Metode kuasa dan aplikasinya pada mesin pencari internet.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
ABSTRAK
Metode Kuasa adalah metode hampiran yang menggunakan barisan
pangkat untuk mendapatkan nilai eigen dan vektor eigen dominan suatu matriks.
Pada aplikasinya, Metode Kuasa digunakan untuk mengembangkan suatu
algoritma pencarian yang disebut algoritma PageRank. Algoritma tersebut
digunakan dalam mesin pencari Google untuk mengonstruksikan matriks yang
menggambarkan struktur perujukan halaman-halaman yang sesuai dengan
pencarian. Kemudian dengan menggunakan vektor eigen dominan dari matriks itu
disusun daftar situs-situs yang dicari dengan urutan tertentu untuk menentukan
peringkat situs-situs tersebut dalam urutan kepentingannya sebagai otoritas dan
hub.
viii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
ABSTRACT
The Power Method is an approximation method using power sequence to
obtain dominant eigenvalue and eigenvector of a matrix. In its application, the
Power Method is used to develop a search algorithm called the PageRank
algorithm. The algorithm in fact is used in Google search engine to construct a
matrix which describes the structure of the referring pages that match the search.
Then using the dominant eigenvector of the matrix, sites will be listed in
importance order as an authority and hub.
ix
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
METODE KUASA DAN APLIKASINYA
PADA MESIN PENCARI INTERNET
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun oleh:
Lina Meiliana
NIM: 043114014
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2011
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
POWER METHOD AND ITS APPLICATION
TO INTERNET SEARCH ENGINES
Thesis
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
To Obtain SARJANA SAINS Degree
In Mathematics
By:
Lina Meiliana
Student Number: 043114014
MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT
SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2011
ii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
Sang Till Friheten
(Engkaulah yang Terbaik yang Aku Kenal)
Engkaulah yang terbaik yang aku kenal
Engkaulah yang terkasih di dunia ini
Engkau seperti bintang, seperti angin,
seperti gelombang, seperti burung,
seperti bunga di ladang.
Engkaulah pembimbing dan sahabatku.
Engkaulah kebenaranku, harapanku, kekasihku.
Engkaulah darahku, nafasku, mataku,
bahuku, tanganku, dan hatiku.
Kebebasan adalah namamu yang indah.
Persahabatan adalah ibumu yang bangga.
Perhatian adalah saudaramu lelaki.
Perdamaian adalah saudaramu perempuan.
Keberanian adalah ayahmu.
Masa depan adalah tanggung jawabmu.
Engkaulah yang terbaik di dunia ini.
Karya sederhana ini kupersembahkan untuk:
Papa dan Mama Tercinta
Cici, Koko, Adik, dan “Sang Jagoan Kecil”
Romo Susilo, Teman-teman, dan Segenap Keluarga Besar
Seseorang yang mengisi kisahku
Sahabat-sahabat terbaikku
v
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
ABSTRAK
Metode Kuasa adalah metode hampiran yang menggunakan barisan
pangkat untuk mendapatkan nilai eigen dan vektor eigen dominan suatu matriks.
Pada aplikasinya, Metode Kuasa digunakan untuk mengembangkan suatu
algoritma pencarian yang disebut algoritma PageRank. Algoritma tersebut
digunakan dalam mesin pencari Google untuk mengonstruksikan matriks yang
menggambarkan struktur perujukan halaman-halaman yang sesuai dengan
pencarian. Kemudian dengan menggunakan vektor eigen dominan dari matriks itu
disusun daftar situs-situs yang dicari dengan urutan tertentu untuk menentukan
peringkat situs-situs tersebut dalam urutan kepentingannya sebagai otoritas dan
hub.
viii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
ABSTRACT
The Power Method is an approximation method using power sequence to
obtain dominant eigenvalue and eigenvector of a matrix. In its application, the
Power Method is used to develop a search algorithm called the PageRank
algorithm. The algorithm in fact is used in Google search engine to construct a
matrix which describes the structure of the referring pages that match the search.
Then using the dominant eigenvector of the matrix, sites will be listed in
importance order as an authority and hub.
ix
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis persembahkan kepada Tuhan Yesus Kristus, yang
karena berkat-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini yang disusun untuk
memenuhi syarat memperoleh gelar Sarjana Sains di Universitas Sanata Dharma
Yogyakarta.
Penulis merasa bahwa skripsi ini tidak akan terwujud tanpa bantuan,
bimbingan, dukungan dan dorongan dari berbagai pihak yang sangat berarti bagi
penulis. Karena itu, dengan rendah hati penulis ingin mengucapkan terima kasih
yang sebesar-besarnya kepada:
1.
Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku Kaprodi Matematika
Fakultas Sains dan Teknologi yang telah membantu dan membimbing penulis
secara akademik baik di dalam maupun di luar kelas.
2.
Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., selaku dosen pembimbing skripsi yang
telah banyak memberikan waktunya untuk memberikan bimbingan,
pengarahan, masukan, kritik, saran dan dukungan sehingga penulis dapat
menyelesaikan skripsi ini.
3.
Ibu Maria Vianney Anny Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji yang
pernah memberikan masukan untuk penulis.
4.
Bapak Herry Pribawanto Suryawan, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing
sementara. Terimakasih atas lelucon, ide, dan semangat yang diberikan.
5.
Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen yang menginspirasiku
secara tak langsung lewat canda tawa.
6.
Bapak/Ibu Dosen Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi yang telah
mendidik penulis selama menjalani studi di Fakultas Sains dan Teknologi ini.
Terima kasih atas bimbingan dan arahannya selama ini.
7.
Bapak Zaerilus Tukija, Ibu Erma Linda Santyas Rahayu, Ibu Chatarina Maria
sri Wijayanti, Mas Dwiratno Susilo dan para staff lain yang telah banyak
memberikan bantuan di sekretariat FST dan laboratorium atas pelayanan
administrasi dan bantuan yang diberikan.
x
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
8.
Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staff yang telah menyediakan
fasilitas dan pelayanan kepada penulis selama masa perkuliahan.
9.
Mama dan Papa tercinta dan terkasih, terima kasih buat semua doa, didikan,
bimbingan, nasehat, dukungan dan kepercayaan yang diberikan pada penulis
untuk mengambil keputusan dan langkah dalam menjalani kehidupan ini.
10. Grace Dalinartha dan Esther Natalia, S.Sn., kedua kakakku yang cerewet tapi
baik hati ini. Terima kasih untuk bantuan yang tak terhingga kalian untukku.
11. Kie Van Ivanky Saputra, S.Si., Ph.D., yang banyak membantu aku
menjelaskan dan memecahkan persoalan-persoalan mata kuliah dan skripsi.
12. Untuk “Sang Pemberi Kisah” dalam hidupku yang tidak ingin disebutkan
namanya, yang mengajariku untuk selalu tegar untuk setiap cobaan.
13. Teman-teman
Universitas
Kristen
Maranatha,
khususnya
Reymon
Marlisyuniardi dan Yohanes Daniel Pangaribuan yang bersedia membantu
dalam penjelasan-penjelasan bidang IT yang dibahas dalam skripsi ini.
14. Teman-teman Kost Wisma Manunggal, Riko, Doddy, Qnoy, Pipin, Desy
yang tidak pernah lelah memberikan semangat untukku.
15. Teman-teman Matematika, terima kasih untuk keceriaan, kebersamaan,
dinamika, pertemuan, dan dukungan.
16. Semua pihak yang belum penulis sebutkan satu per satu di sini, terima kasih
untuk semua dukungan dan perhatiannya.
Penulis juga menyadari bahwa tulisan ini jauh dari sempurna. Oleh karena
itu, penulis mengharapkan adanya saran dan kritikan dari pembaca yang dapat
membangun penulis untuk mengembangkan kemampuan penulis menjadi lebih
baik. Penulis berharap agar skripsi ini dapat menjadi inspirasi bagi pembaca.
Penulis,
Lina Meiliana
xi
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL........................................................................................
i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS .....................................
ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ..............................................
iii
HALAMAN PENGESAHAN..........................................................................
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................
v
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .....................................
vi
LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK
KEPENTINGAN AKADEMIS .......................................................................
vii
ABSTRAK .......................................................................................................
viii
ABSTRACT .....................................................................................................
ix
KATA PENGANTAR .....................................................................................
x
DAFTAR ISI ....................................................................................................
xii
BAB I PENDAHULUAN ................................................................................
1
A. Latar Belakang Masalah .......................................................................
1
B. Rumusan Masalah ................................................................................
6
C. Batasan Masalah ..................................................................................
7
D. Tujuan Penulisan ..................................................................................
7
E. Metode Penulisan .................................................................................
7
F. Manfaat Penulisan ................................................................................
7
G. Sistematika Penulisan ..........................................................................
8
BAB II NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN .............................................
9
A. Nilai Eigen dan Vektor Eigen ..............................................................
9
B. Nilai Eigen Matriks Segitiga ................................................................
14
C. Nilai Eigen Matriks Pangkat ................................................................
16
D. Nilai Eigen Kompleks ..........................................................................
17
E. Kegandaan Aljabar ...............................................................................
18
xii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
F. Nilai Eigen Matriks 2×2 .......................................................................
20
G. Nilai Eigen Matriks Simetrik 2×2 ........................................................
23
H. Determinan dan Teras Dinyatakan dalam Nilai Eigen .........................
28
I. Diagonalisasi ........................................................................................
30
BAB III METODE KUASA ............................................................................
39
A. Metode Kuasa ......................................................................................
39
B. Metode Kuasa dengan Perskalaan Euclides .........................................
42
C. Metode Kuasa dengan Perskalaan Entri Maksimum ...........................
44
D. Laju Konvergensi Hasil Bagi Rayleigh................................................
48
E. Prosedur Penghentian Iterasi ................................................................
49
F. Aplikasi Metode Kuasa pada Mesin Pencari Internet ..........................
51
BAB IV PENUTUP .........................................................................................
60
DAfTAR PUSTAKA .......................................................................................
63
xiii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Internet dapat diartikan sebagai jaringan komputer luas dan besar yang
mendunia, yaitu menghubungkan pemakai komputer dari suatu negara ke
negara lain di seluruh dunia, di mana di dalamnya terdapat berbagai sumber
daya informasi dari mulai yang statis hingga yang dinamis dan interaktif.
Sejarah internet dimulai pada 1969 ketika Departemen Pertahanan
Amerika, melalui U.S. Defense Advanced Research Projects Agency
(DARPA) memutuskan untuk mengadakan riset tentang bagaimana
menghubungkan sejumlah komputer sehingga membentuk jaringan organik.
Program riset ini dikenal dengan nama ARPANET. Pada 1970, sudah lebih
dari 10 komputer yang berhasil dihubungkan satu sama lain sehingga mereka
bisa saling berkomunikasi dan membentuk sebuah jaringan.
Tahun 1972, Roy Tomlinson berhasil menyempurnakan program email yang ia ciptakan setahun yang lalu untuk ARPANET. Program e-mail ini
begitu mudah sehingga langsung menjadi populer. Pada tahun yang sama,
lambang @ juga diperkenalkan sebagai lambang penting yang menunjukkan
"at" atau "pada". Tahun 1973, jaringan komputer ARPANET mulai
dikembangkan ke luar Amerika Serikat. Komputer University College di
London merupakan komputer pertama yang ada di luar Amerika yang
menjadi anggota jaringan Arpanet. Pada tahun yang sama, dua orang ahli
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
2
komputer yakni Vinton Cerf dan Bob Kahn mempresentasikan sebuah
gagasan yang lebih besar, yang menjadi cikal bakal pemikiran internet. Ide ini
dipresentasikan untuk pertama kalinya di Universitas Sussex.
Hari bersejarah berikutnya adalah tanggal 26 Maret 1976, ketika Ratu
Inggris berhasil mengirimkan e-mail dari Royal Signals and Radar
Establishment di Malvern. Setahun kemudian, sudah lebih dari 100 komputer
yang bergabung di ARPANET membentuk sebuah jaringan. Pada 1979, Tom
Truscott, Jim Ellis dan Steve Bellovin, menciptakan newsgroups pertama
yang diberi nama USENET. Tahun 1981 France Telecom menciptakan
gebrakan dengan meluncurkan telpon televisi pertama, dimana orang bisa
saling menelpon sambil berhubungan dengan video link.
Karena komputer yang membentuk jaringan semakin hari semakin
banyak, maka dibutuhkan sebuah protokol resmi yang diakui oleh semua
jaringan. Pada tahun 1982 dibentuk Transmission Control Protocol atau TCP
dan Internet Protokol atau IP yang kita kenal semua. Sementara itu di Eropa
muncul jaringan komputer tandingan yang dikenal dengan Eunet, yang
menyediakan jasa jaringan komputer di negara-negara Belanda, Inggris,
Denmark dan Swedia. Jaringan Eunet menyediakan jasa e-mail dan
newsgroup USENET.
