02Estimasi Parameter (Pendugaan Parameter)

• Pendugaan Parameter Populasi dilakukan dengan menggunakan nilai Statistik Sampel,
• Pendugaan parameter diwujudkan dalam pembentukan selang kepercayaan, karena hampir tidak pernah ditemukan nilai statistik tepat sama dengan nilai parameter.
• Selang Kepercayaan = Konfidensi Interval = Confidence Interval ☺ Didekati dengan distribusi Normal (Distribusi z atau Distribusi t) ☺
• Selang kepercayaan menurut Distribusi z dan Distribusi t ☺

  2 5 0 025 1 96 . % .

  Luas daerah terarsir = 0.05 × ½ = 0.0025

  × ½ = 0.4750.

  Nilai z ini diketahui dari luas daerah tidak terarsir ini dalam Tabel Normal (z) Luas = 0.95

  " " " " " "

  Contoh Distribusi z untuk SK 95 % Luas = 0.5

  . = =

  2 575 . .

  z z 0 5% 0 005

  Selang kepercayaan 99 % → Derajat Kepercayaan = 1 - α = 99% α = 1 % → α/2 = 0.5 %

  . = =

  Selang kepercayaan 95 % → Derajat Kepercayaan = 1 - α = 95% α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z z

  1 Pendahuluan

  . = =

  1 645 % .

  z z 5 0 05

  α = 10 % → α/2 = 5 % →

  Selang Kepercayaan dengan Distribusi z (Tabel hal 175) Nilai α dan Selang kepercayaan yang lazim digunakan antara lain: Selang kepercayaan 90 % → Derajat Kepercayaan = 1 - α = 9

  ☺ α kemudian akan dibagi ke dua sisi, α/2 di atas batas atas dan α/2 di bawah batas bawah

  Derajat Kepercayaan = Tingkat Kepercayaan = Koefisien Kepercayaan = 1 - α

  Mempunyai 2 batas : batas atas (kanan) dan batas bawah (kiri) ☺

  µ 2. s digunakan sebagai penduga bagi σ 3. p p atau $ digunakan sebagai penduga bagi π

  Misal : 1. x digunakan sebagai penduga bagi

  Luas daerah terarsir = 0.05 × ½ = 0.0025

  ☺ Nilai α (dan tentu saja α/2) sudah diterakan dalam Tabel. Perhatikan derajat bebas (db). Nilai t tabel tergantung dari nilai derajat bebas (db) dan nilai α/2 (Tabel hal 177) Misal : Selang kepercayaan 95 %; db = 13

  → 1 - α = 95% α = 0.5 % → α/2 = 2.5 % t tabel (db=13;α/2 = 2.5%) = 2.160

  Contoh Distribusi t untuk SK 95 % ; db = 13 Nilai t ini diketahui dari nilai α/2 dan db dalam Tabel t

  Luas daerah terarsir = Luas daerah terarsir =

  0.05 × ½ = 0.0025 0.05 × ½ = 0.0025 Luas = 0.5

  " " " " " "

• t = -2.160

  ( α/2 0.025; db=13)

• t = -2.160

  ( α/2 0.025; db=13)

  Selang Kepercayaan yang baik? Idealnya selang yang baik adalah selang yang pendek dengan derajat kepercayaan yang tinggi.

  Banyak Selang Kepercayaan yang dapat dibentuk dalam suatu populasi adalah Tidak terhingga, anda bebas menetapkan derajat kebebasan dan lebar selangnya. Contoh 1: Di bawah ini terdapat 4 selang kepercayaan mengenai rata-rata umur mahasiswa. Semua selang dibuat untuk populasi yang sama, manakah yang paling baik? A. Selang kepercayaan 90 % rata-rata umur mahasiswa 18 - 25 tahun

  B. Selang kepercayaan 99 % rata-rata umur mahasiswa 18 - 27 tahun

  C. Selang Kepercayaan 90 % rata-rata umur mahasiswa 22 - 27 tahun

  D. Selang Kepercayaan 99 % rata-rata umur mahasiswa 22 - 25 tahun Jawab : D, karena................................

• Bentuk Umum Selang Kepercayaan Batas Bawah < (Simbol) Parameter < Batas Atas • Untuk Sampel Berukuran Besar : Statistik - ( z ×Std Error Sampel) < Parameter < Statistik + ( z × Std Error Sampel)

