Geometri öğretiminde Öklid’e olan katı

Bölüm 2
Çeviren: Yrd. Doç. Dr. Cemalettin YILDIZ

Geometri Öğrenimi
ÖKLİD’İN ETKİSİ
Geometri, İngiltere’de 21. yüzyılın başına kadar çoğunlukla erkeklerden oluşan
ve ilkokulu bitirerek eğitimlerine devam etme şansı olan küçük bir grubun okul
müfredatlarında görme imkânına sahip olduğu bir derstir. Geometri müfredatı,
kitaplardaki hâliyle teorem ve bunların ispatlarını içeren ders kitabı formundaki
Öklid’in Öğeleri’nden meydana gelmekteydi. Bu durum, geometri öğrenimine
geniş bir bakış açısıyla bakan, Öklid’in çalışmasının anlamını ve amacını anlayan
birkaç öğrenci dışında kaçınılmaz bir başarısızlık getirmiştir. Başarılı ve yetenekli
olan öğrenciler bile geometriye yönelik son derece sınırlı bir bakış açısı
kazanabilmiştir. Öğrencilerin problem çözerek, cebirsel metodlar kullanarak veya
düşüncelerini matematik dünyasının dışında kalan diğer uygulamalarla
ilişkilendirerek uygulama yapma anlamında çok az fırsatları vardı.
Geometri öğretiminde Öklid’e olan katı bağlılığın öğretmenlerde sebep olduğu
endişe, 1871 yılında Geometri Öğretimini Geliştirme Derneği’nin kurulmasıyla
son bulmuştur. Derneğin ilgi alanı, geometrinin sınırlarını aşmış ve bu kurum
1897 yılında Matematik Derneği adını almıştır. Bu dönemde, Oxford ve
Cambridge üniversitelerinin kabul koşullarına kadar az bir ilerleme

kaydedilebilmiştir. Memurluk ve orduya giriş sınavlarında ise Öklid ile ilgili
birebir bilgiler istenmemiştir. On dokuzuncu yüzyılın ilerleyen dönemlerinde,
okullarda teorik ispat yerine geometri uygulamaları ile ilgili daha fazla girişimde
bulunulmuş ve Öklid’in ispat anlayışına olan bağlılık son bulmuştur. Price (1994)
ve Howson (1973, 1982)’un çalışmalarında bu gelişmelere ayrıntılı olarak
değinilmiştir. Bu reform hareketlerinde aktif olarak rol oynayan iki isim Profesör
John Perry (1850-1920) ve okul müdürü Charles Godfrey (1873-1924)’dir. Bu
kişiler, birbirinden oldukça farklı iki perspektiften yola çıkarak okul
geometrisinin 50 yıl boyunca göstereceği ilerlemede son derece önemli etkiler
oluşturmuştur. Ayrıca bu insanlar, 1903 yılında üniversitelerin Öklid’e olan katı
bağlılığını azaltmıştır. Perry, tümdengelimli Öklid ispatlarını fazla vurgulamadan
uygulamaya dayalı okul geometrisini savunmuştur. Godfrey ise uygulama
sürecini Öklid içerisindeki teoremlerin geliştirilmesine yönelik bir araç olarak
görmüştür. Aynı zamanda çeşitli ispat yöntemleri ve teoremler ile bağlantılı
problemlerin de üzerinde durmuştur.
Yeni yüzyılın ilk yıllarında, birçok yeni geometri ders kitabı basılmıştır.
Bunlardan en dikkat çekici olanı Godfrey ve Siddons (1903) tarafından yazılan
Temel Geometri kitabıdır. Öklid’in sunduğundan daha zengin bir geometri bakış
açısına sahip olan bu kitap, yıllarca basılmıştır. Ölçme, kesme ve katlama üzerine
deneysel faaliyetler, formal ispatlar ve sonuçların informal gösterimleri

tümdengelimli bir bakış açısıyla kitaba dâhil edilmiştir.
Tümdengelimli geometrinin informal deneysel çalışmalarla izlenmesi gerektiği
önerisi, geometri öğreniminde A, B ve C aşamalarının olması gerektiği fikrini

16 / Geometri Öğretimi ve Öğrenimi
ortaya koyan Matematik Derneğinin (1923) geometri öğretimi üzerine hazırladığı
ilk raporda açıklanmıştır. Bu üç aşama fikri, derneğin ikinci raporunda daha da
geliştirilmiştir. Radikal değişimlerin ortaya atıldığı ve kabul görmeye başlandığı
1960’lara kadar, üç aşama fikrinin Matematik Derneğinin (1938) geometri
öğretimi ve ders kitapları üzerinde önemli etkisi olmuştur.
A aşaması, deneysel bir aşamadır. Öğrenciler, bu aşamada geometrik özellikleri
incelemek için ölçme, kesme ve katlama gibi faaliyetlere katılırlar. Ayrıca
öğrenciler, geometrik nesneler ve ilişkilere yönelik sezgisel bir anlayış
geliştirmeye başlarlar. Örneğin, bir üçgenin iç açılarının ölçülerinin toplamının
180 ° olduğu gerçeği, bir açıölçer yardımıyla açıların ölçüleri bulunarak veya
üçgenin iç açılarının düz bir çizgi üzerinde doğru açı oluşturduğunun
görülmesiyle kazandırılabilir. Bu durum, Öklid’e dayalı ölçmenin kullanılmadığı,
öğrencilerin geometri derslerinde açıölçer ve pergel kullanmayı öğrenmediği
çalışma biçiminden farklılık göstermektedir. A aşamasının önemini vurgulayan
temel düşünce, günümüzde bile hâlâ geçerliğini koruyan Matematik Derneği’nin

(1938) ikinci geometri raporunda aşağıdaki gibi ifade edilmiştir:
“Matematik öğretiminde yapılan en büyük hatalardan biri, zihinlerimizi bunlara
hazırlamadan soyutlamalar yapmaktır.”
B aşaması, tümdengelimli bir aşamadır. Bu aşamada, fikirler büyük bir
hassasiyetle tanımlanır ve sonuçlar teoremler olarak sunulur. Ayrıca bu aşamada,
teoremler ispatlanırken matematik ve cebir de kullanılabilir. Çember teoremleri
gibi yeni bir teoremle karşılaşıldığında, B aşamasına geçmiş olmak A aşamasına
geri dönmeyi engellemez.
Son aşama olan C aşamasında, konulara daha evrensel bir bakış açısıyla
bakılırken, teoremler arasında bağlantılar kurulmaya, sonuçlara mantıksal bir
sistematikle yaklaşmaya çalışılır. Bu aşamada, aksiyomlar referans gösterilerek en
başta kabul edilen varsayımlar açıklığa kavuşturulmaya çalışılır. Son aşama
oldukça gölgede kalan bir yapıya sahiptir ve öğrencilerin küçük bir kısmını
ilgilendirmektedir.
Yirminci yüzyılın başlarında devlet tarafından açılan ilkokul sayısının artmasıyla,
ortaokullara daha fazla sayıda erkek ve kız öğrenci geçişi olmuştur. Bu durum,
okullarda öğretilen matematikle ilgili yeni değişiklikleri beraberinde getirmiştir.
Matematik derslerine çizim ve trigonometrinin dâhil edilmesi, geometrik ispatlar
ve problemler üzerinde iki önemli değişikliğin yapılması ihtiyacını ortaya
çıkarmıştır. Öğrencilerin grafiklere olan aşinalığı, konik kesitlerle bağlantılı

koordinat geometrisine değinmenin yolunu açmıştır. Bu durum, ortaokulun son
senesinde verilen matematik derslerinin ortak bir özelliği haline gelmiştir.

