PELABELAN TOTAL (a, d) -SISI ANTIAJAIB SUPER PADA GRAF RODAWn

  Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 1 Hal. 37 – 41

  ISSN : 2303–2910 Jurusan Matematika FMIPA UNAND c

PELABELAN TOTAL -SISI ANTIAJAIB SUPER

  (a, d) PADA GRAF RODA _n

  W

HERU PERMANA

Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,

  

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

_Abstrak.

heru 1787@yahoo.com

Misalkan terdapat graf G = (V, E). Suatu pemetaan bijeksi g dari V (G)∪E(G)

ke {1, 2, · · · , |V (G)| + |E(G)|} dikatakan pelabelan total (a, d)-sisi antiajaib di G, jika

himpunan bobot sisi W (xy) = {w(xy) | w(xy) = g(x)+g(y)+g(xy), ∀xy ∈ E(G)}, dapat

dinyatakan sebagai barisan aritmatika dengan suku awal a dan beda d. Pelabelan total

(a, d)-sisi antiajaib dikatakan pelabelan total (a, d)-sisi antiajaib super jika g(V (G)) =

{1, 2, · · · , |V (G)|}. Pada makalah ini akan dikaji kembali tentang pelabelan total (a, d)-

_n sisi antiajaib pada graf roda W dengan n + 1 titik. Kata Kunci : Pelabelan total (a, d)-sisi antiajaib, graf roda.

  1. Pendahuluan Teori graf adalah bagian dari matematika diskrit yang banyak digunakan seba- gai alat bantu untuk menggambarkan atau menyatakan suatu persoalan agar lebih mudah dimengerti dan diselesaikan. Banyak persoalan akan lebih jelas untuk di- terangkan bila dapat direpresentasikan dalam bentuk graf. Suatu pelabelan ter- hadap graf G = (V, E) adalah suatu pemetaan bijektif dari V ∪ E ke himpunan bilangan asli. Apabila daerah asal dari pemetaan hanya himpunan titik, maka pela- belan disebut pelabelan titik. Apabila daerah asalnya hanya himpunan sisi, maka pelabelan disebut pelabelan sisi. Apabila daerah asal merupakan gabungan dari himpunan titik dan sisi, maka pelabelan disebut pelabelan total.

  Misal terdapat G = (V, E) dengan |V | = p dan |E| = q. Notasi |V | berarti banyaknya titik pada G, sementara |E| mengatakan banyaknya sisi pada G. Suatu fungsi bijeksi f : V (G) ∪ E(G) → {1, 2, · · · , p + q} dikatakan pelabelan total (a, d)- sisi antiajaib pada graf G jika himpunan bobot sisi untuk semua sisi di G yang dinotasikan dengan W = {w(xy)|w(xy) = f (x) + f (xy) + f (y), xy ∈ E(G)}, dapat ditulis sebagai W = {a, a + d, a + 2d, , a + (q − 1)d} untuk suatu a > 0 dan d ≥ 0. _n

  2. Pelabelan Total (a, d)-Sisi Antiajaib pada Graf Roda W Dalam makalah ini penulis melakukan kajian kembali terhadap [1], yang membahas _n tentang pelabelan total (a, d)-sisi antiajaib super pada graf roda W , n ≥ 3. Graf _{n n} roda W berasal dari graf siklus C dengan cara menghubungkan satu titik di luar _{n n} C , namakan x, ke semua titik yang ada di C .

  Heru Permana

  38 _n

  Teorema 2.1. [1] Jika graf Roda W , n ≥ 3 adalah graf dengan pelabelan total (a, d)-sisi antiajaib super maka d < 2. _n Bukti. Misalkan graf W , n ≥ 3 mempunyai pelabelan total (a, d)-sisi antiajaib _{n n n} super f : V (W ) ∪ E(W ) → {1, 2, · · · , 3n + 1}. Maka himpunan bobot sisi dari W dapat ditulis sebagai berikut.

  W = {a, a + d, a + 2d, · · · , a + (2n − 1)d}. Bobot sisi maksimum adalah 5n + 2. Bobot ini diperoleh apabila kedua titik dilabeli dengan label titik terbesar, yaitu n dan n + 1, serta sisi terkait juga dilabeli dengan label sisi terbesar, yaitu 3n+1. Sedangkan bobot sisi minimum adalah n+5. Bobot ini diperoleh apabila kedua titik dilabeli dengan label titik terkecil, yaitu 1 dan 2, serta sisi terkait juga dilabeli dengan label sisi terkecil, yaitu n + 2.

  Karena nilai bobot sisi tidak akan kurang dari n + 5 dan tidak akan lebih dari 5n + 2, maka n + 5 ≤ a (2.1) a + (2n − 1)d ≤ 5n + 2 (2.2)

  Dari pertaksamaan (2.1) dan pertaksamaan (2.2), diperoleh : (n + 5) + (2n − 1)d ≤ a + (2n + 1)d ≤ 5n + 2

  (n + 5) + (2n − 1)d ≤ 5n + 2 (2n − 1)d ≤ 5n + 2 − (n + 5)

  4n − 3 d ≤ 2n − 1 Karena n ≥ 3, maka haruslah d < 2.

