Teorema titik tetap banach - USD Repository

TEOREMA TITIK TETAP BANACH

Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika Program Studi Matematika

Oleh: Widaryatna Citra Nursanta

NIM : 013114018

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 1 Mei 2006 Penulis

Widaryatna Citra Nursanta

INTISARI

Dalam skripsi ini dibahas mengenai titik tetap (fixed point). Banyak permasalahan matematika yang dapat diformulasikan dalam bentuk titik tetap.

Teorema Titik Tetap Banach memberikan syarat cukup suatu fungsi dari ruang metrik lengkap ke dirinya sendiri mempunyai titik tetap yang tunggal.

Selanjutnya Teorema Titik Tetap Banach diterapkan untuk menjamin eksistensi dan ketunggalan penyelesaian persamaan diferensial linear orde satu.

Penyelesaian tersebut dapat dicari dengan teknik iterasi.

ABSTRACT

This thesis discusses what is so called fixed point. Many mathematical problems can be formulated as fixed point problem. Banach Fixed Point Theorem gives a sufficient condition for a function from a complete metric space to it self to have a unique fixed point.

Furthermore, Banach Fixed Point Theorem may be applied to ensure the existence and uniqueness of the solution of first order linear differential equation.

This solution can be solved by an iteration method.

KATA PENGANTAR

Segala puji dan hormat kepada Tuhan Yesus atas segala berkat, pimpinan, kasih dan penyertaan-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang bejudul “TEOREMA TITIK TETAP BANACH”. Skripsi ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Matematika (S.Si) pada program studi Matematika di Fakutas MIPA Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak, baik berupa materi, moral, maupun spiritual. Penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :

1. Bapak Ir. Ign. Aris Dwiatmoko, M.Sc. selaku Dekan Fakultas MIPA Universitas Sanata Dharma.

2. Bapak Y.G. Hartono, S.Si, M.Sc. selaku Kaprodi Matematika Fakultas MIPA Universitas Sanata Dharma. Terima kasih karena mau merevisi skripsi saya hingga selesai.

3. Bapak Herry Pribawanto, S.Si. selaku dosen pembimbing. Terima kasih atas saran, ide, waktu serta kesabarannya dalam membimbing penulis.

4. Bapak Prof. Drs. Sumantri karena telah banyak membantu menyelesaikan masalah dalam penulisan.

5. Bapak-Ibu dosen Fakultas MIPA Universitas Sanata Dharma yang

6. Papa dan Mama kekasih, terima kasih buat kasih segala keperluan ku dalam menyelesaikan studi.

7. Dea’ku, makasih atas dukungan dan doanya buat Aya. Sorry kata pengantarnya aku copy. Tapi tenang aja, udah Aya ganti kok kata- katanya. Ayo.... Ujian.......!!!!! 8. Papa dan Mama di Pendolo, terima kasih buat semua perhatiannya.

Terima kasih udah mau jadi orang tua ku.

9. Teman-teman seperjuangan di math’01 (Dani.WA, Tabitha, Agnes, Andre, Ariel, Alam, Very, Ajenk, Erika, Indah, Maria, Deta, Fanya, Vrisca, Rita, Wiwit, Yuli, Upiek, Teddy, Dani). Juga buat teman- teman di PMK Ouikumene, thanks ya buat dukungan do’anya.

10. Papi Narno dan Mami Vera serta teman-teman di GKN Sonopakis, makasih buat do’a dan kebersamaannya ya.

11. Sahabat-sahabat’ku : Bimo, Ryo, en Sony. Ayo tanding maen PS lg.

Hehehe. Terima kasih juga penulis sampaikan kepada semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu-persatu.

Penulis

DAFTAR ISI

Halaman HALAMAN JUDUL................................................................................. i HALAMAN PENGESAHAN PEMBIMBING......................................... ii HALAMAN PENGESAHAN................................................................... iii PERNYATAAN KEASLIAN KARYA.................................................... iv ABSTRAK................................................................................................... v ABSTRACT............................................................................................... vi KATA PENGANTAR................................................................................ vii DAFTAR ISI.............................................................................................. viii ARTI LAMBANG...................................................................................... ix BAB I PENDAHULUAN.......................................................................