1960’LARDAN İTİBAREN MÜFREDAT DEĞİŞİMİ
Birçok ülke, 1960’larda müfredatlarında önemli değişiklikler yapmıştır.
İngiltere’de gerçekleşen bu değişikliklerin boyutlarıyla ilgili bazı bilgiler Cooper
(1985)’ın çalışmasında görülebilir. Bu değişim hareketi, uluslararası boyutta olsa
da aldığı biçim ülkeler arasında farklılık göstermektedir. “Yeni” ve “modern”

Geometrinin Rolü / 17
matematik olarak ifade edilen bu değişikliklerin, müfredat içeriği ve öğretim
yöntemleri üzerinde önemli etkileri olmuştur. Öğretim yöntemleri ile ilgili
yapılan değişiklikler, A aşamasında deneysel ve keşfedici yaklaşımların daha
fazla kullanılması yönündeydi. İçerik değişiklikleri arasında kümelerin,
matrislerin, olasılığın ve istatistiğin müfredata eklenmesi; bilgisayarlardan
bahsedilmesi ve geleneksel güçlü Öklid etkisindeki tümdengelimli geometriye
alternatif olarak dönüşüm geometrisinin dâhil edilmesi yer almaktadır. Kümeler
konusunun üzerinde durulması o dönem için oldukça çelişkiliydi. Amerika
Birleşik Devletleri’nde bu konuya İngiltere’ye göre daha fazla odaklanılmış fakat
bu durumun müfredat üzerinde uzun dönemli etkisi olmamıştır. Olasılık ve

İstatistik konuları yaygınlaşmış ve matematik müfredatı şaşırtıcı bir görünüm
almıştır. Okul matematiğinde bilgisayarların kullanımına yönelik ilk çabalar
oldukça sınırlı kalmıştır. Ülkeler ve ülkelerdeki okullar arasında farklılıklar
görülse de bilgisayarların okul matematiğinde yaygın olarak kullanımı 1990’lara
kadar pek mümkün olmamıştır. Bilgisayarların matematik öğretimindeki etkisi,
oldukça değişkenlik göstermiştir. Her ne kadar LOGO ve dinamik geometri gibi
yazılımlar büyük oranda kabul görmüş olsalar da bilgisayarın matematik
öğretiminde önemli bir rol oynaması gerektiği konusunda sınırlı bir fikir birliği
sağlanmıştır.
İngiltere’de 1960’larda geometri müfredatında son derece önemli değişiklikler
yapılmıştır. 1961 yılında yürütülen Okul Matematiği Projesi (OMP) bu
değişiklikleri olumlu yönde etkilemiştir. OMP (1965) isimli kitabın ve bunu takip
eden yeni kitapların yayımlanması, öğrencileri Godfrey ve Siddon’un Temel
Geometri isimli kitabındaki standart teoremler ve bunların uygulamasına yönelik
formal tümdengelimli yaklaşıma yönlendiren A aşamasındaki etkinliklere kıyasla
geometride önemli değişiklikler meydana getirmiştir. OMP adlı esere, A
aşamasındaki geometrik şekillerin temel özellikleri ile yansıma, dönme, öteleme
ve büyütme gibi dönüşümler dâhil edilmiştir. Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri
toplamı, çokgenlerin açılarla ilgili özellikleri ve Pisagor teoremi gibi konular ders
kapsamına alınmıştır. Öklid tarafından derinleştirilen ispat yaklaşımının izlendiği

formal teorem üzerinde ise çok az durulmuştur. Eş üçgenlerden çok az
bahsedilmiş olsa da, ölçek katsayısı fikri ve büyütme dönüşümü kullanılarak
benzerlik üzerinde önemle durulmuştur.
1980’lere gelindiğinde, yaygın olarak kullanılan ortak bir müfredat ortaya
çıkmıştır. Bu müfredatta Öklid tarzındaki teoremlere ve ispatlara çok az yer
verilmiştir. 1982’de okul matematiği hakkında yayımlanan Cockcroft raporu şunu
belirtmektedir: “Modern” ve “geleneksel” matematik arasındaki fark, daha az
hissedilir hâle gelmiştir (Cockcroft, 1982). Bu dönemin en önemli düşüncesi,
“geometri” ve “ispat” kelimelerinin raporda bulunmamasıdır. Amerika Birleşik
Devletleri (ABD), Fransa ve Japonya gibi ülkelerin müfredatlarında dönüşüm ile
ilgili konular yer almıştır. İngiliz müfredatı ise Öklid ruhunu içerisinde daha fazla
barındırmıştır. İngiltere Ulusal Müfredatı’nda (DfEE/QCA, 1999) ve Kilit Aşama
3 Ulusal Stratejisindeki belgelerde (DfEE, 2001), İngiliz müfredatının gittikçe
katılaştığı ve bu müfredatta geometrinin tümdengelimli bir yöne daha fazla
sürüklendiği ifade edilmiştir. Amerika Birleşik Devletleri’nde okul geometrisinin

18 / Geometri Öğretimi ve Öğrenimi
1960’lardaki reformlardan çok fazla etkilenmediği gözlenmiştir. Matematik
Öğretmenleri Ulusal Konseyi (NCTM) yayımladığı standartlarda (1989, 2000b)
informal yaklaşımlara vurgu yapan müfredatla ilgili düşüncelere daha fazla yer

vermiştir. Ayrıca bu konsey, tümdengelimli unsurları kaybetmeden matematik
konuları arasında ilişkiler kurmaya çalışmıştır.
Matematik Derneği’nin (1923,1938) geometri öğretimine yönelik önerdiği üç
aşamalı model, öğrencilerin geometriyi nasıl öğrendiğiyle ilgili karmaşık bir
modelin öncüsü olarak görülebilir. Inhelder ve Piaget (1958), öğrencilerin
düşüncelerinin soyut işlem döneminde özel örnekler üzerinde düşünme
sürecinden daha genel ve soyut ifadeleri düşünme yeteneğine doğru değiştiğini
belirtmişlerdir. Bu durum, somuttan soyuta doğru geçişin belirli zamanlarda ve
kolay bir biçimde olduğu, öğretmenin oluşturduğu sınıf ortamındaki görevlerin
doğasından etkilenmediği anlamına gelmemelidir. Adey ve Shayer (1994) bilişsel
hızlanma ile ilgili araştırmalarında, öğrencilerin daha yüksek düzeylerde
düşünebilme kabiliyetlerinin, genel düşünce kabiliyetlerini geliştirmek için
yapılandırılan sınıf görevlerinden etkilenebildiğini göstermişlerdir.
Van Hiele (1986), geometri ile ilgili beş düzey tanımlamıştır. Van Hiele’nin bu
çalışması, öğrencilerin geometri öğrenmeye başladıklarında karşılaşacakları
hiyerarşik düzeyleri tanımlamaya yönelik önemli bir girişimdir ve geometri
dersinin nasıl yapılandırılması gerektiği konusuna rehberlik etmektedir. Van
Hiele (1986)’nin önerdiği beş düzey aşağıdaki gibidir:








Düzey 1: Şekiller, parçalar veya özellikler algılanmaya veya tanınmaya
başlanmadan önce bir “bütün” olarak algılanır. Bu düzeydeki bir çocuk,
çemberi veya kareyi bu şekillerin sahip olduğu özelliklerin güçlü etkisi altında
kalmadan ya da elips veya dikdörtgenden ayırt etme yeteneğine gerek
duymadan tanıyabilir.
Düzey 2: Bu düzeyde, öğrenciler şekillerin kendilerine has özelliklerini
tanımaya başlar ve bu özelliklerle onları tanımlayabilir. Böylece kare, dört eşit
uzunlukta kenara ve her köşesinde dik açılara sahip bir şekil olarak görülür.
Ayrıca öğrencilerde karede eş köşegenlerin dik açıyla kesiştiği bilinci bu
düzeyde ortaya çıkar. Ancak karenin eşkenar dörtgenle veya dikdörtgenle
ilişkisi öğrenciler tarafından fark edilemez.
Düzey 3: Bu düzeyde, şekillere ve bu şekillerin diğer şekillerle ilişkilerine
yönelik tanımlar daha iyi anlaşılmaya başlanır. Tanım ve özellikleri listeleme
arasındaki ayrım, daha açık ve net hâle gelir. Ayrıca öğrencilerin şekiller

arasındaki ilişkiyi algılayabilmesi daha da netleşir. Örneğin kare, eşkenar
dörtgen veya dikdörtgenin özel bir hâlidir. Bununla birlikte kare, aynı
zamanda Şekil 2.1’de gösterildiği gibi paralelkenarın özel bir hâlidir.
Düzey
4:
Bu
düzey, tümdengelimli
yeteneklerin
oluşturulduğu
ve öğrencilerin başlangıçtaki varsayımlarının farkındalığı ile geometrik
sonuçları ispatlamaya yönelik muhakeme zincirlerini anlamlandırabildikleri
aşamadır. Bu düzeydeki öğrenciler, bir şekli veya özelliği rahatlıkla ayırt
edebilirler. Örneğin, eşkenar dörtgenin dört eş kenara sahip bir dörtgen
olduğu gerçeğine dayanılarak, eşkenar dörtgende karşılıklı açıların ölçülerinin

Geometrinin Rolü / 19
eşit olduğu sonucu çıkarılabilir.


Düzey 5: Son düzeyde, başlangıçtaki varsayımlardan türetilen ve teorem

sistemi ile karakterize edilen geometrinin, sistematik gelişiminde
aksiyomların rolü daha iyi anlaşılır.

Öğrenmeyi karakterize etmeye çalışan her çaba gibi van Hiele düzeyleri de
gerçekliği, farklı fikirlerin değişken kavramsal zorluklarını hesaba katmadan,
düzeyler arasında küçük ilerlemelerle geçiş yaparak açıklamaya çalışır.
Öğrenciler, üzerinde çalıştıkları konulardaki bilgi düzeylerine göre düzeyler
arasında ileri ve geri gidebilirler. Böylece, Düzey 4’te bilindik bir materyal
üzerinde işlem yapmaktan oldukça mutlu olan bir öğrenci, yeni fikirlerle
karşılaştığında daha önceki düzeylere geri dönebilir. Düzey 2’deki bir öğrencinin
fikirleri, deneysel olarak keşfedilebileceği gibi zor problemlerin çözümü sırasında
da açığa çıkarılabilir.

Şekil 2.1 Bazı dörtgenler arasındaki ilişkiler

Van Hiele’nin düzeyleri, öğretmenlerin öğrencilerinin geometri anlamalarını nasıl
geliştirebileceklerine yönelik açıklamalar sunar. Bu düzeyler, öğretmenlere belirli
bir dersi planlamaya veya öğrencilerin bazı konulardaki zorluklarla nasıl
mücadele edeceklerine yönelik öneriler vermekten daha çok, müfredatın nasıl
yapılanması gerektiği konusunda bilgiler sunmaktadır. Bu düzeyler, öğrencilerin

düşünme ve anlama süreçlerinin nasıl geliştirileceğine yönelik bir model
sunmaktan ziyade, bir fikrin anlaşılması ve zihne yerleştirilmesi ile ilgili gerçeğin
daha erken düzeylerde geliştirilen belirli düşünme biçimlerine bağlı olduğunu
ortaya koymaktadır.

20 / Geometri Öğretimi ve Öğrenimi

UZAMSAL FARKINDALIK VE GEOMETRİK SEZGİ
Bölüm 1’de ifade edildiği gibi, okul geometrisinin amaçlarından biri, öğrencilerin
uzamsal farkındalıklarını geliştirmektir. Bu durum, inşaatçılar, mimarlar, arazi
ölçüm mühendisleri, denizciler gibi kişiler arasında geometrik sezgi gerektiren
gerçek dünya ile ilgili bir husus olarak algılanmaktadır. Rafların yapımı,
perdelerin dikimi, bir gezi planlarken harita çözümleme veya şehirde bir yerin
bulunması gibi günlük hayatımızdaki bazı işlerde de benzer bir ilişki söz
konusudur. Bu pratik uygulamalar ile sınıfta yapılan faaliyetler arasındaki
bağlantı açık değildir. Uzamsal beceri gerektiren faaliyetlerin bu tür görevlerdeki
performansı artırabileceği tahmin edilirken, okul dışında gerçekleştirilen
öğrenmenin sınıfta yapılan faaliyetler üzerindeki etkisini ayırt etmek oldukça
güçtür. Örneğin, oyuncaklarla kazanılan çocukluk tecrübeleri, okullardaki
geometri derslerinden daha etkili olabilir. Ayrıca çocukluk tecrübeleri, okul
geometrisindeki başarıya olumlu katkı sağlayabilir.
Geometriye A ve B aşamaları yaklaşımının ve van Hiele’nin düzeylerinin ortak
özelliği, tümdengelimin geometri ile ilişkili olarak kullanılmasıyla elde edilen
başarının farklı pratik deneyimlere bağlı olmasıdır. Fischbein (1982), ispat
konusunda sezgiyi tartışırken “sezginin temel özelliklerinden biri olan belirginlik
özelliğinden” bahseder. Fischbein, Pisagor teoremi gibi aşikâr olmayan
matematiksel gerçeklerle dikey karşıt açıların açıkça görülen eşitliğini
karşılaştırır. Geometri öğrenimi, hem sezgisel hem de analitik unsurları içinde
barındırır. Sezgiler, geometrik şekillerin açık, kritik ve gizli özelliklerini tespit
etme, varsayımlar üretme, geometrik problemleri çözerken kullanışlı yapıları
belirleme gibi önemli görevleri içerir.
Analitik beceriler-muhakeme etme yeteneği-belli ölçüde sistematik olarak
öğrenilebilirken, geometrik şekillerle ilgili tecrübelerimizin bir ürünü olan
sezgisel becerilerin nasıl geliştirilebileceği çok belirgin bir durum değildir. Ancak
okul geometrisinin şekiller üzerinde gözlemleme, uğraşma, yönlendirme,
ilişkilendirme, tartışma ve açıklama yoluyla geometrik sezgiyi ve analitik
becerileri geliştirmesi gerektiği oldukça açıktır.