  Karena d < 2, maka haruslah d ∈ {0, 1}. Pada [2] telah ditunjukkan bahwa _n untuk d = 0, graf roda W tidak mempunyai pelabelan (a, 0) sisi antiajaib super. Karena itu, pada teorema berikut cukup dilihat pelabelan total (a, d) sisi antiajaib super pada graf roda W n dengan d = 1. _{n mempunyai pelabelan total} Teorema 2.2. [1] Graf Roda W (a, d)-sisi antiajaib super jika dan hanya jika _n d = 1 dan n 6≡ 1 (mod 4).

  Bukti. (⇒) Misalkan W mempunyai pelabelan super (a, d)-antiajaib total. Akan dibuktikan d = 1 dan n 6≡ 1 (mod 4). _{n n} Misalkan h : V (W ) ∪ E(W ) → {1, 2, · · · , 3n + 1} adalah pelabelan total (a, 1)- _n sisi antiajaib super pada W . Dalam penjumlahan dari bobot-bobot sisi, label pusat _i digunakan n kali, label titik x , 1 ≤ i ≤ n digunakan tiga kali, dan label sisi lainnya

  Pelabelan Total (a, d)-Sisi Antiajaib Super pada Graf Roda _n

  39 digunakan satu kali. Maka diperoleh jumlah bobot sisi W sebagai berikut. _{X n i X} 3 h(x ) + nh(c) + h(e) = 3(1 + · · · + n + 1) + (n − 3)h(c) + (n + 2 + · · · + 3n + 1) _{i e∈E} =3 n (W )

  n + 1 2n = 3((n + 2)( ) + (n − 3)h(c) + n + 2 + 3n + 1

  2

  2

  3 = (n + 2)(n + 1) + n(4n + 3) + (n − 3)h(c). (2.3)

  2 Karena bobot sisi dapat ditulis sebagai W = {a, a + d, · · · , a + (2n − 1)d}, maka _n jumlah bobot sisi untuk semua sisi di W adalah sebagai berikut. _{X e∈E n} W (e) = {a, a + d, · · · , a(2n − 1)d}

  (W )

  2n = (a + (a + (2n − 1)d))

  2 = n(2a + (2n − 1)d). (2.4)

  Dari persamaan (2.3) dan (2.4) diperoleh :

  3

  2

  (n + 2)(n + 1) + n(4n + 3) + (n − 3)h(c) = 2na + (2n − n)d,

  2

  2

  2

  3(n + 3n + 2) + 8n + 6n + 2(n − 3)h(c) = 4an + 2n(2n − 1)d,

  2

  2

  4an = 3(n + 3n + 2) + 8n + 6n + 2(n − 3)h(c), −2n(2n − 1)d,

  Karena d = 1, maka :

  2

  7n + 17n + 6 + 2(n − 3)h(c) a = .

  4n Untuk n ≡ 1 (mod 4), dapat dilihat bahwa nilai a bukan merupakan bilang- an bulat. Maka haruslah n 6≡ 1 (mod 4). Sehingga telah ditunjukkan bahwa jika _n

  W adalah graf dengan pelabelan total (a, d) sisi antiajaib, maka d = 1 dan n 6≡ 1 (mod 4).

  (⇐) Selanjutnya misalkan d = 1 dan n 6≡ 1( mod 4). Akan ditunjukkan bahwa W n adalah graf dengan pelabelan total (a, 1)-sisi antiajaib super. Jika n ≡ 0( mod 4), maka konstruksikan pelabelan h berikut.

  1

  n + 2 h (c) = ,

  1 _

  2 _{ } i + 1 , jika i bilangan ganjil _i

  2 h (x ) =

  1 _{ , jika i bilangan genap } n + 2 + i

40 Heru Permana

• 3 − i + 3
• 3 − i + 2
• 2 − i
• 2, h
• 3 − i + 1
• 1 ) = ^{  } _{ }
• 3 − i + 1

  h

• 1
• 3 − i + 3
• 2 − i + 2
• 2 − i
• 2 − i + 2

Pelabelan Total _ (a, d)-Sisi Antiajaib Super pada Graf Roda

  ,

  2n + 3 − i + 1

  h

  3 sebagai berikut.

