Penulis Alexander san lohat (san) Lisensi Dokumen :

Gerak Melingkar

Edisi Kedua

Untuk SMA kelas XI (Telah disesuaikan dengan KTSP)

Lisensi Dokumen :

Copyright © 2008‐2009 GuruMuda.Com

Seluruh dokumen di GuruMuda.Com dapat digunakan dan disebarkan secara bebas untuk tujuan bukan komersial (nonprofit), dengan syarat tidak menghapus

atau merubah atribut penulis dan pernyataan copyright yang disertakan dalam setiap dokumen. Tidak diperbolehkan melakukan penulisan ulang, kecuali

mendapatkan ijin terlebih dahulu dari GuruMuda.Com.

Penulis Alexander san lohat (san)

Contact Person

Anda bisa menghubungi saya melalui beberapa jalur di bawah : Blog : http://www.gurumuda.com Email : info@gurumuda.com

Testimonial dan Saran

Apapun pendapat anda mengenai tulisan saya, silahkan memberikan testimonial atau saran konstruktif

demi pengembangan ebook ini menjadi lebih baik. Testimonial atau saran yang bersifat membangun dari anda bisa dikirim ke email berikut :

saran@gurumuda.com Terima kasih atas partisipasi anda

Materi Pembelajaran :

Gerak Melingkar

Tujuan Pembelajaran :

Kompetensi Dasar :

Menganalisis gerak melingkar menggunakan vektor

Indikator :

a. Menganalisis besaran kecepatan dan percepatan pada gerak melingkar dengan menggunakan vektor

b. Menganalisis besaran yang berhubungan antaran gerak linier dan gerak melingkar pada gerak melingkar dengan laju konstan

Tujuan pembelajaran di atas merupakan tuntutan dari Depdiknas RI dalam KTSP. Jadi dirimu harus mencapai Kompetensi dasar dan Indikator tersebut. Kalau tidak bisa, ntar dapat nilai merah :) alias tidak lulus. Nah, kali ini Gurumuda membimbing dirimu untuk bisa mencapai tujuan pembelajaran di atas.

Selamat Belajar ☺

Pengetahuan Prasyarat

Sebelum mempelajari pokok bahasan Gerak Melingkar Beraturan (GMB), terlebih dahulu kita pahami beberapa konsep dasar yang akan selalu digunakan dalam pembahasan mengenai GMB. Ini merupakan pengetahuan prasyarat, maksudnya kalau konsep tersebut tidak dipahami dengan baik dan benar maka ketika mempelajari materi GMB, dirimu akan kebingungan. Langsung saja ya….

Besaran ‐besaran Fisika pada Gerak Melingkar

Dalam gerak lurus kita mengenal tiga besaran utama yaitu perpindahan (linear), kecepatan (linear) dan Percepatan (linear). Gerak melingkar juga memiliki tiga komponen tersebut, yaitu perpindahan sudut, kecepatan sudut dan percepatan sudut.

Perpindahan Sudut

Misalnya kita tinjau gerak roda kendaraan yang berputar. Ketika roda berputar, tampak bahwa selain poros alias pusat roda, bagian lain dari roda tersebut juga selalu berpindah terhadap pusat roda sebagai titik acuan. Perpindahan pada gerak melingkar disebut perpindahan sudut.

Ada o tiga cara menghitung sudut. Cara pertama adalah menghitung sudut dalam derajat ( ). Satu lingkaran o penuh sama dengan 360 . Cara kedua adalah mengukur sudut dalam putaran. Satu lingkaran penuh o sama dengan satu putaran. Dengan demikian, satu putaran = 360 . Cara ketiga adalah dengan radian. Radian adalah satuan Sistem Internasional (SI) untuk perpindahan sudut, sehingga satuan ini akan sering kita gunakan dalam perhitungan. Bagaimana mengukur sudut dengan radian ?

Mari kita amati gambar di bawah ini.

Nilai radian dalam sudut adalah perbandingan antara jarak linear x dengan jari‐jari roda r. Jadi,

θ x ( rad ) = r

Perhatikan bahwa satu putaran sama dengan keliling lingkaran, sehingga dari persamaan di atas, diperoleh :

2 π r θ ( rad ) =

= 2 π rad r

Berikut ini konversi sudut yang perlu anda ketahui :

1 o putaran = 360 = 2 π rad 180

1 o rad = derajat = 57 , 3

Derajat, putaran dan radian adalah besaran yang tidak memiliki dimensi. Jadi, jika ketiga satuan ini terlibat dalam suatu perhitungan, ketiganya tidak mengubah satuan yang lain.

Kecepatan Sudut

Dalam gerak lurus, kecepatan gerak benda umumnya dinyatakan dengan satuan km/jam atau m/s. Telah kita ketahui bahwa tiap bagian yang berbeda pada benda yang melakukan gerak lurus memiliki kecepatan yang sama, misalnya bagian depan mobil mempunyai kecepatan yang sama dengan bagian belakang mobil yang bergerak lurus.

Dalam gerak melingkar, bagian yang berbeda memiliki kecepatan yang berbeda. Misalnya gerak roda yang berputar. Bagian roda yang dekat dengan poros bergerak dengan kecepatan linear yang lebih kecil, sedangkan bagian yang jauh dari poros alias pusat roda bergerak dengan kecepatan linear yang lebih besar. Oleh karena itu, bila kita menyatakan roda bergerak melingkar dengan kelajuan 10 m/s maka hal tersebut tidak bermakna, tetapi kita bisa mengatakan tepi roda bergerak dengan kelajuan 10 m/s.

