Teorema polya dan aplikasinya pada enumerasi graf sederhana - USD Repository

TEOREMA POLYA DAN APLIKASINYA PADA ENUMERASI GRAF SEDERHANA

  Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

  Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

  Oleh : MUSTAKIM NIM : 023114032 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

  POLYA’S THEOREM AND ITS APPLICATION ON ENUMERATION OF SIMPLE GRAPHS

  Thesis Presented as Partial Fulfillment of the Requirements

  To Obtain the SARJANA SAINS Degree In Mathematics

  by : MUSTAKIM Student Number : 023114032 MATHEMATICS DEPARTMENT SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY SANATA DHARMA UNIVERSITY

  H A L A M A N P E R S E M B A H A N Untuk hidup ..

  kita tidak perlu menjadi yang terbaik di antara mereka, cukup menjadi yang lebih baik dari diri kita yang kemarin ...

• arale -

  ada rencana-Nya di balik setiap peristiwa dan keadaan, yang terbaik buat kita .. meski terlihat buruk di mata kita dan mereka …

• - ants - Dengan penuh sujud syukur kehadirat Allah SWT ...

  Skripsi ini kupersembahkan untuk : Ayah dan Ibuku tersayang, H. Shodikin dan Hj. Kasturi, Kakak-kakakku,

  Mas Saefudin dan Mas Amat Taufik Adik-adikku, Saefuroh dan Muchlisin. Seseorang yang telah memberi arti kedewasaan, Sahabat-sahabatku di mana pun engkau ada,

  Teman-teman seperjuanganku Math ’02,

  

ABSTRAK

  Teorema Polya menyatakan bahwa persediaan pola dari suatu himpunan pe- warnaan C , A R adalah indeks untai grup permutasi G dari suatu himpunan A,

  ( )

  dengan z merupakan jumlahan bobot warna di R. Persediaan pola menunjukkan

  k

  banyaknya pewarnaan yang berbeda dengan tipe tertentu, yaitu pewarnaan dari elemen-elemen di A yang menggunakan warna-warna tertentu di R.

  Salah satu aplikasi Teorema Polya adalah untuk menyelesaikan masalah enu- merasi graf, yaitu masalah yang berkaitan dengan penghitungan atau pencacahan banyaknya graf tak isomorfik yang dapat dibentuk oleh n simpul dan m busur. Graf-graf yang tak isomorfik merupakan pewarnaan-pewarnaan yang berbeda di C ( A , R ) dengan A adalah himpunan busur.

  

ABSTRACT

  Polya’s Theorem tells that a pattern inventory of a set of colorings C , A R is

  ( )

  cycle index of a permutation group G of a set A, where z is the sum of the

  k

  weights of colors in R. A pattern inventory shows the number of distinct colorings of a certain kind in C , A R , that is a coloring of elements in A with certain colors

  ( ) in R.

  One of the applications of Polya’s Theorem is to solve graph enumeration problem, which is a problem that correspond with counting the number of non- isomorphic graphs that can be constructed by

  n vertices and m edges. Nonisomor-

  phic graphs are distinct colorings in ( , ) , where C A R A is a set of edges.

KATA PENGANTAR

  Segala puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas limpahan rahmat-Nya, kasih dan sayang-Nya, serta atas anugerah-Nya berupa kesabaran dan kekuatan kepada penulis sehingga penyusunan skripsi ini dapat diselesaikan.

  Dalam penyusunan skripsi ini, penulis banyak menemui hambatan dan ke- sulitan. Namun, berkat bantuan dan dukungan dari banyak pihak, akhirnya skripsi ini dapat diselesaikan. Pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :

  1. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si, selaku dosen pembimbing skripsi yang telah meluangkan waktu dan pikiran, serta dengan sabar membimbing dan mendampingi penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik.

  2. Romo Ir. Gregorius Heliarko, S.J., S.S., BST, M.A., M.Sc., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

  3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku Kepala Program Studi Matematika yang telah memberi saran dan masukan.

  4. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing akademik yang selalu setia memberikan nasehat, saran, dan dukungan untuk penulis.

  5. Bapak dan Ibu dosen yang telah memberikan bekal ilmu yang sangat berguna bagi penulis.

  6. Mas Tukijo, Ibu Suwarni, Ibu Linda dan segenap staf sekretariat FST yang

  7. Romo Dr. Frans Susilo, S.J., selaku kepala perpustakaan serta segenap staf perpustakaan yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan kepada penulis.

  8. Ayah dan Ibuku tercinta, Bapak H. Shodikin & Ibu Hj. Kasturi yang dengan penuh kasih sayang dan kesabaran telah mendidik, memberikan dorongan semangat dan dukungan penuh kepada penulis selama menempuh studi. Terimakasih Ayah .. Terimakasih Ibu ..

  9. Kakak-kakakku Mas Asep & Mas Tofiq, Adik-adikku De’ Sae & De’ Shin, yang telah mendukung penulis kuliah di jogja dan senantiasa mendoakan dan memberi semangat.