  Jika n ≡ 3 (mod 4), definisikan fungsi h

  4 , jika i ≡ 0 (mod 4)

  4

  7n + 2

  4 , jika i ≡ 3 (mod 4)

  4 , jika i ≡ 2‘(mod 4)

  (c) = 1, h

  4

  5n + 2

  4 , jika i ≡ 1 (mod 4)

  2

  (cx ⁱ ) = ^{        } _{       } 3n

  2

  4 , h

  ) = 7n + 10

  3

  3

  ) = 3(n + 1)

  5(n + 1

  1

  (x ⁿ x

  3

  4 , jika i ≡ 0(mod 4) h

  3n + 2 − i

  4 , jika i ≡ 3(mod 4)

  2 − i + 1

  4 , jika i ≡ 2(mod 4)

  1

  4

  11(n + 1

  4 , jika i ≡ 1(mod 4)

  4 − i + 3

  (cx ⁱ ) = ^{        } _{       } 7n + 11

  3

  2 , jika i bilangan genap h

  2 , jika i bilangan ganjil n + 3 + i

  (x ⁱ ) = ^{  } _{ } i + 3

  (x n x

  1

  4

  1 (x ⁱ

  4

  ) = 5n

  1

  (x ⁿ x

  1

  4 , jika i ≡ 0 (mod 4) h

  5n

  5n

  4 , jika i ≡ 3 (mod 4)

  2n + 3 − i + 1

  4 , jika i ≡ 2 (mod 4)

  4

  7n

  4 , jika i ≡ 1 (mod 4)

  2

  (cx ⁱ ) = ^{        } _{       } 3n

  x ⁱ

  2

  2 , jika i bilangan genap, i < n h

  (x ⁱ ) = ^{  } _{ } i + 1

  3n + 2 − i

  2 , jika i bilangan ganjil

  2

  ) = ^{  } _{ } 5n

  (x ⁱ x ⁱ

  2

  2 , jika i bilangan genap h

  2 , jika i bilangan ganjil n + 2 + i

  2

  2 , jika i bilangan ganjil

  2 , h

  n + 2

  2 (c) =

  dari W ⁿ sebagai berikut. h

  2

  Jika n ≡ 2 (mod 4), definisikan fungsi h

  2 , jika i bilangan genap, i < n

  3n + 2 − i

  2

  41 _{ } 9(n + 1) i + 1

  − , jika i bilangan ganjil, i < n _{i i}

  4

  2 h (x x ) =

  3 +1 _{ } 3(n + 1) i

  − , jika i bilangan genap

  2

  2 _i Dapat ditunjukkan bahwa pelabelan h , i ∈ {1, 2, 3}, menggunakan bilangan _{i n i n} bulat dari himpunan h (V (W )) ∪ h (E(W )) = {1, 2, · · · , n + 1} ∪ {n + 2, n +

  3, · · · , 4n + 3} tepat satu kali.

  Dengan perhitungan langsung kita dapat menyimpulkan bahwa himpunan dari _{h h} bobot sisi W _h ^{1 = {2n + 4, 2n + 5, · · · , 4n + 3}, W 2 = {2n + 4, 2n + 5, · · · , 4n + 3}} dan W ^{3 = {7(n + 1)/4 + 3, 7(n + 1)/4 + 4, · · · , 15(n + 1)/4} memuat bilangan bulat} yang terurut.

  Karena pada ketiga pelabelan h , h , dan h , himpunan bobot sisi merupakan

  1

  2

  3

  barisan terurut dengan suku awal a dan beda 1, maka ketiga pelabelan tersebut adalah pelabelan total (a, 1)-sisi antiajaib, untuk nilai a yang bersesuaian. Selan- jutnya, karena pada ketiga pelabelan tersebut, himpunan label terkecil diberikan kepada himpunan titik graf Roda, maka pelabelan h

  1 , h 2 , dan h 3 adalah pelabelan super.

  3. Kesimpulan _n Pada tulisan ini telah ditunjukkan kembali bahwa jika graf roda W , n ≥ 3 adalah graf dengan pelabelan total (a, d)-sisi antiajaib super maka haruslah d < 2. Selan- _n jutnya juga ditunjukkan kembali bahwa graf roda W mempunyai pelabelan total

  (a, d)-sisi antiajaib super untuk n 6≡ 1 (mod 4) dan d = 1.

  4. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr. Lyra Yulianti, Bapak Budi Rudianto, M.Si, Bapak Narwen, M.Si, Dr. Admi Nazra dan Bapak Zulakmal, M.Si yang telah memberikan masukan dan saran sehingga makalah ini dapat diselesaikan dengan baik.

  Daftar Pustaka [1] Baca. M, Y.Lin, M.Miler, M.Z. Yousief. Edge-antimagic graph. Discrete Math- ematics

  . 307 (2007) : 1232 – 1244. [2] H. Enomoto, A.S. Llado, T. Nakamigawa, G. Ringel. Super edge-magic. SUT J.

  Math, 34 (1998) : 105 – 109 [3] R.M. Figueroa-Centeno, R. Ichishima, F.A. Muntaner-Batle. The Place of su- per edge-magic labelings among other classes of labelings, Discrete Math . 231

  (2001): 153 – 168. [4] D.B West. An Introduction to Graph Theory Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1996.