1 BAB II RUANG METRIK......................................................................

5 1. Ruang Metrik.........................................................................

5 2. Himpunan Terbuka dan Fungsi Kontinu................................

18 3. Kekonvergenan, Barisan Cauchy dan Kelengkapan..............

28 4. Ruang Topologi.....................................................................

42 BAB III TEOREMA TITIK TETAP BANACH......................................

45 1. Titik Tetap............................................................................

47 2. Teorema Titik Tetap Banach................................................

55 BAB IV PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP BANACH..............

72 BAB V KESIMPULAN...........................................................................

ARTI LAMBANG p ⇒ q jika p maka q. p ⇔ q p jika dan hanya jika q. x ∈ A x anggota A.

A ⊂ B A himpunan bagian B.

himpunan kosong.

/ a , b interval tertutup.

[ ] ( ) a , b interval terbuka. g o f komposisi fungsi. d ( ) x , y jarak/metrik antara titik x dan y.

( X , d ) ruang metrik. x barisan dengan suku-suku x .

{ } _n _n x → x barisan { } x konvergen ke x. _n _n f : X → Y fungsi/pemetaan dari X ke Y.

C ( ) X ruang fungsi kontinu terbatas bernilai real pada X.

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Salah satu bentuk penerapan matematika adalah untuk menyelesaikan suatu persamaan. Namun sebelum memecahkan masalah persamaan, perlu diketahui terlebih dahulu apakah persamaan tersebut mempunyai penyelesaian atau tidak.

Berikut ini akan diberikan fungsi f dengan variabel x, f kontinu pada interval tertutup a , b dan jika f (a ) dan f (b ) memiliki tanda yang berbeda,

[ ]

maka persamaan

f ( x ) = mempunyai sedikitnya satu penyelesaian di dalam interval , .

[ ] a b

Untuk menyelesaikan persamaan di atas diperlukan Teorema Eksistensi atau teorema yang menjamin adanya suatu penyelesaian, sering dinyatakan dalam bentuk prinsip titik tetap (fixed point principles). Sebagai contoh, diperhatikan

persamaan f ( x ) = . Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk f ( x ) x = x α dengan parameter positif α . Jika + f ( x ) x dinyatakan sebagai F (x ) diperoleh

α persamaan

F ( x ) = x ...............................(*)

Titik x dalam persamaan (*) dikenal sebagai titik tetap. Oleh karena itu persamaan tersebut mempunyai sedikitnya satu penyelesaian di dalam interval a , b .

[ ]

Ide awal lahirnya konsep titik tetap, dimulai kira-kira tahun 1500 sebelum

(P)

x = a ∈ N

Sebagai contoh, jika

4 maka 2 . a = x =

Setelah munculnya masalah, kemudian dirumuskan masalah titik tetap (fixed point problem/FPP) sebagai berikut : ₂

x − a = ² +

(FPP) x x − a = x Masalah titik tetap di atas diselesaikan dengan successive substitution/SS yang menghasilkan approximate solution/AS.

(SS) Anggap x =

1 (AS) x = x x − a , untuk n=0,1,2,... ² + ^{n n n} ¹

Kemudian dirumuskan FPP yang lebih abstrak, yaitu:

( )

f x = x Titik x dalam persamaan di atas dikenal sebagai titik tetap.

1.2. Perumusan Masalah

Dalam skripsi ini pokok permasalahan yang akan dibahas adalah:

1. Bagaimana motivasi munculnya konsep titik tetap?

2. Apa pengertian titik tetap?

3. Teorema Titik Tetap Banach dan pembuktiannya?

4. Bagaimana sifat lebih lanjut dan pengembangan Titik Tetap Banach?

1.3. Pembatasan Masalah

Skripsi ini dibatasi pada masalah pencarian syarat cukup fungsi dari ruang metrik lengkap ke dirinya sendiri mempunyai titik tetap. Penerapannya pun hanya dibatasi pada masalah penjaminan eksistensi dan ketunggalan persamaan diferensial linear orde satu.