  10. Sahabat-sahabatku, Bani, Markus, Aan, Ijup, Tato, dan Galih (Genk Mawut) yang senantiasa mendampingi penulis dengan keceriaan serta selalu memberikan dukungan dan semangat dalam belajar. Thanks sobat .. Kenanglah selalu tentang kebersamaan kita …

  11. Temen-temen angkatan 2002: Lia, Chea, Palma, Pengky, Ika, Vida, Lili, Aning, Desy, Wuri, Lenta, Deby, Felixs, Nunung, Retno, Priska, Dani, Asih, Rita, Sari, dan Deon yang selalu semangat dan kompak dalam melewati kebersamaan selama di Matematika USD.

  12. Ridwan thanks untuk saran, doa, dan semangatnya.

  13. Kakak angkatan 1998-2001 dan adek-adek angkatan 2003-2007 yang telah memberikan warna kehidupan kepada penulis selama kuliah.

  14. Kost Kodok Ijo : Didiet, Topan, Sumin, Bayu, Okhy yang selalu banyak canda dan selalu memberi semangat.

  15. Cah SMANKA, yang sampai sekarang tetep kompak, Anggoro, U’ut, Pras, Chandra, thanks sobat ‘n Keep in Touch !!

  16. Temen-temen JTC EB 2001, Vina thanks buat dukungannya tentang arti kede- wasaan, Lalita, Lina, Istie, Muthoharoh, Ayun, Patimeh, Nina, Ubed, Zam- roni, Eko dan Bambang yang kompak banget dan selalu berbagi kebersamaan dan dukungan kepada penulis. Keep in Togetherness ..

  17. Pak Nardi, Mba’ Ayi’, Mas Sis, Mas Ari, Mba’ Khusnul, Mba’ Rahmi, Taufiq serta segenap staf dan karyawan JTC Cabang Pekalongan, thanks buat suasana kebersamaan dan kekeluargaannya.

  18. Dwie’, Visca dan Isna yang selalu mendoakan dan memberikan semangat.

  19. Bapak & Ibu RT, Bapak & Ibu Bayan, Mas Sigit, Mas Denny serta segenap warga Tegal Gaswangi yang telah membuka hati, memberikan tempat dan membimbing selama pelaksanaan KKN di Tegal.

  20. Temen-temen KKN 32:23, Si Boss Richard, Cisil, Duo Ms. Big Anink & Ulin, There, Dian, Wulan, Ci’ Lanny, Ronald yang kompak dan selalu sema- ngat dalam bekerja selama KKN.

  Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penulis dalam penulisan skripsi ini yang tidak disebutkan disini.

  Yogyakarta, Februari 2008

  DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL ................................................................................ i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ............................ ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................... iii HALAMAN PENGESAHAN .................................................................. iv HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................... v PERNYATAAN KEASLIAN HASIL KARYA ..................................... vi ABSTRAK ................................................................................................ vii ABSTRACT .............................................................................................. viii LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA

  ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ............................... ix KATA PENGANTAR .............................................................................. x DAFTAR ISI ............................................................................................. xiii BAB I. PENDAHULUAN ........................................................................

  1 A. Latar Belakang Masalah .................................................................

  1 B. Perumusan Masalah .......................................................................

  2 C. Pembatasan Masalah ......................................................................

  2 D. Tujuan Penulisan ............................................................................

  3 E. Metode Penulisan ...........................................................................

  3 F. Manfaat Penulisan ..........................................................................

  3 G. Sistematika Penulisan ....................................................................

  4 BAB II. GRUP PERMUTASI DAN TEORI GRAF ............................. 6

  B. Fungsi atau Pemetaan .....................................................................

  81 BAB IV. APLIKASI TEOREMA POLYA PADA ENUMERASI GRAF

  B. Saran................................................................................................ 128

  A. Kesimpulan .................................................................................... 126

  126

  2. Enumerasi graf sederhana dengan empat simpul ..................... 110 BAB V. PENUTUP ...................................................................................

  1. Enumerasi graf sederhana dengan tiga simpul ......................... 104

   SEDERHANA............................................................................ 96

  75 C. Teorema Polya ...............................................................................

  10 C. Permutasi ........................................................................................

  59 B. Persediaan Pola ..............................................................................

  50 BAB III. TEOREMA POLYA ................................................................ 59 A. Pewarnaan ......................................................................................

  41 G. Teori Graf .......................................................................................

  38 F. Teorema Burnside ..........................................................................

  25 E. Indeks Untai Grup Permutasi .........................................................

  15 D. Grup Permutasi ..............................................................................

  DAFTAR PUSTAKA ............................................................................... 129

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Suatu kumpulan obyek-obyek dapat dikaitkan dengan suatu himpunan warna,

  yaitu berupa pewarnaan obyek-obyek tersebut. Di dalam suatu graf, pewarnaan merupakan pemetaan dari setiap simpul atau busur di dalam graf tersebut ke suatu himpunan warna.

