Hanni Garminia dan Pudji Astuti

  J. Indones. Math. Soc. (MIHMI) Vol. 12, No. 2 (2006), pp. 225–231.

  

KARAKTERISASI MODUL

σ

[M ]-KOHEREDITER

_Abstract.

Hanni Garminia dan Pudji Astuti

_{R -modul X is said to be M -generated if there exists an R-epimorphism from a direct}

Let R − MOD be a category consisting of all left modules over ring R. An

sum of copies of M onto X. For an object M in R − MOD, σ[M] is the subcategory of

_{R M OD −} containing all modules which are isomorphic to submodules of M -generated

modules. By restricting modules in R − MOD to be in σ[M], Wisbauer introduced

the concept of σ[M ]-projective, σ[M ]-injective, σ[M ]-hereditary dan σ[M ]-cohereditary

modules. In this paper, we show a characterization of a σ[M ]-cohereditary module related

with an injective module. This characterization is in line to a characterization of a σ[M ]-

hereditary module proven by Wisbauer.

  1. PENDAHULUAN Tulisan ini membahas sifat modul σ[M ]-koherediter. Penelaahan modul di

  σ [M ] yang telah dilakukan oleh banyak peneliti memberikan peluang bagi kita untuk memahami lebih lanjut teori gelanggang dan modul secara kategori. Pem- bahasan modul secara kategori juga telah memberikan jalan kepada kita untuk melihat keterkaitan antara koleksi modul dengan koleksi lainnya.

  Tujuan tulisan ini adalah menunjukkan keterkaitan antara modul σ[M ]-he- rediter dengan σ[M ]-koherediter dalam arti mereka adalah saling dual. Khusus- nya, kita tunjukkan bahwa modul σ[M ]-koherediter memiliki satu sifat yang se- jalan dengan satu sifat modul σ[M ]-herediter yang ditunjukkan oleh Wisbauer [4]. Beberapa implikasi dari sifat yang diperoleh juga dibahas. Untuk itu pembahasan dimulai dengan beberapa notasi dan pengertian yang akan diperlukan. Sesi berikut- nya adalah modul σ[M ]-Koherediter yang membahas hasil utama dari tulisan ini dan terakhir adalah penutup.

  Received 18 July 2005, Revised 9 February 2006, Accepted 21 February 2006. _{English Title 2000 Mathematics Subject Classification} : The Characterization of σ[M ]-cohereditary modules. _{Key words and Phrases}

: 16D50, 16D40.

  

: injective, projective, hereditary, cohereditary, modules

H. Garminia and P. Astuti

  226

  2. BEBERAPA NOTASI DAN PENGERTIAN Pertama kita perkenalkan sejumlah notasi yang akan digunakan dalam tulisan ini. Notasi R menyatakan gelanggang dengan unsur kesatuan, R − M OD adalah kategori yang terdiri dari semua modul kiri atas R, dan M suatu objek di R-

  (Λ)

  MOD. Notasi M menyatakan jumlah langsung dari M dengan Λ suatu himpunan indeks.

  Kategori σ[M ] dibangun menggunakan modul M sebagai berikut. Suatu modul N ∈ R − M OD dikatakan dibangun oleh M jika N adalah peta suatu epimorfisma dari jumlah langsung dari M . Jelasnya, N ∈ R − M OD dikatakan

  (Λ)

  dibangun oleh M jika terdapat suatu epimorfisma M −→ N untuk suatu him- punan indeks Λ. Adapun suatu objek di R − M OD dikatakan turut terbangun oleh M jika ia adalah submodul dari suatu modul yang dibangun oleh M . Selanjutnya, σ

  [M ] adalah koleksi semua objek di R − M OD yang turut terbangun oleh M . Da- pat ditunjukkan bahwa σ[M ] membentuk subkategori dari R − M OD. Lebih lanjut dapat ditunjukkan pula bahwa submodul, jumlah, dan modul faktor dari objek di σ [M ] juga merupakan objek di σ[M ].