1.4. Tujuan Penulisan

Penulisan skripsi ini bertujuan untuk memberi wawasan kepada pembaca tentang suatu sifat fungsi kontinu pada ruang metrik lengkap khususnya mengenai Teorema Titik Tetap Banach beserta penerapannya pada eksistensi dan ketunggalan penyelesaian persamaan diferensial linear orde satu.

1.5. Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan skripsi ini yang sangat diharapkan adalah penulis dapat mengetahui dan memahami bagaimana sebenarnya sifat-sifat dan penerapan Teorema Titik Tetap Banach pada penyelesaian persamaan diferensial linear orde satu.

1.6. Metode Penulisan dan Sistematika Penulisan

Metode penulisan yang digunakan dalam skripsi ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari materi dan buku-buku acuan yang ada serta mengkonsultasikan hasil studi mandiri dengan dosen pembimbing.

Sistematika penulisan pada skripsi ini sebagai berikut. Pada BAB I berisi pendahuluan yang menjelaskan latar belakang, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, serta metode penulisan dan sistematika penulisan skripsi ini. Kemudian BAB II menjelaskan pengertian ruang metrik, kekonvergenan, himpunan terbuka serta ruang topologi. Selanjutnya pada

BAB III menjelaskan motivasi munculnya konsep titik tetap, pengertian titik tetap, Teorema Titik Tetap Banach dan pembuktiannya, serta sifat lebih lanjut dan pengembangan Titik Tetap Banach. Pada BAB IV diberikan penerapan Teorema Titik Tetap Banach pada persamaan diferensial. Kemudian pada BAB V merupakan kesimpulan dari seluruh skripsi ini.

BAB II RUANG METRIK Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang metrik, kekonvergenan, himpunan terbuka yang akan melandasi pembahasan bab-bab selanjutnya. A. Ruang Metrik Pada sub bab ini akan dibahas definisi dan contoh ruang metrik. Definisi 2.1.1. Diketahui himpunan X tidak kosong. Suatu metrik (metric) pada X adalah fungsi d

dari

X × ke R yang memenuhi aksioma-aksioma berikut:

a. d (p,q) ≥0; untuk setiap p,q∈X.

b. d (p,q)=0 jika dan hanya jika p = q.

c. d (p,q)= d(q,p); untuk setiap p,q ∈X

d. (p,q)

≤ d(p,r)+ d(r,q); untuk setiap p,q,r∈X (Pertidaksamaan segitiga) Suatu ruang metrik adalah pasangan (X,d), dengan X himpunan tidak kosong dan

d adalah metrik pada X. Anggota ruang metrik disebut titik (point). Bilangan

d (x,y) disebut jarak titik x ke titik y. Sering kali pasangan (X,d) disingkat dengan

saja (apabila metriknya sudah cukup jelas).

Contoh 2.1.1 Diberikan X sebarang himpunan yang tidak kosong.

1 , x ≠ y

⎧

Didefinisikan fungsi d(x,y) = , untuk setiap x,y ∈X

⎨

, x = y

⎩ Akan ditunjukkan (X,d) adalah ruang metrik.

(i) d (x,y) ≥0

(ii) d (x,y)=0 jika dan hanya jika x = y (iii) (x,y) = d(y,x)

d Untuk (i), (ii), dan (iii) jelas dari definisi fungsi d ( ) x , y di atas.

(iv) Jika d(x,y)=0, jelas d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y)

Jika d(x,y)=1, kemungkinannya : a.

x=z dan z≠y d (x,y)

≤ d(x,z) + d(z,y) b.

x≠z dan z=y d (x,y)

≤ d(x,z) + d(z,y) c.

x≠z dan z≠y d (x,y)

≤ d(x,z) + d(z,y) Untuk selanjutnya ruang metrik ini disebut ruang metrik diskrit.

Contoh 2.1.2

Diberikan X = R dan didefinisikan fungsi d : R × R → R dengan definisi

d (x,y)= x y untuk setiap x,y − ; ∈R.

(i)

− + − ≤

∑ = ⁿ ⁱ ^{i i} y x , untuk setiap ) ,..., , ( ), ,..., , ( ₂ ₁ ₂ _{1 n n} = y y y y x x x x = ∈R n .

