PROS Andreas Setiawan Pemanfaatan solver pada optimasi Full text
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
PEMANFAATAN SOLVER PADA OMPTIMISASI DISTRIBUSI
ALIRAN TIGA TURBIN PEMBANGKIT LISTRIK
Andreas Setiawan
Program Studi Fisika dan Pendidikan Fisika, Fakultas Sains dan Matematika
Universitas Kristen Satya Wacana
Email : andre_fsm@yahoo.com
ABSTRAK
Perusahaan The Great Northern Paper Company di Milinocket, Maine, bergerak dalam bidang percetakan
dan berbagai produk kertas. Guna memenuhi kebutuhan energi maka perusahaan mengoperasikan enam
turbin pembangkit listrik hydro, dimana kurva tenaga masing-masing turbin memiliki kerakteristik yang
berbeda. Dengan persamaan Bernoulli dilakukan modeling untuk setiap turbin dan didapatkan persamaan
KW1 = (-4.08x10-5Q12 + 0.1277Q1 – 18.89) x (170- QT2x 6.10-6), KW2 = (-4.69x10-5Q22 + 0.1358Q2 –
24.51) x (170- QT2x 6.10-6), KW3 = (-3.84x10-5Q32 + 0.1380Q3 – 27.02) x (170- QT2x 6.10-6).
Karena debit air bisa bernilai dibawah minimal debit maka ada kemungkinan tidak semua turbin
beroperasi, oleh sebab itu dalam penyelesaian optimisasi digunakan optimisasi mixed integer yaitu
ditambahkan parameter kendala on/off turbin yang bernilai 0 atau 1. Programing diselesaikan
menggunakan Solver Excel yang hasilnya pada debit 250cfs sampai 750cfs optimal jika dioperasikan
turbine #1, untuk 750cfs sampai 1225cfs optimal untuk turbin #3 dan diatas 2000cfs akan optimal jika
semua turbin beroperasi dengan proporsi pembagian debit mengikuti fungsi tertentu.
Kata kunci: Optimisasi, Pembangkit listrik hydro, Kurva tenaga, Concavity
PENDAHULUAN
Perusahaan The Great Northern Paper Company di Milinocket, Maine, bergerak dalam bidang
percetakan dan berbagai produk kertas. Guna memenuhi kebutuhan energi maka perusahan
mengoperasikan enam turbin pembangkit listrik hydro yang berada di sungai Penoboscot. Kasus
optimisasi yang diselesaikan berada pada percabangan sebelah barat dari sungai Penoboscot, yang
mendapat suplai air dari dam danau Ripogenus.
Gambar 1. Kota Milinocket dengan latar
belakang Gunung Katahdin.
Guna menyalurkan air digunakan pipa dengan diameter 16 kaki dan panjang ¾ mile membentang
sepanjang dam hingga stasiun pembangkit listrik, dengan perbedaan ketinggian/elevasi 170 kaki.
Debit air yang mengalir melalui pipa bervariasi tergantung dari kondisi air dalam penampungan.
189
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
Pengaturan katup dan pintu air distribusi dilakukan secara manual menuju ke 3 turbin pembangkit
listrik. Karakteristik 3 turbin ini sudah diketahui dan memiliki “power curves” yang berbeda-beda
dalam menghasilkan tenaga listrik sebagai fungsi debit air yang melewatinya. Masalah yang
dihadapi adalah mengatur distribusi air untuk setiap turbin pembangkit listrik agar menghasilkan
energi yang maksimum untuk berbagai skenario debit air yang ada.