Untuk menyeragamkan alamat di jaringan komputer yang ada, maka
pada tahun 1984 diperkenalkan sistem nama domain, yang kini kita kenal
dengan DNS atau Domain Name System. Komputer yang tersambung dengan
jaringan yang ada sudah melebihi 1000 komputer lebih. Pada 1987 jumlah
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
3
komputer yang tersambung ke jaringan melonjak 10 kali lipat menjadi 10.000
lebih.
Tahun 1988, Jarko Oikarinen dari Finland menemukan dan sekaligus
memperkenalkan IRC atau Internet Relay Chat. Setahun kemudian, jumlah
komputer yang saling berhubungan kembali melonjak 10 kali lipat dalam
setahun. Tak kurang dari 100.000 komputer kini membentuk sebuah jaringan.
Tahun 1990 adalah tahun yang paling bersejarah, ketika Tim Berners Lee
menemukan program editor dan browser yang bisa menjelajah antara satu
komputer dengan komputer yang lainnya, yang membentuk jaringan itu.
Program inilah yang disebut www, atau World Wide Web.
Tahun 1992, komputer yang saling tersambung membentuk jaringan
sudah melampaui sejuta komputer, dan di tahun yang sama muncul istilah
surfing the internet. Tahun 1994, situs internet telah tumbuh menjadi 3000
alamat halaman, dan untuk pertama kalinya virtual-shopping atau e-retail
muncul di internet. Dunia langsung berubah. Di tahun yang sama Yahoo!
didirikan, yang juga sekaligus kelahiran Netscape Navigator 1.0.
Secara umum ada banyak manfaat yang dapat diperoleh apabila
seseorang mempunyai akses ke internet. Berikut ini sebagian dari apa yang
tersedia di internet :
1. Informasi
untuk
kehidupan
pribadi:
pengembangan pribadi, rohani, dan sosial.
kesehatan,
rekreasi,
hobi,
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
2. Informasi
untuk
kehidupan
profesional/pekerja:
sains,
4
teknologi,
perdagangan, saham, komoditas, berita bisnis, asosiasi profesi, asosiasi
bisnis, berbagai forum komunikasi.
Satu hal yang paling menarik adalah keanggotan internet tidak mengenal
batas negara, ras, ekonomi, ideologi, atau faktor-faktor lain yang biasanya dapat
menghambat pertukaran pikiran. Internet adalah suatu komunitas dunia yang
sifatnya sangat demokratis serta memiliki kode etik yang dihormati segenap
anggotanya. Manfaat internet terutama diperoleh melalu kerjasama antar pribadi
atau kelompok yang tanpa mengenal batas jarak dan waktu.
Keberadaan situs tidak ada gunanya dibangun tanpa dikunjungi atau
dikenal oleh masyarakat atau pengguna internet. Karena efektif atau tidaknya situs
sangat tergantung dari besarnya pengunjung dan komentar yang masuk. Untuk
mengenalkan situs kepada masyarakat memerlukan apa yang disebut publikasi
atau promosi. Publikasi situs di masyarakat dapat dilakukan dengan berbagai cara
seperti dengan pamflet-pamflet, selebaran, baliho dan lain sebagainya tapi cara ini
bisa dikatakan masih kurang efektif dan sangat terbatas. Cara yang biasanya
dilakukan dan paling efektif dengan tak terbatas ruang atau waktu adalah
publikasi langsung di internet melalui mesin pencari-mesin pencari (search
engine, seperti : Yahoo, Google, Search Indonesia, dan sebagainya).
Cara publikasi di mesin pencari ada yang gratis dan ada pula yang
membayar. Yang gratis biasanya terbatas dan cukup lama untuk bisa masuk dan
dikenali di mesin pencari terkenal seperti Yahoo atau Google. Cara efektif
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
5
publikasi adalah dengan membayar, walaupun harus sedikit mengeluarkan biaya,
akan tetapi situs cepat masuk ke mesin pencari dan dikenal oleh pengguna.
Teori yang mendasari cara kerja mesin pencari internet ini adalah Metode
Kuasa yang berkaitan dengan nilai eigen dan vektor eigen.
Banyak penerapan yang mengharuskan kita menemukan suatu matriks
taknol
sedemikian sehingga
λ , dengan A adalah matriks n × n yang
diketahui dan λ adalah skalar. Masalah ini dinamakan masalah nilai eigen dan
merupakan masalah matriks kedua yang paling sering dijumpai selain masalah
pemecahan sistem persamaan linear.
Nilai eigen matriks bujursangkar, secara teori dapat ditemukan dengan
menentukan persamaan karakteristik. Namun, prosedur ini memiliki begitu
banyak kesulitan perhitungan yang hampir tidak pernah digunakan dalam aplikasi.
Metode Kuasa akan membahas sebuah algoritma yang dapat digunakan untuk
mendekati nilai eigen dengan nilai mutlak terbesar dan vektor eigen yang sesuai.
Nilai eigen dan vektor eigen yang sesuai sangat penting karena mereka muncul
secara alami dalam berbagai proses iteratif. Metode yang akan dibahas dalam
bagian ini telah diterapkan untuk menghasilkan mesin pencari internet yang
sangat cepat, dan akan dijelaskan bagaimana hal tersebut dilakukan.
Metode Kuasa adalah metode hampiran yang menggunakan barisan
pangkat dari suatu matriks untuk mendapatkan nilai eigen dominan suatu matriks
yang memenui sifat | |
eigen dominan.
| | untuk
, ,
, , dengan
merupakan nilai
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
6
Pengurutan hasil pencarian pada mesin pencari saat ini menjadi titik fokus
bagi mesin pencari untuk menampilkan hasil pencarian yang penting. Sistem
pengurutan diharapkan memberikan hasil yang signifikan. PageRank merupakan
sistem pengurutan yang digunakan Google dan merupakan salah satu sistem
pengurutan yang bekerja berdasarkan analisa jalur. Perhitungan pengurutan
dengan menggunakan algoritma PageRank saat ini menjadi banyak perbincangan
para peneliti karena perhitungan tersebut menghabiskan waktu yang lama, dan
berhari-hari sehingga jika ada halaman baru tiap detik, maka PageRank tidak
secara langsung memperbaharui halaman tersebut tetapi menunggu waktu
perhitungan PageRank selanjutnya yang akan dilakukan secara offline. Untuk
mempercepat perhitungan PageRank, dalam penelitian digunakan Hasil Bagi
Rayleigh. Hasil Bagi Rayleigh dapat mempercepat konvergensi dengan cara
menentukan nilai eigen dominan sehingga perhitungan galat berdasarkan selisih
nilai eigen dominan tersebut dengan nilai eigen dominan sebelumnya.
Berdasarkan analisa dari hasil uji coba, didapatkan bahwa waktu perhitungan
PageRank dengan menggunakan Hasil Bagi Rayleigh lebih cepat dibandingkan
dengan tanpa menggunakan Hasil Bagi Rayleigh.
B. Rumusan Masalah
1. Apa yang dimaksud dengan Metode Kuasa?
2. Bagaimana aplikasi metode kuasa pada mesin pencari internet?
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
7
C. Batasan Masalah
Dalam skripsi ini, penulis hanya membahas aplikasi pada mesin
pencari internet berdasarkan operasi-operasi matriks.
D. Tujuan Penelitian
Penulisan skripsi ini bertujuan untuk mengetahui prinsip dan landasan
teori yang digunakan dan bagaimana mesin pencari internet bekerja sehingga
menghasilkan kecepatan yang sangat tinggi dalam menyajikan suatu
informasi.
E. Metode Penulisan
Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan
menggunakan
buku-buku,
jurnal
ilmiah,
dan
makalah
yang
telah
dipublikasikan. Oleh karena itu dalam skripsi ini tidak disajikan hal baru
dalam bidang matematika.
F. Manfaat Penulisan
Memahami cara kerja mesin pencari internet dengan kecepatan yang
sangat tinggi dalam penyajian suatu informasi.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
8
G. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi gambaran secara umum tentang isi skripsi yang meliputi
latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan
penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika
penulisan.
BAB II NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
Bab ini berisi beberapa teori yang melandasi pembahasan, yaitu nilai
eigen dan vektor eigen, nilai eigen
pada matriks segitiga, matriks
pangkat, nilai eigen kompleks, kegandaan aljabar, nilai eigen matriks
, nilai eigen matriks simetris
, dan nilai eigen dalam
determinan dan teras suatu matriks.
BAB III METODE KUASA DAN APLIKASINYA PADA MESIN
PENCARI INTERNET
Bab ini membahas tentang metode kuasa, metode kuasa dengan
perskalaan Euclides dan entri maksimum, dan
aplikasinya yang
digunakan pada mesin pencari internet.
BAB IV PENUTUP
Bab ini berisi kesimpulan dari keseluruhan materi yang telah
dipaparkan.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB II
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
A. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Banyak aplikasi dari Aljabar Linear yang melibatkan sistem dengan n
persamaan linear dan n variabel yang dinyatakan dalam bentuk
,
(2.1.1)
dengan λ adalah suatu skalar, x adalah suatu sebarang vektor taknol di
,
dan A adalah suatu matriks n × n. Sistem semacam ini sebenarnya merupakan
sistem linear yang tersamar, karena persamaan (2.1.1) dapat ditulis kembali
sebagai
, atau dengan menyisipkan suatu matriks identitas dan
memfaktorkannya menjadi
–
.
(2.1.2)
Masalah utama yang harus diperhatikan untuk sistem linear yang terbentuk pada persamaan (2.1.2) adalah bagaimana menentukan nilai λ sehingga sistem tersebut memiliki penyelesaian taktrivial. Nilai λ yang demikian disebut nilai eigen (nilai karakteristik) dari matriks A, dan penyelesaian taktrivial dari persamaan (2.1.2) disebut vektor eigen dari A yang terkait dengan λ.
Sistem (λI – A)x = 0 memiliki penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika
–
(2.1.3)
yang disebut persamaan karakteristik dari A. Nilai-nilai eigen dari A dapat
dicari
dengan
menyelesaikan
λ
pada
persamaan
ini.
Determinan
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 10
–
adalah sebuah polinomial dalam variabel λ yang disebut po-
linomial karakteristik matriks A.
Definisi 2.1.1
Jika A adalah sebuah matriks n × n, maka skalar λ disebut nilai eigen
dari A jika terdapat vektor taknol x sedemikian sehingga
. Jika λ
adalah nilai eigen dari A, maka vektor taknol x sedemikian hingga
disebut vektor eigen dari A yang berkaitan dengan λ.
Cara untuk menentukan nilai eigen dari matriks A adalah dengan menulis
kembali persamaan
menjadi
–
.
Persamaan tersebut mempunyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika
–
.
Skalar-skalar λ yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen dari A.
Teorema 2.1.1
Jika matriks A adalah sebuah matriks n × n dan λ adalah skalar, maka
pernyataan berikut adalah ekivalen :
(a) λ adalah nilai eigen dari A.
(b) λ adalah penyelesaian persamaan
(c) Sistem linear
–
–
.
mempunyai penyelesaian taktrivial.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 11
Bukti :
Berdasarkan definisi, λ adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika terdapat
vektor taknol x sedemikian sehingga
,
yang ekivalen dengan
–
.
yaitu sistem persamaan linear homogen ini mempunyai penyelesaian taktrivial, yang terjadi jika dan hanya jika
–
.
yaitu λ adalah penyelesaian dari persamaan tersebut.
Contoh 2.1.1
Akan dicari nilai eigen dan vektor eigen terkait dari matriks
Mencari nilai eigen dengan persamaan karakteristik
.
Persamaan karakteristik dari A adalah
–
–
,
,
–
–
,
,
.
(2.1.4)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 12
Jadi nilai eigen dari A adalah
dan
.
Untuk menentukan vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen tersebut,
harus diselesaikan sistem penyelesaian
.
Untuk
(2.1.5)
, persamaan (2.1.5) akan menjadi
,
.
Penyelesaian ini memberikan hasil
,
,
(2.1.6)
maka vektor eigen yang berkaitan dengan
adalah vektor taknol
berbentuk
.
(2.1.7)
Periksa
.
Dengan cara yang sama untuk
, penyelesaiannya memberikan hasil
,
,
(2.1.8)
dan vektor eigen yang berkaitan dengan
adalah vektor taknol
berbentuk
.