Pada gerak melingkar, kelajuan rotasi benda dinyatakan dengan putaran per menit (biasa disingkat rpm ‐ revolution per minute). Kelajuan yang dinyatakan dengan satuan rpm adalah kelajuan sudut. Dalam gerak melingkar, kita juga dapat menyatakan arah putaran. misalnya kita menggunakan arah putaran jarum jam sebagai patokan. Oleh karena itu, kita dapat menyatakan kecepatan sudut, di mana selain menyatakan kelajuan sudut, juga menyatakan arahnya (ingat perbedaan kelajuan dan kecepatan). Jika kecepatan pada gerak lurus disebut kecepatan linear (benda bergerak pada lintasan lurus), maka kecepatan pada gerak melingkar disebut kecepatan sudut, karena benda bergerak melalui sudut tertentu.

Terdapat dua jenis kecepatan sudut, yakni kecepatan sudut rata‐rata dan kecepatan sudut sesaat.

Kecepatan sudut rata‐rata

Kita dapat menghitung kecepatan sudut rata‐rata dengan membandingkan perpindahan sudut dengan selang waktu yang dibutuhkan ketika benda berputar. Secara matematis kita tulis :

Kecepatan sudut rata‐rata =

Perpindaha nSudut

SelangWakt u

Bagaimana dengan kecepatan sudut sesaat ? Kecepatan sudut sesaat kita diperoleh dengan membandingkan perpindahan sudut dengan selang

waktu yang sangat singkat. Secara matematis kita tulis :

→ Untuk Δ t sangat kecil Δ t

Sesuai dengan kesepakatan ilmiah, jika ditulis kecepatan sudut maka yang dimaksud adalah kecepatan sudut sesaat. Kecepatan sudut termasuk besaran vektor. Vektor kecepatan sudut hanya memiliki dua arah, yakni searah dengan putaran jarum jam atau berlawanan arah dengan putaran jarum jam. Dengan demikian lambang omega dapat ditulis dengan huruf miring dan cukup dengan memberi tanda positif atau negatif. Jika pada Gerak Lurus arah kecepatan sama dengan arah perpindahan (perpindahan linear), maka pada Gerak Melingkar, arah kecepatan sudut sama dengan arah perpindahan sudut.

Percepatan Sudut

Dalam gerak melingkar, terdapat percepatan sudut apabila ada perubahan kecepatan sudut. Percepatan sudut terdiri dari percepatan sudut sesaat dan percepatan sudut rata‐rata. Percepatan sudut rata‐rata diperoleh dengan membandingkan perubahan kecepatan sudut dan selang waktu. Secara matematis ditulis :

Percepatan sudut rata‐rata =

PerubahanK ecepa tan Sudut

SelangWakt u

Percepatan sudut sesaat diperoleh dengan membandingkan perubahan sudut dengan selang waktu yang sangat singkat. Secara matematis ditulis :

→ Untuk Δ t sangat kecil Δ t

2 Satuan ‐2 percepatan sudut dalam Sistem Internasional (SI) adalah rad/s atau rad

Hubungan antara Besaran‐besaran Gerak Lurus dan Gerak Melingkar

Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari tentang besaran fisis Gerak Melingkar, meliputi Perpindahan Sudut, Kecepatan Sudut dan Percepatan Sudut. Apakah besaran Gerak Melingkar tersebut memiliki hubungan dengan besaran fisis gerak lurus (perpindahan linear, kecepatan linear dan percepatan linear) ?

Dalam gerak melingkar, arah kecepatan linear dan percepatan linear selalu menyinggung lingkaran. Karenanya, dalam gerak melingkar, kecepatan linear dikenal juga sebagai kecepatan tangensial dan percepatan linear disebut juga sebagai percepatan tangensial.

Hubungan antara Perpindahan Linear dengan Perpindahan sudut

Pada gerak melingkar, apabila sebuah benda berputar terhadap pusat/porosnya maka setiap bagian benda tersebut bergerak dalam suatu lingkaran yang berpusat pada poros tersebut. Misalnya gerakan roda yang berputar atau bumi yang berotasi. Ketika bumi berotasi, kita yang berada di permukaan bumi juga ikut melakukan gerakan melingkar, di mana gerakan kita berpusat pada pusat bumi. Ketika kita berputar terhadap pusat bumi, kita memiliki kecepatan linear, yang arahnya selalu menyinggung lintasan rotasi bumi. Pemahaman konsep ini akan membantu kita dalam melihat hubungan antara perpindahan linear dengan perpindahan sudut. Bagaimana hubungan antara perpindahan linear dengan perpindahan sudut ?

Perhatikanlah gambar di bawah ini.

Ketika benda berputar terhadap poros O, titik A memiliki kecepatan linear (v) yang arahnya selalu menyinggung lintasan lingkaran.

Hubungan antara perpindahan linear titik A yang menempuh lintasan lingkaran sejauh x dan perpindahan sudut teta (dalam satuan radian), dinyatakan sebagai berikut :

θ x = atau x = r θ r

r merupakan jarak titik A ke pusat lingkaran/jari‐jari lingkaran.

Hubungan antara Kecepatan Tangensial dengan Kecepatan sudut

Besarnya kecepatan linear (v) benda yang menempuh lintasan lingkaran sejauh delta x dalam suatu waktu dapat dinyatakan dengan persamaan :

→ Persamaan 1 r

Dengan menggunakan persamaan yang menyatakan hubungan antara perpindahan linear dan perpindahan sudut ( x = r θ ), kita dapat menurunkan hubungan antara besarnya perubahan posisi pada lintasan dan besarnya perpindahan sudut...

