BAB XI. LINGKARAN - 11. Lingkaran

BAB XI. LINGKARAN

  C Bb Aa

  (x – 3) ² + (y – 4) ² = r ² lingkaran melalui titik (5,2), maka titik tersebut berada pada lingkaran. Maukkan titik tersebut ke dalam persamaan lingkaran :

  3. Persamaan lingkaran yang berpusat di (3,4) dan melalui titik (6,8) adalah…. jawab: Diketahui a = 3 dan b = 4 (x – a) ² + (y – b) ² = r ²

  Jadi persamaan lingkarannya adalah: x ² + y ² - 10x - 4y + 13 = 0

  ⇔ x ² + y ² - 10x - 4y + 25 + 4- 16 = 0 ⇔ x ² + y ² - 10x - 4y + 13 = 0

  (x – 5) ² + (y – 2) ² = 4 ² ⇔ x ² - 10x + 25 + y ² - 4y + 4 = 16

  2. Persamaan lingkaran yang berpusat di (5,2) dan berjari-jari 4 adalah…. jawab: (x – a) ² + (y – b) ² = r ²

  ( x – 0) ² + ( y – 0 ) ² = r ² ⇒ x ² + y ² = r ² x ² + y ² = 2 ² ⇔ x ² + y ² = 4 Persamaan lingkarannya adalah: x ² + y ² = 4

  1. Persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari jari 2 adalah …. jawab:

  (x- x ₁ ) (x- x ₂ ) + (y- y ₁ ) (y- y ₂ ) = 0 Contoh soal:

  3. 2 titik ujung diameternya diketahui (x ₁ ,y ₁ ) dan (x ₂ ,y ₂ ), maka persamaannya adalah :

  c. menyinggung garis Ax + By + C, maka r = _{2 2} B A

  www.belajar-matematika.com - 1

  b. Menyinggung sumbu Y, maka r = |a|

  2. Berpusat di A(a,b) dan berjari-jari r (x – a) ² + (y – b) ² = r ² jika lingkaran berpusat di (a,b) : a. Menyinggung sumbu X, maka r = |b|

  c. di luar lingkaran x ² + y ² = r ² ⇔ a ² + b ² > r ²

  b. di dalam lingkaran x ² + y ² = r ² ⇔ a ² + b ² < r ²

  a. pada lingkaran x ² + y ² = r ² ⇔ a ² + b ² = r ²

  1. Berpusat di O(0,0) dan berjari-jari r ( x – 0) ² + ( y – 0 ) ² = r ² ⇒ x ² + y ² = r ² Suatu titik A (a,b) dikatakan terletak :

  Persamaan lingkaran:

  0 A

  Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak konstan/sama terhadap sebuah titik tertentu. Sebuah titik tertentu itu disebut pusat lingkaran dan titik- titik yang berjarak sama itu disebut jari-jari (r). r

  Pengertian :

11. SOAL-SOAL LINGKARAN

  Apabila menyinggung garis Ax + By + c, maka r = _{2 2} B A

  C Bb Aa

  EBTANAS1999

  1. Diketahui lingkaran x ² + y ² + 2px +10y + 9 = 0 mempunyai jari-jari 5 dan menyinggung sumbu x.

  Pusat lingkaran tersebut adalah…

  A. (-5,-3) C.(6,-5) E. ((3,-5)

  B. (-5,3) D. (-6,-5) jawab: Persamaan lingkaran: x ² + y ² + 2px +10y + 9 = 0

  2

  2

  1 A, -

  Ax + By + C ⇔ 3x-4y – 2 = 0 A = 3; B = -4 ; C = -2 r = _{2 2}

  ) 4 ( 3 )

  2 ( 4 ). 4 ( 1 .