  Konsep berikutnya yang akan kita diskusikan adalah pengertian modul in- jektif, projektif, herediter dan koherediter [1] dan [3]. Definisi 1.

  Misalkan P suatu objek di R − M OD. i. Modul P dikatakan N -projektif untuk suatu modul N ∈ R − M OD jika setiap epimorfisma g : N −→ K dan homomorfisma f : P → K dengan

  K ∈ R − M OD f f terdapat homomorfisma ˜ : P −→ N sehingga f = g ◦ ˜ .

  P ւ ↓

  N → K → ii. Modul P dikatakan projektif jika P adalah N -projektif untuk semua modul N di R − M OD. iii. Modul P dikatakan herediter jika setiap submodulnya merupakan modul pro- jektif.

  Pengertian di atas menyatakan bahwa suatu modul dikatakan N -projektif jika setiap homomorfisma dari modul tersebut ke modul faktor dari N dapat difaktorkan menjadi komposisi antara homomorfisma dari modul tersebut ke modul N dan proyeksi natural dari modul N ke modul faktornya.

  Karakterisasi modul σ [M ]-koherediter 227

  Definisi 2.

  Misalkan Q suatu objek di R − M OD. i. Modul Q dikatakan N -injektif untuk suatu modul N ∈ R − M OD jika setiap monomorfisma g : K −→ N homomorfisma f : K → Q dengan K ∈ R −

  M OD terdapat homomorfisma ¯ f : N −→ Q sehingga f = ¯ f ◦ g .

  0 → K → N ↓ ւ

  Q ii. Modul Q dikatakan injektif jika Q adalah N -injektif untuk semua modul N di R − M OD. iii. Modul Q disebut koherediter jika setiap modul faktornya merupakan modul injektif.

  Pengertian di atas menyatakan bahwa suatu modul dikatakan N -injektif jika setiap homomorfisma dari suatu submodul dari modul N ke modul tersebut dapat diperluas menjadi homomorfisma dari modul N ke modul tersebut. Dapat kita li- hat pula bahwa pengertian projektif dan injektif saling dual, yang satu menyangkut modul faktor yang merupakan peta dari suatu homomorfisma sedangkan yang lain berkaitan dengan submodul yang merupakan inti dari suatu homomorfisma. Karena itu, sangatlah relevan jika kita mempertanyakan apakah modul koherediter memiliki sifat yang merupakan dual dari sifat modul herediter sebagaimana yang kita bahas dalam tulisan ini.

  Sifat-sifat modul N -injektif dan N -projektif dapat dilihat di literatur [4] dan [1]. Salah satu sifat yang akan kita gunakan antara lain N -projektif berakibat K -projektif untuk sebarang K submodul atau modul faktor dari N .

  3. MODUL σ [M ]-KOHEREDITER

  Sebelum kita membahas inti dari tulisan ini, kita terlebih dahulu mengulas pengembangan pengertian projektif, injektif, herediter dan koherediter ke modul di σ[M ] [4]. Definisi 3.

  Misalkan P suatu objek di R-MOD. i. Modul P dikatakan σ[M ]-projektif jika P adalah N -projektif untuk semua modul N di σ[M ]. ii. Modul P disebut σ[M ]-herediter jika P ∈ σ[M ] dan setiap submodulnya bersifat σ[M ]-projektif.

H. Garminia and P. Astuti

  228 Definisi 4.

  Misalkan Q suatu objek di R-MOD. i. Modul Q dikatakan σ[M ]-injektif jika E adalah N -injektif untuk semua N di

  σ [M ]. ii. Modul disebut σ[M ]-koherediter jika Q ∈ σ[M ] dan setiap modul faktornya bersifat σ[M ]-injektif.

