Tugas 1 Analisis Struktur Rangka Batang
TUGAS -1
Analisis Struktur Rangka Batang dengan
Metoda Matriks
SI-6223 Metoda Elemen Hingga
Dosen : Ir. Made Suarjana M.Sc, Ph.D
Disusun oleh : Alexander Aditya Wibowo
NIM
: 25013022
PROGRAM MAGISTER REKAYASA STRUKTUR
PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL
FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN LINGKUNGAN
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
2014
SI-6223
METODA ELEMEN HINGGA
Alexander Aditya Wibowo
25013022
Hitung gaya dalam struktur berikut!
Solusi:
Penomoran titik-titik nodal dan elemen struktur sesuai dengan gambar berikut,
dan penomoran derajat kebebasan struktur sesuai dengan gambar berikut,
Berikut adalah konsep pengerjaan untuk mendapatkan gaya dalam pada elemen-elemen struktur,
=
dimana,
: matriks gaya pada struktur (kips)
: matriks kekakuan global struktur (ksi)
: matriks perpindahan struktur (in)
Dari soal dapat dibentuk matriks gaya pada struktur sebagai berikut,
Tugas 1-Analisis Struktur Rangka Batang dengan Metoda Matriks
1
SI-6223
METODA ELEMEN HINGGA
Alexander Aditya Wibowo
25013022
−8
−8
10
=
=
dari matriks di atas dapat diketahui bahwa P4, P5, dan P6 adalah gaya-gaya yang ingin dicari besarnya
(unknown).
Berikut adalah data elemen-elemen struktur yang telah disusun dalam bentuk tabel
Nomor
Elemen
Koordinat terhadap sb-x
Koordinat terhadap sb-y
awal
awal
akhir
selisih
akhir
selisih
inch
x1
x2
Δx
y1
Kemiringan
terhadap
sumbu Global
Panjang
y2
Cosinus
inch
inch
Δy
L
c
Modulus
Elastisitas
Luas
Penampang
ksi
inch
E
A
Sinus
s
2
1
0
60
60
0
0
0
60
1
0
10000
0.36
2
0
45
45
0
25.98
25.98
51.96
0.866
0.500
10000
0.4
3
60
45
-15
0
25.98
25.98
30
-0.500
0.866
10000
0.6
Membentuk matriks kekakuan elemen,
matriks kekakuan elemen dibentuk berdasarkan matriks berikut,
−
=
−
−
−
−
−
−
−
Dengan persamaan di atas maka dapat dibentuk matriks kekakuan tiap-tiap elemen batang sebagai
berikut,
Tugas 1-Analisis Struktur Rangka Batang dengan Metoda Matriks
2
SI-6223
METODA ELEMEN HINGGA
Elemen 1
EA/L =
Alexander Aditya Wibowo
25013022
60 kips/in
[K1] =
60
DOF 1
x
DOF 4
60.0
[K1]=
Elemen 2
EA/L =
[K2] =
0.0
-60.0
0.0
1
0
0
0
-1
0
0
0
-1
0
0
0
1
0
0
0
DOF 5
DOF 6
0.0
-60.0
0.0 DOF 1
0.0
0.0
0.0
0.0
60.0
0.0
0.0 DOF 4
0.0 DOF 5
0.0 DOF 6
76.98 kips/in
76.98
x
0.75
0.433
0.433
0.25
-0.750
-0.433
-0.433
-0.250
-0.750
-0.433
-0.433
-0.250
0.750
0.433
0.433
0.250
DOF 1
DOF 4
DOF 2
DOF 3
45.0
26.0
-45.0
-26.0 DOF 1
[K2] =
Elemen 3
EA/L =
[K3] =
26.0
-45.0
-26.0
15.0
-26.0
-15.0
-26.0
45.0
26.0
-15.0 DOF 4
26.0 DOF 2
15.0 DOF 3
200 kips/in
200
x
0.25
-0.433
-0.433
0.75
-0.250
0.433
0.433
-0.750
-0.250
0.433
0.433
-0.750
0.250
-0.433
-0.433
0.750
DOF 5
DOF 6
DOF 2
DOF 3
50.0
-86.6
-50.0
86.6 DOF 5
[K3] =
-86.6
-50.0
86.6
150.0
86.6
-150.0
86.6
50.0
-86.6
-150.0 DOF 6
-86.6 DOF 2
150.0 DOF 3
Tugas 1-Analisis Struktur Rangka Batang dengan Metoda Matriks
3
SI-6223
METODA ELEMEN HINGGA
Alexander Aditya Wibowo
25013022
Dari matriks-matriks kekakuan masing-masing elemen kemudian dibentuk matriks kekakuan global.