GEOMETRİDE KAVRAM YANILGILARI
Açı, geometrinin temel kavramlarından biridir. Açıları anlamak, geometri
öğreniminde erken dönemde yerine getirilmesi gereken bir şarttır. Öğrencilerin
açılarla ilgili kavram yanılgıları hakkında açık deliller mevcuttur. Öğretmenler,
öğrencilerin açıölçerle açıların nasıl ölçüleceği konusunda karşılaştıkları
zorlukların farkındadır. Şekil 2.2 APU (1987)’dan alınan bir örneği
göstermektedir. Burada, 11 yaşındaki öğrencilerden oluşan büyük bir gruptan
hangi ifadenin doğru olduğunu belirtmeleri istenmiştir. Yüzde değerleri, her bir
ifadeye verilen cevabın oranını göstermektedir. Her iki açının ölçüsü aynı
derecededir. Fakat en popüler ikinci yanıtta, öğrenciler bir açının diğerinden
büyük olduğunu söylerken açıların kollarının uzunluğuna ya da kollar arasındaki
“boşluk” veya “mesafeye” baktıklarını belirtmişlerdir. Aynı kaynaktan alınan
diğer bir kanıt, dış faktörlerin etkisini doğrulamaktadır.

Geometrinin Rolü / 21

A

B

A açısı, B açısından daha büyüktür. (%33)
B açısı, A açısından daha büyüktür. (%4)
A ve B açısı aynı büyüklüktedir. (%52)
Bir şey söylenemez. (%4)
Şekil 2.2 Açılardan hangisi daha büyüktür?

İki açı, kareli kâğıt üzerine bir eğim yapacak biçimde çizilmiştir. Eşit ölçülere
sahip bu açılar, şekillerden birinde açı kolu diğerinin yaklaşık iki katı olacak
biçimde gösterilmiştir. Cevap veren öğrencilerin büyük bir bölümü, bu soruyu
yanlış cevaplamışlardır. Yanıt verenlerin büyük bir kısmının, açıların ölçülerinin
eşit olduğunu neden anlamadıkları ve doğru cevapların da nasıl oluşturulduğu
konusunda elimizde bir kanıt yoktur. Yanıt verenlerin büyük bölümü, akıl
yürütmeden açıların yaklaşık olarak aynı olduğu biçiminde düşünerek yorum
yapmışlardır. Öğrencilerin açıları dönme veya çevirmenin bir ölçütü olarak
kavrayamamalarının ve açıların genellikle statik diyagramlarda gösterilmesinin
bu durumu engellediğinden hiç şüphe yoktur. Geometri öğreniminin erken
aşamalarında yapılan pratik uygulamalar son yıllarda bilgisayar görüntülerinin
sağladığı çeşitli imkânlarla desteklenmiş olmasına rağmen, açı fikrinin dönme
fikriyle ilişkilendirilmesi ile ilgili zorluklar hâlen devam etmektedir.
Şekil 2.2’deki örneğe geri dönecek olursak; bu tür hatalarda izlenecek tek yol,
öğrencilerin açıölçeri nasıl kullanacaklarını bildiklerini varsayarak öğrencilerden
ilgili açı çiftini ölçmelerini istemektir. Açıların ölçülerinin eşit olduğunu düşünen
öğrenciler, bir çelişkiye maruz kalırlar. Çünkü onlar bir açının diğerinden daha
büyük olduğuna yönelik doğru olmayan sezgisel algı ile açıların ölçüm

22 / Geometri Öğretimi ve Öğrenimi
sonuçlarını karşılaştırmak zorundadırlar. Sezgisel algı ve ölçümün sunduğu kanıt
arasında bir çelişki oluşturmak, öğrencilerin mevcut düşüncelerinin yetersizliğine
dikkat çekerek onlara fikirlerini değiştirmede yardımcı olmaktadır. Adey ve
Shayer (1994), öğrencilerin bilişsel becerilerinin geliştirilmesinde yardımcı bir araç
olarak bilişsel çelişkinin önemini vurgulamışlardır. Araştırmacılar, bilişsel
çelişkiyi kafa karıştırıcı, önceki tecrübe veya bilgilerle uyumsuz olan “olay veya
gözlem” biçiminde tanımlarlar. Hatalar ve kavram yanılgıları, öğrencilerin bir
duruma ve kabul edilen bir açıklamaya yönelik algıları arasındaki çelişkiyi içeren
durumlar için değerli kaynaklar olabilirler.
Sıkça karşılaşılan bir diğer zorluk kaynağı, çevre ve alan arasındaki kafa
karışıklığıdır. Daha ileriki aşamalarda, yüzey alanı ve hacim arasındaki karışıklık
karşımıza çıkmaktadır. Karışıklık bir nebze de olsa dilden yani kelimelerin
anlamından kaynaklanmış olabilir. Ancak öğrencilere şekillerin çevresi ve
alanlarının birbiriyle orantılı olduğunu yani birindeki artışın diğerinde de artışa
neden olacağını düşündürecek daha ciddi bir kavram yanılgısı bulunabilir.
Öğrencilerin Şekil 2.3’teki gibi çevre uzunluğundaki bir değişimin alan üzerinde
ve alandaki değişimin de çevre uzunluğunda değişim yapacağı anlamına
gelmediğini gösteren örneklerle çalışmaları faydalı olacaktır. Ancak diğer kavram
yanılgıları gibi, alan ve çevreyle ilgili bu çelişkinin oldukça kalıcı ve tek bir karşı
örneğin referans gösterilmesiyle veya sabit bir alana sahip dikdörtgenlerin
çevrelerinin incelenmesiyle giderilmesi mümkün olmayacaktır. Bu durumu
ortadan kaldırmak için hatalı sezgi ve geometrik gerçekler arasındaki çelişkinin
farklı örneklerle karşılaştırılması gerekmektedir.
Alan=12
Çevre=14

Alan=12
Çevre=16

Alan=16
Çevre=20

Alan=16
Çevre=16

Şekil 2.3 Çevre ve alan ile ilgili kavram yanılgıları

Basit düzeydeki çelişkiler, kelimelerin anlamlarının yanlış anlaşılmasından dolayı
ortaya çıkabilmektedir. Fielker (1973), Şekil 2.4’teki gibi a,b,c olarak adlandırılan
üç paralel doğru ile ilgili bir örnek sunmuştur. On bir yaşındaki öğrenciler, “a,
b’ye ve b de c’ye paraleldir.” demişlerdir. Fakat Fielker “a da c’ye paraleldir.”
dediğinde, öğrenciler “hayır, çünkü b iki doğru arasındadır!” biçiminde cevap
vermişlerdir. Öğrencilerin paralelin anlamı konusunda doğruların birbiriyle yan
yana olmaları gerektiği biçiminde sınırlı bir bakış açısına sahip oldukları
anlaşılmaktadır. Öğretmenlerin demiryolu rayları veya dikdörtgenlerin karşıt
kenarları gibi sürekli aynı doğru çiftlerini örnek olarak vermeleri, bu durumun