MODELING MASALAH
Untuk melakukan pemecahan masalah maka langkah pertama adalah melakukan formulasi
matematika dan membangun model matematis dari kasus diatas. Pembangkit listrik hydro ini
memanfaatkan turbin dan generator untuk mengubah tenaga mekanis menjadi arus listrik. Perubahan
ini didapat dengan memanfaatkan perubahan energi potensial akibat perbedaan ketinggian/elevasi
suatu tempat. Persamaan dasar yang menghubungkan antara suatu aliran cairan dan energi yang
dihasilkan diberikan oleh Daniel Bernoulli pada tahun 1738 yang disebut sebagai persamaan
Bernoulli. Persamaan ini dihasilkan dengan menerapkan prinsip konservasi energi dan mekanika
aliran. Dalam kasus ini persamaan Bernoulli berbentuk
Dari pengukuran debit aliran dan tenaga listrik masing-masing turbin pembangkit listrik didapatkan
data seperti Tabel 1. Dalam kasus ini perbedaan elevasi Zh dan Zt adalah 170 kaki. Faktor yang
utama dalam f adalah jumlah energi hilang selama mengalir dalam pipa. Para teknisi menggunakan
estimasi hasil eksperimen f =QT2x 6.10-6 dimana QT adalah debit total yang mengalir dalam kubik
kaki per detik (cfs). Efisiensi η masing-masing turbin berbeda, yang merupakan fungsi debit Q. Dari
data Tabel 1 untuk Turbin 1 dapat digambarkan power curve-nya seperti gambar 2.
Tabel 1. Data debit dan power generator.
Debit(cfs)
Turbine (Killowatt)
QT
Qi
1
2
2000
250
1715.346
1064.832
831.088
2000
300
2576.373
1964.672
1787.166
2000
350
3404.025
2826.149
2711.834
2000
400
4198.303
3649.262
3605.09
2000
450
4959.207
4434.01
4466.934
2000
500
5686.736
5180.394
5297.368
2000
550
6380.891
5888.414
6096.39
2000
600
7041.671
6558.07
6864.002
2000
650
7669.077
7189.361
7600.202
2000
700
8263.109
7782.288
8304.99
2000
750
8823.766
8336.852
8978.368
2000
800
9351.049
8853.05
9620.334
2000
850
9844.957
9330.885
10230.89
2000
900
10305.49
9770.356
10810.03
2000
950
10732.65
10171.46
11357.77
2000
1000
11126.44
10534.2
11874.09
2000
1050
11486.85
10858.58
12359
2000
1100
11813.88
11144.6
12812.5
2000
1150
13234.59
2000
1200
13625.26
190
3
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
14000
y = -0.0067x 2 + 20.892x - 3090.4
12000
P ow er(Kw )
10000
8000
Turbine 1
6000
Poly. (Turbine 1)
4000
2000
0
0
200
400
600
800
1000
1200
Debit Q(cfs)
Gambar 2. Power Curves – Turbine 1
Dari persamaan estimasi y = -0.0067x2 + 20.892x - 3090.4 karena sumbu y adalah power KW1 dan
sumbu x adalah debit Q1 maka persamaan menjadi KW1= -0.0067Q12 + 20.892Q1 - 3090.4, atau
konstanta polynomial p2=-0.0067, p1=20.892, p0= -3090.4
Persamaan estimasi tersebut sudah mengandung suku (Zh-Zt-f) dimana Zh-Zt=170 kaki dan nilai
estimasi f=QT2x 6.10-6. Dari Tabel 1 didapatkan QT=2000cfs maka nilai
(Zh-Zt-f)=(170-20002x 6.10-6)= 163.6.
Sehingga untuk memunculkan suku (Zh-Zt-f) maka nilai konstanta polinomial harus dibagi dengan
163.6. Nilai konstanta polinomial yang baru :
p2= -0.0067 / 163.6 = -4.08x10-5
p1= 20.892 / 163.6 = 0.1277
p0= -3090.4 / 163.6 = -18.89
Persamaan yang baru menjadi : KW1= (-4.08x10-5Q12 + 0.1277Q1 – 18.89) x (170- QT2x 6.10-6).