Matriks kekakuan global ini disusun berdasarkan urutan masing-masing derajat kebebasan tiap-tiap
elemen (DOF) dimana jika ada dua elemen yang memiliki DOF yang sama pada satu titik maka
kekakuan dari kedua elemen tersebut digabung dengan cara dijumlahkan.
Matriks Kekakuan Global
DOF 1
DOF 2
DOF 3
DOF 4
DOF 5
DOF 6
105.0
-45.0
-26.0
26.0
-60.0
0.0
DOF 1
-45.0
95.0
-60.6
-26.0
-50.0
86.6
DOF 2
-26.0
-60.6
165.0
-15.0
86.6
-150.0
DOF 3
26.0
-26.0
-15.0
15.0
0.0
0.0
DOF 4
-60.0
-50.0
86.6
0.0
110.0
-86.6
DOF 5
0.0
86.6
-150.0
0.0
-86.6
150.0
DOF 6
Selanjutnya adalah membuat persamaan hubungan gaya, kekakuan, dan perpindahan dalam bentuk
matriks sebagai berikut,
=
[P]
=
[K]
x
[U]
-8
105.0
-45.0
-26.0
26.0
-60.0
0.0
U1
-8
-45.0
95.0
-60.6
-26.0
-50.0
86.6
U2
-26.0
-60.6
165.0
-15.0
86.6
-150.0
P4
26.0
-26.0
-15.0
15.0
0.0
0.0
0
P5
-60.0
-50.0
86.6
0.0
110.0
-86.6
0
P6
0.0
86.6
-150.0
0.0
-86.6
150.0
0
10
=
x
U3
Persamaan matriks di atas dapat dipartisi menjadi seperti berikut,
!
"
#=
#×
"
!
#
Tugas 1-Analisis Struktur Rangka Batang dengan Metoda Matriks
4
SI-6223
METODA ELEMEN HINGGA
Alexander Aditya Wibowo
25013022
Dimana,
!
: matriks gaya yang diketahui (P known)
"
: matriks gaya yang tidak diketahui, ingin dicari (P unknown)
!
: matriks perpindahan yang diketahui (U known)
"
: matriks perpindahan yang tidak diketahui, ingin dicari (U unknown)
Berikut adalah bentuk partisi pada persamaan matriks yang telah dibentuk,
Dengan begitu maka dapat dilakukan perhitungan untuk mencari perpindahan yang tidak diketahui
[Uu] sebagai berikut,
Cari U1, U2, dan U3
[Pk]
-8
-8 =
10
[Uu]
U1
U2
U3
=
105.0
-45.0
-26.0
[K11]
-45.0
95.0
-60.6
[Uu]
[K12]
[Uk]
-26.0
U1
26.0 -60.0
0.0
0
-60.6 x U2
+ -26.0 -50.0
86.6 x
0
165.0
U3
-15.0 86.6 -150.0
0
[K11]-1
0.0167 0.0125 0.0072
0.0125 0.0231 0.0105 x
0.0072 0.0105 0.0110
[Pk]
-8
-8
10
[Uu]
U1
U2
U3
-0.1612 in
= -0.1804 in
-0.0310 in
Tugas 1-Analisis Struktur Rangka Batang dengan Metoda Matriks
5
SI-6223
METODA ELEMEN HINGGA
Alexander Aditya Wibowo
25013022
Setelah mendapatkan besarnya seluruh perpindahan pada masing-masing DOF maka dapat dicari
gaya-gaya yang bekerja pada masing-masing DOF sesuai dengan persamaan matriks berikut,
Cari P4, P5, dan P6
[Pu]
P4
P5
=
P6
[Pu]
P4
P5
=
P6
[K21]
26.0
-26.0
-60.0
-50.0
0.0
86.6