Geometrinin Rolü / 23
muhtemel sebebi olabilir. Demiryolu rayları, yanıltıcı bir örnek olabilir. Çünkü
perspektifin etkisi ile raylar uzak bir noktada birleşiyor gibi görünmektedir. Bir
diğer kavram yanılgısı, küçük çocukların oldukça uzun iki doğru parçasının
paralelliklerini gözleyemediklerini ifade eden Kerslake (1979) tarafından dile
getirilmiştir. Bu örnekler, paralel doğrular gibi basit görünen durumlarda bile
şaşırtıcı kavram yanılgılarının ortaya çıkabileceğini göstermektedir. Gal ve Vinner
(1997), benzer zorluklara dik açılarda da karşılaşıldığını ifade etmişlerdir. Paralel
doğrulardan farklı olarak eğer a, b’ye, b de c’ye dikse; iki boyutlu bir düzlemde
a’nın c’ye dik olduğu doğru değildir. Dolayısıyla öğrencilerin zamanla farklı
örnekleri tecrübe etmeleri, öğretmenlerin de beklenmeyen ve şaşırtıcı yanlış
yorumlamalara karşı olmaları gerekmektedir.

a

b

c
Şekil 2.4 Paralel üç doğru

Birçok kelime, günlük anlamlarından farklı matematiksel anlamlara sahiptir.
“Benzer” kelimesi buna net bir örnek teşkil etmektedir. Köşegen kelimesiyle ilgili
çarpıcı bir örnek Pimm (1987) tarafından ortaya atılmıştır. Bir öğrenciden, farklı
çokgenlerin köşegen sayılarını bulması istenmiştir. Öğrencinin verdiği
cevaplardan ikisi Şekil 2.5’te gösterilmiştir. Öğrenci, dikdörtgenin herhangi bir
köşegene sahip olmadığını ancak üçgenin üç tane köşegeninin olduğunu
belirtmiştir. Bu açıklamadan öğrencinin kavram yanılgısına sahip olduğu
söylenebilir. Sonuç olarak öğrencinin köşegenin günlük hayatta kullanılan
anlamını düşünerek eğime sahip kenarları saydığı sonucuna varılabilir.

4 KENAR
0 KÖŞEGEN
Şekil 2.5 Köşegenlerle ilgili kavram yanılgısı

3 KENAR
3 KÖŞEGEN

24 / Geometri Öğretimi ve Öğrenimi
Pimm (1987)’in de ifade ettiği gibi, matematiksel kelimeleri ilgilendiren bu tür
yanlış anlamalara yönelik benim en sevdiğim örnek, bir derste yaptığım gözleme
dayanmaktadır. Öğretmen, 12 yaşındaki öğrencilerinden farklı üçgenler ve hayal
edebildikleri diğer çokgenleri çizmelerini ve adlandırmalarını istemiştir. Şekil
2.6’dan, erkek öğrencilerden birinin dik kenar gösteriminden ziyade sağ tarafın
solun tam karşısında olması gerektiğini düşündüğü anlaşılmaktadır.

SAĞ-AÇILI ÜÇGEN

SOL-AÇILI ÜÇGEN

Şekil 2.6 Dik açılı ne anlama gelir?

Matematiksel kelimeler, genel durumları dışlayacak biçimde kelimelerin ‘olağan’
anlamlarını alırlar. Şekil 2.7’de farklı beşgen türleri gösterilmektedir. Beşgen
kelimesi, genelde düzgün bir beşgenle ilişkilendirilmektedir. Bir kişiden beşgen
çizmesi istendiğinde, bu kişi tabanda yatay bir kenara sahip düzgün bir beşgen
çizecektir. Ancak beşgenlerin düzgün ve kenarlarının aynı uzunlukta olması
gerekmez. Ayrıca beşgenin bir kenarının yatay hatta konveks olması da zorunlu
değildir. Şekil 2.7’de gösterilen beşgenlerin hepsi eşit uzunlukta kenarlara
sahiptir. Bu beşgenlerden sadece ilki düzgün çokgendir ve genel “alışıldık”
pozisyondadır. Bu örnekler, öğrencilerin dikkatlerini “düzgün” kelimesinin
anlamına çekmek için faydalıdır. Bu noktada, düzgün çokgenlerin sadece kenar
uzunluklarının değil, açılarının ölçülerinin de eşit olması gerekmektedir. Birbirine
uçlarından serbest biçimde eklenen beş eşit plastik çubukla veya dinamik
geometri yazılımıyla bir beşgen oluşturmak, düzgün bir çokgenin eş açılara sahip
olduğunu vurgulama anlamında iyi bir yöntemdir.

Şekil 2.7 Eşit kenar uzunluklarına sahip bazı beşgenler

Zorluklar, çoğunlukla ilişkiler hakkındaki varsayımların belirli bir şekil temel
alınarak oluşturulmasından kaynaklanmaktadır. Şekil 2.8, birbiriyle ilişkili iki
örneği göstermektedir. Bunlardan birincisinde, kenarortayın açıyı ikiye ayırdığını
varsaymak kolaydır. Fakat ikizkenar üçgen dışında bu durum yanlıştır. İkinci

Geometrinin Rolü / 25
şekildeki üçgen ikizkenar değil ise, hatalı bir biçimde açıortayın karşı kenarı ikiye
böldüğü varsayılabilir. Yapılacak çizimlerle veya dinamik geometri yazılımları
kullanılarak, benzer özelliklere sahip şekiller üzerinden değerlendirme yapmanın
yanlışlığı ve muhtemel hatalar vurgulanabilir.

Şekil 2.8 Uygun olmayan şekillerden çıkarılan hatalı sonuçlar

Şekil 2.9’da düzgün bir beşgenin tepe açısını üç eşit parçaya bölen iki köşegen
gösterilmektedir. Burada, sezginin doğru sonuca yönlendirmesi ile ilgili bir
problemimiz bulunmaktadır. Ancak sezgi, sonucun doğru olduğundan emin
olmak için tek başına yeterli değildir. Bir açının üçe bölünmesi durumu, Şekil
2.9’daki üç ikizkenar üçgenin açıları ölçülerek gösterilebilir. Bu durum, çember
içerisine bir beşgen çizilerek ve bir köşedeki üç açının eşit uzunluklardaki yaylara
karşılık geldiği gösterilerek de ispatlanabilir.

Şekil 2.9 Düzgün çokgendeki bir açı, köşegenlerle niçin üçe ayrılır?

Üç boyutlu nesnelerin iki boyutlu olarak çizilmesi, kavram yanılgısına neden
olabilmektedir. Şekil 2.10’da tipik bir küpün çizimi örnek olarak verilmiştir. Bu
şekilde, bir altıgen oluşturan üç eşkenar dörtgenin iki boyutlu resmini de
görebilirsiniz. Birçok kişinin, üç boyutlu nesneleri matematiksel şekiller
aracılığıyla “görebilme” konusunda zorluklar yaşadığı bilinmektedir. Üç boyutlu
nesneleri bu tür gösterimlerle görselleştirme yeteneğinin uygun sınıf
faaliyetleriyle geliştirilebilip geliştirilemeyeceği ucu açık bir sorudur. Bununla
birlikte öğretmenin, öğrencilerin büyük bir bölümünün yaşadığı bu zorluğu
anlaması, onlar için çizilen ve tartışılan şekilleri kavramada gerçek nesne ve
modelleri kullanması oldukça önemlidir.