  Andaikan diberikan suatu array 2x2 sebagai berikut Pewarnaan dari array tersebut berkaitan dengan penempatan suatu warna ke dalam empat kotak dari array 2x2. Misal, warna yang digunakan adalah hitam dan putih.

  Oleh karena itu, ada dua kemungkinan bahwa suatu kotak di dalam array tersebut ditempati oleh warna hitam atau warna putih. Karena terdapat dua warna dan em- pat kotak di dalam array tersebut, sehingga banyaknya pewarnaan yang mungkin ₄ adalah

  2 = 16 . Namun, himpunan dari 16 pewarnaan ini juga memuat pewarnaan-pewarnaan yang sama atau ekivalen, yang berarti dari 16 pewarnaan tersebut tidak semuanya ekivalen. Salah satu metode untuk menghitung banyaknya pewarnaan-pewarnaan yang berbeda dengan tipe tertentu, yaitu pewarnaan dengan warna-warna tertentu, adalah dengan menerapkan Teorema Polya. Metode ini mencacah dengan tepat banyaknya pewarnaan yang berbeda tanpa mendaftar semua pewarnaan dan tanpa mencari kelas-kelas ekivalensi dari himpunan pewarnaan tersebut.

  Di dalam masalah enumerasi graf sederhana, penggunaan Teorema Polya ber- hubungan dengan perhitungan banyaknya graf sederhana yang memuat n simpul dan m busur serta tak isomorfik antara satu graf dengan yang lainnya. Graf-graf yang tak isomorfik merupakan pewarnaan-pewarnaan yang berbeda.

  B. Perumusan Masalah

  Pokok-pokok permasalahan yang akan dibahas di dalam skripsi ini dapat diru- muskan sebagai berikut :

  1. Hal-hal apa saja yang melandasi Teorema Polya ?

  2. Apa isi Teorema Polya dan bagaimana pembuktiannya ?

  3. Bagaimana menggunakan Teorema Polya di dalam menyelesaikan ma- salah enumerasi graf sederhana tak berlabel dengan tiga simpul dan empat simpul ?

  C. Pembatasan Masalah

  Di dalam skripsi ini penulis hanya akan membahas tentang Teorema Polya dan pembuktiannya. Aplikasi Teorema Polya di dalam masalah enumerasi graf seder- hana dibatasi untuk graf tak berarah dan tak berlabel dengan tiga simpul dan em- pat simpul saja.

  D. Tujuan Penulisan

  Selain untuk melatih kemampuan akademik di dalam bidang berkarya ilmiah, penyusunan skripsi ini juga bertujuan untuk memperdalam pemahaman mengenai Teorema Polya serta aplikasinya di dalam menyelesaikan masalah enumerasi graf sederhana tak berlabel.

  E. Metode Penulisan

  Penyusunan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari materi yang terdapat di dalam buku-buku dan jurnal yang berkaitan dengan Teorema Polya dan aplikasinya di dalam masalah enumerasi graf seder- hana tak berlabel. Sehingga hasil dari penulisan ini tidak ditemukan hal-hal yang baru.

  F. Manfaat Penulisan

  Manfaat yang diharapkan penulis dari penyusunan skripsi ini adalah bertam- bahnya wawasan dan pemahaman tentang Teorema Polya serta memiliki kemam- puan untuk menerapkannya di dalam masalah enumerasi graf sederhana tak berla- bel.

G. Sistematika Penulisan

  BAB I PENDAHULUAN Bab ini menjelaskan mengenai latar belakang masalah, perumusan masalah,

  pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan dan sistematika penulisan.

  BAB II GRUP PERMUTASI DAN TEORI GRAF Bab ini menjelaskan mengenai grup permutasi dan konsep-konsep dasar dari

  teori graf. Pada bagian awal akan dijelaskan mengenai relasi ekivalensi dan kelas ekivalensi. Kemudian dilanjutkan dengan pembahasan mengenai permutasi, grup permutasi, indeks untai grup permutasi dan Teorema Burnside. Bab ini diakhiri dengan pembahasan mengenai teori graf.

  BAB III TEOREMA POLYA Bab ini menjelaskan mengenai pewarnaan, persediaan pola serta Teorema Polya dan pembuktiannya.

BAB IV APLIKASI TEOREMA POLYA PADA ENUMERASI GRAF

SEDERHANA Bab ini menjelaskan mengenai aplikasi dari Teorema Polya pada enumerasi graf sederhana tak berlabel dengan tiga simpul dan empat simpul.

BAB V PENUTUP Bab ini berisi tentang kesimpulan dari tulisan ini dan saran dari penulis kepada pembaca tulisan ini.

BAB II GRUP PERMUTASI DAN TEORI GRAF Di dalam bab ini akan dibahas mengenai grup permutasi dan teori graf. Penu-

  lis akan mengawali pembahasan dengan pengertian tentang relasi ekivalensi dan kelas ekivalensi, serta fungsi dan permutasi. Kemudian dilanjutkan dengan pembahasan mengenai grup permutasi serta Teorema Burnside, dan diakhiri de- ngan konsep-konsep dasar tentang teori graf.