  3 − + − + − +

  =

  16

  9

  16

  3

  =

• − −

  9

  15

  =

  5

  15 = 3

  1 B) r = C B A − + ^{2 2}

  2

  A = 2p: B = 10 : C =9 Menyinggung sumbu x maka r = |b| = 5 Pusat lingkaran = (-

• −

  1 .6, -

  2

  1

  4

  1

  4

  Persamaan lingkaran : (x – 1) ² + (y – 4) ² = 3 ² x ² -2x + 1 + y ² - 8y + 16 = 9 x ² + y ² -2x - 8y + 17 – 9 = 0 x ² + y ² -2x - 8y + 8 = 0

  Jawabannya adalah D UAN2002

  3. Jarak antara titik pusat lingkaran x ² -4x + y ² + 4 = 0 dari sumbu Y adalah….

  A. 3 B. 2

  2

  1 C. 2 D. 1

  1 E.1 jawab: Pusat lingkaran = (-

  16

  2

  1 A, -

  2

  1 B) A = -4 ; B = 0 Pusat lingkaran = (-

  2

  1 .-4, -

  2

  1 .0) = (2,0)

  Y jaraknya adalah 2

  2 Jawabannya adalah C (2,0)

  5 =

  9 ) 10 (

  2

  E. x ² + y ² + 2x +8y -16 = 0 Jawab: (x – a) ² + (y – b) ² = r ² a = 1 ; b = 4 ; r = ?

  1 .10) = (-3,-5) jika p = -3 Æ (-

  2

  1 .-6, -

  2

  1 .10) = (3,-5) maka jawaban yang ada adalah (3,-5) Æ E

  UN2005

  2. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1,4) dan menyinggung garis 3x-4y – 2 = 0 adalah… A. x ² + y ² + 3x -4y -2 = 0

  2

  C. x ² + y ² + 2x +8y -8 = 0

  D. x ² + y ² -2x -8y +8 = 0

  16 ² + p 25 = p ² + 16 p ² = 9 Æ p = ± 3 Pusat lingkaran: jika p = 3 Æ (-

  4

  25 ² − + p =

  9

  =

  1 ₂ − + p

  4

  1 4 .

  4

  1 _{2 2} − + p = . 9 100

  4

  1 ) 2 (

  B. x ² + y ² + 4x -6y -3 = 0

  2

  1 B ( y + y ₁ ) + C =0 x ₁ = -9 ; y ₁ = 1: A = 10: B = -12 ; C = 20 x. -9 + y.1 +

  2

  1 . 10 (x -9) +

  2

  1 .(-12) (y+1) + 20 = 0

• 9x + y + 5x -45 -6y -6 + 20 = 0
• 4x – 5y -31 = 0 ⇔ 4x + 5y + 31 = 0 jawabannya adalah D UN2006

  7. Persamaan lingkaran dengan pusat P (3,1) dan menyinggung garis 3x +4y + 7 = 0 adalah… A. x ² + y ² - 6x - 2y + 6 = 0

  B. x ² + y ² - 6x - 2y + 9 = 0

  C. x ² + y ² - 6x - 2y - 6 = 0

  D. x ² + y ² + 6x - 2y -9 = 0

  E. x ² + y ² + 6x + 2y + 6 = 0 jawab: persamaan lingkaran dengan pusat (3,1) : (x-3) ² + (y-1) ² = r ² a = 3 ; b = 1 menyinggung garis : 3x +4y + 7 = 0 identik dengan Ax + By + C = 0 A = 3; B = 4 dan C = 7 r = _{2 2} B A

  = _{2 2}

  C Bb Aa

  4

  3

  7 1 .

  4 3 .

  3

  =

  25

  20 =

  5

  20 = 4 sehingga persamaan lingkarannya:

  1 A (x + x ₁ ) +

  C. 4x – 5y - 31 = 0 jawab: x . x ₁ + y. y ₁ +

  2

  1

  UMPTN1998

  4. Jika titik (-5,k) terletak pada lingkaran x ² + y ² + 2x -5y -21 = 0, maka nilai k adalah..

  A. -1 atau -2 C. -1 atau 6 E. 1 atau 6

  B. 2 atau 4 D. 0 atau 3 Jawab: masukkan nilai (-5, k) ke dalam persamaan lingkaran: (-5) ² + k ² + 2.(-5) – 5.k – 21 = 0 25 + k ² - 10 – 5.k -21 = 0 k ² - 5 k – 6 = 0