⎝ ⎛ −

) ( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

dan didefinisikan fungsi d: R R R ^{n n} → × dengan definisi ) , ( y x d = ² ¹ ₁ ²

Diberikan X = R

Contoh 2.1.3

− z x + y z − = d (x,z) + d(z,y) Selanjutnya ruang metrik ini disebut ruang metrik biasa (usual metric space).

− y z z x + − = ) ( ) ( y z z x

= ) (

(iv) d (x,y) = y x −

− = d (y,x)

− x y = x y

= ) ( x y − − = 1 − x y −

(x,y) =

− y x ≥0, jelas dari definisi.

(ii) d (x,y) = y x − = 0 jika dan hanya jika x=y. (iii) d (x,y) = y x − = x y + −

Akan ditunjukkan (X,d) adalah ruang metrik

Jadi terbukti jika y x = maka ) , ( y x d = 0 Dengan demikian ) , ( y x d = 0 jika dan hanya jika y x = .

= , untuk setiap i=1,..,n. Jadi terbukti jika ) , ( y x d = 0 maka y x = . 2. apabila y x

) ( ..... ) ( ) ( _{n n} − x x x x x x + + − + − = ...

= ² ² ₂ ₂ ² ₁ ₁

) ( ..... ) ( ) ( _{n n} − y x y x y x + + − + −

= ² ² ₂ ₂ ² ₁ ₁

∑ = ⁿ ⁱ ^{i i} y x

−

⎜ ⎝ ⎛

⎠ ⎞

) , ( y x d = ² ¹ ₁ ² ) ( ⎟

= , untuk i = 1,2,3,...,n, sehingga diperoleh y x

= maka berlaku _{i i}

y x

(ii) ) , ( y x d = 0 jika dan hanya jika y x = 1. apabila ) , ( y x d = 0 maka ₂ ₁

= 0, untuk setiap i=1,..,n _{i i}

− y x

) ( _{i i}

− y x = 0, untuk setiap i=1,..,n

) ( _{i i}

− y x y x y x + + − + − = ₂

) ( ..... ) ( ) ( _{n n}

) ( ..... ) ( ) ( _{n n} − y x y x y x + + − + − = ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₁ ₁

= 0 ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₁ ₁

∑ = ⁿ ⁱ ^{i i} y x

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

1 ² ) ( ⎟

_n ₂

1 ⎛ ^{2 ⎞} d ( x , y ) = ( x y )

⎜ − ⎟ _{i i} ∑ _i ₁

= ⎝ ⎠ ₂ ₂ ₂

= ( x − y ) ( x − y ) ... ( x − y ) ₁ ₁ ₂ _{2 n n} + + +

= ( y − + + x ) ( y − x ) ... ( y − x ) _n

₁

₂

₁

₂

_{2 n n}

₂

= ⎜ ( y − x ) ⎟ _{i i}

∑ _{i =} ₁

⎝ ⎠ = d ( y , x ) .

(iv) d ( x , y ) d ( x , z ) d ( z , y ) ≤

Untuk membuktikan Pertidaksamaan segitiga untuk metrik ini dipergunakan pertidaksamaan Cauchy – Schwarz.

Pertidaksamaan Cauchy – Schwarz : _{n n n} ₂ ₁ ₂ ₂ ₁ ₂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x y ≤ x y , untuk setiap x = ( x , x ,..., x ) , _{i i i i} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ₁ _{2 n}

∑ ∑ ∑ _i _{1 i} _{1 i} ₁ = = =

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ n y = ( y , y ,..., y ) ∈R . ₁ ₂ _n

Bukti:

Jika =0, untuk setiap 1

_{i ≤ i ≤ n, maka secara trivial terbukti.}

₂

y y

_{i ≠ 0, untuk suatu i, 1 ≤ i ≤ n, maka i}

₁

Jika t sebarang bilangan real, maka didapat _{n n n n} ( x − ty ) ≥ atau x − ² + _{i i i i i i} ² 2 t x y t y ≥ untuk semua t ∈R ² ²