  α /2 α /2

  atau Parameter = Statistik ± ( z ×Standard Error Sampel)

  

α /2

• Untuk Sampel Berukuran Kecil :

  t t

  Statistik - ( × Std Error Sampel) < Parameter < Statistik + ( ×Std Error

  ( db ; / ) ( db ; / ) α 2

  α 2

  Sampel) atau

  t

  Parameter = Statistik ± ( × Standard Error Sampel)

  

( db ; / )

α 2

  2. Pendugaan 1 Nilai Rata-rata

  2.1. Pendugaan 1 Nilai Rata-rata dari sampel besar (n ≥30)

• Nilai simpangan baku populasi (σ) diketahui
• Jika nilai simpangan baku populasi σ tidak diketahui → gunakan simpangan baku sampel (s)

  Selang Kepercayaan 1 Selang Kepercayaan sebesar (1- α) bagi adalah :

   σ   σ  x z α < < x z α - + ₂ × µ × ₂     n n

  Jika σ tidak diketahui, dapat digunakan s

• Ukuran Sampel bagi pendugaan µ Pada Derajat Kepercayaan (1- α) ukuran sampel dengan Error (galat) maksimal = E adalah

  2 z

  × σ α /2 n =

  Ε [ ]

   

  n dibulatkan ke bilangan bulat terdekat terbesar (fungsi ceiling) jika σ tidak diketahui, gunakan s E : error maksimal

  → selisih x dengan µ; E dinyatakan dalam persen (%) Dari 36 mahasiswa tingkat II diketahui bahwa rata-rata IPK = 2.6 dengan simpangan baku = 0.3.

  a. Buat selang kepercayaan 95 % untuk rata-rata IPKseluruh mahasiswa tingkat II? Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z = z = 1 96 . _{2 5 . % 0 025 .}

  x = 2.6s = 0.3

   s   s 

  x z < < + x z _{0 025 . 0 025 .}

  × µ ×

•     n n

   0 3 .   0 3 .  2.6 - 1.96 ) < < 2.6 + 1.96 )

  × µ ×    

  36

  36 2.6 - 0.098 < µ < 2.6 + 0.098 2.502 < µ < 2.698

  b. Buat selang kepercayaan 99 % untuk rata-rata IPK seluruh mahasiswa tingkat II? Selang kepercayaan 99 % → α = 1 % → α/2 = 0.5 % → z = z = 2 575 . _{0 5 . % 0 005 .}

  (selanjutnya.....selesaikan sendiri!!!)

  c. Berapa ukuran sampel agar error maksimal pada selang kepercayaan 95 % tidak lebih dari 6 %? E = 6 % = 0.06 s = 0.3 Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z = z = 1 96 . _{2 5 . % 0 025 .}

  2

  2 z 1 96 .

  0.3 σ × α / 2

  2 n =

  =

0.06 = ( . ) 9 8

Ε

  = 9604 . = 97 [ ]  

  [ ]      

  d. Berapa ukuran sampel agar error maksimal pada selang kepercayaan 99 % tidak lebih dari 6 %? (Kerjakan sebagai latihan) dan nilai simpangan baku populasi ( α) tidak diketahui → gunakan simpangan baku sampel (s)

  Selang Kepercayaan 2 Selang Kepercayaan sebesar (1-

  α) bagi µ adalah :

  s s

      x t α × - < µ < + x t α ×

  ( db ; ) ( db ; ) _{2 2}     n n

  db = derajat bebas = n-1 Contoh 3: 9 orang mahasiswa FE-GD rata-rata membolos sebanyak 10 hari/tahun dengan standar deviasi 1.8 hari. Buat selang kepercayaan 95 % bagi rata-rata banyaknya hari membolos setiap tahun untuk seluruh mahasiswa! Selang kepercayaan 95 %