(2.1.9)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 13
Jika λ adalah nilai eigen dari A dan x adalah vektor eigen yang terkait, maka
, sehingga perkalian dengan A memetakan
lian skalar dengan dirinya sendiri. Pada
dan
ke dalam suatu perka-
, ini berarti bahwa perka-
lian dengan A memetakan setiap vektor eigen x ke suatu vektor yang terletak
pada garis yang sama dengan . Operator linear
dengan suatu faktor λ jika
tor λ jika
. Jika
memperkecil
atau memperbesar
, maka
dengan suatu fak-
membalik arah , dan memper-
kecil vektor yang telah diputar tersebut dengan suatu faktor |λ| jika
| |
atau memperbesar vektor yang telah diputar tersebut dengan suatu
faktor |λ| jika | |
.
Contoh 2.1.2
Akan dicari nilai eigen dari matriks
.
Dari determinan
det
didapatkan persamaan karakteristik
(2.1.10)
.
(2.1.11)
Untuk mencari penyelesaian persamaan ini, akan dimulai dengan mencari
penyelesaian bilangan bulatnya. Penyelesaian bilangan bulat (jika memang
ada) untuk sebuah persamaan polinomial dengan koefisien-koefisien bilangan
bulat
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 14
haruslah merupakan faktor-faktor pembagi dari konstanta
. Sehingga,
penyelesaian bilangan bulat yang mungkin dari persamaan (2.1.11) hanyalah
faktor-aktor pembagi dari bilangan
, yaitu
,
, dan
. Dengan
mensubstitusi nilai tersebut secara berturut-turut ke dalam persamaan (2.1.11)
akan menghasilkan
sebagai sebuah penyelesaian bilangan bulatnya.
Sebagai konsekuensinya,
haruslah merupakan salah satu faktor dari
ruas kiri persamaan (2.1.11), sehingga persamaan (2.1.11) dapat ditulis kembali menjadi
–
.
Maka, penyelesaian persamaan (2.1.11) adalah
√ ,
,
√ .
Definisi 2.1.2
Ruang penyelesaian sistem persamaan linear homogen
–
disebut ruang eigen dari matriks A yang berkaitan dengan nilai eigen λ. Vektor-vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen λ adalah adalah vektor-vektor
taknol dalam ruang eigen.
B. Nilai Eigen Matriks Segitiga
Jika A adalah matriks segitiga n × n dengan entri diagonal
,
,
,
,
, maka
,
,
–
–
adalah matriks segitiga dengan entri diagonal
. Jadi polinomial karateristiknya adalah
,
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 15
yang secara tidak langsung menyatakan bahwa nilai eigen dari A adalah
,
,
,
Teorema 2.2.1
Jika A adalah matriks segitiga n × n (segitiga atas, segitiga bawah,
atau diagonal), maka nilai-nilai eigennya adalah entri diagonal utama dari
matriks A.
Bukti :
Misalkan A adalah matriks segitiga atas
.
Telah diketahui bahwa nilai determinan sebuah matriks segitiga adalah hasil
kali entri-entri yang terletak pada diagonal utamanya, maka
det
,
,
sehingga diperoleh persamaan karakteristiknya
,
dan nilai-nilai eigennya adalah
,
,
,
,
yang merupakan entri-entri diagonal utama matriks A.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 16
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan pula untuk matriks segitiga bawah
dan matriks diagonal. Jadi terbukti bahwa nilai eigen matriks segitiga adalah
entri-entri diagonal utamanya.
C. Nilai Eigen Matriks Pangkat
Ketika nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks A telah
ditemukan, tidaklah sulit untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari
pangkat bilangan bulat positif sebarang dari A. Sebagai contoh, jika λ
merupakan nilai eigen dari A dan x merupakan vektor eigen terkaitnya, maka
,
yang menunjukkan bahwa
nilai eigen dari
dan x adalah vektor eigen
kaitannya.
Teorema 2.3.1
Jika λ adalah nilai eigen dari matriks A, x adalah vektor eigen
kaitannya, dan k adalah sebarang bilangan bulat positif, maka
eigen dari matriks
adalah nilai
dan x adalah vektor eigen yang terkait dengannya.
Bukti :
Misalkan A adalah matriks persegi dan x adalah vektor eigen yang terkait
dengan nilai eigen λ. Maka
Andaikan
, yaitu Teorema benar untuk k = 1.
. Akan dibuktikan bahwa
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 17
. Jadi Teorema benar untuk setiap bilangan bulat
Sehingga
positf k.
D. Nilai Eigen Kompleks
Bukanlah hal yang mustahil bahwa persamaan karakteristik sebuah
matriks yang entri-entrinya bilangan real memiliki penyelesaian bilangan
kompleks. Sebagai contoh, polinomial karakteristik dari matriks
(2.4.1)
adalah
,
sehingga
persamaan
karakteristiknya
adalah
persamaan karakteristiknya merupakan bilangan kompleks
(2.4.2)
.
Akar-akar
dan
.
Dengan demikian, kita harus berurusan dengan nilai eigen bilangan kompleks, bahkan untuk matriks real sekalipun. Penyelesaian kompleks dari
persamaan karakteristik disebut nilai eigen kompleks.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 18
E. Kegandaan Aljabar
Jika A adalah matriks n × n, maka suatu bentuk khusus dari
determinan
adalah 1, yaitu
–
adalah polinomial berderajat n di mana koefisien
–
,
(2.5.1)
bentuk polinomialnya adalah
,
(2.5.2)
yang disebut polinomial karakteristik dari A. Sebagai contoh, polinomial
karakteristik dari matriks A2
berderajat dua,
× 2
–
dalam Contoh 2.1.1 adalah polinomial
(lihat persamaan (2.1.4)) dan polinomial
karakteristik matriks A3 × 3 dalam Contoh 2.1.2 adalah polinomial berderajat
tiga,
(lihat persamaan (2.1.11)).
Salah satu dari ketiga hal di bawah ini dapat terjadi untuk faktor-
faktor polinomial karakteristik
,
1. Faktor-faktor polinomial akan menghasilkan akar-akar real yang berbeda,
sebagai contoh
–
–
.
2. Faktor-faktor polinomial akan menghasilkan akar-akar real yang berbeda,
namun terdapat pengulangan beberapa faktor, sebagai contoh
–
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 19
3. Faktor-faktor polinomial akan menghasilkan akar-akar kompleks, sebagai
contoh
–
–
–
.
Dapat dibuktikan bahwa jika nilai eigen kompleks dimungkinkan,
maka polinomial karakteristik dari matriks An × n dapat difaktorkan menjadi
,
di mana
,…
–
–
…
–
(2.5.3)
adalah nilai-nilai eigen dari A. Hal ini disebut
pemfaktoran linear lengkap dari polinomial karakteristik. Jika k faktorfaktor pertama berbeda, dan sisanya merupakan pengulangan dari k faktorfaktor pertama, maka persamaan (2.5.3) dapat ditulis kembali menjadi
di mana
,
,…
…
–
–
–
(2.5.4)
adalah nilai-nilai eigen yang berbeda dari A. Pangkat
disebut kegandaan aljabar dari nilai eigen
yang menggambarkan berapa
kali pengulangan nilai eigen dalam pemfaktoran linear lengkap dari
polinomial karaktersitik.
Jumlahan dari kegandaan aljabar nilai eigen dalam persamaan (2.5.4)
harus sama dengan n, karena polinomial karaktersitik berderajat n. Sebagai
contoh, jika A matriks 6 × 6 dengan polinomial karakteristiknya adalah
maka nilai eigen berbeda dari A adalah
,
–
, dan
, dan ke-
gandaan aljabar nilai eigen ini berturut-turut adalah 3, 2, 1, yang jumlahannya
sampai dengan 6.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 20
Teorema 2.5.1
Jika A adalah matriks n × n, maka polinomial karakteristik dari A
dapat dinyatakan sebagai
,
di mana
,…
–
–
–
…
–
adalah nilai eigen yang berbeda dari A dan
.
Bukti :
Polinomial karakteristik dari A adalah :
–
di mana
,
,…,
–
–
–
–
…
–
…
–
,
adalah pengulangan faktor yang berbeda sedemikian
sehingga jumlahan
yang sama dengan pangkat ter-
tinggi dari λ.
F. Nilai Eigen Matriks 2 × 2
Definisi 2.6.1
Jika A adalah sebuah matrks bujursangkar, maka teras dari A, yang
dinyatakan sebagai
A.
, adalah jumlahan entri-entri pada diagonal utama
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 21
Selanjutnya, akan dibahas nilai-nilai eigen matriks 2 × 2 dalam Teorema berikut.
Teorema 2.6.1
Jika A adalah matriks 2 × 2 dengan entri bilangan real, maka
persamaan karakteristik dari A adalah
–
dan
,
(a) A mempunyai dua nilai eigen real yang berbeda bila
(b) A
mempunyai
satu
–
nilai
eigen
real
yang
–
;
berulang
bila
;
–
(c) A mempunyai dua nilai eigen kompleks bila
.
Bukti :
Misalkan
dengan , , ,
.
Polinomial karakteristik dari A adalah
det
.
Karena teras dari matriks A adalah
triks A adalah
, maka
dan determinan dari ma-
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 22
–
–
(2.6.1)
sehingga persamaan karakteristik dari matriks A adalah
–
(2.6.2)
Akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah
det
,
(a) Jika
–
, maka A mempunyai dua nilai eigen real ber–
beda, yaitu
(b) Jika
–
, maka
–
, maka
–
dan
√
,
.
, yaitu A mem-
punyai satu nilai eigen real yang berulang.
(c) Jika
–
merupakan bi-
langan kompleks, sehingga A mempunyai dua nilai eigen kompleks, yaitu
–
–
dan
.
Contoh 2.6.1
Dengan menggunakan persamaan karakteristik pada persamaan (2.6.2) akan
dicari nilai eigen dari
(a)
Diketahui
,
dan
(b)
,
(c)
.
, maka persamaaan karakteristik dari
A adalah
,
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 23
hasil pemfaktorannya adalah
dan
.
–
–
, maka nilai eigennya
Dengan cara yang sama, maka nilai eigen pada soal (b) adalah
lai eigen pada soal (c) adalah
, dan ni-
.
G. Nilai Eigen Matriks Simetrik 2 × 2
Teorema 2.7.1
Matriks simetrik 2 × 2 dengan entri real mempunyai nilai eigen real.
Jika A berbentuk
,
(2.7.1)
maka A mempunyai satu nilai eigen berulang, yakni
.
Bukti :
Misalkan matriks simetrik 2 × 2 adalah
,
maka
–
–
–
,
sehingga dengan Teorema 2.6.1 (a) dan (b), A mempunyai nilai eigen real.
Jika
, maka
–
sehingga A mempunyai satu nilai eigen berulang, yaitu
,
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 24
Teorema 2.7.2
(a) Jika sebuah matriks simetrik 2 × 2 dengan entri real mempunyai nilai
eigen berulang, maka ruang eigen terkaitnya adalah
.
(b) Jika sebuah matriks simetrik 2 × 2 dengan entri real mempunyai dua nilai
eigen berbeda, maka ruang eigen terkaitnya adalah dua garis tegak lurus
yang melalui titik 0 pada
.
Bukti :
(a) Misalkan matriks simetrik 2 × 2 adalah
nilai eigen berulang, maka
rena
triks
–
jika hanya jika
. Jika A mempunyai
. Kadan
, maka ma-
, sehingga nilai eigen berulangnya adalah λ
. Menu-
rut Definisi 2.1.2, ruang eigen yang terkait dengan nilai eigen λ
ada-
lah ruang penyelesaian dari sistem persamaan linear homogen
yaitu setiap titik
dalam
. Maka ruang eigen terkaitnya adalah
(b) Jika A mempunyai dua nilai eigen berbeda, maka
. Kedua nilai eigen tersebut adalah
–
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 25
–
dan
–
.
Ruang eigennya adalah ruang penyelesaian sistem persamaan linear homogen
Untuk
, maka
.
dan
Misalkan
, maka
.
Selanjutnya dengan operasi baris elementer diperoleh
.
yang menghasilkan
dan
Penyelesaian tersebut merupakan garis melalui 0 di
dengan
.
.
yang berkaitan
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 26
Dengan cara yang sama, untuk
akan diperoleh
penyelesaian
.
dan
yang merupakan garis melalui 0 di
yang berkaitan dengan
.
Kedua garis tersebut saling tegak lurus karena
·
·
—
—
—
Jadi terbukti bahwa ruang eigen terkaitnya adalah dua garis tegak lurus
yang melalui titik 0 pada
.
Contoh 2.7.1
Tentukan ruang eigen dari matriks simetrik
.