Δ x = r Δ θ → Persamaan 2 Keterangan : Δx = perubahan posisi, r = jari‐jari lingkaran dan Δ θ = besarnya perpindahan sudut

Sekarang kita subtitusikan delta x pada persamaan 2 ke dalam persamaan 1 :

Karena = ω maka kita bisa menurunkan persamaan yang menghubungkan kecepatan linear (v) Δ t

dengan kecepatan sudut ( ω ) ⎛ Δ θ ⎞

v = r ω Keterangan :

V = kecepatan linear, r = jari‐jari dan ω = kecepatan sudut

Dari persamaan di atas tampak bahwa semakin besar nilai r (semakin jauh suatu titik dari pusat lingkaran), maka semakin besar kecepatan linearnya dan semakin kecil kecepatan sudutnya.

Hubungan antara Percepatan Tangensial dengan Percepatan Sudut

Besarnya percepatan tangensial untuk perubahan kecepatan linear selama selang waktu tertentu dapat kita nyatakan dengan persamaan :

Δ v at =

→ Persamaan 1 Δ t

Keterangan : at = percepatan tangensial, Δ v = perubahan kecepatan linear dan at = selang waktu

perubahan. Dengan menggunakan persamaan yang menyatakan hubungan antara kecepatan linear dengan

kecepatan sudut ( v = r ω ), kita dapat menurunkan hubungan antara besarnya perubahan kecepatan linear ( Δ v ) dan besarnya perubahan kecepatan sudut ( Δ ω ), yakni :

Δ v = r Δ ω → Persamaan 1

Sekarang kita subtitusikan nilai Δ v pada persamaan 2 ke persamaan 1 : Δ v r Δ ω

Δ ω Karena = α , maka kita dapat menurunkan hubungan antara percepatan tangensial (at) dengan

Δ t percepatan sudut ( α ) :

a t = r α Keterangan : at = percepatan tangensial, r = jarak ke pusat lingkaran (jari‐jari lingkaran) dan α =

percepatan sudut. Berdasarkan persamaan ini, tampak bahwa semakin jauh suatu titik dari pusat lingkaran maka semakin

besar percepatan tangensialnya dan semakin kecil percepatan sudut.

Semua persamaan yang telah diturunkan di atas kita tulis kembali pada tabel di bawah ini. Gerak lurus

Gerak melingkar

Hubungan antara gerak lurus

dengan gerak melingkar x (jarak)

Besaran Satuan SI Besaran

Satuan SI

m θ Rad (radian) x = r θ

v (kecepatan)

m/s ω

Rad/s v =r ω

t m/s2 α

Rad/s a t =r α

Catatan : Pada gerak melingkar, semua titik pada benda yang melakukan gerak melingkar memiliki perpindahan

sudut, kecepatan sudut dan percepatan sudut yang sama, tetapi besar perpindahan linear, kecepatan tangensial dan percepatan tangensial berbeda‐beda, bergantung pada besarnya jari‐jari (r)

Contoh Soal 1 :

Sebuah roda melakukan 900 putaran dalam waktu 30 detik. Berapakah kecepatan sudut rata‐ratanya dalam satuan rad/s ?

Panduan Jawaban :

Perpindahan sudut ( Δ θ ) = 900 putaran = 900 putaran x 2 π rad/putaran = 5652 rad…

Selang waktu ( Δ t ) = 30 sekon Dengan demikian, besarnya kecepatan sudut rata‐rata dari roda adalah :

Δ t ϖ 5652 =

rad/s

30 ϖ = 188 , 4 rad/s

Contoh Soal 2 :

Sebuah o CD yang memiliki jari‐jari 5 cm berputar melalui sudut 90 . Berapakah jarak yang ditempuh oleh sebuah titik yang terletak pada tepi CD tersebut ?

Panduan Jawaban

Terlebih dahulu kita ubah satuan derajat ke dalam radian (rad) :

2 π rad

90 o

o ) = rad 360

Jari ‐jari CD (R) = 5 cm Setelah memperoleh data yang dibutuhkan, kita dapat menghitung jarak tempuh titik yang terletak di

tepi CD :

2 π x = ( 5 cm )( rad )

10 x = π cm

10 x = ( 3 , 14 ) cm

4 x = 7,85 cm

Catatan : Lambang r digunakan untuk jari‐jari lintasan yang berbentuk lingkaran, sedangkan lambang R digunakan

untuk jari‐jari benda yang memiliki bentuk bundar alias lingkaran.

Contoh Soal 3 :

Sebuah roda sepeda motor berputar terhadap porosnya ketika sepeda motor tersebut bergerak. Sebuah titik berada pada jarak 10 cm dari pusat roda, dan berputar dengan kecepatan sudut 5 rad/s dan memiliki 2 percepatan sudut sebesar 2 rad/s . Berapakah kecepatan tangensial dan percepatan tangensial sebuah titik yang berjarak 5 cm dan 15 cm dari pusat roda sepeda motor tersebut ?

Panduan Jawaban :

2 Kecepatan sudut ( ω ) = 5 rad/s dan percepatan sudut ( α ) = 2 rad/s

a) Untuk r = 5 cm

Kecepatan tangensial (v) = r ω = (5 cm)(5 rad/s) = 25 cm/s = 0,25 m/s

2 Percepatan 2 tangensial (a

t ) = r α = (5 cm)(2 rad/s ) = 10 cm/s = 0,1 m/s

b) Untuk r = 15 cm

Kecepatan tangensial (v) = r ω = (15 cm)(5 rad/s) = 75 cm/s = 0,75 m/s

2 Percepatan 2 tangensial (a

t ) = r α = (15 cm)(2 rad/s ) = 30 cm/s = 0,3 m/s

Gerak Melingkar Beraturan (GMB)

Ketika sebuah benda bergerak membentuk suatu lingkaran dengan laju tetap maka benda tersebut dikatakan melakukan gerak melingkar beraturan alias GMB.