  (k + 1) (k – 6) = 0 k = -1 atau k = 6 jawabannya adalah C EBTANAS1991

  5. Lingkaran dengan persamaan x ² + y ² - 4x + 2y + c = 0 melalui titik (0,-1), Jari-jarinya ….

  A. 1 B.2 C. 5 D. 10 E. 5 jawab: Masukkan nilai (0,-1) ke dalam persamaan: 0 + (-1) ² - 0 + 2(-1) + c = 0 1 – 2 + c = 0 c = 2 – 1 = 1 , sehingga persamaan lingkarannya menjadi x ² + y ² - 4x + 2y +1 = 0 didapat A = -4 : B = 2 dan C = 1 r = C B A − + ^{2 2}

  4

  1

  4

  =

  B. 4x – 5y + 41 = 0 E. 4x + 5y + 42 = 0

  1 ) 2 (

  4

  1 ) 4 (

  4

  1 _{2 2} − + − =

  1

  1 4 − + =

  4

  = 2 Jawabannya adalah B UN2005

  6. Persamaan garis singgung lingkaran x ² + y ² +10x -12y +20 = 0 yang melalui titik (-9,1) adalah.

  A. 4x – 5y + 31 = 0 D. 4x + 5y + 31 = 0

  (x-3) ² + (y-1) ² = r ² x ² - 6x + 9 + y ² - 2y + 1 = 4 ² x ² + y ² - 6x - 2y + 9 + 1- 16 = 0 x ² + y ² - 6x - 2y - 6 = 0 jawabannya adalah C

  90

  )

  1 ) 6 .(

  4

  1 ) 2 .(

  4

  1 ^{2 2} − − + −

  =

  1

  9 1 − + = 9 persamaan garis 3x-y = 0 Æ y = 3x Æ m = 3 misal m ini adalah m _a misal m _b = gradient garis singgung karena tegak lurus maka : m _a . m _b = -1 3. m _b = -1 Æ m _b = -

  3

  1 Maka persamaan garis singgung lingkarannya adalah: y – b = m( x – a ) ± r ²

  1 m +

  y – 3 = -

  3

  1 (x -1) ± 9 ²

  3

  2

  1 (x - 1) ± 9

  9

  1 (x - 1) ±

  3

  y – 3 = -

  10

  9

  3

  1 ( 1 − +

  y – 3 = -

  1 1 +

  9

  1 (x - 1) ± 9

  3

  y – 3 = -

  1 .-6) ) = (1, 3) Æ a = 1; b= 3 r =

  1 .-2, -

  3

  1 (x-1) ± 3 10

  C. 3x + 2y – 9 = 0 jawab: Titik berabsis -1 berarti x = -1 masukkan ke dalam persamaan: (-1 – 2) ² + (y+1) ² = 13

  (-3) ² + (y+1) ² = 13 9 + (y+1) ² = 13 (y+1) ² = 13 – 9

  (y+1) ² = 4 y + 1 =

  4

  y + 1 = ± 2 y = -1 ± 2 y = 1 atau y =-3 jadi titiknya adalah (-1,1 ) dan (-1, -3) Persamaan garis singgung melalui titik (a,b) adalah ( x- a) ( x ₁ -a) + (y-b)(y ₁ -b) = r ² a = 2 ; b = -1 ; melalui titik (-1,1) Æ x ₁ = -1 dan y ₁ = 1:

  (x – 2) (-1-2) + (y+1) (1 + 1) = 13

  8. Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran (x – 2 ) ² + (y + 1 ) ² = 13 di titik yang berabsis -1 adalah…

  UN2007

  C. y – 3 = -

  3

  1 (x-1) ± 10

  D. y – 3 = -

  2

  E y – 3 = -

  A. 3x – 2y – 3 = 0 D. 3x + 2y + 9 = 0

  3

  1 (x-1) ± 9 10 jawab: y – b = m( x – a ) ± r ²

  1 m +

  x ² + y ² -2x -6y +1 = 0 A = -2; B = -6 ; C = 1 Pusat (-

  2

  1 A, -

  2

  1 B) dan r =

  C B A − + ^{2 2}

  4

  1

  4

  1 Pusat = (-

  B. 3x – 2y – 5 = 0 E. 3x + 2y + 5 = 0

• 3x + 6 + 2y + 2 - 13 = 0
• 3x + 2y – 5 = 0 Æ di jawaban tidak ada melalui titik (-1,-3) Æ x
₁ = -1 dan y ₁ = -3