Karena
dan
, maka persamaan karakteristik dari A ada-
lah
–
–
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 27
sehingga nilai eigen dari A adalah
dan
. Ruang eigennya adalah
ruang penyelesaian sistem persamaan linear homogen
.
Untuk
(2.7.2)
, persamaan 2.7.2 menjadi
.
Penyelesaian ini menghasilkan
,
,
(2.7.3)
yang merupakan persamaan parameter dari garis
ruang eigen yang terkait dengan
. Garis ini adalah
. Dengan cara yang sama, untuk
akan dihasilkan penyelesaian
,
,
(2.7.4)
yang merupakan persamaan parameter dari garis
y
( λ = 1)
y = −x
.
(λ = 5)
y = x
(1,1)
(-1, 1)
x
0
Gambar 2.1
Garis
dan
adalah dua garis tegak lurus yang melalui 0 di
,
seperti dikatakan dalam Teorema 2.7.2 (b). Vektor-vektor pada persamaan
2.7.3 dan 2.7.4 dapat ditulis dengan bentuk
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 28
dan
,
dengan vektor perentangnya adalah
dan
(2.7.5)
yaitu dua vektor eigen yang orthogonal.
H. Determinan dan Teras Matriks Dinyatakan dalam Nilai Eigen
Teorema 2.8.1
,
Jika A adalah matriks n × n dengan nilai eigen
ada yang berulang), maka
,
,
(mungkin
(a)
b
Bukti :
(a) Dengan menulis polinomial karakteristik dalam bentuk faktorisasi:
–
dan dengan memasukkan
–
–
, dihasilkan
…
–
(2.8.1)
.
Karena
, maka
.
(b) Misalkan
(2.8.2)
, maka
–
(2.8.3)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 29
Bila
dihitung dari determinan tersebut dengan membentuk jumlahan
dari perkalian elementer bertanda, maka perkalian elementer yang memuat
entri yang tidak berada pada dari diagonal utama dari 2.8.3 sebagai faktor,
faktor yang melibatkan λ. Jadi koefi-
akan memuat paling banyak
sien dari
dalam
sama dengan koefisien dari
dalam perka-
lian
Dengan mengembangkan perkalian tersebut, akan diperoleh
(2.8.4)
Dan dengan mengembangkan persamaan
pada 2.8.1, akan diperoleh
sehingga didapatkan
Contoh 2.8.1
Akan dicari determinan dan teras dari matriks 3 × 3 yang mempunyai
karakteristik polinomial
.
(2.8.5)
Polinomial tersebut dapat difaktorkan menjadi
maka nilai eigennya adalah
,
–
dan
,
, dan
. Jadi,
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 30
I. Diagonalisasi
Definisi 2.9.1
Sebuah matriks bujursangkar A dikatakan dapat didiagonalkan jika
terdapat sebuah matriks P yang yang taksingular sedemikian sehingga
adalah sebuah matriks diagonal. Matriks P dikatakan mendiagonalkan matriks A.
Definisi 2.9.2
Matriks A dan B yang berukuran n × n dikatakan similar jika terdapat matriks
P yang taksingular sedemikian sehingga
.
(2.9.1)
Teorema 2.9.1
Jika A adalah sebuah matriks n × n, maka A dapat didiagonalkan jika
hanya jika matriks A memiliki n vektor eigen yang bebas linear.
Bukti:
Misalkan matriks A berukuran n × n dan memiliki n buah vektor eigen
yang bebas linear, yaitu
,
,
,
. Vektor-vektor eigen tersebut dapat di-
susun sebagai kolom-kolom dari matriks P berukuran n × n
|
|
|
|
|
|
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 31
Matriks P tersebut taksingular karena mempunyai n vektor kolom di
yang
bebas linear. Maka
|
A
λ
karena
, dengan
, ,
eigen
,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A
|
|
|
λ
|
|
(2.9.2)
|
adalah nilai eigen yang berkaitan dengan vektor
.
Misalkan D matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonal nilai eigen
. Maka
|
|
λ
Maka
|
|
|
|
λ
|
|
|
|
λ
|
λ
(2.9.3)
λ
.
|
.
Karena P taksingular, maka:
(2.9.4)
Jadi matriks A dapat didiagonalkan. Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa jika
matriks A dapat didiagonalkan, maka A mempunyai n buah vektor eigen yang
bebas linear. Misalkan matriks A similar dengan matriks diagonal D dengan
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 32
elemen-elemen diagonalnya
,
,
,
, dan
matriks taksingular sedemikian sehingga
adalah
. Maka
. Ka-
rena
(2.9.5)
dan
(2.9.6)
maka
untuk
, , … , . Hal ini berarti bahwa
triks A dengan
merupakan vektor eigen dari ma-
adalah nilai eigen yang berkaitan untuk
rena P adalah matriks yang taksingular, maka vektor-vektor
,
, , … , . Ka,
bas linear. Jadi A mempunyai n buah vector eigen yang bebas linear.
,
be
Dari bukti di atas, didapatkan langkah-langkah untuk mendiagonalikan sebuah matriks A berukuran n × n, sebagai berikut :
Langkah 1 : Tentukan vektor-vektor eigen yang bebas linear dari A.
Langkah 2 : Susun vektor-vektor eigen tersebut sebagai kolom-kolom dari matriks P.
Langkah 3 : Tentukan
Langkah 4 : Tentukan
di mana D adalah matriks diagonal dengan
elemen-elemen diagonalnya adalah nilai-nilai eigen dari matriks A.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 33
Contoh 2.9.1
Diketahui matriks
yang mempunyai nilai eigen
dan vektor eigen yang berkaitan adalah
,
. Dengan mengambil
, maka
,
dan
dan
, se-
hingga
Definisi 2.9.3
Sebuah matriks bujursangkar A disebut matriks ortogonal jika
.
Dengan kata lain untuk matriks A tersebut berlaku
.
Definisi 2.9.4
Matriks bujursangkar A dikatakan dapat didiagonalkan secara orthogonal
jika terdapat matriks orthogonal P dan matriks diagonal D sedemikian sehingga
.
Teorema 2.9.2
Matriks bujur sangkar A dapat didiagonalkan secara orthogonal jika
dan hanya jika A matriks simetrik.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 34
Bukti:
Misalkan A adalah matriks yang dapat didiagonalkan secara orthogonal. Maka terdapat matriks orthogonal P dan matriks diagonal D sedemikian sehingga
, sehingga
.
Karena D adalah matriks diagonal, maka
(2.9.8)
, sehingga
yaitu A adalah matriks simetrik.
Sebaliknya, dengan induksi matematis, akan dibuktikan bahwa jika A matriks
simetrik, maka A dapat didiagonalkan secara orthogonal. Untuk matriks berukuran 1 × 1, jelas bahwa A dapat didiagonalkan secara orthogonal. Untuk
, asumsikan bahwa setiap matriks simetrik
dapat di-
diagonalkan secara orthogonal. Misalkan A matriks simetrik berukuran
maka A selalu mempunyai nilai eigen real λ. Misalkan
berkaitan dengan λ, dan
, sehingga | |
| |
vektor eigen yang
. Selanjutnya dengan
menggunakan algoritma Gram-Schmidt ditentukan vektor-vektor
sehingga
kan
,
,
,
,
,
,
adalah himpunan vektor-vektor othonormal. Misal. Maka Q adalah matriks orthogonal, dan
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 35
dan
.
Karena
,
,
,
orthonomal, maka
dengan * adalah elemen yang mungkin taknol. Tetapi
Karena matriks A simetrik, maka matriks B juga simetrik. Oleh karena itu, baris pertama dari matriks B sama dengan kolom pertamanya. Jadi, bentuk B
adalah
di mana C adalah matriks simetrik berukuran
asumsi, ada matriks orthogonal R dan matriks diagonal
ga
. Dibentuk matriks
. Berdasarkan
sedemikian sehing-
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 36
yang juga merupakan matriks orthogonal, karena vektor-vektor kolomnya orthonormal. Selanjutnya
.
Jadi
yang merupakan matriks diagonal. Misalkan
merupakan matriks orthogonal karena
dan
, maka
matriks-matriks orthogonal,
dan
Jadi, matriks
dapat didiagonalkan secara orthogonal.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 37
Teorema 2.9.3
Vektor-vektor eigen yang berkaitan dengan nilai-nilai eigen yang berbeda dari matriks simetrik adalah orthogonal
Bukti:
Misalkan A matriks simetrik,
,
matriks A, dan
bahwa
·
Selanjutnya
dan
adalah nilai-nilai eigen berbeda dari
vektor-vektor eigen yang berkaitan. Akan ditunjukkan
. Perhatikan bahwa
·
·
·
dan
·
(2.9.7)
·
·
Dengan demikian, kedua ruas kanan dari persamaan (2.9.7) adalah sama, yaitu
·
Karena
, maka
·
·
.
·
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 38
Contoh 2.9.2
yang mempunyai nilai eigen
Diketahui matriks simetrik
,
, dan
, , ,
dan vektor-vektor eigen yang berkaitan adalah
,
·
, , dan
·
, , , dengan
·
yaitu vektor-vektor eigen tersebut adalah orthogonal.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB III
METODE KUASA
A. Metode Kuasa
Dalam banyak aplikasi suatu vektor
dalam
seringkali dikalikan
secara berulang-ulang dengan matriks A berukuran n × n sehingga menghasilkan suatu barisan
,
,
,
,
,
barisan kuasa yang dibangun oleh A.
. Bentuk seperti ini disebut
Dalam tulisan ini, akan dibahas kekonvergenan barisan kuasa tersebut
dan hubungannya dengan nilai eigen dan vektor eigen.
Definisi 3.1.1
Jika nilai-nilai eigen yang berbeda dari sebuah matriks A adalah
,
,
,
, dan jika | | lebih besar dari | |,
|, maka
,|
disebut ni-
lai eigen dominan dari A. Vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen
dominan disebut vektor eigen dominan dari A.
Contoh 3.1.1
Diketahui nilai-nilai eigen sebuah matriks adalah
dan
. Nilai
,
,
,
merupakan nilai eigen dominan karena | |
lebih besar dari nilai mutlak nilai eigen lainnya. Namun, jika diketahui nilainilai eigen sebuah matriks adalah
maka | |
| |
,
,
, dan
,
, sehingga tidak terdapat nilai eigen yang nilai mutlak-
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 40
nya lebih besar daripada semua nilai eigen lainnya, sehingga tidak terdapat
nilai eigen dominan.
Teorema 3.1.1
Misalkan A adalah matriks simetrik n × n dengan nilai eigen dominan
positif
. Jika
adalah vektor satuan dalam
dap ruang eigen yang terkait dengan
,
,
yang tidak ortogonal terha-
, maka barisan kuasa ternormalkan
,
,
,
(3.1.1)
konvergen ke vektor eigen dominan satuan dari matriks A, dan barisan
·
,
·
,
konvergen ke nilai eigen dominan
·
,
,
dari matriks A.
·
,
(3.1.2)
Bukti :
Misalkan matriks A simetrik berukuran n × n, maka A dapat didiagonalkan
secara orthogonal, sehingga A mempunyai n vektor eigen bebas linear
,
,
basis di
,
yang berkaitan dengan nilai eigen
. Misalkan
,
dan membentuk
. Maka
yang tidak orthogonal terhadap ruang eigen
merupakan kombinasi linear dari vektor-
vektor basis :
,
sehingga
,
adalah nilai eigen dominan positif dari A, dan
adalah vektor satuan dalam
yang terkait dengan
,
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 41
dan
.
karena | | lebih besar dari | |,
,|
|, maka untuk setiap i = 2, 3, …, n,
. Jadi untuk setiap i = 2, 3, …, n,
bila
∞, sehingga
∞.
untuk
Barisan 3.1.1 dapat dinyatakan dengan
,
,
,
,
,
dan barisan tersebut konvergen ke vektor eigen dominan satuan karena
, untuk
∞.
Terbukti barisan 3.1.1 konvergen ke vektor eigen dominan satuan dari A. Karena
konvergen ke
, maka
·
·
akan konvergen ke
·
yang merupakan nilai eigen dominan dari matriks A .
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 42
B. Metode Kuasa dengan Perskalaan Euclides
Teorema 3.1.1 memberikan suatu algoritma untuk pendekatan nilai eigen dominan dan vektor eigen dominan satuan yang terkait dari sebuah matriks simetrik A, asalkan nilai eigen dominannya positif. Algoritma ini disebut
metode kuasa dengan perskalaan Euclides, dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Langkah 1 : Pilihlah sebarang vektor satuan
2. Langkah 2 : Tentukan
pertama
·
·
untuk memperoleh pendekatan pertama ke nilai eigen dominan.