Dapatkah kita mengatakan bahwa GMB merupakan gerakan yang memiliki kecepatan linear tetap ? Misalnya sebuah benda melakukan Gerak Melingkar Beraturan, seperti yang tampak pada gambar di bawah. Arah putaran benda searah dengan putaran jarum jam. bagaimana dengan vektor kecepatannya ? seperti yang terlihat pada gambar, arah kecepatan linear/tangensial di titik A, B dan C berbeda. Dengan demikian kecepatan pada GMB selalu berubah (ingat perbedaan antara kelajuan dan kecepatan, kelajuan adalah besaran skalar sedangkan kecepatan adalah besaran vektor yang memiliki besar/nilai dan arah) sehingga kita tidak dapat mengatakan kecepatan linear pada GMB tetap.

Pada gerak melingkar beraturan, besar kecepatan linear v tetap, karenanya besar kecepatan sudut juga tetap.

(kecepatan linear memiliki keterkaitan dengan kecepatan sudut yang dinyatakan dengan persamaan

v = r ω , di mana kecepatan linear v sebanding dengan kecepatan sudut ω ). hmm…. yang dikatakan di sini adalah besar, jadi arah tidak termasuk.

Jika arah kecepatan linear/kecepatan tangensial selalu berubah, bagaimana dengan arah kecepatan sudut ? arah kecepatan sudut sama dengan arah putaran partikel, untuk contoh di atas arah kecepatan sudut searah dengan arah putaran jarum jam. Karena besar maupun arah kecepatan sudut tetap maka besaran vektor yang tetap pada GMB adalah kecepatan sudut. Dengan demikian, kita bisa menyatakan bahwa GMB merupakan gerak benda yang memiliki kecepatan sudut tetap.

Pada GMB, kecepatan sudut selalu tetap (baik besar maupun arahnya). Karena kecepatan sudut tetap, maka perubahan kecepatan sudut atau percepatan sudut bernilai nol. Percepatan sudut memiliki hubungan dengan percepatan tangensial, sesuai dengan persamaan

Karena percepatan sudut dalam GMB bernilai nol, maka percepatan linear juga bernilai nol. Jika demikian, apakah tidak ada percepatan dalam Gerak Melingkar Beraturan (GMB) ?

Pada GMB tidak ada komponen percepatan linear terhadap lintasan, karena jika ada maka lajunya akan berubah. Karena percepatan linear/tangensial memiliki hubungan dengan percepatan sudut, maka percepatan sudut juga tidak ada dalam GMB. Yang ada hanya percepatan yang tegak lurus terhadap lintasan, yang menyebabkan arah kecepatan linear berubah‐ubah. Sekarang mari kita tinjau percepatan ini.

Percepatan Sentripetal

Percepatan tangensial didefinisikan sebagai perbandingan perubahan kecepatan dengan selang waktu yang sangat singkat, secara matematis dirumuskan sebagai berikut :

a = = →t Δ sangat kecil/mendekati nol Δ t

Δ t Selama selang waktu Δ t , P bergerak dari titik x 1 ke x 2 dengan menempuh jarak sejauh Δ x , yang

membentuk sudut θ . Perubahan vektor kecepatan adalah v 2 − v 1 = Δ v (Perhatikan gambar di bawah). Jika kita tetapkan Δ t sangat kecil (mendekati nol), maka Δ x dan Δ θ juga bernilai sangat kecil dan v 2 akan nyaris sejajar dengan v 1 , sehingga Δ v akan tegak lurus terhadap v 1 dan v 2 . Dengan demikian arah Δ v menuju ke pusat lingkaran. Karena arah a sama dengan arah Δ v , maka arah a juga harus menuju ke pusat lingkaran. Nah, percepatan jenis ini dinamakan percepatan sentripetal alias percepatan radial,

dan kita beri lambang a R. Disebut percepatan sentripetal karena selalu “mencari pusat lingkaran”, disebut percepatan radial karena mempunyai arah sepanjang radius alias jari‐jari lingkaran.

Sekarang kita turunkan persamaan untuk menentukan besar percepatan sentripetal alias percepatan radial (a R )

Berdasarkan gambar di atas, tampak bahwa O x 1 tegak lurus terhadap v 1 dan O x 2 tegak lurus terhadap

v 2 . Dengan demikian θ yang merupakan sudut antara O x 1 dan Ox 2 , juga merupakan sudut antara v 1 dan v 2 . Dengan demikian, vektor v 1 , v 2 dan Δ v (lihat gambar di bawah) membentuk segitiga yang sama secara geometris dengan segitiga O x 1 x 2 pada gambar di atas.

Dengan menganggap Δ t sangat kecil, sehingga besar Δ θ juga sangat kecil, kita dapat merumuskan : Δ v Δ x

Kita tulis semua kecepatan dengan v karena pada GMB kecepatan tangensial benda sama (v 1 =v 2 = v). Karena kita hendak merumuskan persamaan percepatan sesaat, di mana Δ t mendekati nol, maka kita

dapat menyatakan rumusan di atas menjadi persamaan dan dinyatakan dalam Δ v Δ v

Untuk memperoleh persamaan percepatan sentripetal, a R , kita bagi Δ v dengan Δ t , di mana : Δ v v Δ x

aR = = Δ t r Δ t

Δ Karena x= v (kelajuan linear), maka persamaan di atas kita ubah menjadi : Δ t Δ Karena x= v (kelajuan linear), maka persamaan di atas kita ubah menjadi : Δ t

→ Persamaan percepatan sentripetal r

Benda yang melakukan gerakan dengan lintasan berbentuk lingkaran dengan radius/jari‐jari (r) dan laju tangensial tetap (v) mempunyai percepatan yang arahnya menuju pusat lingkaran dan besarnya adalah

v 2 aR = . r

Berdasarkan persamaan percepatan sentripetal tersebut, tampak bahwa nilai percepatan sentripetal bergantung pada kecepatan tangensial dan radius/jari‐jari lintasan (lingkaran). Dengan demikian, semakin cepat laju gerakan melingkar, semakin cepat terjadi perubahan arah dan semakin besar radius, semakin lambat terjadi perubahan arah.