∑ ∑ ∑ ∑ _{i =} _{1 i =} _n _{1 i =} _{1 i =} ₁ Oleh karena itu diskriminan persamaan kuadrat dalam t di atas adalah nonpositif, maka D ₂ ≤ 0

b − ac

4 ≤ _{n n n} ₂ ₂ ₂

⎛ ⎞ ⎜ − 2 x y ⎟ - 4 y . x _{i i i i} ≤ 0

∑ ∑ ∑ _i _{1 i} _{1 i} ₁ = = =

⎝ ⎠ _{n n n} ₂ ₂ ₂ ⎛ ⎞

4 ⎜ x y ⎟ y . x _{i i ≤ 4 i i}

∑ ∑ ∑ _i _{1 i} _{1 i} ₁ = = =

⎝ ⎠ _{n n n} ₂ ⎛ ⎞ ² ² ⎜ x y ⎟ y . x atau _{i i ≤ i i} ∑ ∑ ∑ _{i = i =} ₁ _{1 i =} ₁

⎝ ⎠ _{n n n} ₂ ₁ ₂

₂

₁

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ² ^{2 ⎞}

⎜ ⎟ ( )

⎜ x y ⎟ ⎜ x y ⎟ _{i i ≤ i i}

∑ ∑ ∑

⎜ ⎟ _i _{1 i} _{1 i} ₁

= = =

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ _{n n n} ₂ ₂ ₁ ₂ ₁ ₂

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x y x y _{i i i i} ≤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

∑ ∑ ∑ _i _{1 i} _{1 i} ₁ = = =

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Jadi terbukti, _{n n n n n} ₂ ₁ ₂ ₁ ₂ ₁

⎡ ² ^{2 ⎤ ⎛} ^{2 ⎞ ⎛} ^{2 ⎞}

= ,

x y ≤ x y ⎜ x ⎟ ⎜ y ⎟ _{i i i i i i} ∑ ⎢ ∑ ∑ ⎥ ∑ ∑ _i _{1 i} _{1 i} _{1 i} _{1 i} ₁

= = = = = ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ n untuk setiap x ( x , x ,..., x ), y ( y , y ,..., y ) ∈R .

= = ₁ _{2 n} ₁ _{2 n} Sekarang akan dibuktikan pertidaksamaan segitiga, _n ₂ ₁

⎛ ⎞ ₂ d ( x , y ) = ⎜ ( x − y ) ⎟ _{i i}

∑ _{i =} ₁ _n ⎝ ⎠ ₁ ₂ ⎛ ⎞ ²

− + ⎟ ⎠ ⎞

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥

⎥ ⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

∑ ∑ = = ⁿ ⁱ

^{i i}

ⁿ

ⁱ

^{i i}

y z z x

= ² ¹ ₁ ² ² ¹ ₁ ² ) ( ) ( ⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛

= ² ¹ ² ² ¹ ₁ ² ² ¹ ₁ ²

−

∑ ∑ = = ⁿ ⁱ ^{i i} ⁿ ⁱ ^{i i} y z z x

= ) , ( z x d + ) , ( y z d Terbukti ) , ( y x d

≤ ) , ( z x d + ) , ( y z d Untuk selanjutnya ruang metrik ini disebut ruang metrik Euclid.

Contoh 2.1.4

Diberikan X=R

dan didefinisikan fungsi d: R R R → × ² ² dengan definisi ) , (

y x d = ₁ ₁ − y x + ₂ ₂ − y x ; untuk setiap ) , ( ₂ ₁ = x x x , ) , ( ₂ ₁ = y y y ∈ R

) ( ) ( ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

∑ ∑ ∑ ∑ = = = = ⁿ ⁱ ⁿ ⁱ ⁿ ⁱ ^{i i} ⁿ ⁱ ^{i i i i i i} y z z x y z z x

[ ] ² ¹ ₁ ² ) ( ) ( ⎟

) )( ( ( 2 ) ) ( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + −

∑ = ⁿ ⁱ ^{i i i i} y z z x

[ ] ² ¹ ₁ ² ²

) ( ) )( (

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ − + − − + −

∑ = ⁿ ⁱ ^{i i i i i i i i} y z y z z x z x

= ² ¹ ₁ ₁ ₁ ² ²

⎝ ⎛ − − + − + −

− + − + −

∑ ∑ ∑ = = = ⁿ ⁱ ⁿ ⁱ ⁿ ⁱ ^{i i i i i i i i} y z z x y z z x

(Menggunakan Pertidaksamaan Cauchy – Schwarz) ≤ ² ¹ ₁ ₁ ² ¹ ² ₁ ² ¹ ² ₁ ² ²

) ( ) ( ( 2 ) ) (

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

⎟ ⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎝ ⎛

2 .