[Uu]
-15.0
-0.1612
86.6 x -0.1804 +
-150.0
-0.0310
15.0
0.0
0.0
[K22]
0.0
110.0
-86.6
[Uk]
0.0
0
-86.6 x
0
150.0
0
0.96 kips
16.00 kips
-10.96 kips
Berikut adalah gaya-gaya yang bekerja pada struktur dalam bentuk gambar,
Dari gaya-gaya yang telah diketahui pada masing-masing nodal maka gaya-gaya dalam pada masingmasing elemen batang sebagai berikut,
Elemen 1
DOF 1 DOF 4 DOF 5 DOF 6
[P1local] =
[P1local] =
-8.00
0.96
1 cos
16.00 -10.96 x 0 sin
1 cos
0 sin
8.00 kips
Elemen batang 1 mengalami gaya tarik (+) sebesar 8.0 kips
Tugas 1-Analisis Struktur Rangka Batang dengan Metoda Matriks
6
SI-6223
METODA ELEMEN HINGGA
Alexander Aditya Wibowo
25013022
Elemen 2
DOF 1 DOF 4 DOF 2 DOF 3
[P2local] =
-8.00
0.96
[P2local] =
-8.37 kips
-8.00
0.87 cos
10.00 x 0.50 sin
0.87 cos
0.50 sin
Elemen batang 2 mengalami gaya tekan (-) sebesar 8.37 kips
Elemen 3
DOF 5 DOF 6
[P3local] =
16.00 -10.96
[P3local] =
-4.83 kips
DOF 2 DOF 3
-8.00
10.00 x
-0.50 cos
0.87 sin
-0.50 cos
0.87 sin
Elemen batang 3 mengalami gaya tekan (-) sebesar 4.83 kips.
Tugas 1-Analisis Struktur Rangka Batang dengan Metoda Matriks
7
Analisis Struktur Rangka Batang dengan
Metoda Matriks
SI-6223 Metoda Elemen Hingga
Dosen : Ir. Made Suarjana M.Sc, Ph.D
Disusun oleh : Alexander Aditya Wibowo
NIM
: 25013022
PROGRAM MAGISTER REKAYASA STRUKTUR
PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL
FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN LINGKUNGAN
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
2014
SI-6223
METODA ELEMEN HINGGA
Alexander Aditya Wibowo
25013022
Hitung gaya dalam struktur berikut!
Solusi:
Penomoran titik-titik nodal dan elemen struktur sesuai dengan gambar berikut,
dan penomoran derajat kebebasan struktur sesuai dengan gambar berikut,
Berikut adalah konsep pengerjaan untuk mendapatkan gaya dalam pada elemen-elemen struktur,
=
dimana,
: matriks gaya pada struktur (kips)
: matriks kekakuan global struktur (ksi)
: matriks perpindahan struktur (in)
Dari soal dapat dibentuk matriks gaya pada struktur sebagai berikut,
Tugas 1-Analisis Struktur Rangka Batang dengan Metoda Matriks
1
SI-6223
METODA ELEMEN HINGGA
Alexander Aditya Wibowo
25013022
−8
−8
10
=
=
dari matriks di atas dapat diketahui bahwa P4, P5, dan P6 adalah gaya-gaya yang ingin dicari besarnya
(unknown).