Arah vektor percepatan sentripetal selalu menuju ke pusat lingkaran, tetapi vektor kecepatan linear menuju arah gerak benda secara alami (lurus), sedangkan arah kecepatan sudut searah dengan putaran benda. Dengan demikian, vektor percepatan sentripetal dan kecepatan tangensial saling tegak lurus atau dengan kata lain pada Gerak Melingkar Beraturan arah percepatan dan kecepatan linear/tangensial tidak sama. Demikian juga arah percepatan sentripetal dan kecepatan sudut tidak sama karena arah percepatan sentripetal selalu menuju ke dalam/pusat lingkaran sedangkan arah kecepatan sudut sesuai dengan arah putaran benda (untuk kasus di atas searah dengan putaran jarum jam).

Kita dapat menyimpulkan bahwa dalam Gerak Melingkar Beraturan :

1. besar kecepatan linear/kecepatan tangensial adalah tetap, tetapi arah kecepatan linear selalu berubah setiap saat

2. kecepatan sudut (baik besar maupun arah) selalu tetap setiap saat

3. percepatan sudut maupun percepatan tangensial bernilai nol

4. dalam GMB hanya ada percepatan sentripetal

Periode dan Frekuensi

Gerak melingkar sering dijelaskan dalam frekuensi (f) sebagai jumlah putaran per detik. Periode (T) dari benda yang melakukan gerakan melingkar adalah waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan satu putaran. Hubungan antara frekuensi dengan periode dinyatakan dengan persamaan di bawah ini :

f Dalam satu putaran, benda menempuh lintasan linear sepanjang satu keliling lingkaran ( 2 π r), di mana r

merupakan jarak tepi lingkaran dengan pusat lingkaran. Kecepatan linear merupakan perbandingan antara panjang lintasan linear yang ditempuh benda dengan selang waktu tempuh. Secara matematis dirumuskan sebagai berikut :

PanjangL int asanLinear Kecepatan linear = SelangWakt uTempuh

1 Karena T = maka persamaan kecepatan linear dapat ditulis menjadi :

f v = 2 π r f Selang waktu yang diperlukan benda untuk menempuh satu putaran adalah T. Besar sudut dalam satu

putaran o = 360 (360 =2 π ). Kecepatan sudut merupakan perbandingan antara besar perpindahan sudut yang ditempuh dengan selang waktu tempuh, secara matematis ditulis :

BesarSudut YangDitemp uh Kecepatan sudut =

SelangWakt uTempuh

1 Karena T = , maka persamaan kecepatan sudut dapat ditulis menjadi :

Untuk menurunkan persamaan yang menyatakan hubungan antara kecepatan tangensial (v) dengan

kecepatan sudut ( ω ), kita subtitusikan persamaan ω = 2 π f ke dalam persamaan v = 2 π r f: v = 2 π rf = r ( 2 π f ) v = r ω

Sekarang kita tulis kembali persamaan GMB yang telah kita turunkan di atas :

Persamaan yang menyatakan hubungan antara setiap besaran dalam GMB

Persamaan Satuan Persamaan Satuan

1 Sekon (s)

1 Hertz (Hz)

v = 2 π rf Meter per sekon (m/s) v = T

Meter per sekon (m/s)

ω2 = π f Radian per sekon (rad/s) ω = T

Radian per sekon (rad/s)

Persamaan fungsi Gerak Melingkar Beraturan (GMB)

Pada Gerak Melingkar Beraturan, kecepatan sudut selalu tetap (baik besar maupun arahnya), di mana kecepatan sudut awal sama dengan kecepatan sudut akhir. Karena selalu sama, maka kecepatan sudut sesaat sama dengan kecepatan sudut rata‐rata.

Δ θ Kita telah mengetahui bahwa kecepatan sudut rata‐rata dirumuskan sebagai ω =

Misalnya kita tentukan waktu awal adalah t o = 0 dan posisi sudut awal adalah θ o, sehingga berlaku persamaan :

Δ θ = ω Δ t θ − θ o = ω ( t − t o ) → t o =0

θ − θ o = ω t θ = θ o + ω t → persamaan ini menyatakan hubungan antara perpindahan sudut, kecepatan sudut dan

waktu tempuh.

Contoh Soal 1 :

Sebuah bola bermassa 200 gram diikat pada ujung sebuah tali dan diputar dengan kelajuan tetap sehingga gerakan bola tersebut membentuk lingkaran horisontal dengan radius 0,2 meter. Jika bola menempuh 10 putaran dalam 5 detik, berapakah percepatan sentripetalnya ?