  Pengangkatan sejumlah konsep modul di kategori R−M OD ke kategori σ[M ] memberikan peluang bagi kita untuk memahami lebih lanjut keterkaitan antar modul di σ[M ]. Karakterisasi modul σ[M ]-koherediter yang menambahkan syarat pada M sebagai modul Noether lokal telah dikemukakan oleh Brzezinski dan Wis- bauer [2]. Dalam tulisan ini akan ditunjukkan karakterisasi modul σ[M ]-koherediter dikaitkan dengan modul di σ[M ] yang relatif injektif terhadapnya. Karakterisasi ini sejalan dengan karakterisasi modul σ[M ]-herediter sebagaimana yang telah di- tunjukkan di Wisbauer [4] berikut ini.

  Teorema 1.

  Misalkan P di σ [M ] adalah σ[M ]-projektif. Modul P merupakan

  σ [M ]−herediter jika dan hanya jika setiap modul faktor dari modul yang P -injektif di σ

  [M ] adalah P-injektif.

  Teorema 1 di atas kita kembangkan untuk melihat karakterisasi modul yang bersifat σ[M ]-koherediter. Teorema 2.

  Misalkan M modul projektif dan Q di σ [M ] adalah σ[M ] − injektif. Modul Q merupakan σ [M ]-koherediter jika dan hanya jika setiap modul bagian dari modul yang Q-projektif di σ [M ] adalah Q-projektif.

  Seperti pada sifat-sifat modul injektif dan modul projektif yang saling dual dan telah diketahui, pengangkatan kali inipun tidak dapat sepenuhnya dilakukan. Syarat M modul projektif diperlukan dalam teorema di atas. Untuk membuktikan Teorema 2 diperlukan karakteristik modul injektif di σ[M ], yang telah dikemukakan Wisbauer [4], sebagai berikut.

  Lemma 1.

  Modul U M-injektif jika dan hanya jika modul U σ [M ]−injektif. Bukti Teorema 2

  (⇒) Misalkan P adalah Q-projektif di σ[M ]. Akan ditunjukan bahwa setiap submodul dari P adalah Q-projektif . Ambil L sebarang submodul P, akan di- tunjukkan bahwa L adalah Q-projektif. Misalkan Modul L,Q dan N di σ[M ] dan diagram berikut di σ[M ].

  → L → P ↓ Karakterisasi modul σ [M ]-koherediter 229

  Karena Q adalah σ[M ]-injektif dan N adalah modul faktor dari Q maka N adalah σ[M ]-injektif, sehingga diperoleh diagram → L → P

  ↓ ւ . Q → N →

  Sifat Q-projektif dari modul P memberikan diagram P

  ւ ↓ . Q → N →

  Akibatnya diagram berikut komutatif L

  ↓ ւ P . ւ ↓

  Q → N → yang berarti bahwa modul L adalah Q-projektif. Jadi semua submodul dari modul yang Q-projektif di σ[M ] adalah Q-projektif.

  (⇐) Untuk arah sebaliknya, akan ditunjukkan Q adalah σ[M ]-koherediter de- ngan menunjukkan bahwa setiap modul faktor dari Q adalah σ[M ]-injektif. Ambil sebarang V modul faktor dari Q. Menurut Lemma 1 cukup kita tunjukkan bahwa modul V adalah M -injektif di R-MOD. Pandang diagram berikut,

  → S → M ↓ . Q → V →

  Diketahui M projektif sehingga memberi akibat pada M menjadi Q-projektif di R-MOD. Karena modul Q di σ[M ], diperoleh M adalah Q-projektif di σ[M ]. Menurut hipotesis, S yang dipandang sebagai submodul dari M juga merupakan Q -projektif di σ[M ]. Sehingga kita miliki diagram berikut,

  → S → M ւ ↓ . Q → V →

  Diketahui pula bahwa Q adalah modul injektif sehingga diperoleh

H. Garminia and P. Astuti

  230 S → M 0 → ↓ ւ

  Q .

  ↓ ւ

  V Diagram diatas memberikan arti bahwa V merupakan modul yang M -injektif, yang artinya modul V adalah σ[M ]-injektif. Kita dapat menyimpulkan bahwa Q adalah σ[M ]-koherediter.