(i) d ( x , y ) ≥0, jelas dari definisi. (ii) d ( x , y ) =0 jika dan hanya jika x = y

1. jika d ( x , y ) = 0 maka x = y

x − y x − + y = ₁ ₁ ₂ ₂ x − y =0, untuk setiap i=1,2 _{i i} x − y = 0, untuk setiap i=1,2 _{i i} x = , untuk setiap i=1,2. y _{i i}

Jadi terbukti jika d ( x , y ) = 0 maka x = y 2. jika x = maka y d ( x , y ) = 0

d ( x , y ) = x − y x − y + ₁ ₁ ₂ ₂

= x − x x − x +

₁

₂

= +

Jadi terbukti jika x = maka y d ( x , y ) = 0 Dengan demikian d ( x , y ) = 0 jika dan hanya jika x = . y

(iii) d ( x , y ) = d ( y , x )

d ( x , y ) = x − y x − + y ₁ ₁ ₂ ₂ = y − y − + x x ₁ ₁ ₂ ₂ d ( y , x ) .

(iv) d ( x , y ) = x − y x − y +

= ) ( ) ( ₁ ₁ ₁ ₁

= y x

= ₁

dan ₂

= ₂

, yang artinya

2. jika

Jadi ₁

= maka y x

) , (

y x d

= 0 ) , ( y x d = maks { ₁ ₁

y x −

, ₂ ₂ y x −

} = maks { ₁ ₁

− x x ,

₂

x x

− y x ,

₂

y x

₁

y x

₂

y x

− y z z x + − + ) ( ) ( ₂ ₂ ₂ ₂

− y z z x + −

≤ ₁ ₁

− z x + ₁ ₁ − y z + ₂ ₂ − z x + ₂ ₂ − y z =( ₁ ₁ − z x + ₂ ₂ − z x ) + ( ₁ ₁ − y z + ₂ ₂ − y z )

= ) , ( z x d + ) , ( y z d

Untuk selanjutnya ruang metrik ini disebut metrik segi empat pada R

2 .

Contoh 2.1.5

Diberikan X=R

dan didefinisikan fungsi d: ² ² R R × → R dengan definisi ) , ( y x d = maks { ₁ ₁

1. jika ) , ( y x d = 0 maka y x = ) , ( y x d = maks { ₁ ₁

y x − , ₂ ₂ y x

−

};untuk semua ) , ( ₂ ₁

x x x =

, ) , ( ₂ ₁

y y y = ∈R

2 .

Akan ditunjukkan (X,d) adalah ruang metrik. (i) ) , ( y x d ≥0, jelas dari definisi. (ii) ) , ( y x d =0 jika dan hanya jika y x =

= maks { , } Jadi terbukti jika x = maka y d ( x , y ) = 0 Dengan demikian ) d ( x , y = 0 jika dan hanya jika x = . y (iii) d ( x , y ) = d ( y , x )

( , ) = maks { }

d x y x − y , x − y ₁

₁

₂

= maks { y − x , y − x }= d ( y , x ) ₁ ₁ ₂ ₂ (iv) d ( x , y ) = maks { x − y , x − y } ₁ ₁ ₂ ₂ Misal d ( x , y ) = maks { x − y , x − y } = x − y ₁ ₁ ₂ ₂ ₁ ₁

d ( x , y ) = x − y ₁ ₁ ₁ ₁ + + = x − z z − y ≤ x − z z − y ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ x z , x z + maks z y , z y ≤ maks { − − } { − − } ₁ ₁ ₂ ₂ ₁ ₁ ₂ ₂ = d ( x , z d + ) ( z , y )

Untuk kemungkinan d ( x , y ) , d ( x , z ) , dan d ( z , y ) yang lain dikerjakan dengan cara serupa.