·
dan normalk
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
ABSTRAK
Metode Kuasa adalah metode hampiran yang menggunakan barisan
pangkat untuk mendapatkan nilai eigen dan vektor eigen dominan suatu matriks.
Pada aplikasinya, Metode Kuasa digunakan untuk mengembangkan suatu
algoritma pencarian yang disebut algoritma PageRank. Algoritma tersebut
digunakan dalam mesin pencari Google untuk mengonstruksikan matriks yang
menggambarkan struktur perujukan halaman-halaman yang sesuai dengan
pencarian. Kemudian dengan menggunakan vektor eigen dominan dari matriks itu
disusun daftar situs-situs yang dicari dengan urutan tertentu untuk menentukan
peringkat situs-situs tersebut dalam urutan kepentingannya sebagai otoritas dan
hub.
viii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
ABSTRACT
The Power Method is an approximation method using power sequence to
obtain dominant eigenvalue and eigenvector of a matrix. In its application, the
Power Method is used to develop a search algorithm called the PageRank
algorithm. The algorithm in fact is used in Google search engine to construct a
matrix which describes the structure of the referring pages that match the search.
Then using the dominant eigenvector of the matrix, sites will be listed in
importance order as an authority and hub.
ix
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
METODE KUASA DAN APLIKASINYA
PADA MESIN PENCARI INTERNET
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Disusun oleh:
Lina Meiliana
NIM: 043114014
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2011
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
POWER METHOD AND ITS APPLICATION
TO INTERNET SEARCH ENGINES
Thesis
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
To Obtain SARJANA SAINS Degree
In Mathematics
By:
Lina Meiliana
Student Number: 043114014
MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT
SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2011
ii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
Sang Till Friheten
(Engkaulah yang Terbaik yang Aku Kenal)
Engkaulah yang terbaik yang aku kenal
Engkaulah yang terkasih di dunia ini
Engkau seperti bintang, seperti angin,
seperti gelombang, seperti burung,
seperti bunga di ladang.
Engkaulah pembimbing dan sahabatku.
Engkaulah kebenaranku, harapanku, kekasihku.
Engkaulah darahku, nafasku, mataku,
bahuku, tanganku, dan hatiku.
Kebebasan adalah namamu yang indah.
Persahabatan adalah ibumu yang bangga.
Perhatian adalah saudaramu lelaki.
Perdamaian adalah saudaramu perempuan.
Keberanian adalah ayahmu.
Masa depan adalah tanggung jawabmu.
Engkaulah yang terbaik di dunia ini.
Karya sederhana ini kupersembahkan untuk:
Papa dan Mama Tercinta
Cici, Koko, Adik, dan “Sang Jagoan Kecil”
Romo Susilo, Teman-teman, dan Segenap Keluarga Besar
Seseorang yang mengisi kisahku
Sahabat-sahabat terbaikku
v
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
ABSTRAK
Metode Kuasa adalah metode hampiran yang menggunakan barisan
pangkat untuk mendapatkan nilai eigen dan vektor eigen dominan suatu matriks.
Pada aplikasinya, Metode Kuasa digunakan untuk mengembangkan suatu
algoritma pencarian yang disebut algoritma PageRank. Algoritma tersebut
digunakan dalam mesin pencari Google untuk mengonstruksikan matriks yang
menggambarkan struktur perujukan halaman-halaman yang sesuai dengan
pencarian. Kemudian dengan menggunakan vektor eigen dominan dari matriks itu
disusun daftar situs-situs yang dicari dengan urutan tertentu untuk menentukan
peringkat situs-situs tersebut dalam urutan kepentingannya sebagai otoritas dan
hub.
viii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
ABSTRACT
The Power Method is an approximation method using power sequence to
obtain dominant eigenvalue and eigenvector of a matrix. In its application, the
Power Method is used to develop a search algorithm called the PageRank
algorithm. The algorithm in fact is used in Google search engine to construct a
matrix which describes the structure of the referring pages that match the search.
Then using the dominant eigenvector of the matrix, sites will be listed in
importance order as an authority and hub.
ix
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis persembahkan kepada Tuhan Yesus Kristus, yang
karena berkat-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini yang disusun untuk
memenuhi syarat memperoleh gelar Sarjana Sains di Universitas Sanata Dharma
Yogyakarta.
Penulis merasa bahwa skripsi ini tidak akan terwujud tanpa bantuan,
bimbingan, dukungan dan dorongan dari berbagai pihak yang sangat berarti bagi
penulis. Karena itu, dengan rendah hati penulis ingin mengucapkan terima kasih
yang sebesar-besarnya kepada:
1.
Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku Kaprodi Matematika
Fakultas Sains dan Teknologi yang telah membantu dan membimbing penulis
secara akademik baik di dalam maupun di luar kelas.
2.
Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., selaku dosen pembimbing skripsi yang
telah banyak memberikan waktunya untuk memberikan bimbingan,
pengarahan, masukan, kritik, saran dan dukungan sehingga penulis dapat
menyelesaikan skripsi ini.
3.
Ibu Maria Vianney Anny Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji yang
pernah memberikan masukan untuk penulis.
4.
Bapak Herry Pribawanto Suryawan, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing
sementara. Terimakasih atas lelucon, ide, dan semangat yang diberikan.
5.
Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen yang menginspirasiku
secara tak langsung lewat canda tawa.
6.
Bapak/Ibu Dosen Prodi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi yang telah
mendidik penulis selama menjalani studi di Fakultas Sains dan Teknologi ini.
Terima kasih atas bimbingan dan arahannya selama ini.
7.
Bapak Zaerilus Tukija, Ibu Erma Linda Santyas Rahayu, Ibu Chatarina Maria
sri Wijayanti, Mas Dwiratno Susilo dan para staff lain yang telah banyak
memberikan bantuan di sekretariat FST dan laboratorium atas pelayanan
administrasi dan bantuan yang diberikan.
x
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
8.
Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staff yang telah menyediakan
fasilitas dan pelayanan kepada penulis selama masa perkuliahan.
9.
Mama dan Papa tercinta dan terkasih, terima kasih buat semua doa, didikan,
bimbingan, nasehat, dukungan dan kepercayaan yang diberikan pada penulis
untuk mengambil keputusan dan langkah dalam menjalani kehidupan ini.
10. Grace Dalinartha dan Esther Natalia, S.Sn., kedua kakakku yang cerewet tapi
baik hati ini. Terima kasih untuk bantuan yang tak terhingga kalian untukku.
11. Kie Van Ivanky Saputra, S.Si., Ph.D., yang banyak membantu aku
menjelaskan dan memecahkan persoalan-persoalan mata kuliah dan skripsi.
12. Untuk “Sang Pemberi Kisah” dalam hidupku yang tidak ingin disebutkan
namanya, yang mengajariku untuk selalu tegar untuk setiap cobaan.
13. Teman-teman
Universitas
Kristen
Maranatha,
khususnya
Reymon
Marlisyuniardi dan Yohanes Daniel Pangaribuan yang bersedia membantu
dalam penjelasan-penjelasan bidang IT yang dibahas dalam skripsi ini.
14. Teman-teman Kost Wisma Manunggal, Riko, Doddy, Qnoy, Pipin, Desy
yang tidak pernah lelah memberikan semangat untukku.
15. Teman-teman Matematika, terima kasih untuk keceriaan, kebersamaan,
dinamika, pertemuan, dan dukungan.
16. Semua pihak yang belum penulis sebutkan satu per satu di sini, terima kasih
untuk semua dukungan dan perhatiannya.
Penulis juga menyadari bahwa tulisan ini jauh dari sempurna. Oleh karena
itu, penulis mengharapkan adanya saran dan kritikan dari pembaca yang dapat
membangun penulis untuk mengembangkan kemampuan penulis menjadi lebih
baik. Penulis berharap agar skripsi ini dapat menjadi inspirasi bagi pembaca.
Penulis,
Lina Meiliana
xi
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL........................................................................................
i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS .....................................
ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ..............................................
iii
HALAMAN PENGESAHAN..........................................................................
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................
v
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .....................................
vi
LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK
KEPENTINGAN AKADEMIS .......................................................................
vii
ABSTRAK .......................................................................................................
viii
ABSTRACT .....................................................................................................
ix
KATA PENGANTAR .....................................................................................
x
DAFTAR ISI ....................................................................................................
xii
BAB I PENDAHULUAN ................................................................................
1
A. Latar Belakang Masalah .......................................................................
1
B. Rumusan Masalah ................................................................................
6
C. Batasan Masalah ..................................................................................
7
D. Tujuan Penulisan ..................................................................................
7
E. Metode Penulisan .................................................................................
7
F. Manfaat Penulisan ................................................................................
7
G. Sistematika Penulisan ..........................................................................
8
BAB II NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN .............................................
9
A. Nilai Eigen dan Vektor Eigen ..............................................................
9
B. Nilai Eigen Matriks Segitiga ................................................................
14
C. Nilai Eigen Matriks Pangkat ................................................................
16
D. Nilai Eigen Kompleks ..........................................................................
17
E. Kegandaan Aljabar ...............................................................................
18
xii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
F. Nilai Eigen Matriks 2×2 .......................................................................
20
G. Nilai Eigen Matriks Simetrik 2×2 ........................................................
23
H. Determinan dan Teras Dinyatakan dalam Nilai Eigen .........................
28
I. Diagonalisasi ........................................................................................
30
BAB III METODE KUASA ............................................................................
39
A. Metode Kuasa ......................................................................................
39
B. Metode Kuasa dengan Perskalaan Euclides .........................................
42
C. Metode Kuasa dengan Perskalaan Entri Maksimum ...........................
44
D. Laju Konvergensi Hasil Bagi Rayleigh................................................
48
E. Prosedur Penghentian Iterasi ................................................................
49
F. Aplikasi Metode Kuasa pada Mesin Pencari Internet ..........................
51
BAB IV PENUTUP .........................................................................................
60
DAfTAR PUSTAKA .......................................................................................
63
xiii
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Internet dapat diartikan sebagai jaringan komputer luas dan besar yang
mendunia, yaitu menghubungkan pemakai komputer dari suatu negara ke
negara lain di seluruh dunia, di mana di dalamnya terdapat berbagai sumber
daya informasi dari mulai yang statis hingga yang dinamis dan interaktif.
Sejarah internet dimulai pada 1969 ketika Departemen Pertahanan
Amerika, melalui U.S. Defense Advanced Research Projects Agency
(DARPA) memutuskan untuk mengadakan riset tentang bagaimana
menghubungkan sejumlah komputer sehingga membentuk jaringan organik.
Program riset ini dikenal dengan nama ARPANET. Pada 1970, sudah lebih
dari 10 komputer yang berhasil dihubungkan satu sama lain sehingga mereka
bisa saling berkomunikasi dan membentuk sebuah jaringan.
Tahun 1972, Roy Tomlinson berhasil menyempurnakan program email yang ia ciptakan setahun yang lalu untuk ARPANET. Program e-mail ini
begitu mudah sehingga langsung menjadi populer. Pada tahun yang sama,
lambang @ juga diperkenalkan sebagai lambang penting yang menunjukkan
"at" atau "pada". Tahun 1973, jaringan komputer ARPANET mulai
dikembangkan ke luar Amerika Serikat. Komputer University College di
London merupakan komputer pertama yang ada di luar Amerika yang
menjadi anggota jaringan Arpanet. Pada tahun yang sama, dua orang ahli
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
2
komputer yakni Vinton Cerf dan Bob Kahn mempresentasikan sebuah
gagasan yang lebih besar, yang menjadi cikal bakal pemikiran internet. Ide ini
dipresentasikan untuk pertama kalinya di Universitas Sussex.
Hari bersejarah berikutnya adalah tanggal 26 Maret 1976, ketika Ratu
Inggris berhasil mengirimkan e-mail dari Royal Signals and Radar
Establishment di Malvern. Setahun kemudian, sudah lebih dari 100 komputer
yang bergabung di ARPANET membentuk sebuah jaringan. Pada 1979, Tom
Truscott, Jim Ellis dan Steve Bellovin, menciptakan newsgroups pertama
yang diberi nama USENET. Tahun 1981 France Telecom menciptakan
gebrakan dengan meluncurkan telpon televisi pertama, dimana orang bisa
saling menelpon sambil berhubungan dengan video link.
Karena komputer yang membentuk jaringan semakin hari semakin
banyak, maka dibutuhkan sebuah protokol resmi yang diakui oleh semua
jaringan. Pada tahun 1982 dibentuk Transmission Control Protocol atau TCP
dan Internet Protokol atau IP yang kita kenal semua. Sementara itu di Eropa
muncul jaringan komputer tandingan yang dikenal dengan Eunet, yang
menyediakan jasa jaringan komputer di negara-negara Belanda, Inggris,
Denmark dan Swedia. Jaringan Eunet menyediakan jasa e-mail dan
newsgroup USENET.