Hal yang sama dapat dilakukan untuk turbin 2 dan 3. Secara lengkap persamaan masing-masing
turbin adalah:
250 ≤ Q1 ≤ 1110
(2) KW1 = (-4.08x10-5Q12 + 0.1277Q1 – 18.89) x (170- QT2x 6.10-6),
250 ≤ Q1 ≤ 1110
(3) KW2 = (-4.69x10-5Q22 + 0.1358Q2 – 24.51) x (170- QT2x 6.10-6),
250 ≤ Q1 ≤ 1225
(4) KW3 = (-3.84x10-5Q32 + 0.1380Q3 – 27.02) x (170- QT2x 6.10-6),
dimana :
Qi = aliran air yang mengalir melalui turbin i (cfs)
KWi = tenaga listrik yang dihasilkan turbin i (kilowatt)
QT = total debit yang melalui pembangkit listrik (cfs).
Koefisien polynomial dalam persamaan (2),(3) dan (4) sudah termasuk faktor skala yang
mentransformasi energi mekanis menjadi tenaga listrik dalam kilowatt. Batasan Qi menampilkan
kenyataan bahwa batas debit minimal yang masih mampu menggerakan turbin adalah 250cfs.
Terlihat juga bahwa batas maksimal debit generator ke 3 lebih tinggi dari generator 1 dan 2. Jika
semua generator beroperasi maka masalah yang dihadapi adalah proporsi distribusi debit agar
mendapatkan tenaga listrik yang paling maksimum, atau secara matematis dapat dinyatakan:
(5) Maximize KW1 + KW2 + KW3
subject to
Q1 + Q2 + Q3 = QT
250 ≤ Q1 ≤ 1110,
250 ≤ Q2 ≤1110,
250 ≤ Q3 ≤ 1225.
191
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
Selain skenario tiga generator beroperasi semuanya akan diperhitungkan juga skenario lain jika debit
mengalami penurunan drastis sehingga tidak mungkin mengoperasikan semua generator.
PENGUJIAN CONCAVITY
Untuk mengetahui apakah fungsi(5) memiliki nilai optimum maka dilakukan pengujian concavity
menggunakan matrik Hessian yang akan menghitung nilai eigen dari fungsi tersebut. Persamaan
(2),(3) dan (4) dapat disederhanakan menjadi persamaan (5),(6) dan (7) dimana a,b,c adalah
konstanta-positif pada fungsi tersebut. Suku (170- QT2x 6.10-6) dapat dihilangkan karena merupakan
konstanta dengan nilai positif.
(5)
(6)
(7)
(8)
KW1=c1+b1Q1-a1Q12
KW2=c2+b2Q2-a2Q22
KW3=c3+b3Q3-a3Q32
f=KW1+KW2+KW3= c1+b1Q1-a1Q12+ c2+b2Q2-a2Q22+ c3+b3Q3-a3Q32
f
b1 2 a1Q1
Q1
f
b2 2a2Q2
Q2
f
b3 2a3Q3
Q3
2 f
2 a1
2
Q1
2 f
2a 2
2
Q 2
2 f
Q3
2
2a3
2 f
0
Q1Q 2
2 f
0
Q3 Q1
2 f
0
Q1Q3
2 f
0
Q 2 Q1
2 f
0
Q3Q2
2a1
H 0
0
2 f
0
Q2 Q3
0
2a 2
0
0
0
2a 3
Hasil perhitungan matrik Hessian dari fungsi(5) didapatkan matrik H yang ternyata merupakan
matrik diagonal maka nilai eigen H adalah e 2a , e 2 2a2 dan e 3 2a 3 . Karena nilai a1, a2 dan
a3 adalah positif bukan nol maka keseluruhan nilai eigen adalah negative-definite. Dengan H
memiliki keseluruhan nilai eigen negative-definite maka dapat disimpulkan fungsi f adalah
strictly-concave yang dapat dilakukan optimisasi.
1
1
PROGRAMMING DENGAN SOLVER
Untuk menyelesaikan kasus tersebut digunakan Solver yang merupakan tool dalam Excel. Tiga hal
yang perlu ditentukan dalam penggunaan Solver:
a. Menentukan target yang ingin dicapai
b. Menentukan kendala yang harus dipenuhi
c. Menentukan sel yang akan diubah agar target dipenuhi
Dari table fungsi KW1,KW2,KW3 dan kendala yang telah disiapkan maka parameter-parameter
Solver dapat dilengkapi sepeti pada gambar 3 dan 4.