A. Relasi Ekivalensi dan Kelas Ekivalensi

  

Partisi dari suatu himpunan merupakan pemecahan himpunan menjadi him-

  punan-himpunan bagian, sehingga setiap elemen dari himpunan tersebut hanya berada di satu himpunan bagian saja. Himpunan bagian ini disebut

  sel atau kelas.

  Dua himpunan yang tidak memiliki elemen yang sama disebut saling terpisah, sehingga sel-sel suatu himpunan adalah saling terpisah.

  Definisi 2.1.1

  Suatu relasi ∼ pada himpunan A disebut relasi ekivalensi jika, untuk setiap

  a , b , c ∈ A , ∼ memenuhi tiga sifat berikut :

  1. ( a ∼ a memantul).

  2. Jika ∼ maka ∼ (setangkup).

  a b b a

  3. Jika a ∼ b dan b c ∼ maka ∼ (menghantar). a c

  Definisi 2.1.2

  Diberikan ∼ suatu relasi ekivalensi pada A. Untuk setiap a ∈ A , kelas ekivalensi dari a merupakan suatu himpunan

  : .

  

[ ] a = { x ∈ A x ∼ a }

  Suatu relasi ekivalensi membagi elemen-elemen di dalam suatu himpunan ke dalam kelas-kelas yang saling terpisah.

  Teorema 2.1.1

  Jika , untuk setiap ,

  ∼ adalah suatu relasi ekivalensi pada A, maka A U = [ ] a a ∈ A dan jika a ≠ b , maka a I b = ∅ , untuk setiap a ∈ , b A . Oleh karena itu, relasi

  [ ] [ ] [ ] [ ] ∼ membagi A menjadi kelas-kelas ekivalensi yang saling terpisah.

  Bukti : Karena a ∈ a sehingga berlaku U a = A , untuk setiap a ∈ A .

  [ ] [ ] Akan dibuktikan, jika [ ] [ ] a ≠ b , maka [ ] [ ] a I b = ∅ .

  Andaikan , misal I , sehingga berlaku dan .

  [ ] a I [ ] b ≠ ∅ c ∈ [ ] [ ] a b c ∈ [ ] a c ∈ [ ] b Menurut Definisi 2.1.2, jika dan , maka . c ∈ [ ] a c ∈ [ ] b c a ∼ dan ∼ c b

  Menurut Definisi 2.1.1, jika c ∼ maka ∼ a a c dan karena c b ∼ , maka ∼ a b , se- hingga a ∈ b .

  [ ]

  Misal x ∈ [ ] a , maka berlaku x ∼ . a Karena , sehingga . Jadi, jika maka ,

  a ∼ b x ∼ diperoleh b x ∈ [ ] b x ∈ [ ] a x ∈ [ ] b Menurut Definisi 2.1.1, jika c ∼ maka ∼ b b c dan karena c a ∼ , maka ∼ , se- b a hingga b ∈ a .

  [ ] Misal x ∈ [ ] b , maka berlaku x ∼ b .

  Karena , sehingga . Jadi, jika maka ,

  b ∼ a x ∼ diperoleh a x ∈ [ ] a x ∈ [ ] b x ∈ [ ] a sehingga .

  [ ] b ⊂ [ ] a Karena a ⊂ b dan b ⊂ a maka a = b . [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Sehingga berlaku bahwa jika a I b ≠ ∅ , maka a = b .

  [ ] [ ] [ ] [ ]

  Terbukti bahwa kelas-kelas ekivalensi pada suatu himpunan A saling terpisah, yaitu jika , maka = ∅ , untuk setiap a ∈ , b A .

  [ ] [ ] a ≠ b [ ] [ ] a I b

  □

  Contoh 2.1.1

  Andaikan diberikan himpunan warna R = { hitam , putih } dan suatu array 2x2 yang dapat digambarkan berikut, Suatu pewarnaan dari array tersebut berkaitan dengan penempatan warna hitam dan warna putih ke dalam empat kotak dari array 2x2. Oleh karena itu, ada dua kemungkinan bahwa suatu kotak di dalam array tersebut ditempati oleh warna hi- tam atau warna putih. Sehingga terdapat 16 kemungkinan pewarnaan sebagai berikut,