  (x – 2) (-1-2) + (y+1) (-3 + 1) = 13

• 3x + 6 -2y -2 - 13 = 0
• 3x -2y – 9 = 0 ⇔ 3x +2y + 9 = 0 jawabannya adalah D UN2004

  9. Persamaan garis singgung lingkaran x ² + y ² -2x -6y +1 = 0 yang tegak lurus garis 3x-y = 0 adalah… A. y – 3 = -3 (x-1) ± 3 10 B. y – 3 = -3 (x-1) ± 10

• ⇔ c
²

  1 m

  c = r ²

  1 m +

• p = r
² r = _{2 2}

  B. y = 2x + 4 D. y = -x 3 + 4 Jawab: karena 0 ² + 4 ² > 4 persamaan garis singgung melalui titik (0,4): y = mx +c x ₁ = 0; y ₁ = 4 y - y ₁ = m ( x - x ₁ ) ; y – 4 = m(x-0) y = mx+4 Æ maka c = 4 cari nilai m y ₁ - b = m (x ₁ - a) + c ; dimana c = r ²

  2 + 4

  A. y = x + 4 C. y = -x + 4 E. y = -x

  11. Salah satu persamaan garis singgung dari titik (0,4) pada lingkaran x ² + y ² = 4 adalah..

  = 13 p = r ² = 13 ² = 169 Jawabannya adalah B EBTANAS2001

  13 169

  =

  = 169 169 −

  12 − + − − +

  12 ). 5 ( 5 .

  ) 5 ( 12 169

  C Bb Aa

  12x - 5 y = 169 ⇔ 12x – 5 y – 169 = 0 Ax + By + C Æ A = 12 ; B = -5 dan C = -169 lingkaran (x-5) ² + (y-12) ² = p a = 5; b = 12 jika lingkaran berpusat di (a,b) menyinggung garis Ax + By + C, maka r = _{2 2} B A

  A. 207 B. 169 C. 117 D. 19 E. 13 jawab: Persamaan garis singgung di titik (12,-5) pada lingkaran x ² + y ² =169 adalah: x . x ₁ + y. y ₁ = r ² x ₁ = 12 ; y ₁ = -5

  10. Garis singgung dititik (12,-5) pada lingkaran x ² + y ² =169 menyinggung lingkaran (x-5) ² + (y-12) ² = p. Nilai p=….

  1 (x - 1) ± 10 jawabannya adalah C EBTANAS2000

  3

  y – 3 = -

  = r ² (1 + m ² ) 16 = 4 (1+ m ² ) 16 = 4 + 4m ² 12 = 4m ² m ² = 3 m = ± 3 masukkan ke dalam persamaan y = mx+4. jika m= 3 Æ y = 3 x +4 jika m = - 3 Æ y = - 3 x + 4 Jawabannya adalah D

• (y – 4)
² = r 2<
• y
2<
• 2ax - 2by + a
²
• b
2<
• r
² = 0 persamaan terakhir dapat disempurnakan menjadi persamaan berikut: x ² + y ² + Ax + By + C = 0 dengan A = -2a Æ a = -

  4

  4

  1

  4

  1

  contoh soal:

  1. Pusat dan jari-jari lingkaran x ² + y ² + 4x - 6y + 13 = 0 adalah….. jawab: Pusat (-

  2

  1 A, -

  2

  1 B) dan r = C B A − + ^{2 2}

  1

  2

  4

  1

  x ² + y ² + Ax + By + C = 0 → persamaan umum lingkaran x ² + y ² + 4x - 6y + 13 = 0 → persamaan lingkaran soal maka diketahui A = 4, B = -6 dan C = 13 sehingga, pusat = (-

  2

  1 A, -

  2

  1 B) = (-

  2

  1 .4, -

  2

  1 B) dan r = C B A − + ^{2 2}

  1 A, -

  www.belajar-matematika.com - 2

  Lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r adalah (x – a) ² + (y – b) ² = r ² apabila dijabarkan diperoleh :