  → α = 5 % → α/2 = 2.5 % = 0.025

  x = 10 s = 1.8

  db = n-1 = 9 -1 = 8 t (db=8; α/2 =0.025) = 2.306

  s s

     

  x t < < + x t

• α α _{( db ; ) ( db ; )}
₂ × µ ₂ ×     n n

  18 . 18 .     10 - 2 306 . < < 10 + µ 2 306 . ×

  ×    

  9

  9 10 - 1.3836 < µ < 10 + 1.3836 8.6164 < µ < 11.3836

  3. Pendugaan Beda 2 Rata-rata

  3.1 Pendugaan Beda 2 Rata-rata dari sampel-sampel besar dan nilai ragam populasi _{2 2 2 2} ( dan ) diketahui dan jika nilai ragam populasi ( dan ) tidak

  σ σ _{1 2 2 2} σ σ _{1 2} diketahui dan s ) → gunakan ragam sampel ( s _{1 2} Selang Kepercayaan sebesar (1- α) bagi µ − µ adalah : _{1 2}

  2

  2

  2

  2     σ σ

  σ σ

  1

  2

  1

  2 x x - z α × - < µ µ x - - < x + z α × + +

  1 2 ₂

  1 2 1 2 ₂     n n n n

  1

  2

  1

  2 _{2 2}    

₂

₂

  σ dan σ tidak diketahui → gunakan s dan s _{1 2 1 2} Catatan: Agar beda/selisih selalu positif, gunakan tanda mutlak   atau gunakan x > x _{1 2} Contoh 4: 64 orang Jepang ditanyai, dan diketahui rata-rata setiap bulan mereka makan 48 kg ikan dengan ragam = 8. 56 orang Inggris ditanyai, dan diketahui rata-rata, setiap bulan mereka makan 28 kg ikan dengan ragam = 7.

  Tentukan selang kepercayaan 95 % untuk beda rata-rata banyak ikan yang dimakan setiap bulan oleh seluruh orang Jepang dan orang Inggris

  

x = 48 x = 28 x − x = |48 - 28| = 20

_{1 2 1 2} n = 64 n = 56 _{1 2 2 2} s = 8 s = 7 _{1 2} Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z = z = 1 96 . _{2 2 2 5 . % 0 025 . 2 2}

   

σ σ σ σ _{1 2 1 2} x x - z α × < µ µ + _{1 2 2 1 2 1 2 2} + - - < x x + z × - α

   

n n n n _{1 2 1 2}

  

   

     

  8

  7

  8

  7     20 - 196 . × + + < µ − µ < _{1 2} + 20 1 96 . ×

  64

  56

  64

  56     20 - 0.98 < |µ − | < 20 + 0.98 µ _{1 2}

  19.02 < |µ − | < 20.98 µ _{1 2}

  3.2. Pendugaan bagi Beda 2 Rata-rata dari sampel-sampel kecil _{2 2} dan nilai kedua ragam populasi tidak sama ( ) dan σ ≠σ _{2 1 2 2} dan s )

  tidak diketahui → gunakan ragam sampel (s _{1 2} Selang Kepercayaan sebesar (1- α) bagi |µ ₁ − | adalah: µ ₂

  2

  2

  2

  2

     

  s s s s

  2

  1

  2

      × + < µ µ - < - + t × - x x - t α x x α

• 1

  1 2 ( db ; )

  1 2 1 2 ( db ; )

   ^{2   2  der}

  n n n n

  

  1 2  

  1 2 

  s s _{1 2} ( ) ^{2 2} n n _{1 2}

• 2

  2 ( ) ( n − ²

1 ) ( ) ( n −

² 1 ) n n ₁
• ajat bebas (db) = s
₁ 2 s ₂

  1

²

  2

  db : dibulatkan ke bilangan bulat terbesar terdekat (fungsi Ceiling) Catatan: Agar beda/selisih selalu positif, gunakan tanda mutlak   atau gunakan x > x _{1 2} Contoh 5: 12 orang Jepang ditanyai, dan diketahui rata-rata setiap bulan mereka minum 22 liter ₂