  C C C C C C C C C _{1 2 3 4 5 6 7 8 9} C C C C C C C _{10 11 12 13 14 15 16} Andaikan A himpunan semua pewarnaan array tersebut. Pewarnaan a dan b dika- o

  takan sama, dan ditulis a ∼ , jika b dapat diperoleh dengan memutar a sejauh , b

  o o o

  90 , 180 , atau 270 , terhadap titik pusatnya dan berlawanan arah jarum jam. Di-

  o

  a sejauh ( x ) a sejauh o

• asumsikan bahwa memutar 360 sama dengan memutar

  . Untuk setiap , , ∈ , relasi ∼ memenuhi sifat-sifat berikut :

  x a b c A o

  1. Memantul, karena a dapat diperoleh dengan memutar a sejauh . Misal,

  o C dapat diperoleh dengan memutar C sejauh 0 . _{2 2} o

  2. Setangkup, karena jika ,

  b dapat diperoleh dengan memutar a sejauh x o

  maka

  ( 360 − ) . Misal, a dapat diperoleh dengan memutar b sejauh x C ₃ o

  dapat diperoleh dengan memutar C sejauh ₂ 90 , maka C dapat diperoleh ₂

  o o

  dengan memutar C sejauh ( 360 − ₃ 90 ) = 270 .

  o

  3. Menghantar, karena jika b dapat diperoleh dengan memutar a sejauh x

  o

  dan , maka

  c dapat diperoleh dengan memutar b sejauh y c dapat o

  diperoleh dengan memutar . Misal, jika dapat

  a sejauh ( x + y ) C ₃ o

  diperoleh dengan memutar C sejauh ₂ 90 dan C dapat diperoleh dengan ₄ o

  memutar C sejauh ₃ 90 , maka C dapat diperoleh dengan memutar C _{4 2}

  sejauh

  90 90 = 180 .

• o o

  ( ) Jadi, relasi ∼ merupakan suatu relasi ekivalensi.

  Relasi ekivalensi ∼ membagi himpunan A menjadi kelas-kelas ekivalensi yang saling terpisah. Pewarnaan , , dan terdapat di dalam satu kelas

  C C C C _{2 3}

₄

₅

  ekivalensi = = = , pewarnaan , , dan terdapat di

  [ ] [ ] [ ] [ ] C C C C C C C C _{2 3 4 5 6 7 8 9}

  dalam satu kelas ekivalensi C = C = C = C , pewarnaan C , C , C dan

  [ ] [ ] [ ] [ ] ^{6 7 8 9 10 11 12} C terdapat di dalam satu kelas ekivalensi C = C = C = C , pewarnaan _{13 [ ] [ ] [ ] [ ] 10 11 12 13} C dan C terdapat di dalam satu kelas ekivalensi [ ] [ ] C = C , pewarnaan C _{14 15 14 15 1}

  terdapat di dalam satu kelas ekivalensi dan pewarnaan terdapat di dalam

  [ ] C C

₁

₁₆

  satu kelas ekivalensi . Jadi, terdapat 6 kelas ekivalensi yang disebabkan oleh

  [ C ] ₁₆ relasi ekivalensi ∼ pada A.

B. Fungsi atau Pemetaan

  Elemen-elemen di dalam dua himpunan tak kosong dapat dikaitkan satu sama lain dengan pemetaan. Pemetaan tersebut mengaitkan setiap elemen himpunan pertama dengan tepat satu elemen dari himpunan kedua.

  Definisi 2.2.1

  Suatu

  fungsi atau pemetaan φ dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan

  tertentu yang memasangkan setiap elemen dengan elemen tunggal ,

  a ∈ A b ∈ B

  dikatakan

  

( ) a = b .

  φ Elemen b merupakan bayangan a terhadap φ . Kenyataan bahwa φ memetakan A ke B dinotasikan dengan

  φ : A → B . Himpunan A disebut daerah definisi φ dan himpunan B disebut daerah bayangan φ .

  Contoh 2.2.1

  Andaikan A = { a , a , a } dan B = { b , b } . Suatu fungsi φ : A → B didefinisikan _{1 2 3 1 2} oleh , dan . Jadi, fungsi φ ( ) a = b φ ( ) a = b φ a = b φ ini memasangkan setiap _{1 1 2 2 ( ) 3 1} elemen di dalam himpunan

  A dengan tepat satu elemen di dalam himpunan B.

  Berdasarkan sifatnya, fungsi dapat dibagi menjadi beberapa jenis yaitu fungsi

  

onto (surjektif), fungsi satu - satu (injektif) dan fungsi korespondensi satu-satu

( bijektif).

  Definisi 2.2.2

  Fungsi φ : A → B adalah onto atau surjektif, jika setiap elemen di B adalah ba- yangan dari paling sedikit satu elemen di

  A. Secara simbolik, φ : A → B adalah

  onto jika untuk setiap b ∈ B maka paling sedikit ada satu a ∈ A sehingga .

  φ ( ) a = b

  Contoh 2.2.2

  Definisi 2.2.3

  5 ^{4 4 3 3 2 2 1 1} b b a b a b a

b a

²

  

A B

  Suatu fungsi ₂ φ didefinisikan sebagai berikut

  Contoh 2.2.3

  = maka , atau ekivalen dengan mengatakan jika maka _{2 1} a a = _{2 1} a a ≠ ( ) ( ) _{2 1} φ a a φ ≠ .

  φ φ

  satu-satu (ditulis 1-1) atau injektif jika ( ) ( ) _{2 1} a a

  : φ dikatakan

  B A →

  Suatu fungsi

  φ = .