  (x – 3) ²

  (6 – 3) ² + (8 – 4) ² = r ²

  3 ² + (-4) ² = r ² 9 + 16 = r 25 = r ² r = 25 = 5 r diketahui maka persamaan lingkarannya: (x – 3) ² + (y – 4) ² = r ²

  ⇔ (x – 3) ² + (y – 4) ² = 5 ² ⇔ x ² - 6x + 9 + y ² - 8y + 16 = 25

  ⇔ x ² + y ² - 6x - 8y + 9 + 16 = 25 ⇔ x ² + y ² - 6x - 8y + 25 - 25 = 0

  ⇔ x ² + y ² - 6x - 8y = 0 Jadi persamaan lingkarannya adalah: x ² + y ² - 6x - 8y = 0

  4. Persamaan lingkaran berpusat di (3,5) dan menyinggung sumbu x adalah…. jawab: diketahui a = 3 dan b= 5 Menyinggung sumbu x maka r = |b| = 5 (x – a) ² + (y – b) ² = r ²

  ⇔ (x – 3) ² + (y – 5) ² = 5 ² ⇔ x ² - 6x + 9 + y ² - 10y + 25 = 25

  ⇔ x ² + y ² - 6x - 10y + 9 + 25 - 25 = 0 ⇔ x ² + y ² - 6x - 10y + 9 = 0 maka persamaan lingkarannya adalah: x ² + y ² - 6x - 10y + 9 = 0

  Persamaan Umum Lingkaran :

  ⇔ x ² - 2ax + a ² + y ² - 2by + b ² = r ² ⇔ x ²

  2

  2

  1 A B = -2b Æ b = -

  2

  1 B C = a ² + b ² - r ² Æ r ² = a ² + b ² - C

  Æ r = C b a − + ^{2 2} = C B A − + ^{2 2}

  4

  1

  4

  1 Persamaan umum lingkaran adalah:

  Pusat (a,b) dan jari-jari r atau Pusat (-

  1 .-6) = (-2,3)

  = (2p) ² - 4.2. (p ² -25) = 0 4 p ² - 8 p ² + 200 = 0

  9 4 − + = 0

  ⇔ x ² + x ² + 2xp + p ² = 25 ⇔ 2x ² + 2xp + p ² -25 = 0 ….(3) garis akan menyinggung lingkaran apabila diskriminan (D) persamaan (3)= 0 D = b ² - 4ac = 0

  Persamaan garis y = x + p …(2) substitusi (2) ke (1) : x ² + (x+p) ² = 25

  3. Apabila D&lt;0 Garis g tidak memotong dan menyinggung lingkaran garis g contoh soal: Diketahui sebuah lingkaran x ² + y ² = 25 akan menyinggung garis y = x + p apabila nilai p = …. jawab: cara 1: Persamaan lingkaran x ² + y ² = 25 …(1)

  2. Apabila D=0 Garis g menyinggung lingkaran garis g

  1. Apabila D&gt;0 garis g memotong lingkaran garis g

  Ada 3 kemungkinan perpotongan garis g dengan lingkaran:

  Dimana b = 2mn +A+Bm a = 1 + m ² c = n ² +Bn +C

  ) x ² + (2mn +A+Bm)x + n ² +Bn +C = 0 Diskriminan: D = b ² - 4ac

  ⇔ x ²

  persamaan umum lingkaran: x ² + y ² + Ax + By + C = 0 garis g dengan persamaan: y = mx + n jika persamaan garis g disubstitusikan ke persamaan lingkaran diperoleh: x ² + (mx + n) ² + Ax + B (mx + n) + C = 0

  Perpotongan Garis dan Lingkaran:

  13

  www.belajar-matematika.com - 3

  =

  1 _{2 2} − − +

  4

  1 4 .