  Berikut ini dibahas beberapa implikasi yang dapat kita tarik dari Teorema

  2. Pertama jika kita ambil M adalah gelanggang R sendiri, diperoleh karakteristik gelanggang koherediter dalam akibat berikut. Akibat 1.

  Misalkan R adalah injektif. Gelanggang R adalah koherediter jika dan hanya jika setiap modul bagian dari modul yang R-projektif adalah R-projektif. Kedua, dengan memanfaatkan lemma berikut kita dapat mengkaitkan antara σ [M ]-herediter dengan σ[Q]-koherediter. Lemma 2.

  Misalkan modul P di σ [M ] adalah dibangun secara hingga. Modul P adalah M-projektif jika dan hanya jika modul P adalah σ [M ]−projektif. Perhatikan Lemma 1 dan Lemma 2 merupakan sifat saling dual antara modul projektif dan modul injektif. Seperti yang kita sebutkan sebelumnya, pengangkatan sifat modul injektif ke sifat modul projektif tidak dapat dilakukan sepenuhnya. Dalam Lemma 2 kita harus menambahkan sifat dibangun secara hingga pada modul M sedangkan dalam Lemma 1 pembatasan seperti ini tidak perlu dilakukan. Akibat 2.

  Misalkan M modul projektif dan Q di σ [M ] adalah σ[M ]-injektif. Modul Q merupakan σ [M ]-koherediter jika setiap modul di σ[Q] yang Q-projektif di σ[M ] dan seluruh submodulnya dibangun secara hingga, merupakan modul σ [Q]−herediter.

  Dua hasil lainnya disebut dalam akibat berikut. Akibat 3.

  Misalkan M modul projektif dan setiap submodulnya dibangun secara hingga. Misalkan pula modul Q di σ [M ] adalah σ[M ]-injektif. Modul Q merupakan

  σ [M ]-koherediter jika dan hanya jika setiap modul di σ[Q] yang Q-projektif di σ[M ] dan seluruh submodulnya dibangun secara hingga, merupakan modul σ

  [Q]-herediter Karakterisasi modul σ [M ]-koherediter 231

  Akibat 4.

  Misalkan R injektif dan setiap ideal dari R dibangun secara hingga. Gelanggang R merupakan gelanggang koherediter jika dan hanya jika setiap modul yang R-projektif dan seluruh submodulnya dibangun secara hingga, merupakan modul herediter.

  4. PENUTUP Telah ditunjukkan karakterisasi modul σ[M ]-koherediter dikaitkan dengan sifat modul yang relatif injektif terhadapnya. Karakterisasi ini sejalan dengan karakterisasi modul σ[M ]-herediter sebagaimana yang telah ditunjukkan di Wis- bauer [4]. Beberapa implikasi dari sifat yang diperoleh juga dibahas. Namun demikian pengangkatan sifat σ[M ]-herediter ke σ[M ]-koherediter tidak dapat sepe- nuhnya dilakukan. Pengkajian lebih lanjut untuk lebih memperlemah premis dalam teorema yang diperoleh merupakan pertanyaan yang menarik untuk dibahas. _REFERENSI

  

1. Anderson dan Fuller, Rings and Category of Modules, 2nd edition, Springer-Verlag,

1992.

  

2. T. Brzezinski and R. Wisbauer, “Corings and comodule”, London Mathematical

Society Lecture Note Series 309 . Cambridge University Press, Cambridge, 2003.

  

3. Passman, S. Donald, A Course in ring Theory, Wadsworth & Brooks, Pacific Grove,

California, 1990.

  

4. R. Wisbauer, Foundations of module and ring theory. A handbook for study and

research , Gordon and Breach Science Publishers, Philadelphia, PA, 1991.

  H. Garminia : Department of Mathematics, Institut Teknologi Bandung, Bandung 40132, Indonesia. E-mail: hani@math.itb.ac.id.

  P. Astuti : Department of Mathematics, Institut Teknologi Bandung, Bandung 40132, Indonesia. E-mail: pudji@math.itb.ac.id.

H. Garminia and P. Astuti

  232