  ( x = ₂ 22 ) teh dengan Ragam = 16. ( s = ₂ 16 ) 10 orang Inggris ditanyai, dan diketahui rata-rata, setiap bulan mereka minum 36 liter ₂ ( x 36 ) teh dengan Ragam = 25. ( s 25 ) ₁ = = ₁ Jika dianggap bahwa ragam kedua populasi bernilai tidak sama, hitung :

  a. derajat bebas bagi distribusi t _{2 2}

  2

  2 s s _{1 2}

  25

  16

  ( ) (

  10

  12 ) n n _{1 2}

  db = = =

  2

  2 s ₁ 2 s ₂

  2

  25

  16

  (

  10 ) ( 10 1 − ) ( 12 ) ( 12 1 − )

  ( ) ( n − ² 1 ) ( ) ( n − ² 1 )

  n n ₁

  1 ² 2 [ ] [ ]

  ( . 2 5 1 333 . ) ²

• 14 6944 . ... 14 6944 . ...

  = = = =  17.165  = 18 _{2 2} [ 0 6944 . ] [ 0 1616 . ... ] 0 8560 . ...

  ( . ) 2 5 9 ( . 1 333 )

  11 [ ] [ ]

  b. Tentukan selang kepercayaan 99 % untuk beda rata-rata banyak teh yang diminum setiap bulan oleh seluruh orang Jepang dan orang Inggris Selang kepercayaan 99 % → α = 1 % → α/2 = 0.5 % = 0.005 db = 18 Nilai t (db = 18; α/2 = 0.005) = 2.878

  2 ^{2 2 2}

     

  s s _{1 2} s s _{1 2}

_{2 1 2 ( db ; )} ^α + +  ^{2  } 2 <
• x x - t × &lt; µ µ &lt; x x + t × _{1 2 ( db ; )}
^α ₁

  n n _{1 2} n n _{1 2}

         

  25

  16

  25

  16     36 −

  22 - .878 2 × &lt; µ µ &lt; _{1 2} 36 − - 22 + .878 2 × + +

  10

  12

  10

  12     14 - 5.53 &lt; |µ − | &lt; 14 + 5.63 µ _{1 2}

  8.37 &lt; |µ ₁ − | &lt; 19.63 µ ₂

  3.3 Pendugaan bagi Beda 2 Rata-rata dari sampel-sampel kecil _{2 2} dan nilai kedua ragam populasi sama ( = ) dan tidak diketahui σ σ _{2 1 2}

  → gunakan ragam sampel gabungan (s ) _gab Selang Kepercayaan 5 Selang Kepercayaan sebesar (1- α) bagi |µ − | adalah: µ _{1 2}

     

  1

  1

  1

  1    

• x x - t × s × &lt; µ µ + -

  &lt; x - - α x + t α × s ×

  1 2 gab

  1 2 1 2 gab ( db ; ) ₂ ( db ; ) ₂ n n n n

      _{2 2}

  1

  2

  1

  2

  1 ) s ( n + ( n 1 ) s _{2 1} − − _{1 2 2}

  

2

s s s dan = dan derajat bebas (db) = n + − n

  2

  =

  1

  2 ^{gab gab gab} + n n − _{1 2}

  2 Catatan: Agar beda/selisih selalu positif, gunakan tanda mutlak   atau gunakan x &gt; x _{1 2} Contoh 6: 12 orang Jepang ditanyai, dan diketahui rata-rata setiap bulan mereka minum 22 liter ₂ ( x = ₂ 22 ) teh dengan Ragam = 16. ( s = ₂ 16 ) 10 orang Inggris ditanyai, dan diketahui rata-rata, setiap bulan mereka minum 36 liter ₂

  ( x = ₁ 36 ) teh dengan Ragam = 25. ( s = ₁ 25 ) Jika dianggap bahwa ragam kedua populasi bernilai sama, hitung :

  a. derajat bebas

  b. Ragam dan Simpangan baku gabungan kedua sampel c Tentukan selang kepercayaan 99 % untuk beda rata-rata banyak teh yang diminum setiap bulan oleh seluruh orang Jepang dan orang Inggris.

  a. db = n n

  2 ₁ + − = 10 +12 - 2 = 20 ₂

  ^{2 2} + ( n 1 ) s ( n + 1 ) s _{2 1} − − ( _{1 2 2} 9 × 25 ) ( 11 16 × ) 401 b. s = 20 05 .