  4

  13 ) 6 (

  =

  1

  4

  1

  4

  r = C B A − + ^{2 2}

• m
² x ² + 2mnx + n ² + Ax + Bmx + Bn + C = 0 ⇔ (1 + m ²

  2

• 4 p + 200 = 0
₂

  Persamaan Garis Singgung Lingkaran

  4 p = 200 ₂

  1. Garis singgung lingkaran melalui sebuah titik yang p = 50 diketahui pada lingkaran p = 50

  ±

  =

  5

  2

  a. Persamaan garis singgung melalui titik (x , y ) pada _{2 2 2 1 1} lingkaran x + y = r adalah : Garis y = x + p akan menyingung lingkaran apabila ₂ p = ±

  5

  2

  x . x + y. y = r _{1 1} Cara 2 : b. Persamaan garis singgung melalui titik (x , y ) pada _{2 2 2 1 1} lingkaran (x – a) + (y – b) = r adalah : garis Ax + By + C akan menyinggung lingkaran maka ₂

  ( x- a) ( x -a) + (y-b)(y -b) = r _{1 1} Aa Bb C

• r =
² 2<
• A B
_{2 2 lingkaran x + y + Ax + By + C = 0 adalah:}

  c. Persamaan garis singgung melalui titik (x , y ) pada _{2 2 1 1} persamaan lingkaran x + y = 25 _{2 2 2}

  1

  1 _{1 1} + ( x – 0) + ( y – 0 ) = 5 x . x + y. y A (x + x ) + B ( y + y ) + C =0 _{1 1}

  2

  2 a = 0, b= 0 dan r =5

  1

  1 persamaan garis y = x + p dari mana A dan B ?

  2

  2 Æ x - y + p = 0

• awal dari persamaan lingkaran adalah Ax dan By A = 1 ; B= -1 dan C = p
• karena ada tambahan menjadi x + x sehinga menjadi
₁

  1 Aa Bb C + + 2 kali maka A nya menjadi A demikian juga r =

  2 ^{2 2}

• A B

  dengan B

  1 . ( − + + 1 ). p

  5 = _{2 2} contoh soal:

• 1 ( −

  1 )

  1. Persamaan garis singgung di titik (3,2) pada lingkaran _{2 2}

  p x + y = 13 adalah…..

  5 = ;

  2 jawab: karena nilai p adalah nilai mutlak maka ada 2 nilai : ₂ x . x + y. y = r _{1 1}

  − p p 5 = Æ p = - 5

  2 atau 5 = Æ p = 5

  2 ₂

  . x = 3 ; y = 2 ; r = 13

  2

  2 _{1 1} maka nilai yang memenuhi adalah: maka persamaan garis singgungnya adalah : x . 3 + y . 2 = 13 p = ±

  5

  2

  ⇔ 3.x + 2.y = 13

  www.belajar-matematika.com - 4 www.belajar-matematika.com - 5

  2. Persamaan garis singgung melalui titik (5,1) pada lingkaran x ² + y ² - 4x + 6y -12 = 0 adalah…. jawab:

  1 A, -

  1 Pusat (-

  4

  1

  4

  1 B) dan r = C B A − + ^{2 2}

  2

  2

  1 .-6, -

  persamaan lingkaran : x ² + y ² - 6x + 4y + 8 = 0 A = -6; B= 4 ; C = 8 Pusat (-

  1 m +

  Jawab: y – b = m( x – a ) ± r ²

  Contoh soal : Persamaan garis singgung pada lingkaran x ² + y ² - 6x + 4y + 8 = 0 dan sejajar garis 4x – 2y + 11 =0 adalah….

  1 m +

  b. jika garis y = mx + n menyinggung lingkaran (x – a) ² + (y – b) ² = r ² , maka persamaan garis singgungnya adalah: y – b = m( x – a ) ± r ²

  2

  2

  ⇔ y = mx ± r ²

  4

  = 5

  9 − +

  4

  8

  =

  1 _{2 2} − + −

  1 ) 6 (

  1 .4 )= (3,-2) Æ a = 3; b=-2 r = C B A − + ^{2 2}

  4

  8 ) 4 (

  =

  1

  4

  1

  4

  1 m +

  1 m +

  Cara 1: Diketahui x ₁ = 5 ; y ₁ = 1; A = -4 ; B=6; C = -12 x . x ₁ + y. y ₁ +

  Lingkaran adalah berpusat di (0,0) sehingga persamaan garis singgungnya adalah: y – 0 = m (x – 0) ± r ²

  2. Garis singgung dengan gradien yang diketahui a. jika garis y = mx + n menyinggung lingkaran x ² + y ² = r ² maka persamaan garis singgungnya adalah :