Setelah dilakukan solving maka detil dari hasil yang didapatkan dapat diperiksa pada lembaran
Answer Report, Limits Reports dan Sensitivity Reports. Salah satu tampilan Answer report untuk
debit total 2100cfs seperti pada gambar 5.
192
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
Gambar 3. Tabel fungsi dan kendala
Gambar 4. Pengisian parameter Solver
Gambar 5. Tampilan Answer Report
193
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
Untuk mencari kombinasi turbin yang optimum maka dipasang sebuah parameter kendala on/off
berupa constrain biner 0 atau 1 yang berguna untuk mematikan atau menghidupkan turbin. Teknik
ini perlu digunakan jika jumlah debit tidak cukup untuk mengoperasikan keseluruhan turbin. Hasil
pengujian berbagai debit disusun pada table 2.
Tabel 2. Distribusi debit turbin untuk
berbagai debit total.
DEBIT(cfs)
Total
Turbin1
Turbin2
Turbin3
250
300
330
350
400
450
500
530
550
600
630
650
750
800
900
1000
1200
1225
1500
1600
1800
2000
2500
3000
3445
3500
4000
250
300
330
350
400
450
500
530
550
600
630
650
0
0
0
0
0
0
662
711
808
607
777
948
1110
1110
1110
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
614
763
911
1110
1110
1110
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
750
800
900
1000
1200
1225
838
889
992
779
960
1141
1225
1225
1225
POWER
(kilowatt)
1781.4015
2674.8922
3194.0625
3533.1118
4355.9705
5143.3886
5895.2960
6329.3699
6611.6325
7292.3478
7683.6614
7937.4012
9280.2080
9936.4647
11147.2855
12222.4720
13966.3937
14146.3612
18208.3001
19343.2654
21383.6726
23224.7507
28411.6805
32089.1942
34043.3262
34043.3262
34043.3262
1400
1200
DEBIT(cfs)
1000
800
600
400
200
0
0
1000
2000
3000
4000
5000
DEBIT TOTAL(cfs)
Turbin 1
Turbin 2
Turbin 3
POWER (x50 KW)
Gambar 6. Kurva debit masing-masing turbin.
Secara umum keseluruhan pola proporsi debit untuk masing-masing turbin dan tenaga total yang
dihasilkan dapat dilihat pada grafik 6.
194
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
KESIMPULAN
Dari pengujian concavity terbukti fungsi adalah strictly-concave sehingga dapat dilakukan optimasi
dalam hal ini dengan bantuan tool Solver Excel. Adapun untuk scenario dengan debit minimal atau
antara 250cfs hingga 750cfs maka cukup turbin #1 yang dioperasikan, kemudian diikuti dengan
turbin #3 untuk debit antara 750cfs sampai 1225cfs. Pengoperasian keseluruhan turbin baru akan
optimal jika debit berada diatas 2000cfs. Pada debit maksimal diatas 3000cfs maka power listrik
akan konstan pada 34043 Kilowatt. Pada debit maksimal ini perlu dibuat pintu buangan air untuk
mecegah kerusakan turbin karena debit maksimal untuk masing-masing turbin adalah 1110cfs dan
1225cfs.
DAFTAR PUSTAKA
[1]
[2]
[3]
[4]
Thomas F.Edgar, David M. Himmelblau, Optimization of Chemical Processes,Mac.Graw
Hill, 2001
A. Fauzi, Analisis Data dengan Excel 2007, Elex Media Komputindo, 2007
Hydro-Turbine Optimization, Math 237, Project B, Spring 2005
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Millinocket,_Maine_%26_Mount_Katahdin.jpg, 15/04/2009.