Panduan Jawaban :

v 2 Percepatan sentripetal dirumuskan dengan persamaan a r = . r

Karena laju putaran bola belum diketahui, maka terlebih dahulu kita tentukan laju bola (v). Apabila bola menempuh

10 putaran dalam 5 detik maka satu putaran ditempuh dalam 2 detik, di mana ini

merupakan periode putaran (T). Jarak lintasan yang ditempuh benda adalah keliling lingkaran = 2 π r , di

mana r = jari‐jari/radius lingkaran. Dengan demikian, laju bola :

2 π r 2 ( 3 , 14 )( 0 , 2 m )

Percepatan sentripetal bola :

= 0 , 18 m / s

Contoh Soal 2 :

Satu kali mengorbit bumi, bulan memerlukan waktu 27,3 hari. Jika keliling bumi mempunyai radius sekitar 384.000 km, berapakah percepatan bulan terhadap bumi ? (Dalam GMB hanya ada percepatan sentripetal, sehingga jika ditanyakan percepatan, maka yang dimaksudkan adalah percepatan sentripetal)

Panduan Jawaban :

Ketika 8 mengorbit bumi satu kali, bulan menempuh jarak 2 π r, di mana r = 3,84 x 10 meter merupakan radius jalur lintasannya (lingkaran). Periode T dalam satuan sekon adalah T = (27,3 hari)(24 jam)(3600

s/jam) 6 = 2,36 x 10 s. Dengan demikian, percepatan sentripetal bulan terhadap bumi adalah :

[ 2 ( 3 , 14 )( 3 , 84 x 10 m ) ]

m − / s = 2 , 72 x 10 m / s r

6 2 8 = 0 , 00272

( 2 , 36 x 10 s ) ( 3 , 84 x 10 m )

Contoh Soal 3 :

Valentino Rosi mengendarai motornya melewati suatu tikungan yang berbentuk setengah lingkaran yang memiliki radius 20 meter. Jika laju sepeda motor 20 m/s, berapakah percepatan sepeda motor (dan The Doctor) ?

Panduan Jawaban :

Percepatan sentripetal sepeda motor + The Doctor adalah :

2 v 2 ( 20 m / s )

= 20 m / s

20 m

Gaya Sentripetal

Setiap benda yang bergerak membentuk lintasan lingkaran harus tetap diberikan gaya agar benda tersebut terus berputar. Anda dapat membuktikannya dengan mengikat sebuah benda (sebaiknya berbentuk bulat atau segiempat) pada salah satu ujung tali. Setelah itu putarlah tali tersebut, sehingga benda tersebut ikut berputar. Jika anda menghentikan putaran, maka bola tersebut perlahan‐lahan berhenti. Hal dikarenakan tidak ada gaya yang diberikan. Agar bola tetap berputar maka harus diberikan gaya secara terus menerus, yang dalam hal ini adalah tangan anda yang memutar tali.

Besarnya gaya tersebut, dapat dihitung dengan Hukum II Newton untuk komponen radial :

∑ F = ma → ∑ F R = ma r = m

a r adalah percepatan sentripetal (percepatan radial) yang arahnya menuju pusat lingkaran. Persamaan di atas menunjukan hubungan antara gaya dan percepatan sentripetal. Karena gaya memiliki hubungan dengan percepatan sentripetal, maka arah gaya total yang diberikan harus menuju ke pusat lingkaran. Jika tidak ada gaya total yang diberikan (yang arahnya menuju pusat lingkaran) maka benda tersebut akan bergerak lurus alias bergerak keluar dari lingkaran. Anda dapat membuktikannya dengan melepaskan tali dari tangan anda. Untuk menarik sebuah benda dari jalur “normal”‐nya, diperlukan gaya total ke samping. Karena arah percepatan sentripetal selalu menuju pusat lingkaran, maka gaya total ke samping tersebut harus selalu diarahkan menuju pusat lingkaran. Gaya ini disebut gaya sentripetal (sentripetal = ”menuju ke pusat”). Istilah ini hanya menjelaskan gaya total (bukan jenis gaya baru), di mana gaya total diarahkan menuju pusat lingkaran. Gaya sentripetal harus diberikan oleh benda lain. misalnya, ketika kita memutar bola yang terikat pada salah satu ujung tali, kita menarik tali tersebut dan tali memberikan gaya pada bola sehingga bola berputar.

Percepatan sentripetal (a rad ) dapat dinyatakan dalam periode T (waktu yang dibutuhkan untuk melakukan putaran).

a = → Persamaan percepatan sentripetal r

Hubungan antara periode dan kecepatan linear dalam GMB dinyatakan pada persamaan berikut :

Sekarang kita masukan nilai v ke dalam persamaan percepatan sentripetal :

a rad = r

a rsd = 2 T

Sekarang mari kita tinjau gaya sentripetal pada beberapa jenis Gerak Melingkar Beraturan :

Benda yang berputar horisontal

Misalnya kita tinjau sebuah benda yang diputar menggunakan tali pada bidang horisontal, sebagaimana tampak pada gambar di bawah :

Amati bahwa pada benda tersebut bekerja gaya berat (mg) yang arahnya ke bawah dan gaya tegangan tali (F T ) yang bekerja horisontal. Tegangan tali timbul karena kita memberikan gaya tarik pada tali ketika memutar benda (ingat kembali penjelasan di atas). Gaya tegangan tali ini berfungsi untuk memberikan percepatan sentripetal. Berpedoman pada koordinat bidang xy, kita tetapkan komponen horisontal sebagai sumbu x. Dengan demikian, berdasarkan hukum II Newton, kita dapat menurunkan persamaan gaya sentripetal untuk benda yang berputar horisontal :

Σ F x = ma x v 2

Benda yang berputar vertikal

Misalnya kita tinjau sebuah benda yang diputar menggunakan tali pada bidang vertikal, sebagaimana tampak pada gambar di bawah :

Ketika benda berada di titik A, pada benda bekerja gaya berat (mg) dan gaya tegangan tali (F TA ) yang arahnya ke bawah (menuju pusat lingkaran). Kedua gaya ini memberikan percepatan sentripetal pada benda. Ketika benda berada pada titik A’, pada benda bekerja gaya berat yang arahnya ke bawah dan gaya tegangan tali (F TA ’) yang arahnya ke atas (menuju pusat lingkaran).