  Suatu fungsi ₁ φ didefinisikan sebagai berikut

  ( ) _{3 1 3} a b

  dan

  ( ) _{2 1 2} φ a b =

  ,

  ( ) ( ) _{4 1 1 1 1} φ a a b φ = =

  φ = , yaitu

  a di A sehingga ( ) a b ₁

  φ di atas bersifat onto, karena untuk setiap elemen b di B maka ada

  φ Fungsi B A → : ₁

  

A B

¹

  4 ^{3 3 2 2 1 1} a

b a

b a

b a

  φ Fungsi : A → B di atas bersifat 1-1, karena tidak ada dua atau lebih elemen di φ ₂ A yang mempunyai bayangan sama, yaitu φ a ≠ φ a ≠ φ a ≠ φ a . _{2 ( ) 1 2 ( ) 2 2 ( ) 3 2 ( 4 )}

  Definisi 2.2.4

  Fungsi : A → B dikatakan korespondensi 1-1 atau bijektif jika φ adalah 1-1 dan φ onto.

  Contoh 2.2.4

  Suatu fungsi φ didefinisikan sebagai berikut ₃ φ

  

3

A B a b

  1

  1 a b

  2

  2 a b

  3

  3 a b

  4

  4 Fungsi : di atas bersifat onto, karena untuk setiap elemen

  φ A → B ₃

  b di B, ada a

  di A sehingga ( ) a = b , yaitu ( ) a = b , ( ) a = b , ( ) a = b dan φ ^{3 φ 3 1 1 φ 3 2 2 φ 3 3 3}

  φ ( ) a = b . Fungsi φ juga bersifat 1-1, karena tidak ada dua atau lebih elemen di _{3 4 4 3} A yang mempunyai bayangan sama, yaitu φ ( ) a ≠ φ ( ) a ≠ φ ( ) a ≠ φ ( a ) . _{3 1 3 2 3 3 3 4} Suatu fungsi : A → B dan : B → C dapat dituliskan sebagai komposisi φ φ _{1 2} dua fungsi yaitu φ o φ : A → C . Komposisi tersebut berarti bahwa fungsi φ _{2 1 1}

  ke

C. Dengan ketentuan bahwa daerah bayangan

  φ sama dengan daerah definisi ₁ φ . ₂ Definisi 2.2.5 Jika φ : A → B dan φ : B → C , maka komposisi φ dengan φ dituliskan φ o φ , _{1 2 2 1 2 1}

  o

  yaitu fungsi φ φ : A → C , didefinisikan oleh _{2 1}

  o ,

( φ φ )( ) a = φ ( φ ( ) a )

_{2 1 2 1} untuk setiap . a ∈ A

  Contoh 2.2.5

  Misal, diketahui fungsi φ dan φ sebagai berikut, _{1 2}

  φ φ

  2

1 A B B C

  a b b c

  1

  1

  1

  1

a b b c

  2

  2

  2

  2 a b

  3 3 b c

  3

  3 a b

  4 4 b c

  4

  4

  sehingga diperoleh komposisi fungsi φ dengan φ sebagai berikut, _{2 1}

  

φ o φ

  2

  1 A C

a c

  1

  1

a c

  2

  2

a c

  3

  3

a c

  4

  4

  Teorema 2.2.1

  Jika φ : A → B , φ : B → C dan φ : C → D , maka komposisi dari tiga fungsi _{1 2 3} tersebut memenuhi sifat asosiatif, yaitu o ( o ) ( = o ) o . φ ^{3 φ 2 φ 1 φ 3 φ 2 φ 1} Bukti : Misal a ∈ A .

  Berlaku

  ( o ( o ) )( ) a = ( ( o )( ) a ) = ( ( ( ) a ) )

  φ φ φ φ φ φ φ φ φ _{3 2 1 3 2 1 3 2 1} = ( φ o φ ) ( ) ( φ a ) ( = ( φ o φ ) o φ ) ( ) a , _{3 2 1 3 2 1} sehingga o o a = o o a

  

( φ ( φ φ ) )( ) ( ( φ φ ) φ )( )

_{3 2 1 3 2 1}

  untuk setiap . Jadi, menurut Definisi 2.2.5 diperoleh bahwa

  a ∈ A o ( o ) ( = o ) o .

  φ ^{3 φ 2 φ 1 φ 3 φ 2 φ 1} □

C. Permutasi

  Di dalam subbab ini akan dibahas mengenai konsep-konsep yang berkaitan dengan permutasi.

  Definisi 2.3.1

Permutasi dari suatu himpunan A adalah fungsi dari A ke A yang bersifat 1-1 dan

  Andaikan

  A suatu himpunan berhingga, permutasi π dari A merupakan fungsi

  yang bersifat 1-1 dan onto. Sebagai penyederhanaan, penulis menggunakan bi- langan bulat positif 1 , 2 , 3 , K , n untuk menyatakan elemen-elemen di

  A. Misal, jika

  π π π π π dapat

  A = { 1 , 2 , 3 , 4 } dan ( ) 1 = 2 , ( ) 2 = 3 , ( )

3 =

4 , ( ) 4 = 1 maka permutasi

  dinyatakan sebagai

  1

  2

  3

  4 ⎛ ⎞ = .