  = = = ^gab +

  n n − _{1 2}

  2

  20

  20

  2 s = s = 20 05 . 4 477 . ...

  =

  gab gab

  c. Selang kepercayaan 99 % → α = 1 % → α/2 = 0.5 % = 0.005 db = 20

  Nilai t (db = 20; α/2 = 0.005) = 2.845    

  1

  1

  1

  1    

• × × + ^{α × ×}

  x x - t s &lt; &lt; x x + t s

• ^{α µ µ}

  1 2 gab

  1 2 1 2 gab ( db ; ) ₂ ( db ; ) ₂ n n n n

     

  1

  2

  1

  2

     

  1

  1

  1

  1    

  22 - .845 2 × 4 477 . ... × &lt; µ µ &lt; _{1 2} 36 − + 22 + .845 - 2 × 4 477 . ... ×

• 36 −

  10

  12

  10

  12     14 - 5.45 &lt; |µ − | &lt; 14 + 5.45 µ _{1 2}

  8.55 &lt; |µ − | &lt; 19.45 µ _{1 2}

  3.4 Pendugaan bagi Beda 2 Rata-rata dari data berpasangan (paired data) sampel- sampel kecil Data berpasangan didapat dari 1 individu (yang relatif) sama yang dikenai 2 perlakuan. Selang Kepercayaan 6: Selang Kepercayaan sebesar (1- α) bagi |µ − | adalah: µ _{1 2}

   s   s  d d d − t × &lt; µ − µ &lt; + d t × db ; / α

  2

  1 2 db ; / α

  2     n n

  derajat bebas (db) = n-1 Catatan: Agar beda/selisih selalu positif, gunakan tanda mutlak   atau gunakan x &gt; x _{1 2} x ₁ n : banyak pasangan data d i : x 1i - x 2i : selisih pasangan data ke-i untuk i = 1,2,3,...n

  

d

_i

∑ d : rata-rata d

  I d =

n

  2 ( d − d )

  2 i

  2

∑

s s =

  : ragam nilai d d

  d − n

  1

  2 s s s

  =

  : simpangan baku d d d

  d Contoh 7: Banyak produk rusak pada 2 shift diukur dari 4 karyawan.

  Banyak Produk yang rusak Nama Shift malam Shift Pagi d i

  d (d i - d ) (d i - d )²

  (x

  1 ) (x 2 )

  A

  10

  3

  7 8 -1

  1 B

  15

  5

  10

  8

  2

  4 C

  9

  4

  5 8 -3

  9 D

  12

  2

  10

  8

  2

  4 =32

  Σ d i - d )²=18 Σ(d i

  d _i

  32

  ∑

  n = 4

  

d

  8 = = =

  n

  4

  2 ( d − d ) i

  18

  2

  2 ∑ s s s = = = 6 =

  d d d n −

  dan = 6 = 2 449 . ...

  1

3 Selang kepercayaan 99% untuk data berpasangan tersebut adalah:

  Selang kepercayaan 99 % → α = 1 % → α/2 = 0.5 % = 0.005 db = n-1 = 4-1 = 3 Nilai t (db = 3; α/2 = 0.005) = 5.841

  s s

     

  d d d − t × &lt; µ − µ &lt; + d t ×

  

α α

db ; /

  2

  1 2 db ; /

  2

     

  n n 2 449 . ... 2 449 . ...

      8 5 841 . 8 5 841 . − × &lt; µ − µ &lt; + ×

  1

  2

     

  4

  4 8 − 7 15 . ... &lt; µ − µ &lt; + 8 7 15 . ..

  1

  2 0 85 . 1515 .

  &lt; µ − µ &lt;

  1

• Pengertian proporsi

  π = proporsi populasi

  p = proporsi "sukses" dalam sampel acak

  1 - p = q = proporsi "gagal" dalam sampel acak Misal : kelas "sukses" → "menyukai seafood" kelas "gagal" → "tidak menyukai seafood"

  4.1 Pendugaan 1 Nilai Proporsi dari sampel besar Pendugaan Proporsi lebih lazim menggunakan sampel besar, jadi lebih lazim menggunakan Distribusi z.