Menggunakan hukum II Newton, kita dapat menurunkan persamaan gaya sentripetal untuk benda yang berputar vertikal. Terlebih dahulu kita tetapkan arah menuju ke pusat sebagai arah positif.

Gaya Sentripetal di titik A

Terlebih dahulu kita tinjau komponen gaya yang bekerja ketika benda berada di titik A. Ketika berada pada titik A, hubungan antara gaya sentripetal, gaya berat, massa benda, jari‐jari dan percepatan sentripetal dinyatakan dengan persamaan di bawah ini :

∑ F = ma ∑ F s = ma s

F A TA + mg = m → persamaan 1 r

Keterangan :

F TA = gaya tegangan tali di titik A, Fs = gaya sentripetal, a s = percepatan sentripetal, v A = kecepatan gerak benda di titik A, r = jari‐jari lingkaran (panjang tali)

Berdasarkan persamaan 1 di atas, tampak bahwa ketika benda berada di titik A (puncak lintasan), benda masih bisa berputar walaupun tidak ada gaya tegangan tali yang bekerja pada benda tersebut. Untuk membuktikan hal ini, mari kita obok‐obok persamaan di atas :

Jika F TA = 0, maka persamaan di atas akan menjadi :

0 + A mg = m r

v 2 mg A = m

A = gr v A = gr → persamaan 2 Jadi ketika berada di titik A, benda tersebut masih bisa berputar dengan kecepatan linear v A , meskipun

tidak ada gaya tegangan tali (Gaya tegangan tali pada kasus ini = gaya sentripetal). Besar kecepatan dinyatakan pada persamaan 2. Karena percepatan gravitasi (g) tetap maka besar kecepatan linear bergantung pada jari‐jari lingkaran / panjang tali). Semakin panjang tali (semakin besar jari‐jari lingkaran), semakin besar laju linear benda.

Gaya Sentripetal di titik A’

Sekarang kita tinjau gaya sentripetal apabila benda berada di titik A’. Ketika benda berada di titik A’, pada benda bekerja gaya berat (mg) yang arahnya ke bawah dan gaya

tegangan tali (F TA ’) yang arahnya ke atas. Menggunakan hukum II Newton, mari kita turunkan persamaan yang menyatakan hubungan antara gaya sentripetal, gaya berat, massa benda, jari‐jari dan percepatan sentripetal :

∑ F s = ma s

A F ' TA ' − mg = m r

A F ' TA ' = m + mg r

Berdasarkan persamaan, tampak bahwa ketika berada di titik A’, besar gaya sentripetal (dalam kasus ini gaya sentripetal = gaya tegangan tali) lebih besar dibandingkan dengan ketika benda berada di titik A. Dengan demikian, ketika benda berada di titik A’ kita harus memberikan gaya putar yang lebih besar untuk mengimbangi gaya berat benda.

Anda dapat melakukan percobaan untuk membuktikan hal ini. Ikatlah sebuah benda pada salah satu ujung tali dan putar benda tersebut secara vertikal. Ketika benda berada di lembah lintasan (A’), anda akan merasakan efek tarikan gaya berat yang lebih besar dibandingkan ketika benda berada di puncak lintasan (A). Agar benda tetap berputar, gaya yang anda berikan harus lebih besar untuk mengimbangi gaya berat benda yang arahnya ke bawah.

Salah satu contoh gerak melingkar vertikal yang dapat kita temui dalam kehidupan sehari‐hari adalah wahana putar. Pada dasarnya, komponen gaya sentripetal yang bekerja pada wahana putar sama dengan penjelasan gurumuda di atas. Bedanya, gaya sentripetal pada penjelasan di atas adalah gaya tegangan tali.

Kendaraan yang melewati tikungan

Salah satu penerapan fisika dalam kehidupan kita, berkaitan dengan percepatan sentripetal adalah ketika kendaraan melewati tikungan. Pada kesempatan ini kita akan meninjau gaya sentripetal yang menyebabkan kendaraan dapat melewati tikungan. Pembahasan ini lebih berkaitan dengan gerakan mobil, atau kendaraan sejenis lainnya (truk, bus dkk). Kita tidak meninjau sepeda motor karena analisisnya sangat kompleks (mengapa kompleks alias ribet ? ayo... berpikirlah. Sering nonton GP khan ?).

Tikungan rata

Terlebih dahulu kita bahas tikungan yang permukaan jalannya rata. Ketika melewati tikungan yang rata, setiap mobil memiliki gaya sentripetal yang arahnya menuju pusat lintasan lingkaran (amati gambar di bawah). Gaya sentripetal tersebut bersumber dari gaya gesekan antara ban dengan permukaan jalan. Gesekan yang terjadi adalah gesekan statis selama ban tidak selip. Mengapa tidak gesekan kinetis ? Terlebih dahulu kita bahas tikungan yang permukaan jalannya rata. Ketika melewati tikungan yang rata, setiap mobil memiliki gaya sentripetal yang arahnya menuju pusat lintasan lingkaran (amati gambar di bawah). Gaya sentripetal tersebut bersumber dari gaya gesekan antara ban dengan permukaan jalan. Gesekan yang terjadi adalah gesekan statis selama ban tidak selip. Mengapa tidak gesekan kinetis ?

