakan sistem persamaan diferensial nonlinier yang secara
analitik sulit ditentukan penyelesaian eksaknya, oleh karena itu digunakan penyelesaian pendekatan menggunakan algoritme Runge-Kutta orde empat. Algoritme
Runge-Kutta orde empat memerlukan nilai awal. Nilai awal yang digunakan mengacu pada banyaknya individu S, D, dan C tahun 2011 (t = 0). Menurut data
CDC [3], 6.67% dari 310.5 juta penduduk Amerika Serikat adalah penderita diabetes yang terdiri dari 9.65 juta penderita diabetes yang tanpa komplikasi dan 11.05
juta penderita diabetes yang mengalami komplikasi, sedangkan 289.8 juta yang lainnya merupakan individu yang sehat namun rentan terkena diabetes. Berdasarkan
data tersebut diperoleh nilai awal dalam satuan jutaan penduduk yaitu
(S(0), D(0), C(0)) = (289.8, 9.65, 11.05).
(3.5)
Selanjutnya, ditentukan penyelesaian sistem (3.4) dengan syarat awal (3.5) dalam kurun waktu 3 tahun pertama (2011-2014). Penyelesaian tersebut dibandingkan
dengan data yang diperoleh dari CDC [3] sehingga dapat diukur nilai eror relatifnya.
Nilai eror relatif pada kelompok individu S, D, dan C, serta eror relatif prevalensi
diabetes untuk tahun 2011-2014 ditunjukkan pada Tabel 1.
Tabel 1. Eror relatif masing-masing kelompok individu dan eror relatif prevalensi diabetes
Tahun
2011
2012
2013
Rata-rata
S
0.00055
0.00075
0.00528
0.00219
D
0.07625
0.10426
0.00642
0.06231
C
Prevalensi
-0.09924 -0.01756
-0.15162 -0.03161
-0.18298 -0.09736
-0.14461 -0.04884
Keakuratan model SDC (3.4) dalam memprediksi prevalensi diabetes di Amerika Serikat dapat diketahui berdasarkan eror relatif pada Tabel 1. Rata-rata eror
relatif pada kelompok individu S, D, dan C berturut-turut adalah 0.00219, 0.06231,
dan -0.14461. Rata-rata eror relatif tergolong cukup kecil sehingga model dapat dikatakan cukup akurat untuk memprediksi banyaknya individu pada ketiga kelompok
tersebut. Sedangkan rata-rata eror relatif dalam memprediksi prevalensi diabetes
adalah -0.4884, artinya prediksi prevalensi diabetes dengan menggunakan model
6
2017
Model Susceptible Diabetes Complication (SDC)
R. C. Affan, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
SDC hanya 4.88% lebih tinggi dibandingkan data sebenarnya. Dengan demikian,
model SDC (3.4) cukup akurat dalam memprediksi prevalensi diabetes.
Selanjutnya, prevalensi diabetes berdasarkan penyelesaian model SDC (3.4)
dalam rentang waktu 2011-2030 ditunjukkan pada Gambar 1. Dari Gambar 1 ter-
Gambar 1. Prevalensi diabetes tahun 2011-2030
lihat bahwa prevalensi diabetes pada tahun 2011 adalah 6.67% dan diprediksikan
mencapai 14% pada tahun 2030, terjadi peningkatan lebih dari dua kali lipat (110%)
dalam kurun waktu 19 tahun pertama. Prevalensi diabetes cenderung selalu meningkat setiap tahunnya dengan rata-rata peningkatan 4% per tahun.
Peningkatan prevalensi berakibat pada peningkatan banyaknya kematian karena diabetes. Pada tahun 2011 terdapat 73831 individu yang meninggal karena diabetes. Banyaknya kematian karena terus mengalami peningkatan setiap tahunnya,
rata-rata terjadi peningkatan 5% dibandingkan banyaknya kematian pada tahun
sebelumnya. Kematian karena diabetes pada tahun 2030 diprediksikan mencapai
206260 jiwa, lebih dari dua kali lipat dibandingkan kematian pada tahun 2011. Jika
diakumulasikan, maka terdapat 2.74 juta individu yang meninggal karena diabetes
dalam rentang waktu 2011-2030.