  Selang Kepercayaan 7: Selang Kepercayaan sebesar (1- α) bagi π adalah :

      p × q p × q

     

• - z p α × &lt; &lt; + π p z α ×

_{2 2} n n    

  ingat → 1 - p = q

• Ukuran Sampel untuk pendugaan proporsi Ukuran Sampel pada Selang Kepercayaan (1-

  α) dengan Error (galat) maksimal= E

  2  z × × p q 

  α /2 n

  =

  2  

  n di ceiling!

  E  

  n : ukuran sampel E : error maksimal → selisih p dengan π

  Contoh 8: Dari suatu sampel acak 500 orang diketahui bahwa 160 orang menyukai makan seafood.

  a. Tentukan selang kepercayaan 95 % bagi proporsi populasi yang menyukai seafood Selang kepercayaan 95 % → α = 5 % → α/2 = 2.5 % → z = z = 1 96 . _{2 5 . % 0 025 .}

  p = 160/500 = 0.32 q = 1 - p = 0.68

     

  p × q p × q

   α    ^α

  p z × - ₂ &lt; &lt; + π p z × ₂ n n

          0 32 . 0 68 . 0 32 . 0 68 .

  × × 0.32 -  1 96 .. ×  &lt; &lt; 0.32 + π  1 96 .. ×  500 500

      0.28 &lt; π &lt; 0.36

  b. Berapa ukuran sampel agar kita dapat percaya 95 % dan Error maksimal = 2% _{2 2}  z × × p q   196 . × 0 32 . × 0 68 . 

  α /2 n

  = = _{2 2}     = 2089.8304 = 2090 E 0 02 .

     

  4.2. Pendugaan Beda 2 Proporsi dari sampel-sampel besar Selang Kepercayaan 8 Selang Kepercayaan sebesar (1- adalah :

  α) bagi π − π _{1 2}    

  p q p q p q p q ₁ × × _{1 2 2 1} × × _{1 2 2}

  

  p p - z α &lt;  _{1 2 2 1} - &lt; - p p + z  α  _{2 1 2 2}

• n n
_{1 2} n n _{1 2}

  × π π × + +

      Catatan: Agar beda/selisih selalu positif, gunakan tanda mutlak   atau gunakan p &gt; p _{1 2} Contoh 9:

  Dari 1000 penduduk Jakarta, 700 menyetujui berlakunya aturan lalulintas baru ( p =0.70) ₂ Dari 800 penduduk Surabaya, hanya 200 yang tidak menyetujui aturan lalulintas baru ( q = . ) 0 25 ₁ Tentukan selang kepercayaan 90 % bagi beda proporsi penduduk Jakarta dan Surabaya yang menyetujui berlakunya aturan lalulintas baru. kelas "sukses" = menyetujui berlakunya aturan lalulintas baru.

  p = 0.70 q

  1 p = 1 - 0.70 = 0.30 ₂ → = − _{2 2}

  q 0 25 p

  1 q ₁ = . → = − = 1 - 0.25 = 0.75 _{1 1}

  p p = ₁ − |0.75 - 0.70| = 0.05 ₂ Selang kepercayaan 90 % → α = 10 % → α/2 = 5 % → z = z = 1 645 . _{5 % 0 05 .}

• z &lt; - &lt; - + z ^α
^α π π _{2 2} ^{1 1} ₁ ^{2 2} _{2 1 2} ^{1 1} ₁ ^{2 2} 2<
• ×
• ×

  0.75 0.25 0.7

  . - (1.645 0.02108...) &lt; - &lt; + (1.645 0.02108...) × × π π 0 05 0 05 _{1 2} . . - 0.03467... &lt; - &lt; + 0.03467... π π 0.01532... &lt; - &lt; 0.08467...

  π π 0 05 0 05 _{1 2} .

    

    

  × ×

    

    

  ×

  0.3 ×

  0.3 &lt; - &lt; + 1.645

• ×

  . - 1.645 0.75 0.25 0.7

  800 1000 0 05 800 1000 ^{1 2} .

     0 05

    

  × ×

    

    

  × ×

  p p p q n p q n p p p q n p q n ^{1 2 1 2}

• ×

  π π _{1 2} selesai