PERSAMAAN LEGENDRE Fungsi Real Analitik

  

PERSAMAAN LEGENDRE

Fungsi Real Analitik

Suatu fungsi f(x) dikatakan analitik pada x = x jika fungsi itu dapat dinyatakan dalam

deret pangkat x – x dengan radius konvergensi positif.

  ∞ _{m 2 3}

  f ( x ) = a ( x − x ) = a a ( x − x ) a ( x − x ) a ( x x ) ... (1) _{m 1 2} + + + + ₃ −

  ∑ _m =

  dalam selang konvergensinya diperoleh f ( x ) a = f ' ( x ) a

  = ₁ f " ( x ) 2 . 1 a

  = ₂ f ' '' ( x ) = 3 . 2 . 1 . a ₃ ... _{( n )} f ( x ) = m × ( m −

  1 ) × ( m − 2 ) × ... a = m ! a _m dengan demikian _{( n )} f ( x ) a _m = m !

  Sehingga _{( n )}

  ∞ f ( x ) _m f ( x ) = ( x − x ) (2)

  ∑ _m m ! =

  2

  yang merupakan deret Taylor. Sebagai contoh, fungsi x + 4 analitik pada setiap titik,

  1 sedangkan fungsi analitik pada setiap titik kecuali untuk x = 0, dan x = 3. ₂ x − x

  Titik Biasa dan Titik Singular

  Misalkan ada suatu persamaan diferensial orde dua h(x)y” + p(x)y’ + q(x)y = 0 (3) akan diselesaikan ke dalam deret pangkat (x – x ). Penyelesaian persamaan ini sangat tergantung pada jenis x , dengan definisi berikut: ƒ

   adalah titik biasa dari persamaan differensial (1) jika kedua fungsi

  Sebuah titik x p ( x ) q ( x )

   dan analitik pada titik x . Jika minimal salah satu fungsi ini tidak analitik

  h ( x ) h ( x ) pada x , maka titik x adalah titik singular dari persamaan diferensial (3). ƒ disebut titik singular reguler dari persamaan diferensial (2) jika titik ini

  Sebuah titik x p ( x ) q ( x )

  merupakan titik singular, dan kedua fungsi ( x − x ) dan ( x − x ) analitik

  h ( x ) h ( x ) p ( x ) q ( x ) ₂

  pada x . Jika kedua fungsi ( x − x ) dan ( x − x ) tidak analitik pada x maka

  h ( x ) h ( x ) x adalah titik singular tak reguler dari persamaan diferensial (2).

  Contoh 1:

  Tentukan titik biasa, titik singular reguler, dan titik singuler tak reguler dari persamaan diferensial _{4 2 2} ( x − x ) y " ( 2 x 1 ) y ' x ( x + + + + 1 ) y =

  Penyelesaian:

  Dari persamaan diferensial di atas, diperoleh 2 x 1 2 x + + p ( x )

  1 = =

• h ( x ) x − x x ( x −
^{4 2 2} 1 )(
• q ( x ) x ( x
² 1 )

  1 = = _{4 2} h ( x ) x − x x −

  1

  dari hasil di atas, titik x = -1, 0, dan 1 adalah titik reguler dari persamaan diferensial. Titik biasa dari persamaan diferensial di atas adalah semua himpunan bilangan real x selain -1, 0, dan 1. Untuk x = -1 p ( x )

  2 x

  1 2 x

  1

• ( x − + x ) = ( x

  1 ) = _{4 2 2} h ( x ) x − x x ( x − 1 )

  2 ² q ( x ) x ( x 1 ) ( x + + 1 )

• ( x − x ) = ( x
² 1 ) = ² _{4 2} h ( x ) x x x − 1 −

  kedua fungsi ini analitik pada x = -1, sehingga x = -1 adalah titik singular reguler persamaan diferensial.

  Untuk x = 0 2 x 1 2 x + + p ( x )

  1 ( x x ) ( x )

  − = = ^{4 2} + h ( x ) x − x x ( x − 1 )( x 1 ) ^{2 q ( x ) 2 x ( x 2 2}

• 1 ) x ( x x ) ( x ) − = =
_{4 2} h ( x ) x − x x −

  1

  p ( x ) fungsi ( x − x ) tidak analitik pada x = 0, sehingga x = 0 adalah titik singular tak h ( x ) reguler dari persamaan diferensial.

  Untuk x = 1 2 x 1 2 x + + p ( x )

  1 ( x − x ) = ( x − 1 ) = ^{4 2 2} + h ( x ) x − x x ( x 1 ) ^{2 q ( x ) 2 x ( x 2}

+

1 ) ( x − x ) = ( x −

  

1 ) = x −

_{4 2}

  1 h ( x ) x − x

  kedua fungsi analitik pada x = 1, sehingga x = 1 adalah titik singular reguler dari persamaan diferensial.