Untuk menyeragamkan alamat di jaringan komputer yang ada, maka
pada tahun 1984 diperkenalkan sistem nama domain, yang kini kita kenal
dengan DNS atau Domain Name System. Komputer yang tersambung dengan
jaringan yang ada sudah melebihi 1000 komputer lebih. Pada 1987 jumlah
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
3
komputer yang tersambung ke jaringan melonjak 10 kali lipat menjadi 10.000
lebih.
Tahun 1988, Jarko Oikarinen dari Finland menemukan dan sekaligus
memperkenalkan IRC atau Internet Relay Chat. Setahun kemudian, jumlah
komputer yang saling berhubungan kembali melonjak 10 kali lipat dalam
setahun. Tak kurang dari 100.000 komputer kini membentuk sebuah jaringan.
Tahun 1990 adalah tahun yang paling bersejarah, ketika Tim Berners Lee
menemukan program editor dan browser yang bisa menjelajah antara satu
komputer dengan komputer yang lainnya, yang membentuk jaringan itu.
Program inilah yang disebut www, atau World Wide Web.
Tahun 1992, komputer yang saling tersambung membentuk jaringan
sudah melampaui sejuta komputer, dan di tahun yang sama muncul istilah
surfing the internet. Tahun 1994, situs internet telah tumbuh menjadi 3000
alamat halaman, dan untuk pertama kalinya virtual-shopping atau e-retail
muncul di internet. Dunia langsung berubah. Di tahun yang sama Yahoo!
didirikan, yang juga sekaligus kelahiran Netscape Navigator 1.0.
Secara umum ada banyak manfaat yang dapat diperoleh apabila
seseorang mempunyai akses ke internet. Berikut ini sebagian dari apa yang
tersedia di internet :
1. Informasi
untuk
kehidupan
pribadi:
pengembangan pribadi, rohani, dan sosial.
kesehatan,
rekreasi,
hobi,
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
2. Informasi
untuk
kehidupan
profesional/pekerja:
sains,
4
teknologi,
perdagangan, saham, komoditas, berita bisnis, asosiasi profesi, asosiasi
bisnis, berbagai forum komunikasi.
Satu hal yang paling menarik adalah keanggotan internet tidak mengenal
batas negara, ras, ekonomi, ideologi, atau faktor-faktor lain yang biasanya dapat
menghambat pertukaran pikiran. Internet adalah suatu komunitas dunia yang
sifatnya sangat demokratis serta memiliki kode etik yang dihormati segenap
anggotanya. Manfaat internet terutama diperoleh melalu kerjasama antar pribadi
atau kelompok yang tanpa mengenal batas jarak dan waktu.
Keberadaan situs tidak ada gunanya dibangun tanpa dikunjungi atau
dikenal oleh masyarakat atau pengguna internet. Karena efektif atau tidaknya situs
sangat tergantung dari besarnya pengunjung dan komentar yang masuk. Untuk
mengenalkan situs kepada masyarakat memerlukan apa yang disebut publikasi
atau promosi. Publikasi situs di masyarakat dapat dilakukan dengan berbagai cara
seperti dengan pamflet-pamflet, selebaran, baliho dan lain sebagainya tapi cara ini
bisa dikatakan masih kurang efektif dan sangat terbatas. Cara yang biasanya
dilakukan dan paling efektif dengan tak terbatas ruang atau waktu adalah
publikasi langsung di internet melalui mesin pencari-mesin pencari (search
engine, seperti : Yahoo, Google, Search Indonesia, dan sebagainya).
Cara publikasi di mesin pencari ada yang gratis dan ada pula yang
membayar. Yang gratis biasanya terbatas dan cukup lama untuk bisa masuk dan
dikenali di mesin pencari terkenal seperti Yahoo atau Google. Cara efektif
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
5
publikasi adalah dengan membayar, walaupun harus sedikit mengeluarkan biaya,
akan tetapi situs cepat masuk ke mesin pencari dan dikenal oleh pengguna.
Teori yang mendasari cara kerja mesin pencari internet ini adalah Metode
Kuasa yang berkaitan dengan nilai eigen dan vektor eigen.
Banyak penerapan yang mengharuskan kita menemukan suatu matriks
taknol
sedemikian sehingga
λ , dengan A adalah matriks n × n yang
diketahui dan λ adalah skalar. Masalah ini dinamakan masalah nilai eigen dan
merupakan masalah matriks kedua yang paling sering dijumpai selain masalah
pemecahan sistem persamaan linear.
Nilai eigen matriks bujursangkar, secara teori dapat ditemukan dengan
menentukan persamaan karakteristik. Namun, prosedur ini memiliki begitu
banyak kesulitan perhitungan yang hampir tidak pernah digunakan dalam aplikasi.
Metode Kuasa akan membahas sebuah algoritma yang dapat digunakan untuk
mendekati nilai eigen dengan nilai mutlak terbesar dan vektor eigen yang sesuai.
Nilai eigen dan vektor eigen yang sesuai sangat penting karena mereka muncul
secara alami dalam berbagai proses iteratif. Metode yang akan dibahas dalam
bagian ini telah diterapkan untuk menghasilkan mesin pencari internet yang
sangat cepat, dan akan dijelaskan bagaimana hal tersebut dilakukan.
Metode Kuasa adalah metode hampiran yang menggunakan barisan
pangkat dari suatu matriks untuk mendapatkan nilai eigen dominan suatu matriks
yang memenui sifat | |
eigen dominan.
| | untuk
, ,
, , dengan
merupakan nilai
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
6
Pengurutan hasil pencarian pada mesin pencari saat ini menjadi titik fokus
bagi mesin pencari untuk menampilkan hasil pencarian yang penting. Sistem
pengurutan diharapkan memberikan hasil yang signifikan. PageRank merupakan
sistem pengurutan yang digunakan Google dan merupakan salah satu sistem
pengurutan yang bekerja berdasarkan analisa jalur. Perhitungan pengurutan
dengan menggunakan algoritma PageRank saat ini menjadi banyak perbincangan
para peneliti karena perhitungan tersebut menghabiskan waktu yang lama, dan
berhari-hari sehingga jika ada halaman baru tiap detik, maka PageRank tidak
secara langsung memperbaharui halaman tersebut tetapi menunggu waktu
perhitungan PageRank selanjutnya yang akan dilakukan secara offline. Untuk
mempercepat perhitungan PageRank, dalam penelitian digunakan Hasil Bagi
Rayleigh. Hasil Bagi Rayleigh dapat mempercepat konvergensi dengan cara
menentukan nilai eigen dominan sehingga perhitungan galat berdasarkan selisih
nilai eigen dominan tersebut dengan nilai eigen dominan sebelumnya.
Berdasarkan analisa dari hasil uji coba, didapatkan bahwa waktu perhitungan
PageRank dengan menggunakan Hasil Bagi Rayleigh lebih cepat dibandingkan
dengan tanpa menggunakan Hasil Bagi Rayleigh.
B. Rumusan Masalah
1. Apa yang dimaksud dengan Metode Kuasa?
2. Bagaimana aplikasi metode kuasa pada mesin pencari internet?
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
7
C. Batasan Masalah
Dalam skripsi ini, penulis hanya membahas aplikasi pada mesin
pencari internet berdasarkan operasi-operasi matriks.
D. Tujuan Penelitian
Penulisan skripsi ini bertujuan untuk mengetahui prinsip dan landasan
teori yang digunakan dan bagaimana mesin pencari internet bekerja sehingga
menghasilkan kecepatan yang sangat tinggi dalam menyajikan suatu
informasi.
E. Metode Penulisan
Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan
menggunakan
buku-buku,
jurnal
ilmiah,
dan
makalah
yang
telah
dipublikasikan. Oleh karena itu dalam skripsi ini tidak disajikan hal baru
dalam bidang matematika.
F. Manfaat Penulisan
Memahami cara kerja mesin pencari internet dengan kecepatan yang
sangat tinggi dalam penyajian suatu informasi.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
8
G. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi gambaran secara umum tentang isi skripsi yang meliputi
latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan
penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika
penulisan.
BAB II NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
Bab ini berisi beberapa teori yang melandasi pembahasan, yaitu nilai
eigen dan vektor eigen, nilai eigen
pada matriks segitiga, matriks
pangkat, nilai eigen kompleks, kegandaan aljabar, nilai eigen matriks
, nilai eigen matriks simetris
, dan nilai eigen dalam
determinan dan teras suatu matriks.
BAB III METODE KUASA DAN APLIKASINYA PADA MESIN
PENCARI INTERNET
Bab ini membahas tentang metode kuasa, metode kuasa dengan
perskalaan Euclides dan entri maksimum, dan
aplikasinya yang
digunakan pada mesin pencari internet.
BAB IV PENUTUP
Bab ini berisi kesimpulan dari keseluruhan materi yang telah
dipaparkan.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB II
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
A. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Banyak aplikasi dari Aljabar Linear yang melibatkan sistem dengan n
persamaan linear dan n variabel yang dinyatakan dalam bentuk
,
(2.1.1)
dengan λ adalah suatu skalar, x adalah suatu sebarang vektor taknol di
,
dan A adalah suatu matriks n × n. Sistem semacam ini sebenarnya merupakan
sistem linear yang tersamar, karena persamaan (2.1.1) dapat ditulis kembali
sebagai
, atau dengan menyisipkan suatu matriks identitas dan
memfaktorkannya menjadi
–
.
(2.1.2)
Masalah utama yang harus diperhatikan untuk sistem linear yang terbentuk pada persamaan (2.1.2) adalah bagaimana menentukan nilai λ sehingga sistem tersebut memiliki penyelesaian taktrivial. Nilai λ yang demikian disebut nilai eigen (nilai karakteristik) dari matriks A, dan penyelesaian taktrivial dari persamaan (2.1.2) disebut vektor eigen dari A yang terkait dengan λ.
Sistem (λI – A)x = 0 memiliki penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika
–
(2.1.3)
yang disebut persamaan karakteristik dari A. Nilai-nilai eigen dari A dapat
dicari
dengan
menyelesaikan
λ
pada
persamaan
ini.
Determinan
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 10
–
adalah sebuah polinomial dalam variabel λ yang disebut po-
linomial karakteristik matriks A.
Definisi 2.1.1
Jika A adalah sebuah matriks n × n, maka skalar λ disebut nilai eigen
dari A jika terdapat vektor taknol x sedemikian sehingga
. Jika λ
adalah nilai eigen dari A, maka vektor taknol x sedemikian hingga
disebut vektor eigen dari A yang berkaitan dengan λ.
Cara untuk menentukan nilai eigen dari matriks A adalah dengan menulis
kembali persamaan
menjadi
–
.
Persamaan tersebut mempunyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika
–
.
Skalar-skalar λ yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen dari A.
Teorema 2.1.1
Jika matriks A adalah sebuah matriks n × n dan λ adalah skalar, maka
pernyataan berikut adalah ekivalen :
(a) λ adalah nilai eigen dari A.
(b) λ adalah penyelesaian persamaan
(c) Sistem linear
–
–
.
mempunyai penyelesaian taktrivial.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 11
Bukti :
Berdasarkan definisi, λ adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika terdapat
vektor taknol x sedemikian sehingga
,
yang ekivalen dengan
–
.
yaitu sistem persamaan linear homogen ini mempunyai penyelesaian taktrivial, yang terjadi jika dan hanya jika
–
.
yaitu λ adalah penyelesaian dari persamaan tersebut.
Contoh 2.1.1
Akan dicari nilai eigen dan vektor eigen terkait dari matriks
Mencari nilai eigen dengan persamaan karakteristik
.
Persamaan karakteristik dari A adalah
–
–
,
,
–
–
,
,
.
(2.1.4)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 12
Jadi nilai eigen dari A adalah
dan
.
Untuk menentukan vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen tersebut,
harus diselesaikan sistem penyelesaian
.
Untuk
(2.1.5)
, persamaan (2.1.5) akan menjadi
,
.
Penyelesaian ini memberikan hasil
,
,
(2.1.6)
maka vektor eigen yang berkaitan dengan
adalah vektor taknol
berbentuk
.
(2.1.7)
Periksa
.
Dengan cara yang sama untuk
, penyelesaiannya memberikan hasil
,
,
(2.1.8)
dan vektor eigen yang berkaitan dengan
adalah vektor taknol
berbentuk
.