Berikut adalah data elemen-elemen struktur yang telah disusun dalam bentuk tabel
Nomor
Elemen
Koordinat terhadap sb-x
Koordinat terhadap sb-y
awal
awal
akhir
selisih
akhir
selisih
inch
x1
x2
Δx
y1
Kemiringan
terhadap
sumbu Global
Panjang
y2
Cosinus
inch
inch
Δy
L
c
Modulus
Elastisitas
Luas
Penampang
ksi
inch
E
A
Sinus
s
2
1
0
60
60
0
0
0
60
1
0
10000
0.36
2
0
45
45
0
25.98
25.98
51.96
0.866
0.500
10000
0.4
3
60
45
-15
0
25.98
25.98
30
-0.500
0.866
10000
0.6
Membentuk matriks kekakuan elemen,
matriks kekakuan elemen dibentuk berdasarkan matriks berikut,
−
=
−
−
−
−
−
−
−
Dengan persamaan di atas maka dapat dibentuk matriks kekakuan tiap-tiap elemen batang sebagai
berikut,
Tugas 1-Analisis Struktur Rangka Batang dengan Metoda Matriks
2
SI-6223
METODA ELEMEN HINGGA
Elemen 1
EA/L =
Alexander Aditya Wibowo
25013022
60 kips/in
[K1] =
60
DOF 1
x
DOF 4
60.0
[K1]=
Elemen 2
EA/L =
[K2] =
0.0
-60.0
0.0
1
0
0
0
-1
0
0
0
-1
0
0
0
1
0
0
0
DOF 5
DOF 6
0.0
-60.0
0.0 DOF 1
0.0
0.0
0.0
0.0
60.0
0.0
0.0 DOF 4
0.0 DOF 5
0.0 DOF 6
76.98 kips/in
76.98
x
0.75
0.433
0.433
0.25
-0.750
-0.433
-0.433
-0.250
-0.750
-0.433
-0.433
-0.250
0.750
0.433
0.433
0.250
DOF 1
DOF 4
DOF 2
DOF 3
45.0
26.0
-45.0
-26.0 DOF 1
[K2] =
Elemen 3
EA/L =
[K3] =
26.0
-45.0
-26.0
15.0
-26.0
-15.0
-26.0
45.0
26.0
-15.0 DOF 4
26.0 DOF 2
15.0 DOF 3
200 kips/in
200
x
0.25
-0.433
-0.433
0.75
-0.250
0.433
0.433
-0.750
-0.250
0.433
0.433
-0.750
0.250
-0.433
-0.433
0.750
DOF 5
DOF 6
DOF 2
DOF 3
50.0
-86.6
-50.0
86.6 DOF 5
[K3] =
-86.6
-50.0
86.6
150.0
86.6
-150.0
86.6
50.0
-86.6
-150.0 DOF 6
-86.6 DOF 2
150.0 DOF 3
Tugas 1-Analisis Struktur Rangka Batang dengan Metoda Matriks
3
SI-6223
METODA ELEMEN HINGGA
Alexander Aditya Wibowo
25013022
Dari matriks-matriks kekakuan masing-masing elemen kemudian dibentuk matriks kekakuan global.
Matriks kekakuan global ini disusun berdasarkan urutan masing-masing derajat kebebasan tiap-tiap
elemen (DOF) dimana jika ada dua elemen yang memiliki DOF yang sama pada satu titik maka
kekakuan dari kedua elemen tersebut digabung dengan cara dijumlahkan.
Matriks Kekakuan Global
DOF 1
DOF 2
DOF 3
DOF 4
DOF 5
DOF 6
105.0
-45.0
-26.0
26.0
-60.0
0.0
DOF 1
-45.0
95.0
-60.6
-26.0
-50.0
86.6
DOF 2
-26.0
-60.6
165.0
-15.0
86.6
-150.0
DOF 3
26.0
-26.0
-15.0
15.0
0.0
0.0
DOF 4
-60.0
-50.0
86.6
0.0
110.0
-86.6
DOF 5
0.0
86.6
-150.0
0.0
-86.6
150.0
DOF 6
Selanjutnya adalah membuat persamaan hubungan gaya, kekakuan, dan perpindahan dalam bentuk
matriks sebagai berikut,
=
[P]
=
[K]
x
[U]
-8
105.0
-45.0
-26.0
26.0
-60.0
0.0
U1
-8
-45.0
95.0
-60.6
-26.0
-50.0
86.6
U2
-26.0
-60.6
165.0
-15.0
86.6
-150.0
P4
26.0
-26.0
-15.0
15.0
0.0
0.0
0
P5
-60.0
-50.0
86.6
0.0
110.0
-86.6
0
P6
0.0
86.6
-150.0
0.0
-86.6
150.0
0
10
=
x
U3
Persamaan matriks di atas dapat dipartisi menjadi seperti berikut,
!