  Deret Pangkat Sebagai Penyelesaian di Sekitar Titik Biasa

  Dalam bahasan ini, persamaan diferensial (3): h(x)y” + p(x)y’ + q(x)y = 0 akan diselesaikan dengan metode deret pangkat di sekitar titik biasa x . Titik x adalah titik biasa dari persamaan diferensial (3) jika h(x ) adalah titik biasa dari

  ≠ 0. Pada umumnya x persamaan diferensial (3) jika fungsi-fungsi p(x)/h(x) dan q(x)/h(x) dapat diuraikan menjadi deret pangkat berikut:

  ∞

  p ( x ) _m = A ( x − x ) x − x < R (4) _{m 1}

  ∑

  h ( x ) _{m =}

  ∞

  q ( x ) _m = B ( x − x ) x − x < R (5) _{m 2}

  ∑

  h ( x ) _{m =} jari-jari konvergensi R dan R positif. Persamaan (4) dan (5) kontinyu pada selang

  1

  2

  konvergensi x − x < R , dengan R adalah bilangan terkecil diantara R

  1 dan R 2 .

  Contoh 2:

  Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial 2 ( x − 1 ) y ' + y " − 2 y = di sekitar titik x = 1.

  Penyelesaian:

  Penyelesaian umum dari persamaan diferensial ini adalah

  ∞ _m

  y = a ( x − _m 1 ) _{m =} ∑ p ( x ) q ( x ) 2 ( x

  1 ) dan 2 = R = = − − = . Karena R

  

1

  2

  ∞, jari-jari konvergen untuk h ( x ) h ( x ) penyelesaian persamaan diferensial ini juga sama dengan

  ∞. Dengan menurunkan penyelesaian persamaan di atas, diperoleh

  ∞ _{m 1} −

  y ' = ma ( x − _m 1 )

  ∑ _{m 1} = ∞ _{m 2} −

  y " = m ( m − 1 ) a ( x − _m 1 ) ∑ _{m = 2} substitusi y, y’, dan y” ke dalam persamaan differensial diperoleh

  ∞ ∞ ∞ − −

  1 ) a ( x 1 ) 2 ( x 1 ) ma ( x 1 ) 2 a ( x 1 ) − − − − − − = _{m m m} ^{m 2 m 1 m} ∑ ∑ ∑ _{m 2 m 1 m}

• m ( m

  = = = ∞ ∞ ∞ _{m 2 m m} −

  1 ) a ( x − _{m m m} 1 ) − 2 ma ( x − 1 ) + m ( m − 2 a ( x − 1 ) = ∑ ∑ ∑ _{m 2 m 1 m}

  = = =

  dengan menggunakan metode shift index diperoleh

  ∞ ∞ ∞ _{s s s}

  ( s 2 )( s 1 ) a ( x 1 ) 2 sa ( x 1 ) 2 a ( x 1 )

• − − − − =
^s 2 s s<
• = = = ∞ ∞ ∞ _{s s s}

  ∑ ∑ ∑ _{s s 1 s}

  2 a ( s 2 )( s 1 ) a ( x 1 ) 2 sa ( x 1 ) 2 a 2 a ( x 1 ) − − − − = + + + + + ^{2 s 2 s s}

• = = = ∞ _s

  ∑ ∑ ∑ _{s 1 s 1 s 1}

  

[ ]

^{2 s 2 s} ∑ _{s 1}

• +

  =

  2 ( a a ) ( s 2 )( s + + + + 1 ) a − 2 a ( s − 1 ) ( x − 1 ) =

  Karena ruas kiri sama dengan nol, diperoleh a = − a ₂ 2 ( s − 1 ) a = a s =

  1 , 2, 3, ... ^{s 2 s}

• ( s

  2 )( s + + 1 ) sehingga a = _{3 2}

  2

  2 a = a = − a _{4 2} 4 .

  3 4 ! a = _{5 3} 2 .

  3 2 .

  3 a = a = − a _{6 4} 6 .

  5 6 ! a = _{7 4} 2 .

  5 2 . 5 . 3 .

  1 a = a = − a _{8 6} 8 .

  7 8 ! ... sehingga

  a = n = 1 , 2 , 3 ,... ^{2 n 1} _n

• 2 .

  1 . 3 . 5 ....( 2 n 2 ) _{2 n} − ( 2 n )! ₂ 2 ( x − ₃ 1 ) y ' + Jadi, penyelesaian persamaan diferensial y " − 2 y = di sekitar x = -1 adalah

  ⎡ ₂

  2

₄

2 . 3 ⎤ ₆ y = − + a 1 ( x − 1 ) − ( x − 1 ) − ( x − 1 ) − ... a ( x − ₁ 1 ) ⎢

  ⎥ 4 ! 6 ! ⎣

  ⎦

  Persamaan Legendre

  Persamaan Legendre mempunyai bentuk umum ₂ ( 1 − + + x ) y " − 2 xy ' n ( n 1 ) y = (6) n merupakan suatu konstanta. Penyelesaian dari perasamaan (6) sangat penting dalam berbagai cabang matematika terapan, terutama dalam permasalahan nilai batas untuk koordinat bola. Penyelesaian persamaan (6) disebut fungsi Legendre.