(2.1.9)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 13
Jika λ adalah nilai eigen dari A dan x adalah vektor eigen yang terkait, maka
, sehingga perkalian dengan A memetakan
lian skalar dengan dirinya sendiri. Pada
dan
ke dalam suatu perka-
, ini berarti bahwa perka-
lian dengan A memetakan setiap vektor eigen x ke suatu vektor yang terletak
pada garis yang sama dengan . Operator linear
dengan suatu faktor λ jika
tor λ jika
. Jika
memperkecil
atau memperbesar
, maka
dengan suatu fak-
membalik arah , dan memper-
kecil vektor yang telah diputar tersebut dengan suatu faktor |λ| jika
| |
atau memperbesar vektor yang telah diputar tersebut dengan suatu
faktor |λ| jika | |
.
Contoh 2.1.2
Akan dicari nilai eigen dari matriks
.
Dari determinan
det
didapatkan persamaan karakteristik
(2.1.10)
.
(2.1.11)
Untuk mencari penyelesaian persamaan ini, akan dimulai dengan mencari
penyelesaian bilangan bulatnya. Penyelesaian bilangan bulat (jika memang
ada) untuk sebuah persamaan polinomial dengan koefisien-koefisien bilangan
bulat
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 14
haruslah merupakan faktor-faktor pembagi dari konstanta
. Sehingga,
penyelesaian bilangan bulat yang mungkin dari persamaan (2.1.11) hanyalah
faktor-aktor pembagi dari bilangan
, yaitu
,
, dan
. Dengan
mensubstitusi nilai tersebut secara berturut-turut ke dalam persamaan (2.1.11)
akan menghasilkan
sebagai sebuah penyelesaian bilangan bulatnya.
Sebagai konsekuensinya,
haruslah merupakan salah satu faktor dari
ruas kiri persamaan (2.1.11), sehingga persamaan (2.1.11) dapat ditulis kembali menjadi
–
.
Maka, penyelesaian persamaan (2.1.11) adalah
√ ,
,
√ .
Definisi 2.1.2
Ruang penyelesaian sistem persamaan linear homogen
–
disebut ruang eigen dari matriks A yang berkaitan dengan nilai eigen λ. Vektor-vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen λ adalah adalah vektor-vektor
taknol dalam ruang eigen.
B. Nilai Eigen Matriks Segitiga
Jika A adalah matriks segitiga n × n dengan entri diagonal
,
,
,
,
, maka
,
,
–
–
adalah matriks segitiga dengan entri diagonal
. Jadi polinomial karateristiknya adalah
,
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 15
yang secara tidak langsung menyatakan bahwa nilai eigen dari A adalah
,
,
,
Teorema 2.2.1
Jika A adalah matriks segitiga n × n (segitiga atas, segitiga bawah,
atau diagonal), maka nilai-nilai eigennya adalah entri diagonal utama dari
matriks A.
Bukti :
Misalkan A adalah matriks segitiga atas
.
Telah diketahui bahwa nilai determinan sebuah matriks segitiga adalah hasil
kali entri-entri yang terletak pada diagonal utamanya, maka
det
,
,
sehingga diperoleh persamaan karakteristiknya
,
dan nilai-nilai eigennya adalah
,
,
,
,
yang merupakan entri-entri diagonal utama matriks A.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 16
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan pula untuk matriks segitiga bawah
dan matriks diagonal. Jadi terbukti bahwa nilai eigen matriks segitiga adalah
entri-entri diagonal utamanya.
C. Nilai Eigen Matriks Pangkat
Ketika nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks A telah
ditemukan, tidaklah sulit untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari
pangkat bilangan bulat positif sebarang dari A. Sebagai contoh, jika λ
merupakan nilai eigen dari A dan x merupakan vektor eigen terkaitnya, maka
,
yang menunjukkan bahwa
nilai eigen dari
dan x adalah vektor eigen
kaitannya.
Teorema 2.3.1
Jika λ adalah nilai eigen dari matriks A, x adalah vektor eigen
kaitannya, dan k adalah sebarang bilangan bulat positif, maka
eigen dari matriks
adalah nilai
dan x adalah vektor eigen yang terkait dengannya.
Bukti :
Misalkan A adalah matriks persegi dan x adalah vektor eigen yang terkait
dengan nilai eigen λ. Maka
Andaikan
, yaitu Teorema benar untuk k = 1.
. Akan dibuktikan bahwa
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 17
. Jadi Teorema benar untuk setiap bilangan bulat
Sehingga
positf k.
D. Nilai Eigen Kompleks
Bukanlah hal yang mustahil bahwa persamaan karakteristik sebuah
matriks yang entri-entrinya bilangan real memiliki penyelesaian bilangan
kompleks. Sebagai contoh, polinomial karakteristik dari matriks
(2.4.1)
adalah
,
sehingga
persamaan
karakteristiknya
adalah
persamaan karakteristiknya merupakan bilangan kompleks
(2.4.2)
.
Akar-akar
dan
.
Dengan demikian, kita harus berurusan dengan nilai eigen bilangan kompleks, bahkan untuk matriks real sekalipun. Penyelesaian kompleks dari
persamaan karakteristik disebut nilai eigen kompleks.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 18
E. Kegandaan Aljabar
Jika A adalah matriks n × n, maka suatu bentuk khusus dari
determinan
adalah 1, yaitu
–
adalah polinomial berderajat n di mana koefisien
–
,
(2.5.1)
bentuk polinomialnya adalah
,
(2.5.2)
yang disebut polinomial karakteristik dari A. Sebagai contoh, polinomial
karakteristik dari matriks A2
berderajat dua,
× 2
–
dalam Contoh 2.1.1 adalah polinomial
(lihat persamaan (2.1.4)) dan polinomial
karakteristik matriks A3 × 3 dalam Contoh 2.1.2 adalah polinomial berderajat
tiga,
(lihat persamaan (2.1.11)).
Salah satu dari ketiga hal di bawah ini dapat terjadi untuk faktor-
faktor polinomial karakteristik
,
1. Faktor-faktor polinomial akan menghasilkan akar-akar real yang berbeda,
sebagai contoh
–
–
.
2. Faktor-faktor polinomial akan menghasilkan akar-akar real yang berbeda,
namun terdapat pengulangan beberapa faktor, sebagai contoh
–
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 19
3. Faktor-faktor polinomial akan menghasilkan akar-akar kompleks, sebagai
contoh
–
–
–
.
Dapat dibuktikan bahwa jika nilai eigen kompleks dimungkinkan,
maka polinomial karakteristik dari matriks An × n dapat difaktorkan menjadi
,
di mana
,…
–
–
…
–
(2.5.3)
adalah nilai-nilai eigen dari A. Hal ini disebut
pemfaktoran linear lengkap dari polinomial karakteristik. Jika k faktorfaktor pertama berbeda, dan sisanya merupakan pengulangan dari k faktorfaktor pertama, maka persamaan (2.5.3) dapat ditulis kembali menjadi
di mana
,
,…
…
–
–
–
(2.5.4)
adalah nilai-nilai eigen yang berbeda dari A. Pangkat
disebut kegandaan aljabar dari nilai eigen
yang menggambarkan berapa
kali pengulangan nilai eigen dalam pemfaktoran linear lengkap dari
polinomial karaktersitik.
Jumlahan dari kegandaan aljabar nilai eigen dalam persamaan (2.5.4)
harus sama dengan n, karena polinomial karaktersitik berderajat n. Sebagai
contoh, jika A matriks 6 × 6 dengan polinomial karakteristiknya adalah
maka nilai eigen berbeda dari A adalah
,
–
, dan
, dan ke-
gandaan aljabar nilai eigen ini berturut-turut adalah 3, 2, 1, yang jumlahannya
sampai dengan 6.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 20
Teorema 2.5.1
Jika A adalah matriks n × n, maka polinomial karakteristik dari A
dapat dinyatakan sebagai
,
di mana
,…
–
–
–
…
–
adalah nilai eigen yang berbeda dari A dan
.
Bukti :
Polinomial karakteristik dari A adalah :
–
di mana
,
,…,
–
–
–
–
…
–
…
–
,
adalah pengulangan faktor yang berbeda sedemikian
sehingga jumlahan
yang sama dengan pangkat ter-
tinggi dari λ.
F. Nilai Eigen Matriks 2 × 2
Definisi 2.6.1
Jika A adalah sebuah matrks bujursangkar, maka teras dari A, yang
dinyatakan sebagai
A.
, adalah jumlahan entri-entri pada diagonal utama
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 21
Selanjutnya, akan dibahas nilai-nilai eigen matriks 2 × 2 dalam Teorema berikut.
Teorema 2.6.1
Jika A adalah matriks 2 × 2 dengan entri bilangan real, maka
persamaan karakteristik dari A adalah
–
dan
,
(a) A mempunyai dua nilai eigen real yang berbeda bila
(b) A
mempunyai
satu
–
nilai
eigen
real
yang
–
;
berulang
bila
;
–
(c) A mempunyai dua nilai eigen kompleks bila
.
Bukti :
Misalkan
dengan , , ,
.
Polinomial karakteristik dari A adalah
det
.
Karena teras dari matriks A adalah
triks A adalah
, maka
dan determinan dari ma-
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 22
–
–
(2.6.1)
sehingga persamaan karakteristik dari matriks A adalah
–
(2.6.2)
Akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah
det
,
(a) Jika
–
, maka A mempunyai dua nilai eigen real ber–
beda, yaitu
(b) Jika
–
, maka
–
, maka
–
dan
√
,
.
, yaitu A mem-
punyai satu nilai eigen real yang berulang.
(c) Jika
–
merupakan bi-
langan kompleks, sehingga A mempunyai dua nilai eigen kompleks, yaitu
–
–
dan
.
Contoh 2.6.1
Dengan menggunakan persamaan karakteristik pada persamaan (2.6.2) akan
dicari nilai eigen dari
(a)
Diketahui
,
dan
(b)
,
(c)
.
, maka persamaaan karakteristik dari
A adalah
,
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 23
hasil pemfaktorannya adalah
dan
.
–
–
, maka nilai eigennya
Dengan cara yang sama, maka nilai eigen pada soal (b) adalah
lai eigen pada soal (c) adalah
, dan ni-
.
G. Nilai Eigen Matriks Simetrik 2 × 2
Teorema 2.7.1
Matriks simetrik 2 × 2 dengan entri real mempunyai nilai eigen real.
Jika A berbentuk
,
(2.7.1)
maka A mempunyai satu nilai eigen berulang, yakni
.
Bukti :
Misalkan matriks simetrik 2 × 2 adalah
,
maka
–
–
–
,
sehingga dengan Teorema 2.6.1 (a) dan (b), A mempunyai nilai eigen real.
Jika
, maka
–
sehingga A mempunyai satu nilai eigen berulang, yaitu
,
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 24
Teorema 2.7.2
(a) Jika sebuah matriks simetrik 2 × 2 dengan entri real mempunyai nilai
eigen berulang, maka ruang eigen terkaitnya adalah
.
(b) Jika sebuah matriks simetrik 2 × 2 dengan entri real mempunyai dua nilai
eigen berbeda, maka ruang eigen terkaitnya adalah dua garis tegak lurus
yang melalui titik 0 pada
.
Bukti :
(a) Misalkan matriks simetrik 2 × 2 adalah
nilai eigen berulang, maka
rena
triks
–
jika hanya jika
. Jika A mempunyai
. Kadan
, maka ma-
, sehingga nilai eigen berulangnya adalah λ
. Menu-
rut Definisi 2.1.2, ruang eigen yang terkait dengan nilai eigen λ
ada-
lah ruang penyelesaian dari sistem persamaan linear homogen
yaitu setiap titik
dalam
. Maka ruang eigen terkaitnya adalah
(b) Jika A mempunyai dua nilai eigen berbeda, maka
. Kedua nilai eigen tersebut adalah
–
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 25
–
dan
–
.
Ruang eigennya adalah ruang penyelesaian sistem persamaan linear homogen
Untuk
, maka
.
dan
Misalkan
, maka
.
Selanjutnya dengan operasi baris elementer diperoleh
.
yang menghasilkan
dan
Penyelesaian tersebut merupakan garis melalui 0 di
dengan
.
.
yang berkaitan
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 26
Dengan cara yang sama, untuk
akan diperoleh
penyelesaian
.
dan
yang merupakan garis melalui 0 di
yang berkaitan dengan
.
Kedua garis tersebut saling tegak lurus karena
·
·
—
—
—
Jadi terbukti bahwa ruang eigen terkaitnya adalah dua garis tegak lurus
yang melalui titik 0 pada
.
Contoh 2.7.1
Tentukan ruang eigen dari matriks simetrik
.