26 / Geometri Öğretimi ve Öğrenimi

Şekil 2.10 Bu bir küp müdür yoksa bir altıgen içerisindeki üç eşkenar dörtgen midir?

Benzer zorluklar, katı cisimlerin açık hallerinin çizimi sırasında veya
öğrencilerden bu tür çizimler yapmaları istendiğinde de ortaya çıkmaktadır. Şekil
2.11, altı karenin iki farklı konumunu göstermektedir. Birinci şeklin bir küpün açık
hâli olduğu anlaşılmaktadır. Ancak ikinci şekil, bir küpün açık hâli değildir.
Çünkü karelerin ikisi katlandığında bu kareler üst üste gelecektir. Katı cisimlerin
açık hallerinin zihinde nasıl canlandırılacağı, hangisinin bir küp meydana
getireceğini ve hangisinin bir küp oluşturmayacağını belirlemek için şeklin nasıl
katlanacağı çoğu insan açısından kolay bir durum değildir. Uygun biçimde
tasarlanmış faaliyetler kullanılarak, görselleştirme gücü geliştirilebilir.

Şekil 2.11 Bir küpün muhtemel açık hali hangisi olabilir?

İSPAT YAPMAYI ÖĞRENMEK
Matematikte ispat, genel olarak varsayımların doğrulanmasıyla gösterilir. Bu
süreci, kanıtın veya varsayımın makul olduğunun, makul değilse de en azından
hatalı olmasının pek de mümkün olmadığının gösterilmesi takip eder.
Matematiksel ispat, kesinlik içerir. Ayrıca matematiksel ispat, iddianın mevcut
kanıtlara bağlı olduğu ve yeni kanıt ortaya çıktıkça değişime maruz kaldığı
bilimsel veya hukuki bağlamdaki ispatlardan farklıdır.
Matematiksel ispatlar, öğrenciler için küçük bir amaca hizmet etmektedir.
Öğrenciler bir ikizkenar üçgenin taban açılarının ölçülerinin birbirine eşit
olduğunu ve bu durumun şekil içerisinde açık bir biçimde görüldüğünü
anlamaktadırlar. Ayrıca öğrenciler bir üçgenin iç açılarının ölçülerinin toplamının

Geometrinin Rolü / 27
1800 olduğunu, üçgenin açılarını ölçmek suretiyle deneysel kanıta dayanarak
bilmektedirler. Bu açıklamalar, öğrencilerin ispat yapmayı öğrenmeyle ilgili
motivasyonlarındaki iki önemli zorluğu işaret etmektedir.
Birinci zorluk, neyin açık olduğu ile ilgilidir. Tümdengelim, kabul edilen
varsayımlar temel alınarak oluşturulmalıdır. Ancak doğru olarak kabul edilen
başlangıç noktaları, yeni başlayanlar için daha kabul edilebilirdir. Okul
geometrisi, öğrencilere muhakeme zincirini izleme ve kendi tümdengelimli
iddialarını geliştirebilme yeteneği ile birlikte varsayımlarını temellendirecekleri
başlangıç noktalarını ifade etme dili ve geometrik fikirleri anlama yetisi
kazandırmalıdır.
Öklid geometrisindeki zorluklardan biri, ikizkenar üçgenin taban açılarının
ölçülerinin eşitliğinden çok sonuç çıkarma ile ilgilidir. Şekil 2.12’de kenar-kenarkenar benzerlik kuralı kullanılmıştır. İspat, Öklid geometrisinde verilmiş
olmasına rağmen açık olarak görülebilecek bir sonuç da ortaya çıkmaktadır. Bu
tür gerçekleri formal yoldan ispatlamak çoğu öğrencinin motivasyonunu
bozmaktadır. Çünkü doğru olduğu açık bir biçimde görülen bir durumun
ispatlanmaya çalışılması, öğrenciler tarafından anlamsız bir çaba olarak
görülmektedir. Her iki örnek, sezgi ve deneyin birlikte kullanılması nedeniyle
doğru sonuçları göstermektedir. Bu durum, eşit kenar özelliğinin ikizkenar
üçgeni tanımladığını anlama konusunda öğrencilere yardımcı olur. Ancak
ikizkenar üçgeni doğru bir biçimde çizmek için gerekli bilgilerin göz önünde
bulundurulması gerekmektedir. Bir sonraki aşamada, Şekil 2.12’deki teoremi
ispatlarken benzerliği kullanmak öğrenciler için yönlendirici olabilir. Üçgenlerin
benzer olması, kenarortayın A köşesindeki açıyı ikiye bölmesi ve BC kenarına dik
olması anlamına gelir. Fakat bu tür özellikler, öğrencilerin çoğu tarafından
ikizkenar üçgenlerin simetrisinden kaynaklanan durumlar olarak kabul
edilmektedir.
ABC üçgeninde,
uzunluktadır.

AB

ve

AC

kenarları

eşit

D noktası, BC’nin orta noktası olsun.
Buna göre ABD ve ACD üçgenleri benzerdir.
Çünkü AB = AC, BD = CD ve AD ortaktır.
Böylece ABD ve ACD açılarının ölçüleri eşittir.

Şekil 2.12 İkizkenar üçgenin taban açılarının eşit olduğunu ispatlama

İkinci zorluk, tümdengelimli ispat ile Balacheff’in (1988) naif deneycilik (naive
empiricism) olarak nitelediği ölçüm sonucunu kabul etme arasında bir ayrım
yapabilmektir. Üçgenin iç açılarının ölçülerinin toplamının 1800 olduğunun aşikâr
olmadığı ve ölçüm yapmanın nihai olmasa da güçlü bir delil sunduğu

28 / Geometri Öğretimi ve Öğrenimi
gerçeğinden hareketle, bu tür durumlar için tümdengelimli iddianın önemli bir
yeri vardır. Ancak öğrenciler sonucun doğru olduğunu kabul ettikten sonra böyle
bir tartışmayla karşılaştıklarında, ispat yapmanın amacını anlayamayabilirler.
Hoyles (1997), öğrencilerin “gördüklerinin” doğru olduğunu düşündükleri
konularda deneysel bir çalışmayla karşılaştıklarında, varsayımın neden doğru
olduğuna dair içsel bir zorunluluk geliştirdiklerinden bahsetmektedir. De Villiers
(1998)’a göre ispat, önerinin doğruluğunu göstermede iddiadan daha fazlasıdır.
Çünkü ispat, fikirlere derinlemesine bir bakış ve açıklama sunar. Bunun yanında,
iddianın marifeti veya netliği kendi doğrusunu açık bir biçimde ortaya koyabilir.
İspatlar öğrencilerle tartışılırsa kavramsal anlamalarını genişletmede,
matematiksel iddiaların ve sonuçların sunduğu sezgi ve uyarılara cevap vermede
matematikçiler gibi düşünmeleri konusunda onları teşvik etmiş oluruz.
Problem çözümünde olduğu gibi, ispatları anlamak ve geliştirmek, geometrik
fikirleri anlamaktan ve muhakeme etme yeteneğinden fazlasını gerektirmektedir.
Bir öneriyi ispatlamada veya bir geometrik problemi çözmede başarısız olma sık
karşılaşılan bir durumdur. Başka birinin iddiasını takip ederken zorlanmama,
küçük bir özelliği gözden kaçırdığını anlayarak şaşırma veya çözüm yapan
kişinin kendi çözüm stratejisini nasıl kullandığına şahit olma da sık karşılaşılan
durumlardandır. Öğrencilerin, yeni yollar keşfetmelerini, geometrik şekilleri
farklı açılardan görmelerini ve diğer fikirlerle bağlantı kurmalarını sağlamak için
çeşitli stratejilerle donatılmış olmaları gerekmektedir.