195
PEMANFAATAN SOLVER PADA OMPTIMISASI DISTRIBUSI
ALIRAN TIGA TURBIN PEMBANGKIT LISTRIK
Andreas Setiawan
Program Studi Fisika dan Pendidikan Fisika, Fakultas Sains dan Matematika
Universitas Kristen Satya Wacana
Email : andre_fsm@yahoo.com
ABSTRAK
Perusahaan The Great Northern Paper Company di Milinocket, Maine, bergerak dalam bidang percetakan
dan berbagai produk kertas. Guna memenuhi kebutuhan energi maka perusahaan mengoperasikan enam
turbin pembangkit listrik hydro, dimana kurva tenaga masing-masing turbin memiliki kerakteristik yang
berbeda. Dengan persamaan Bernoulli dilakukan modeling untuk setiap turbin dan didapatkan persamaan
KW1 = (-4.08x10-5Q12 + 0.1277Q1 – 18.89) x (170- QT2x 6.10-6), KW2 = (-4.69x10-5Q22 + 0.1358Q2 –
24.51) x (170- QT2x 6.10-6), KW3 = (-3.84x10-5Q32 + 0.1380Q3 – 27.02) x (170- QT2x 6.10-6).
Karena debit air bisa bernilai dibawah minimal debit maka ada kemungkinan tidak semua turbin
beroperasi, oleh sebab itu dalam penyelesaian optimisasi digunakan optimisasi mixed integer yaitu
ditambahkan parameter kendala on/off turbin yang bernilai 0 atau 1. Programing diselesaikan
menggunakan Solver Excel yang hasilnya pada debit 250cfs sampai 750cfs optimal jika dioperasikan
turbine #1, untuk 750cfs sampai 1225cfs optimal untuk turbin #3 dan diatas 2000cfs akan optimal jika
semua turbin beroperasi dengan proporsi pembagian debit mengikuti fungsi tertentu.
Kata kunci: Optimisasi, Pembangkit listrik hydro, Kurva tenaga, Concavity
PENDAHULUAN
Perusahaan The Great Northern Paper Company di Milinocket, Maine, bergerak dalam bidang
percetakan dan berbagai produk kertas. Guna memenuhi kebutuhan energi maka perusahan
mengoperasikan enam turbin pembangkit listrik hydro yang berada di sungai Penoboscot. Kasus
optimisasi yang diselesaikan berada pada percabangan sebelah barat dari sungai Penoboscot, yang
mendapat suplai air dari dam danau Ripogenus.
Gambar 1. Kota Milinocket dengan latar
belakang Gunung Katahdin.
Guna menyalurkan air digunakan pipa dengan diameter 16 kaki dan panjang ¾ mile membentang
sepanjang dam hingga stasiun pembangkit listrik, dengan perbedaan ketinggian/elevasi 170 kaki.
Debit air yang mengalir melalui pipa bervariasi tergantung dari kondisi air dalam penampungan.
189
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
Pengaturan katup dan pintu air distribusi dilakukan secara manual menuju ke 3 turbin pembangkit
listrik. Karakteristik 3 turbin ini sudah diketahui dan memiliki “power curves” yang berbeda-beda
dalam menghasilkan tenaga listrik sebagai fungsi debit air yang melewatinya. Masalah yang
dihadapi adalah mengatur distribusi air untuk setiap turbin pembangkit listrik agar menghasilkan
energi yang maksimum untuk berbagai skenario debit air yang ada.