  2

  1 A (x + x ₁ ) +

  2

  1 B ( y + y ₁ ) + C =0 5.x + y +

  2

  1 . (-4) (x + 5) +

  2

  1 .6 (y+1) – 12 = 0

  5x + y -2x -10 + 3y + 3 – 12 = 0 3x + 4y -19 = 0 Persamaan garis singgungnya adalah = 3x + 4y -19 = 0

  Cara 2 : x ² + y ² - 4x + 6y -12 = 0 cari pusat dan r: (x-2) ² - 4 + (y+3) ² - 9 – 12 = 0

  (x-2) ² + (y+3) ² - 25 = 0 (x-2) ² + (y+3) ² = 25 atau :

  1 A, -

  1 B) dan r = C B A − + ^{2 2}

1 A = -4; B = 6 ; C = -12

  1

  ) 12 ( 6 (

  ( x- a) ( x ₁ -a) + (y-b)(y ₁ -b) = r ² diketahui a = 2 ; b = -3 ; r ² = 25 ; x ₁ =5; y ₁ = 1 ( x- 2) ( 5 - 2) + (y + 3)(1+3) = 25 ( x- 2) .3 + (y + 3)(4) = 25 3x – 6 +4y +12 -25 = 0 3x + 4y -19 = 0

  9 4 + + r = 25 ⇒ r ² = 25 persamaan garis singgung:

  12

  1 _{2 2} − − + − =

  4

  1 ) 4 (

  4

  1 .6) = (2, -3) Æ a = 2; b = -3 r = )

  4

  2

  1 .-4, -

  Pusat (-

  2

  2

  2

  Pusat (-

  4 www.belajar-matematika.com - 6

  Persamaan garis 4x – 2y + 11 =0 4x + 11 = 2y ⇔ 2y = 4x+11 ⇔ y = 2x +

  = r ² (1 + m ² ) 25 = 20 (1+ m ² ) 25 = 20 + 20m ² 5 = 20m ² m ² =

  2

  2 1 Æ y = -

  1 x + 5 ⇔ 2y = x + 10 ⇔ x – 2y = -10 jika m = -

  2

  2 1 Æ y =

  1 masukkan ke dalam persamaan y = mx+5. jika m=

  2

  1 m = ±

  4

  1 m + ⇔ c ²

  2

  c = r ²

  1 m +

  r 0 (x ₁ , y ₁ ) r Contoh soal: Persamaan garis singgung melalu titik ( 0,5) pada lingkaran x ² + y ² = 20 adalah… jawab: titik (0,5) berada di luar lingkaran : karena 0 ² + 5 ² &gt; 20 persamaan garis singgung melalui titik (0,5): y = mx +c x ₁ = 0; y ₁ = 5 y - y ₁ = m ( x - x ₁ ) ; y – 5 = m(x-0) y = mx+5 Æ maka c = 5 cari nilai m y ₁ - b = m (x ₁ - a) + c ; dimana c = r ²

  1 m +

  , maka persamaan garis singgungnya adalah: y - y ₁ = m ( x - x ₁ ) nilai m dan c didapat dari : y ₁ - b = m (x ₁ - a) + c ; dimana c = r ²

  3. Garis singgung melalui sebuah titik yang berada di luar lingkaran. misal: nilai koordinat titik tersebut adalah (x ₁ , y ₁ ) dan menyinggung lingkaran ( x – a) ² + (y – b) ² = r ²

  5 y = 2x – 6 -2 ± 5 y = 2x – 8 ± 5 maka persamaan garis singgung pada lingkarannya adalah : y = 2x – 8 + 5 = 2x – 3 dan y = 2x – 8 - 5 = 2x – 13

  y – (-2) = 2 (x-3) ± 5 ² 2 1 + y + 2 = 2x – 6 ± 5 .

  1 m +

  11 misal garis tersebut adalah a, maka didapat Gradient garis a = m _a = 2, Misal gradient garis singgung pada lingkaran = m _b Karena sejajar maka m _a = m _b catatan : m _a . m _b = -1 Æ tegak lurus y – b = m( x – a ) ± r ²

  1 x + 5 ⇔ 2y =- x + 10 ⇔ x + 2y = 10