2 Untuk selanjutnya ruang metrik ini disebut ruang metrik maksimum pada R .

Contoh 2.1.6

Diketahui X= C , = {f : , R f kontinu}dan diketahui fungsi

[ ] a b [ ] a b → d :C a , b ×C a , b → R dengan definisi d(f ,f ) = sup { f ( x ) − f ( x ) },

[ ] [ ]

2 _{x a , b} ₁ ₂ ∈

[ ] untuk setiap f , f ∈ C a , b . Akan ditunjukkan (C a , b , d) adalah ruang metrik. ₁ ₂

[ ] [ ] karena (f ) = sup { ( ) ( ) } dan ( ) ( )

d 1 ,f 2 f x − f x f x − f x _{x ∈ a , b} ₁ ₂ ₁ _{2 ≥ 0, maka} [ ] sup { f ( x ) − f ( x ) } _{x a , b} ₁ ₂ ≥ 0

∈ [ ]

(ii) d (f

1 ,f 2 ) = 0 jika dan hanya jika f 1 = f

1. jika d(f

1 ,f 2 ) = 0 maka f 1 = f

2 d (f ,f ) = 0

2 _{x a , b} sup { f ( x ) − f ( x ) } = 0 ₁ ₂ ∈ [ ] f ( x ) − f ( x ) = 0 ₁ ₂

(x) = f (x); untuk setiap x

1 2 ∈[a,b]. f 1 = f

2. jika f

1 = f 2 maka d(f 1 ,f 2 ) = 0,

karena f = f maka f (x) = f (x); untuk setiap x

1 2 ∈[a,b]. d (f 1 ,f 2 ) = sup { f ( x ) − f ( x ) } _{x a , b} ₁ ₂

∈ [ ]

= sup { f ( x ) − f ( x ) } _{x a , b} ₁ ₁

∈ [ ]

= sup { } _{x ∈ a , b}

[ ]

= 0 (iii) d (f

1 ,f 2 ) = d(f 2 ,f 1 ) d (f ,f ) = sup { ( ) ( ) }

1 2 f x − f x _{x ∈ a b} _, ₁ ₂ [ ]

= sup { f ( x ) − f ( x ) } _{x a , b} ₂ ₁

∈ [ ]

(iv) (f ) = sup { ( ) ( ) }

d 1 ,f 2 f x − f x _{x ∈ a , b} ₁

₂

₁

₂

₁

₃

₂

f x f x

≤ ¹ ³ ³ ² sup { f ( x ) − f ( x ) } + sup { f ( x ) − f ( x ) }

≤ _{x a , b x a , b} ¹

Jadi f ( x ) − f ( x ) sup { f ( x ) − f ( x ) } + sup { f ( x ) − f ( x ) } ₁ _{2 ≤} _{x a , b x a , b} ₁ ₃ ₃ ₂

∈ [ ] ∈ [ ]

Hal ini berarti f ( x ) f ( x ) terbatas dengan

{ − } ₁ ₂ _{x a , b x a , b} sup { f ( x ) − f ( x ) }+ sup { f ( x ) − f ( x ) }sebagai batas atas. ₁ ₃ ₃ ₂ ∈ ∈

[ ] [ ]

Hal ini berakibat _{x a , b x a , b x a , b} sup { f ( x ) − f ( x ) } sup { f ( x ) − f ( x ) }+ sup { f ( x ) − f ( x ) } ₁ _{2 ≤}

₁

₃

₂

∈ [ ] ∈ [ ] ∈ [ ] atau d(f ) ) + d(f ).

1 ,f 2 ≤ d(f 1 ,f

3 3 ,f

2 Contoh 2.1.7

Diketahui X= C ,

1 = {f : , 1 → R f kontinu} dan diketahui fungsi [ ] [ ] d :C , 1 ×C , 1 → R dengan definisi

[ ] [ ] ₁

d(f

1 ,f 2 ) = f ( x ) − f ( x ) dx ; untuk setiap f , f ∈ C , ₁ ₂ ₁ _{2 [ ]} 1 .

∫

Akan ditunjukkan (C [ ] , ₁ 1 ,d) ruang metrik.