  2 Dengan membagi persamaan (6) degan koefisien y”, yaitu (1 – x ), dapat dilihat bahwa

  2

  2

  koefisien -2x/(1 – x ) maupun koefisien n(n+1)/(1 – x ) analitik pada x = 0, sehingga persamaan Legendre memiliki penyelesaian dalam bentuk

  ∞ _m

  y = a x (7) _{m m} ∑

  =

  turunan dari persamaan (7) menghasilkan

  ∞ _m

  y ' ma x (8) = _m

  ∑ _{m 1} = ∞ _m

  y " ( m 2 ) ma x (9) = − _m

  ∑ _{m 2} =

  subsitusi (7), (8), dan (9) ke dalam persamaan (6) menghasilkan _{2 m}

∞ ∞ ∞

_{2 m 1 m} − − ( 1 − x ) ( m − 2 ) ma x − _{m m m} 2 x ma x n ( n + + 1 ) a x = (10) _m ∑ ∑ ∑ _{2 m 1 m}

  = = =

  dengan menggunakan metode shift index dan menggantikan n(n + 1) = k, diperoleh

  ∞ ∞ ∞ ∞ _{s s s s}

• n

  ∑ ∑ ∑ ∑

  ( s 2 )( s + + + 1 ) a x − s ( s − _{s 2 s s s} 1 ) a x − 2 sa x ka x = (11) _{s = s = 2 s = 1 s =}

  kedua ruas adalah identik, maka koefien suku untuk x harus bernilai nol. Maka Koefisien x diperoleh dari deret pertama dan ke empat : 2.1a + n(n + 1)a = 0

  2

  1

  2

  3 Koefisien x , x , ...dijumpai pada semua deret, sehingga secara umum dapat dituliskan

• ^{s 2 s}

  2 )( s 1 ) a [ − s ( s − 1 ) − 2 s n ( n + + + + + ( s 1 )] a =

• ( n − s )( n s 1 ) a = − a s = 0,1, 2, 3, ... (12)
^s 2 s<
• ( s

  2 )( s 1 )

dari formula rekursi ini diperoleh
• n ( n 1 ) a a
₂ = − 2 ! ( n − + 1 )( n 2 ) a a ₃ = − ₁ 3 !

  2 )( n 3 ) ( n − 2 ) n ( n 1 )( n + + + ( n − 3 ) a = − a = − a _{4 2} 4 .

  3 4 ! ( n 3 )( n 4 ) ( n 3 )( n 1 ) n ( n 2 )( n 4 )

  − − − + + + a = − a = − a _{5 2 1} 5 .

  4 4 ! dan seterusnya dengan substitusi hubungan ini pada persamaan (7), diperoleh penyelesaian umum

  = _{1 1 2}

• y ( x ) a y ( x ) a y ( x ) (13)
• n ( n 1 ) ^{2 ( n −}

  2 ) n ( n 1 )( n 3 ) ⁴ y ( x ) 1 x x ... ... (14) ₁ = − − + + 2 !

  4 ! 1 )( n 2 ) ^{3 ( n −} 3 )( n − 1 )( n 2 )( n + + + ( n − 4 ) ⁵ y ( x ) = − + x ₂ x − + x ... ... (15) 3 !

  5 !

2 Karena (1 – x ) = 0 untuk x = ±1, maka penyelesaian deret konvergen pada -1 < x < 1.

  Persamaan ini memiliki penyelesaian yang bebas linier karena rasio dari y

  1 /y 2 tidak konstan. Persamaan (13) merupakan penyelesaian umum dari persamaan (7).

  Polinomial Legendre P n (x)

  Persamaan Legendre memiliki penyelesaian dalam bentuk polinomial untuk harga n berupa bilangan bulat non negatif, dan deret tersebut konvergen. Dengan mengambil beberapa n bilangan bulat non negatif: ƒ

  Untuk n = 0: y(x) = a ƒ x

1 Untuk n = 1: y(x) = a

  2

  ƒ (1 – 3x ) Untuk n = 2: y(x) = a

  5 _{3 ⎞} ƒ ⎛ − y ( x ) = a x x _{1 ⎜ ⎟}

  Untuk n = 3:

  3 ⎝ ⎠

  35 ⎛ ^{2 4 ⎞}

  1 − 10 x x ⎜ ⎟

• ƒ y ( x ) = a

  Untuk n = 4:

  3 ⎝ ⎠ Dari uraian di atas terlihat bahwa jika n bilangan bulat non negatif genap, persamaan Legendre memiliki penyelesaian dalam bentuk polinomial pangkat genap y (x), dan jika n

  1

  bilagan bulat non negatif ganjil, persamaan legendre memiliki penyesaian dalam bentuk polinomial pangkat ganjil y

  2 (x).