BİLGİSAYARLARIN ROLÜ
Bilgisayar yazılım ve donanımının hızlı gelişimi, geometrinin sunumu ve keşfi ile
ilgili yeni yolların ortaya çıkmasını sağlamıştır. Her birinin iki öğretim türüyle
ilişkilendirildiği iki kapsamlı tür bulunmaktadır. Bu türler, Şekil 2.13’teki tabloda
gösterilmiştir.
TÜM SINIF

BİREYSEL VEYA
KÜÇÜK GRUP

AÇIK
KAPALI
Şekil 2.13 Sınıfta bilgisayar kullanımı ile ilgili iki boyut

Bilgisayarlar, özel olarak hazırlanmış sınıf ortamlarında, öğrencilerin gerek
bireysel gerekse küçük gruplar hâlinde bulunduğu veya bir bilgisayarın tüm sınıf
için ortak olarak çalıştırıldığı biçimlerde kullanılabilir. Ayrıca bilgisayarlar,
kullanım türüne göre hem uygulama hem de pedagojik anlamda kendisine özgü
imkân ve sınırlılıklar taşımaktadır. Özel ortamlar hazırlamak maliyetli olmasına
rağmen oldukça talep görmektedir. Bu ortamlar, yeni tecrübeler kazanılmasını
sağlar. Bilgisayarların özellikleri geliştikçe, eğitimde bu tür ortamlar sıkça
kullanılacaktır. Özel matematik sınıfları, projeksiyon özelliğine sahip ve akıllı

Geometrinin Rolü / 29
tahtayla entegre olan bir bilgisayarla donatılmıştır. Bu sınıflar, belirli bir konuyu
hızlı bir biçimde göstermek veya yeni fikirleri denemek için kullanılabilir.
Şekil 2.13’ün diğer boyutu, öğrencilerin üzerinde çalıştığı görevlerin niteliğine
göre açık veya kapalı kullanım türüyle ilişkilidir. Kapalı görevler hassas
yönlendirmeleri ve rutin egzersizleri temel alırken, açık görevler girişimcilik ve
yaratıcılık becerisi gerektiren daha açıklayıcı problem-odaklı faaliyetleri
içermektedir. Aynı sınıflandırma, kapalı soruları veya öğrencilerin düşüncelerini
yönlendirebilecek daha açık uçlu tartışmaları ve uygulamaları içermektedir. Bu
sınıflandırma, sınıfın tümüne uygulanan faaliyetler için de kullanılabilir. Her iki
kategori de bu aralığın uç noktalarını teşkil etmektedir. Çünkü birçok ders, her iki
boyutun bileşenlerini içerebilir. Yazılımlar ve buna eşlik eden kaynaklar akılda
genel olarak belirli kullanım türlerine göre tasarlanmaktadır.
Yazılım, farklı kategorilerde sınıflandırılabilir:


Küçük yazılım, belli becerileri geliştirmek, bir süreç veya konu
hakkındaki fikirleri güçlendirmek için kullanılmaktadır. Bu yazılımlar,
çeşitli zorluk seviyelerindeki bulmacalar ve oyunlar aracılığıyla,
öğrencilere becerilerini kontrol etme imkânı veren ilgi çekici araçlardır.



Üretken yazılım, çok farklı amaçlar için kullanılabilir. LOGO, Cabri
Geometry ve Geometer’s Sketchpad gibi dinamik yazılım paketleri sıkça
kullanılan örnekler arasında yer almaktadır. Ayrıca grafik çizimleri
yapabilen ve dönüşüm geometrisini keşfetmeye olanak sağlayan
Omnigraph ve Autograph da bu yazılıma örnek olarak verilebilir. Bu
özellikler, grafik özellikli hesap makinelerinde de bulunmaktadır. Bu
makinelerin küçük ve düşük çözünürlüklü olmaları, bilgisayar
monitörlerine olan ilgiyi arttırmıştır.



Öğretim ve kaynak paketleri: Bu paketler, genel olarak DVD veya CDROM formatında bulunurlar. Ayrıca bunlar interaktif olmaları, zihinde
daha fazla canlandırma sağlamaları ve esnek yapıları itibarıyla kitap gibi
kaynaklardan farklılık gösterirler.

Bunun yanında internet, çeşitlilik açısından zengin ve sürekli olarak büyüyen
bilgi ve düşünce kaynağını teşkil eder. Ayrıca diğer türlerin tüm örneklerini
bünyesinde barındırır.
Şekil 2.14’te küçük yazılıma örnek olarak simetri ve dönüşüm konularında SMILE
programının bileşenlerinin birinden alınan ekran görüntüsü verilmiştir. Bu
şekilde, simetri doğrusu ve bir şeklin yarısı görülmektedir. Öğrencilerden, doğru
parçalarını uygun biçimde yerleştirerek resmi tamamlamaları istenmektedir.
Aynı yazılım paketindeki diğer öğeler, farklı zorluk düzeylerinde simetri
doğrularının yerleştirilmesi ve dönme merkezlerinin belirlenmesi görevlerini
içermektedir. Bu yazılımla ilgili detaylı bilgiler www.smilemathematics.co.uk.
internet adresinden temin edilebilir.

30 / Geometri Öğretimi ve Öğrenimi

Şekil 2.14 Simetri ve dönüşüm: SMILE programı

MSW LOGO, www.softronix.com tarafından LOGO programlama dilinin bir
versiyonu olarak ücretsiz olarak sunulmaktadır. Yazılım, öğrencilere basit ve çok
yönlü bir ortam sağlamaktadır. Bunun yanında kolay öğrenilebilen, küçük ama
güçlü bir komut kümesi kullanılarak geometrik şekilleri çizebilme yeteneği de
kazandırmaktadır. Şekil 2.15’te gösterilen örnek, 18 tane sivri uca sahip bir
yıldızdır. Bu şekil, 200 birim uzunluğun 140 0’lik açıyla döndürülmesi ve bu iki
komutun 18 defa tekrar edilmesiyle çizilmiştir. Bu yazılım, Bölüm 4’te detaylı
olarak incelenen bir konu olan, düzgün çokgenlerin özelliklerinin
keşfedilmesinde kullanılan LOGO’nun en basit uygulamalarından birinin
eklentisidir.
Dinamik geometri yazılımları, geometrik şekillerin ekranda çizilmesini ve
sonrasında noktaların sürüklenerek değiştirilmesini sağlamaktadır. Şekil 2.16’da
Cabri Geometry ekranı ve bir üçgenin üç kenarortayı gösterilmektedir. Eğer
üçgen köşelerinden herhangi biri kullanılarak sürüklenirse, üçgenin şekli
değişmekte ancak kenarortaylar hâlâ ortak bir noktada kesişmektedir. Yazılım
aynı zamanda parçaların uzunluklarını da göstermektedir. Bölüm 7’de
tartışılacağı üzere, her kenarortaya ait parçaların uzunluklarının 2:1 oranında
olduğu yazılım aracılığıyla kolaylıkla görülebilir. Cabri Geometry, Texas
Instruments tarafından üretilmiştir. Bu programla ilgili daha fazla bilgi edinmek
için education.ti.com internet adresine girilebilir. Yazılım, Fransa’da Grenoble
Üniversitesi’nde üretilmiştir ve yazılımla ilgili interaktif örneklerden bazıları
www-cabri.imag.fr adresinde bulunmaktadır. The Geometer’s Sketchpad
programı, Key Curriculum Press tarafından oluşturulmuştur ve yaygın olarak
kullanılan başka bir dinamik geometri yazılımıdır. Bununla ilgili daha detaylı

Geometrinin Rolü / 31
bilgi için www.keypress.com/sketchpad internet adresi ziyaret edilebilir.