(i) d (f ,f ) = f ( x ) f ( x ) dx ( ) ( )

1 2 − f x − f x ₁ _{2 ≥ 0, karena} ₁ _{2 ≥ 0} ∫

1. jika d(f

− ¹ ₂ ₁ ) ( ) ( = dx x f x f

∫

− ¹ ₁ ₁ ) ( ) ( = dx

∫ ¹

= 0 (iii) d (f

1 ,f 2 ) = d(f 2 ,f 1 ) d (f

1 ,f

) = dx x f x f

∫

d (f 1 ,f 2 ) = dx x f x f ∫

− ¹ ₁ ₂ ) ( ) ( = d(f

2 ,f 1 )

(iv) d (f

1 ,f

) = dx x f x f

∫

− ¹ ₂ ₁ ) ( ) (

= dx x f x f x f x f

− ¹ ₂ ₁ ) ( ) ( = dx x f x f

(x); untuk setiap x ∈[0,1].

1 ,f

) = 0 maka f

1 = f

2 d (f 1 ,f 2 ) = dx x f x f

∫

− ¹ ₂ ₁ ) ( ) ( = 0

) ( ) ( ₂ ₁ − x f x f = 0

1 (x) = f 2 (x); untuk setiap x ∈[0,1].

1 = f

2 jika f

1 = f 2 maka d(f 1 ,f 2 ) = 0,

karena

f 1 = f

maka f

(x) = f

∫ − + − ¹ ₂ ₃ ₃ ₁ ) ( ) ( ) ( ) ( ₁

( ) ( ) ( ) ( )

( f x − f x f x − f x ) dx

f ( x ) − f ( x ) + dx f ( x ) − f ( x ) dx

≤ ¹ ³ ³ ²

∫ ₁

₁

≤ ₁ ₃ ₃ ₂

∫ ∫ 1 ,f 3 ) + d(f 3 ,f 2 ).

≤ d(f

B. Himpunan Terbuka dan Fungsi Kontinu

Pada subbab ini akan dijelaskan hubungan antara himpunan terbuka dengan fungsi kontinu di dalam ruang metrik.

Definisi 2.2.1 Diberikan sebarang ruang metrik (X,d), dan bilangan real r>0.

x ∈

X Bola terbuka, bola tertutup dan luasan bola dengan pusat x dan jari-jari r

berturut-turut didefinisikan sebagai : Bola terbuka (Open Ball) B ( x ; r ) = x ∈

X d ( x , x ) < r { }

Bola tertutup (Closed Ball) B ( x ; r ) = x ∈

X d ( x , x ) ≤ r { }

Luasan bola (Sphere) ( ; ) ( , )

S x r = x ∈ X d x x = r { }

Dapat dilihat bahwa bola terbuka dengan radius r adalah himpunan semua titik di dalam X sehingga jaraknya terhadap pusat bola kurang dari r. Lebih jauh diperoleh hubungan :

S - ( x ; r ) = B ( x ; r ) B ( x ; r )

r a x r a x < < − :

Contoh 2.2.2 X = R

{ } < r a x a x x − + − ² ₂ ₂ ² ₁ ₁

= { } r a x d x < ) , ( : =

) (a B _r

Diberikan ² R a ∈ dan r>0, maka

dengan ) , ( y x d = ² ₂ ₂ ² ₁ ₁ ) ( ) ( y x y x − + − , untuk semua ² , R y x ∈ .

= ( ) r a r a + − , Gambar 2.2.1

Contoh 2.2.1 X=R dengan d(x,y) = y x − , untuk semua x,y ∈R.

{ }

= { } r a x r x < − < − : =

{ } < r a x x − :

= { } r a x d x < ) , ( : =

) (a B _r

Diberikan a ∈R dan r>0, maka

) ( ) ( :

− − <

² ² ²

= x : ( x a ) ( x a ) r

{ ¹ ¹ ² ^{2 }}

X = R dengan d ( x , y ) = x y x y ₂ ₁

− −

₁

₂

+
2
= x : x − a x − a < r

{ ¹ ¹ ² ^{2 }}

a a B x : x y < r ₁ _{2 r { }}

Anggap ( , ) adalah pusat, maka, (a ) =

Untuk x x a dan y x a

Teorema titik tetap banach - USD Repository