4. Kesimpulan
Dari pembahasan yang telah dilakukan, diambil 3 kesimpulan.
(1) Model SDC adalah
dS
SD
= αS + α(1 − ρ)(D + C) − β
− µS
dt
N
dD
SD
= αρ(D + C) + β
− (λ + µ)D + γC
dt
N
dC
= λD − (γ + δ + µ)C
dt
dengan α, β, γ, δ, λ, µ, dan ρ berturut-turut menyatakan parameter laju kelahiran, laju interaksi, laju kesembuhan komplikasi, laju kematian komplikasi,
7
2017
Model Susceptible Diabetes Complication (SDC)
R. C. Affan, P. Widyaningsih, D. R. S. Saputro
laju terjadinya komplikasi, laju kematian alami, dan proporsi terjadinya kelahiran dengan kelainan genetik.
(2) Model SDC diterapkan di Amerika Serikat, nilai parameter diestimasi berdasarkan data 2000-2011, diperoleh nilai parameter α = 0.01623, β = 0.1626,
γ = 0.3714, δ = 0.0068, λ = 0.6776, µ = 0.00764, dan ρ = 0.077. Penyelesaian model dibandingkan dengan data 2012-2014. Berdasarkan rata-rata
eror relatifnya, model SDC cukup akurat untuk memprediksi S, D, C, serta
prevalensi diabetes.
(3) Dalam rentang waktu 2011-2030, prevalensi diabetes diprediksikan meningkat lebih dari dua kali lipatnya dengan rata-rata peningkatan 4% per tahun.
Sedangkan banyaknya kematian karena diabetes meningkat lebih dari dua
kali lipatnya dengan rata-rata peningkatan 5% per tahun. Diprediksikan
terdapat 2.74 juta individu yang meninggal karena diabetes selama periode
2011-2030.
DAFTAR PUSTAKA
1. Berkman, L. F. and I. Kawachi, Social Epidemiology, Oxford University Press, New York,
2001.
2. Boutayeb, A., E. H. Twizell, K. Achouayb, and A. Chetouani, A Mathematical Model for The
Burden of Diabetes and Its Complication, BioMedical Engineering Online 3 (2004), no. 20.
3. Centers for Disease Control and Prevention (CDC), National Data of Diabetes, 2015.
4. Deshpande, A. D., M. Harris-Hayes, and M. Schootman, Epidemiology of Diabetes and
Diabetes-Related Complications, Physical Therapy 88 (2008), no. 11, 1254–1264.
5. Gary-Webb, T. L., S. F. Suglia, and P. Tehranifar, Social Epidemiology of Diabetes and Associated Conditions, Current Diabetes Reports 13 (2013), no. 6, 850–859.
6. Gerungan, W.A., Psikologi Sosial, Refika Aditama, Bandung, 2004.
7. Hill, J., M. Nielsen, and M. H. Fox, Understanding the Social Factors That Contribute to
Diabetes: A Means to Informing Health Care and Social Policies for the Chronically Ill, The
Permanente Journal 2 (2013), no. 17, 67–72.
8. International Diabetes Federation (IDF), IDF Atlas Seventh Edition, 2015.
9. National Vital Statistics Reports (NVSR), Deaths : Final Data 2000-2014, 2000-2014.
10. Nold, J. L. and M. K. Georgieff, Infant of Diabetic Mothers, Pediatric Clinics of North America
51 (2004), 619–637.
11. Rich, S. S., Genetics of Diabetes and Its Complications, Journal of The American Society of
Nephrology 17 (2006), 353–360.
12. World Bank, Birth and Death Rate, Crude, 2015.
13. World Health Organization (WHO), Definition and Diagnosis of Diabetes Mellitus and Intermediate Hyperglycaemia, Report of a WHO/IDF Consultation, 2016.
14. World Health Organization (WHO), The Top 10 Causes of Death, 2017.
15. Wu, Y., Y. Ding, W. Tanaka, and W. Zhang, Risk Factors Contributing to Type 2 Diabetes and
Recent Advances in the Treatment and Prevention, International Journal of Medical Sciences
11 (2014), no. 11, 1185–1200.
8
2017