Karena
dan
, maka persamaan karakteristik dari A ada-
lah
–
–
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 27
sehingga nilai eigen dari A adalah
dan
. Ruang eigennya adalah
ruang penyelesaian sistem persamaan linear homogen
.
Untuk
(2.7.2)
, persamaan 2.7.2 menjadi
.
Penyelesaian ini menghasilkan
,
,
(2.7.3)
yang merupakan persamaan parameter dari garis
ruang eigen yang terkait dengan
. Garis ini adalah
. Dengan cara yang sama, untuk
akan dihasilkan penyelesaian
,
,
(2.7.4)
yang merupakan persamaan parameter dari garis
y
( λ = 1)
y = −x
.
(λ = 5)
y = x
(1,1)
(-1, 1)
x
0
Gambar 2.1
Garis
dan
adalah dua garis tegak lurus yang melalui 0 di
,
seperti dikatakan dalam Teorema 2.7.2 (b). Vektor-vektor pada persamaan
2.7.3 dan 2.7.4 dapat ditulis dengan bentuk
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 28
dan
,
dengan vektor perentangnya adalah
dan
(2.7.5)
yaitu dua vektor eigen yang orthogonal.
H. Determinan dan Teras Matriks Dinyatakan dalam Nilai Eigen
Teorema 2.8.1
,
Jika A adalah matriks n × n dengan nilai eigen
ada yang berulang), maka
,
,
(mungkin
(a)
b
Bukti :
(a) Dengan menulis polinomial karakteristik dalam bentuk faktorisasi:
–
dan dengan memasukkan
–
–
, dihasilkan
…
–
(2.8.1)
.
Karena
, maka
.
(b) Misalkan
(2.8.2)
, maka
–
(2.8.3)
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 29
Bila
dihitung dari determinan tersebut dengan membentuk jumlahan
dari perkalian elementer bertanda, maka perkalian elementer yang memuat
entri yang tidak berada pada dari diagonal utama dari 2.8.3 sebagai faktor,
faktor yang melibatkan λ. Jadi koefi-
akan memuat paling banyak
sien dari
dalam
sama dengan koefisien dari
dalam perka-
lian
Dengan mengembangkan perkalian tersebut, akan diperoleh
(2.8.4)
Dan dengan mengembangkan persamaan
pada 2.8.1, akan diperoleh
sehingga didapatkan
Contoh 2.8.1
Akan dicari determinan dan teras dari matriks 3 × 3 yang mempunyai
karakteristik polinomial
.
(2.8.5)
Polinomial tersebut dapat difaktorkan menjadi
maka nilai eigennya adalah
,
–
dan
,
, dan
. Jadi,
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 30
I. Diagonalisasi
Definisi 2.9.1
Sebuah matriks bujursangkar A dikatakan dapat didiagonalkan jika
terdapat sebuah matriks P yang yang taksingular sedemikian sehingga
adalah sebuah matriks diagonal. Matriks P dikatakan mendiagonalkan matriks A.
Definisi 2.9.2
Matriks A dan B yang berukuran n × n dikatakan similar jika terdapat matriks
P yang taksingular sedemikian sehingga
.
(2.9.1)
Teorema 2.9.1
Jika A adalah sebuah matriks n × n, maka A dapat didiagonalkan jika
hanya jika matriks A memiliki n vektor eigen yang bebas linear.
Bukti:
Misalkan matriks A berukuran n × n dan memiliki n buah vektor eigen
yang bebas linear, yaitu
,
,
,
. Vektor-vektor eigen tersebut dapat di-
susun sebagai kolom-kolom dari matriks P berukuran n × n
|
|
|
|
|
|
.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 31
Matriks P tersebut taksingular karena mempunyai n vektor kolom di
yang
bebas linear. Maka
|
A
λ
karena
, dengan
, ,
eigen
,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A
|
|
|
λ
|
|
(2.9.2)
|
adalah nilai eigen yang berkaitan dengan vektor
.
Misalkan D matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonal nilai eigen
. Maka
|
|
λ
Maka
|
|
|
|
λ
|
|
|
|
λ
|
λ
(2.9.3)
λ
.
|
.
Karena P taksingular, maka:
(2.9.4)
Jadi matriks A dapat didiagonalkan. Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa jika
matriks A dapat didiagonalkan, maka A mempunyai n buah vektor eigen yang
bebas linear. Misalkan matriks A similar dengan matriks diagonal D dengan
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 32
elemen-elemen diagonalnya
,
,
,
, dan
matriks taksingular sedemikian sehingga
adalah
. Maka
. Ka-
rena
(2.9.5)
dan
(2.9.6)
maka
untuk
, , … , . Hal ini berarti bahwa
triks A dengan
merupakan vektor eigen dari ma-
adalah nilai eigen yang berkaitan untuk
rena P adalah matriks yang taksingular, maka vektor-vektor
,
, , … , . Ka,
bas linear. Jadi A mempunyai n buah vector eigen yang bebas linear.
,
be
Dari bukti di atas, didapatkan langkah-langkah untuk mendiagonalikan sebuah matriks A berukuran n × n, sebagai berikut :
Langkah 1 : Tentukan vektor-vektor eigen yang bebas linear dari A.
Langkah 2 : Susun vektor-vektor eigen tersebut sebagai kolom-kolom dari matriks P.
Langkah 3 : Tentukan
Langkah 4 : Tentukan
di mana D adalah matriks diagonal dengan
elemen-elemen diagonalnya adalah nilai-nilai eigen dari matriks A.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 33
Contoh 2.9.1
Diketahui matriks
yang mempunyai nilai eigen
dan vektor eigen yang berkaitan adalah
,
. Dengan mengambil
, maka
,
dan
dan
, se-
hingga
Definisi 2.9.3
Sebuah matriks bujursangkar A disebut matriks ortogonal jika
.
Dengan kata lain untuk matriks A tersebut berlaku
.
Definisi 2.9.4
Matriks bujursangkar A dikatakan dapat didiagonalkan secara orthogonal
jika terdapat matriks orthogonal P dan matriks diagonal D sedemikian sehingga
.
Teorema 2.9.2
Matriks bujur sangkar A dapat didiagonalkan secara orthogonal jika
dan hanya jika A matriks simetrik.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 34
Bukti:
Misalkan A adalah matriks yang dapat didiagonalkan secara orthogonal. Maka terdapat matriks orthogonal P dan matriks diagonal D sedemikian sehingga
, sehingga
.
Karena D adalah matriks diagonal, maka
(2.9.8)
, sehingga
yaitu A adalah matriks simetrik.
Sebaliknya, dengan induksi matematis, akan dibuktikan bahwa jika A matriks
simetrik, maka A dapat didiagonalkan secara orthogonal. Untuk matriks berukuran 1 × 1, jelas bahwa A dapat didiagonalkan secara orthogonal. Untuk
, asumsikan bahwa setiap matriks simetrik
dapat di-
diagonalkan secara orthogonal. Misalkan A matriks simetrik berukuran
maka A selalu mempunyai nilai eigen real λ. Misalkan
berkaitan dengan λ, dan
, sehingga | |
| |
vektor eigen yang
. Selanjutnya dengan
menggunakan algoritma Gram-Schmidt ditentukan vektor-vektor
sehingga
kan
,
,
,
,
,
,
adalah himpunan vektor-vektor othonormal. Misal. Maka Q adalah matriks orthogonal, dan
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 35
dan
.
Karena
,
,
,
orthonomal, maka
dengan * adalah elemen yang mungkin taknol. Tetapi
Karena matriks A simetrik, maka matriks B juga simetrik. Oleh karena itu, baris pertama dari matriks B sama dengan kolom pertamanya. Jadi, bentuk B
adalah
di mana C adalah matriks simetrik berukuran
asumsi, ada matriks orthogonal R dan matriks diagonal
ga
. Dibentuk matriks
. Berdasarkan
sedemikian sehing-
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 36
yang juga merupakan matriks orthogonal, karena vektor-vektor kolomnya orthonormal. Selanjutnya
.
Jadi
yang merupakan matriks diagonal. Misalkan
merupakan matriks orthogonal karena
dan
, maka
matriks-matriks orthogonal,
dan
Jadi, matriks
dapat didiagonalkan secara orthogonal.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 37
Teorema 2.9.3
Vektor-vektor eigen yang berkaitan dengan nilai-nilai eigen yang berbeda dari matriks simetrik adalah orthogonal
Bukti:
Misalkan A matriks simetrik,
,
matriks A, dan
bahwa
·
Selanjutnya
dan
adalah nilai-nilai eigen berbeda dari
vektor-vektor eigen yang berkaitan. Akan ditunjukkan
. Perhatikan bahwa
·
·
·
dan
·
(2.9.7)
·
·
Dengan demikian, kedua ruas kanan dari persamaan (2.9.7) adalah sama, yaitu
·
Karena
, maka
·
·
.
·
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 38
Contoh 2.9.2
yang mempunyai nilai eigen
Diketahui matriks simetrik
,
, dan
, , ,
dan vektor-vektor eigen yang berkaitan adalah
,
·
, , dan
·
, , , dengan
·
yaitu vektor-vektor eigen tersebut adalah orthogonal.
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
BAB III
METODE KUASA
A. Metode Kuasa
Dalam banyak aplikasi suatu vektor
dalam
seringkali dikalikan
secara berulang-ulang dengan matriks A berukuran n × n sehingga menghasilkan suatu barisan
,
,
,
,
,
barisan kuasa yang dibangun oleh A.
. Bentuk seperti ini disebut
Dalam tulisan ini, akan dibahas kekonvergenan barisan kuasa tersebut
dan hubungannya dengan nilai eigen dan vektor eigen.
Definisi 3.1.1
Jika nilai-nilai eigen yang berbeda dari sebuah matriks A adalah
,
,
,
, dan jika | | lebih besar dari | |,
|, maka
,|
disebut ni-
lai eigen dominan dari A. Vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen
dominan disebut vektor eigen dominan dari A.
Contoh 3.1.1
Diketahui nilai-nilai eigen sebuah matriks adalah
dan
. Nilai
,
,
,
merupakan nilai eigen dominan karena | |
lebih besar dari nilai mutlak nilai eigen lainnya. Namun, jika diketahui nilainilai eigen sebuah matriks adalah
maka | |
| |
,
,
, dan
,
, sehingga tidak terdapat nilai eigen yang nilai mutlak-
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 40
nya lebih besar daripada semua nilai eigen lainnya, sehingga tidak terdapat
nilai eigen dominan.
Teorema 3.1.1
Misalkan A adalah matriks simetrik n × n dengan nilai eigen dominan
positif
. Jika
adalah vektor satuan dalam
dap ruang eigen yang terkait dengan
,
,
yang tidak ortogonal terha-
, maka barisan kuasa ternormalkan
,
,
,
(3.1.1)
konvergen ke vektor eigen dominan satuan dari matriks A, dan barisan
·
,
·
,
konvergen ke nilai eigen dominan
·
,
,
dari matriks A.
·
,
(3.1.2)
Bukti :
Misalkan matriks A simetrik berukuran n × n, maka A dapat didiagonalkan
secara orthogonal, sehingga A mempunyai n vektor eigen bebas linear
,
,
basis di
,
yang berkaitan dengan nilai eigen
. Misalkan
,
dan membentuk
. Maka
yang tidak orthogonal terhadap ruang eigen
merupakan kombinasi linear dari vektor-
vektor basis :
,
sehingga
,
adalah nilai eigen dominan positif dari A, dan
adalah vektor satuan dalam
yang terkait dengan
,
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 41
dan
.
karena | | lebih besar dari | |,
,|
|, maka untuk setiap i = 2, 3, …, n,
. Jadi untuk setiap i = 2, 3, …, n,
bila
∞, sehingga
∞.
untuk
Barisan 3.1.1 dapat dinyatakan dengan
,
,
,
,
,
dan barisan tersebut konvergen ke vektor eigen dominan satuan karena
, untuk
∞.
Terbukti barisan 3.1.1 konvergen ke vektor eigen dominan satuan dari A. Karena
konvergen ke
, maka
·
·
akan konvergen ke
·
yang merupakan nilai eigen dominan dari matriks A .
PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI 42
B. Metode Kuasa dengan Perskalaan Euclides
Teorema 3.1.1 memberikan suatu algoritma untuk pendekatan nilai eigen dominan dan vektor eigen dominan satuan yang terkait dari sebuah matriks simetrik A, asalkan nilai eigen dominannya positif. Algoritma ini disebut
metode kuasa dengan perskalaan Euclides, dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Langkah 1 : Pilihlah sebarang vektor satuan
2. Langkah 2 : Tentukan
pertama
·
·
untuk memperoleh pendekatan pertama ke nilai eigen dominan.
·
dan normalk