"
#=
#×
"
!
#
Tugas 1-Analisis Struktur Rangka Batang dengan Metoda Matriks
4
SI-6223
METODA ELEMEN HINGGA
Alexander Aditya Wibowo
25013022
Dimana,
!
: matriks gaya yang diketahui (P known)
"
: matriks gaya yang tidak diketahui, ingin dicari (P unknown)
!
: matriks perpindahan yang diketahui (U known)
"
: matriks perpindahan yang tidak diketahui, ingin dicari (U unknown)
Berikut adalah bentuk partisi pada persamaan matriks yang telah dibentuk,
Dengan begitu maka dapat dilakukan perhitungan untuk mencari perpindahan yang tidak diketahui
[Uu] sebagai berikut,
Cari U1, U2, dan U3
[Pk]
-8
-8 =
10
[Uu]
U1
U2
U3
=
105.0
-45.0
-26.0
[K11]
-45.0
95.0
-60.6
[Uu]
[K12]
[Uk]
-26.0
U1
26.0 -60.0
0.0
0
-60.6 x U2
+ -26.0 -50.0
86.6 x
0
165.0
U3
-15.0 86.6 -150.0
0
[K11]-1
0.0167 0.0125 0.0072
0.0125 0.0231 0.0105 x
0.0072 0.0105 0.0110
[Pk]
-8
-8
10
[Uu]
U1
U2
U3
-0.1612 in
= -0.1804 in
-0.0310 in
Tugas 1-Analisis Struktur Rangka Batang dengan Metoda Matriks
5
SI-6223
METODA ELEMEN HINGGA
Alexander Aditya Wibowo
25013022
Setelah mendapatkan besarnya seluruh perpindahan pada masing-masing DOF maka dapat dicari
gaya-gaya yang bekerja pada masing-masing DOF sesuai dengan persamaan matriks berikut,
Cari P4, P5, dan P6
[Pu]
P4
P5
=
P6
[Pu]
P4
P5
=
P6
[K21]
26.0
-26.0
-60.0
-50.0
0.0
86.6
[Uu]
-15.0
-0.1612
86.6 x -0.1804 +
-150.0
-0.0310
15.0
0.0
0.0
[K22]
0.0
110.0
-86.6
[Uk]
0.0
0
-86.6 x
0
150.0
0
0.96 kips
16.00 kips
-10.96 kips
Berikut adalah gaya-gaya yang bekerja pada struktur dalam bentuk gambar,
Dari gaya-gaya yang telah diketahui pada masing-masing nodal maka gaya-gaya dalam pada masingmasing elemen batang sebagai berikut,
Elemen 1
DOF 1 DOF 4 DOF 5 DOF 6
[P1local] =
[P1local] =
-8.00
0.96
1 cos
16.00 -10.96 x 0 sin
1 cos
0 sin
8.00 kips
Elemen batang 1 mengalami gaya tarik (+) sebesar 8.0 kips
Tugas 1-Analisis Struktur Rangka Batang dengan Metoda Matriks
6
SI-6223
METODA ELEMEN HINGGA
Alexander Aditya Wibowo
25013022
Elemen 2
DOF 1 DOF 4 DOF 2 DOF 3
[P2local] =
-8.00
0.96
[P2local] =
-8.37 kips
-8.00
0.87 cos
10.00 x 0.50 sin
0.87 cos
0.50 sin
Elemen batang 2 mengalami gaya tekan (-) sebesar 8.37 kips
Elemen 3
DOF 5 DOF 6
[P3local] =
16.00 -10.96
[P3local] =
-4.83 kips
DOF 2 DOF 3
-8.00
10.00 x
-0.50 cos
0.87 sin
-0.50 cos
0.87 sin
Elemen batang 3 mengalami gaya tekan (-) sebesar 4.83 kips.
Tugas 1-Analisis Struktur Rangka Batang dengan Metoda Matriks
7