  π ⎜⎜ ⎟⎟

  2

  3

  4

  1 ⎝ ⎠

  Secara umum, permutasi π dari himpunan A dapat dinyatakan sebagai

  1

  2

  3 K n ⎛ ⎞ = ,

  π

  ⎜⎜ ⎟⎟

a a a K a

_{1 2 3} n

  ⎝ ⎠

  dimana permutasi π memetakan 1 ke , 2 ke , 3 ke dan seterusnya hingga a a a _{1 2 3} elemen ke . Bilangan bulat positif 1 , 2 , 3 , K , menyatakan

  n dipasangkan ke a n n urutan elemen-elemen di , , , K , ∈ .

  A dan a a a a A _{1 2 3 n} Contoh 2.3.1

  Misal, suatu permutasi π didefinisikan sebagai berikut ₁

  π

  

1

A A

  1

  1

  2

  2

  3

  3

  4

  4 Permutasi π memetakan 1 ke 3, 2 ke 1, 3 ke 4 dan 4 ke 2, sehingga π dapat

  1

  2

  3

  4 ⎛ ⎞ = .

  π ¹ ⎜⎜ ⎟⎟

  3

  1

  4

  2 ⎝ ⎠

  Andaikan π dan π adalah permutasi dari himpunan A. Suatu komposisi per- _{1 2}

  o atau mutasi (penggandaan / hasilkali permutasi) π dengan π , yaitu π π _{1 2 1 2}

  , merupakan suatu permutasi yang memetakan setiap elemen di A ke A de- π π _{1 2} ngan permutasi π terlebih dulu, kemudian memetakan hasilnya ke elemen di A ₂ menggunakan permutasi π . ₁ Contoh 2.3.2

  1

  2

  3

  4

  1

  2

  3

  4

  1

  2

  3

  4 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Jika π = dan π = , maka π o π = . _{1 2 1 2}

  ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟

  4

  2

  1

  3

  2

  1

  4

  3

  2

  4

  3

  1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  Di dalam contoh tersebut dapat dilihat bahwa 2 dipasangkan ke 1 oleh π , dan 1 ₂ dipasangkan ke 4 oleh o memetakan 2 ke 4. Hal ini dapat

  π , jadi komposisi π π _{1 1 2} dituliskan sebagai ( o )( )

  2 = ( ( ) 2 ) = ( ) 1 = 4 .

  π π π π π _{1 2 1 2 1} Definisi 2.3.2

  

Permutasi identitas merupakan permutasi i dari suatu himpunan A yang memeta-

  kan setiap elemen a ∈ A ke dirinya sendiri yaitu

i ( ) a = a untuk setiap a ∈ A .

  Permutasi identitas dari

  1 , 2 ,

3 , K , dinyatakan dengan

{ n }

  Definisi 2.3.3 ₁ −

  Untuk suatu permutasi π dari himpunan A, invers permutasi π , yaitu π , meru- pakan permutasi yang membalik arah fungsi ' maka ₁ π , yaitu jika π ( ) a = a ₁

  − −

  ( ) ' , untuk setiap , ' ∈ . Ketunggalan elemen , , meru-

  π a = a a a A π ( ) a ∀ a ∈ A pakan konsekuensi dari kenyataan bahwa π adalah suatu fungsi 1-1 dan onto.

  Invers dari suatu permutasi π diperoleh dengan membalik arah fungsi π , yaitu menukarkan baris pertama dengan baris kedua, kemudian kolom-kolom ba- ris pertama dari hasil pertukaran tersebut diurutkan kembali sehingga diperoleh urutan yang sesuai dengan bilangan bulat

  1 , 2 , 3 , K , n .

  Contoh 2.3.3

  Misal, suatu permutasi π didefinisikan oleh ₁

  1

  2

  3

  4

  5

  6 ⎛ ⎞ π = . ₁

  ⎜⎜ ⎟⎟

  5

  6

  3

  1

  2

  4 ⎝ ⎠

  − ¹ Invers dari π , yaitu π , diperoleh dengan menukarkan baris pertama dengan _{1 1} baris kedua, yaitu

  5

  6

  3

  1

  2

  4 ⎛ ⎞

  , ⎜⎜ ⎟⎟

  1

  2

  3

  4

  5

  6 ⎝ ⎠ kemudian kolom-kolom baris pertama dari hasil tersebut diurutkan kembali sesuai

  K dengan urutan bilangan bulat 1 , 2 , 3 , , n , sehingga diperoleh _{1 ⎛ ⎞}

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  − Komposisi dari suatu permutasi π dengan dirinya sendiri dituliskan sebagai

• k k

  notasi perpangkatan dari . Jika k ∈ Ζ , maka didefinisikan secara π , yaitu π π rekursif sebagai berikut, ₁

  π = π _{2 1} = o

  π π π _{3 2} = o

  π π π M

  k

^{1 k}

• .

  o π = π π

  k

  Jika , maka didefinisikan sebagai

  k = π

  1

  2

  3 L

  n

  ⎛ ⎞ = = . π i

  ⎜⎜ ⎟⎟

  1

  2

  3 L

  n

  ⎝ ⎠

• −

  k

  Jika k ∈ Ζ , yaitu k = − m , untuk suatu m ∈ Ζ , maka didefinisikan sebagai π

  m k m ¹ − − π = π = π .