Cermati gambar di atas. Ketika mobil melewati tikungan dengan kecepatan (v), jalan memberikan gaya ke dalam (gesekan terhadap ban) dan membuat mobil tersebut bergerak melingkar. Arah gaya gesekan (F ges ) menuju pusat lingkaran, seperti yang diperlihatkan pada gambar di atas. gaya gesekan inilah yang berperan sebagai gaya sentripetal. Sebenarnya penjelasan ini dapat anda pahami dengan mudah. Bayangkanlah, apa yang terjadi ketika anda mengendarai mobil pada tikungan yang sangat licin (anggap saja sedang hujan dan permukaan luar roda mobil anda sudah gundul) ? bisa ditebak, anda akan digiring ambulans menuju rumah sakit... mengapa ? ketika tidak ada gaya gesekan statis, ban mobil anda akan selip dan keluar dari lintasan lingkaran... dengan kata lain, pada mobil anda tidak bekerja gaya sentripetal. Jadi berhati‐hatilah ketika melewati tikungan, apalagi tikungan tajam...

Sekarang mari kita turunkan persamaan yang menyatakan hubungan antara gaya sentripetal (dalam kasus ini gaya sentripetal adalah gaya gesekan) dengan percepatan, jari‐jari lintasan lingkaran dan massa benda...

Berdasarkan hukum II Newton, gaya total yang bekerja pada mobil ketika melewati tikungan adalah :

∑ F = ma Karena pada kasus ini, gaya total adalah gaya gesekan dan percepatan = percepatan sentripetal, maka

kita tulis kembali persamaan di atas, menjadi : ∑ F R = ma R

F R = Gaya radial alias gaya sentripetal, dan a R = gaya radial alias gaya sentripetal. Radial = sentripetal. Pada kasus ini, gaya sentripetal = gaya gesekan.

Besar gaya gesekan dapat dihitung dengan persamaan :

( Fges ) maks = μ s N Fges = gaya gesekan maksimum, μ s = koofisien gesekan statis maksimum dan N = gaya normal (N = w =

mg). w = gaya berat.

Gaya sentrifugal = ?

Ketika kita memutar bola, kita merasa bahwa seolah‐olah ada gaya yang menarik tangan kita keluar. Hal ini seringkali diartikan secara keliru, bahwa ada gaya yang bekerja “menjahui pusat”. Kesalahpahaman yang terjadi menggambarkan bahwa benda yang bergerak melingkar mempunyai gaya ke luar yang bekerja padanya, yang disebut gaya sentrifugal (menjahui pusat). Kenyataan yang terjadi bukan seperti itu. Untuk mempertahankan gerak bola, tangan kita menarik tali ke dalam, yang memberikan gaya pada bola untuk bergerak melingkar karena ada gaya ke dalam alias menuju pusat lingkaran. Bola memberikan gaya yang sama tetapi berlawanan arah (ingat hukum III Newton : ada aksi maka ada reaksi, dan besarnya gaya aksi dan reaksi sama tetapi berlawanan arah). Hal ini yang kita rasakan seperti ada tarikan ke luar, tetapi itu bukan gaya sentrifugal, tetapi gaya reaksi yang diberikan oleh bola yang arahnya keluar melawan gaya aksi yang kita berikan kepada bola yang arahnya ke dalam / ke pusat lingkaran. Dengan demikian, tidak ada gaya sentrifugal yang bekerja pada bola.

Untuk membuktikan bahwa tidak ada gaya sentrifugal, bayangkanlah apa yang terjadi ketika kita melepaskan tali. Anda juga dapat membuktikan dengan melakukan percobaan di atas (memutar tali yang salah satu ujungnya diikatkan bola)

Jika ada gaya sentrifugal, maka bola akan terlempar ke luar, seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah. Tetapi kenyataannya tidak demikian; bola melayang secara tangensial atau ketika tali dilepaskan, arah gerak bola sesuai dengan arah kecepatan linearnya. Hal ini disebabkan karena ketika kita melepaskan tali, tidak ada lagi gaya ke dalam yang bekerja pada bola.

Jika ada gaya sentrifugal maka ketika tali dilepaskan, bola akan melayang seperti pada gambar a. kenyataan yang terjadi, ketika tali dilepaskan bola melayang seperti gambar b.

Catatan :

Jangan menarik kesimpulan sebelum membaca semua tulisan gurumuda. Pada kenyataannya gaya sentrifugal ada dalam gerak melingkar, misalnya ketika mobil melaju di tikungan, etc... Gaya sentrifugal merupakan gaya semu alias gaya fiksi dan bekerja pada orang yang berada di dalam mobil atau wahana yang berputar (kerangka acuan non inersia). Ketika kita berada dalam kerangka acuan inersia, hanya gaya sentripetal yang bekerja, sebaliknya apabila kita berada dalam kerangka acuan non inersia, hanya gaya sentrifugal yang bekerja. Misalnya dirimu sedang duduk di dalam mobil yang sedang melaju di tikungan, dirimu dikatakan berada dalam kerangka acuan non inersia (posisimu dan mobil selalu tetap, mobil tidak bergerak terhadapmu). Pada saat tersebut, yang bekerja hanya gaya sentrifugal saja... Sebaliknya kalau dirimu berada dalam kerangka acuan inersia (Dirimu cuma lihat tuh mobil melaju di tikungan. Dirimu tidak numpang tuh mobil), berarti yang bekerja hanya gaya sentripetal saja... Perbedaannya hanya terletak pada kerangka acuan pengamatan. Mengenai gaya sentrifugal akan di bahas pada pokok bahasan tersendiri...

Referensi :

Giancoli, Douglas C., 2001, Fisika Jilid I (terjemahan), Jakarta : Penerbit Erlangga Halliday dan Resnick, 1991, Fisika Jilid I (terjemahan), Jakarta : Penerbit Erlangga Tipler, P.A.,1998, Fisika untuk Sains dan Teknik–Jilid I (terjemahan), Jakarta : Penebit Erlangga Young, Hugh D. & Freedman, Roger A., 2002, Fisika Universitas (terjemahan), Jakarta : Penerbit Erlangga