Şekil 2.15 LOGO programında 18 tane sivri uca sahip yıldızın çizimi

Grafik çizim programlarının çoğunda, kendi ana fonksiyonlarının yanında,
şekillerin kolayca çizilmesi ve bunların dönüştürülmesi için standart uygulamalar
bulunmaktadır. Şekil 2.17’de, Autograph programı kullanılarak oluşturulan bir
ekran görüntüsü görülmektedir. Birinci bölgedeki üçgen, y eksenine, sonraki
görüntü ise y = x doğrusuna göre yansıtılmıştır. Bu iki yansımanın, saat yönünde
orjin etrafında 900’lik bir döndürmeyle eş oldukları görülebilir. İki dönüşüm ters
sırayla yapılırsa aynı sonuç elde edilemez. Üçgenin eşini meydana getiren tek
dönüşüm, daha önceki gibi 900’lik bir dönüştür ancak bu dönüş saat yönünün
tersi yönde yapılmalıdır. Aynı sonuç, üçgenin birinci bölgede önce y = x
doğrusuna göre, sonra görüntünün y yerine x eksenine göre yansıtılmasıyla da
elde edilebilir.
Grafik çizim yazılımı olan Autograph ile ilgili daha fazla detay www.autograph-

maths.com internet adresinde bulunmaktadır. Diğer yandan Omnigraph, Spa

32 / Geometri Öğretimi ve Öğrenimi
Software tarafından çıkarılan ve yaygın olarak kullanılan bir diğer grafik
çizim programıdır. Bu program ile ilgili ayrıntılı bilgiler www.spasoft.co.uk
adresinden edinilebilir.
Şekil 2.18’de www.mathsnet.net web sitesinden alınmış interaktif bir geometri
sayfası görülmektedir. Bir doğru üzerinde, simetrisi B olan bir A noktası ve
hareket edebilen bir X noktası bulunmaktadır. Bu şekilde, hareket edebilen A ve
B noktaları ile AX ve XB mesafeleri gösterilmektedir. Bir öğrenciden üç ifade
arasından bu şekille ilgili bir seçim yapması istenmiştir. Doğru olan ifade, X’in
AB’nin orta dikmesi boyunca hareket ettiği biçimindeki ifadedir. Bu web sitesi,
farklı geometrik durumları matematiksel kaynaklarıyla birlikte göstermektedir.
Ayrıca bu site, öğrenciler ve öğretmenler için matematik öğrenimi ile ilgili önemli
sitelerden biridir. ces.hull.ac.uk/people/DougFrench internet adresi, sınıf
kaynaklarını ve diğer sitelere erişim linklerini içermektedir.

Şekil 2.16 Cabri Geometry ekranında bir üçgenin özellikleri

Geometrinin Rolü / 33
Şekil 2.17 Autograph ekranında dönüşümler

Şekil 2.18 Mathsnet: İnternette interaktif geometri

SONUÇ
On dokuzuncu yüzyıldaki okullarda Öklid’e temelden bağlı olan geometrinin
karakteristik özelliği, geometrik öğelere yönelik sezgisel hissin altında yatan
noktaları fazla göz önüne almadan tümdengelime daha çok önem vermesidir.
İngiltere’de 20. yüzyılın ilk yarısında, pratik tecrübe üzerine giderek artan bir
vurgu yapılmıştır. Fakat 1960’lara kadar öğrencilerin çoğu geometriyi anlaşılmaz
teorem-ispat ve çözümü imkânsız problemlerin sıkıcı bir rutini olarak görmeye
devam etmişlerdir. Yirminci yüzyılın ikinci yarısında, geometrinin tümdengelimli
yönüne yönelik güçlü bir akım ortaya çıkmıştır. Böylece pratik ve deneysel bakış
açıları ile cebirsel yaklaşımlar daha baskın bir duruma gelmiştir. Pratik üzerine
daha fazla ağırlık verilmesi ile ilgili durum, birçok ülke için de geçerlidir.
Geometrinin geleceği konusunda geniş çapta bir tartışma bulunmakla birlikte,
İngiltere’de ispat ve muhakeme yapmaya doğru bir yönelim söz konusudur.
Geometri öğretiminde bilgisayarların kullanımı gittikçe artmaktadır.
Bilgisayarların oynayabilecekleri hassas rol veya geometri öğreniminde deneysel
aşamanın ötesinde sergileyebilecekleri etkinliklerle ilgili çok az ortak görüş
bulunmaktadır. Ancak akıllıca kullanıldıklarında öğrencilerin motivasyonunu
önemli derecede arttırıcı ve anlamalarını geliştirmeye yönelik potansiyel
anlamında değerli kaynaklar oldukları yönünde güçlü bir algı bulunmaktadır.
Geometriyi yapabilme ve öğrenmedeki başarı, sezgi ve tümdengelimin birlikte

34 / Geometri Öğretimi ve Öğrenimi
kullanımını gerektirmektedir. Sezgi geometrik şekiller ve pratik etkinlikler ile
ilgili tartışmalarla farklı tecrübeler kazanılması temeline dayanmaktadır.
Tümdengelim sanatı, öğretmen ve ders kitapları tarafından sunulan örneklerle
öğrenilir. Bunun yanında, öğrenciler öğretmenlerinin vereceği bireysel veya grup
görevlerine ihtiyaç duymakta ve bu hususlar iddialarını geliştirmede kendileri
için fırsat sunmaktadır.
Öğretmenlerin deney ve tümdengelim ile ilgili rolleri hakkında açıklayıcı ve net
olmaları, kavramsal zorlukların nereden kaynaklanabileceğini bilmeleri ve teknik
dilin kullanımıyla alakalı doğabilecek yanlış anlamalara karşı hazırlıklı olmaları
gerekmektedir. Keşfe yönelik faaliyetler ve tümdengelimli yaklaşımlar arasındaki
ilişkiler, birbirini destekleyebilmeleri için güçlü olmalıdır. Öğrencilere geometrik
şekillerdeki zenginliği görme konusunda yardımcı olmak ve onlara özgün
durumlar ile ilgili farklı düşünme yolları kazandırmak, rutin problemlerin
çözümünden veya düzensiz araştırmalardan daha fazla çaba gerektirir. Kitabın
diğer bölümleri, okul geometrisinin kilit öneme sahip boyutlarına değinmekle
birlikte; öğretmenler için tanıtıcı görevlere, sık karşılaşılan zorluklara,
öğrencilerin problem çözme ve ispat becerilerini geliştirmeye yönelik önerilere
yer vermektedir.