  Konstanta a dan a dapat diganti dengan suatu bilanga jika untuk x = 1, y = 1.

  1

  ƒ = 1 ⇒ a = 1 Untuk n = 0: y(1) = a

  ƒ

  1 = 1 ⇒ a 1 = 1

  Untuk n = 1: y(1) = a

  1 ƒ (1 – 3) = 1 ⇒ a = −

  Untuk n = 2: y(1) = a

  2

  5

  3 ⎞

  ⎛ − ƒ y ( 1 ) = a _{1 ⎜ ⎟} 1 ⇒ a = − dan seterusnya ₁ Untuk n = 3:

  3

  2 ⎝ ⎠

  Dengan menata ulang persamaan, maka persamaan Legendre memiliki penyelesaian dalam bentuk polinomial Legendre untuk n berupa bilangan bulat non negatif: P ( x ) =

  1 P ( x ) x

₁

=

  1 ²

  1 ³ P ( x ) = ( ₂ 3 x − 1 ) P ( x ) = ( ₃ 5 x − 3 x )

  2

  2

  1

  1 ^{5 3}

• P ( x ) = (
₄ 35 x − ⁴ 30 x ² 3 ) P ( x ) = + ( ₅ 63 x − 70 x 15 x )

  8

  8

  1

  1 ^{6 4 2 7 5 3}

• P ( x ) = ( 231 x − 315 x 105 x −
₆ 5 ) P ( x ) = + ( 429 x − 693 x 315 x − ₇ 35 x )

  16

  16

• (18)
• −
• − =

  −

  −

  dengan cara serupa diperoleh _{2 n 4 n} a ) 3 n

  2 (

  4 )

  )( 3 n ( 2 n a

  − −

  − − −

  − = )!

  ( 4 n )! ( 2 n !

  2

  2 )! 4 n

  2 ( a _{n 4 n} − −

  − =

  dan seterusnya, sehingga untuk n – 2m ≥ 0 deperoleh

  2 ( a _{n 2 n} − −

  )! m ( 2 n )! m n ( ! m

  2 )! m 2 n

  2 ( ) 1 ( a _n ^m _{m 2 m}

  − − −

  − =

  −

  (19) Dengan demikian, polinomial legendre derajat n, P

  n

  (x) dituliskan dalam bentuk umum:

  ∑ = −

  

− −

− − = ^M _m ^{m 2 n} _n ^m _n x )! m

  ( 2 n )! m n ( ! m

  2 )! m 2 n 2 (

  ) ) 1 ( x ( P

  − − =

  2 )! 2 n

  Untuk menentukan persamaan umum polinomial legendre P n (x) dengan a n sebagai konstanta untuk pangkat tertinggi x

  s+2

  n

  , dapat diperkirakan rumus umum untuk a

  n

  positif bulat bilangan n ! n

  ) 1 n .... 2 (

  5

  3

  1 a _n − × × × ×

  = (16) atau _{2 n n}

  ) ! n (

  2 )! n 2 ( a = (17) a n = 1 untuk n = 0. Kemudian dihitung koefisien lain dengan menggunakan persamaan (12), yaitu hubungan a

  s

  terhadap a

  2 n s a )

  ( 1 n

  )( 1 s n s n ( )

  )( 1 s ( 2 s a _{2 s s} − ≤

  Karena P n (1) = 1 untuk setiap n, dan menganggap s = n – 2 diperoleh _{n 2 n} a ) 1 n

  2 (

  2 )

  ( 1 n n a −

  − − =

  − _{2 n 2 n}

  ) ! n ( 2 ) 1 n 2 (

  2 ) ! n 2 )(

  ( 1 n n a −

  − − =

  −

  )! ( 2 n )!

  (20) dengan M = n/2 atau (n-1)/2 berupa bilangan bulat.

  TUGAS:

  1. Polinomial legendre dapat ditulis dalam bentuk formula Rodriguez : _n

  1 d _{2 n} P ( x ) = × ( x − _{n n n} 1 ) 2 n ! dx

  Buktikan persamaan umum Rodriguez ini dengan menggunakan teori binomial dan gunakan formula ini untuk menghitung P

  4 (x) dan P 5 (x)

  2

2. Tentukan polinomial legendre untuk persamaan legendre (1 – x )y” – xy’ + 12 = 0!

  Dikumpulkan paling lambat tanggal 18 Oktober 2010 Pukul 23.00 via email : petrochem0042007@gmail.com