  ( )

  Misal, komposisi dari 2 permutasi π dan 3 permutasi π , berturut-turut dapat _{2 3 1 2} dinyatakan sebagai dan .

  π π _{1 2} Setiap permutasi π dari himpunan A menentukan suatu partisi dari A menjadi kelas-kelas dengan sifat bahwa , berada di dalam kelas yang sama jika dan

  a b ∈ A k

  hanya jika = ( ) , untuk suatu ∈ . Pernyataan ini dapat dinyatakan sebagai

  b π a k Ζ k

a ∼ b ⇔ b = ( ) a , a , b ∈ A , untuk suatu k ∈ Ζ .

  π Relasi ∼ merupakan suatu relasi ekivalensi, karena memenuhi sifat :

  1. Memantul

  2. Setangkup

  k k −

  Karena jika a b ∼ maka b = π ( ) a , k ∈ Ζ , akibatnya a = π ( ) b dan − k ∈ Ζ , sehingga

  b ∼ . a

  3. Menghantar

  k j

  Karena jika a ∼ b dan b ∼ , maka c b = π ( ) a dan c = π ( ) b , untuk suatu

  j, k ∈ Ζ , diperoleh

• j j k j k

  dan ,

  

c = π ( ) b = π π ( ) a = π ( ) a j + k ∈ Ζ

( )

  sehingga

  a ∼ . c Definisi 2.3.4

  Andaikan π suatu permutasi dari himpunan A. Kelas-kelas ekivalensi yang diten- tukan oleh relasi ekivalensi

  k

a ∼ b ⇔ b = π ( ) a , , a ∈ , b A k ∈ Ζ ,

di sebut orbit-orbit dari π .

  Contoh 2.3.4

  Suatu permutasi π dari himpunan A = {

  1 ,

2 ,

3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } didefinisikan oleh

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  7

  8 ⎛ ⎞ .

  π = ⎜⎜ ⎟⎟

  3

  8

  6

  7

  4

  1

  5

  2 ⎝ ⎠

  k

  Orbit-orbit dari permutasi tersebut diperoleh dengan mengerjakan , untuk π setiap . Pertama, diambil suatu elemen di

  k ∈ Ζ

  A, misal 1, maka atau dapat dituliskan sebagai

  π π π π π π π π

  L 1 ⎯ ⎯→ 3 ⎯ ⎯→ 6 ⎯ ⎯→ 1 ⎯ ⎯→ 3 ⎯ ⎯→ 6 ⎯ ⎯→ 1 ⎯ ⎯→ 3 ⎯ ⎯→ .

  − k k

  Permutasi , yaitu invers dari , hanya akan membalik arah permutasi, se- π π hingga orbit dari

  1 , 3 , 6 . Kemudian, dipilih suatu ele-

  π yang memuat 1 adalah { } men di A yang tidak terdapat di dalam { }

  

1 ,

3 , 6 , misal 2 , dengan cara yang sama

  diperoleh bahwa orbit yang memuat 2 adalah { }

  2 , 8 . Selanjutnya, dipilih lagi ele-

  men di A yang tidak terdapat di dalam { }

  1 , 3 , 6 dan { } 2 , 8 , misal , dengan cara

  4 yang sama pula diperoleh . Karena ketiga orbit tersebut telah memuat se-

  { 4 , 7 , 5 }

  mua elemen di

  1 , 3 , 6 , 2 , 8 dan 4 , 7 , 5 .

  A, sehingga orbit-orbit dari π adalah { } { } { } Definisi 2.3.5

  Suatu permutasi π adalah untai jika mempunyai paling banyak satu orbit yang memuat lebih dari satu elemen.

  Panjang untai adalah banyaknya elemen di dalam orbit terbesar.

  Definisi 2.3.6

  K Andaikan a , a , a , , a adalah r elemen berbeda dari suatu himpunan A, suatu _{1 2 3 . r} untai π dari A yang didefinisikan oleh

  , , , K , , π a = a π a = a π a = a π a = a π a = a

  ( ) ^{1 2 ( ) 2 3 ( ) 3 4 ( ) r 1 r ( ) r 1} −

  dan ( ) jika x ∉ { a , a , a , K , a } , π x = x π disebut untai dengan panjang r atau r- _{1 2 3 r}

  untai. Notasi r-untai π dinyatakan dengan

  Contoh 2.3.5