MODELING MASALAH
Untuk melakukan pemecahan masalah maka langkah pertama adalah melakukan formulasi
matematika dan membangun model matematis dari kasus diatas. Pembangkit listrik hydro ini
memanfaatkan turbin dan generator untuk mengubah tenaga mekanis menjadi arus listrik. Perubahan
ini didapat dengan memanfaatkan perubahan energi potensial akibat perbedaan ketinggian/elevasi
suatu tempat. Persamaan dasar yang menghubungkan antara suatu aliran cairan dan energi yang
dihasilkan diberikan oleh Daniel Bernoulli pada tahun 1738 yang disebut sebagai persamaan
Bernoulli. Persamaan ini dihasilkan dengan menerapkan prinsip konservasi energi dan mekanika
aliran. Dalam kasus ini persamaan Bernoulli berbentuk
Dari pengukuran debit aliran dan tenaga listrik masing-masing turbin pembangkit listrik didapatkan
data seperti Tabel 1. Dalam kasus ini perbedaan elevasi Zh dan Zt adalah 170 kaki. Faktor yang
utama dalam f adalah jumlah energi hilang selama mengalir dalam pipa. Para teknisi menggunakan
estimasi hasil eksperimen f =QT2x 6.10-6 dimana QT adalah debit total yang mengalir dalam kubik
kaki per detik (cfs). Efisiensi η masing-masing turbin berbeda, yang merupakan fungsi debit Q. Dari
data Tabel 1 untuk Turbin 1 dapat digambarkan power curve-nya seperti gambar 2.
Tabel 1. Data debit dan power generator.
Debit(cfs)
Turbine (Killowatt)
QT
Qi
1
2
2000
250
1715.346
1064.832
831.088
2000
300
2576.373
1964.672
1787.166
2000
350
3404.025
2826.149
2711.834
2000
400
4198.303
3649.262
3605.09
2000
450
4959.207
4434.01
4466.934
2000
500
5686.736
5180.394
5297.368
2000
550
6380.891
5888.414
6096.39
2000
600
7041.671
6558.07
6864.002
2000
650
7669.077
7189.361
7600.202
2000
700
8263.109
7782.288
8304.99
2000
750
8823.766
8336.852
8978.368
2000
800
9351.049
8853.05
9620.334
2000
850
9844.957
9330.885
10230.89
2000
900
10305.49
9770.356
10810.03
2000
950
10732.65
10171.46
11357.77
2000
1000
11126.44
10534.2
11874.09
2000
1050
11486.85
10858.58
12359
2000
1100
11813.88
11144.6
12812.5
2000
1150
13234.59
2000
1200
13625.26
190
3
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
14000
y = -0.0067x 2 + 20.892x - 3090.4
12000
P ow er(Kw )
10000
8000
Turbine 1
6000
Poly. (Turbine 1)
4000
2000
0
0
200
400
600
800
1000
1200
Debit Q(cfs)
Gambar 2. Power Curves – Turbine 1
Dari persamaan estimasi y = -0.0067x2 + 20.892x - 3090.4 karena sumbu y adalah power KW1 dan
sumbu x adalah debit Q1 maka persamaan menjadi KW1= -0.0067Q12 + 20.892Q1 - 3090.4, atau
konstanta polynomial p2=-0.0067, p1=20.892, p0= -3090.4
Persamaan estimasi tersebut sudah mengandung suku (Zh-Zt-f) dimana Zh-Zt=170 kaki dan nilai
estimasi f=QT2x 6.10-6. Dari Tabel 1 didapatkan QT=2000cfs maka nilai
(Zh-Zt-f)=(170-20002x 6.10-6)= 163.6.
Sehingga untuk memunculkan suku (Zh-Zt-f) maka nilai konstanta polinomial harus dibagi dengan
163.6. Nilai konstanta polinomial yang baru :
p2= -0.0067 / 163.6 = -4.08x10-5
p1= 20.892 / 163.6 = 0.1277
p0= -3090.4 / 163.6 = -18.89
Persamaan yang baru menjadi : KW1= (-4.08x10-5Q12 + 0.1277Q1 – 18.89) x (170- QT2x 6.10-6).
Hal yang sama dapat dilakukan untuk turbin 2 dan 3. Secara lengkap persamaan masing-masing
turbin adalah:
250 ≤ Q1 ≤ 1110
(2) KW1 = (-4.08x10-5Q12 + 0.1277Q1 – 18.89) x (170- QT2x 6.10-6),
250 ≤ Q1 ≤ 1110
(3) KW2 = (-4.69x10-5Q22 + 0.1358Q2 – 24.51) x (170- QT2x 6.10-6),
250 ≤ Q1 ≤ 1225
(4) KW3 = (-3.84x10-5Q32 + 0.1380Q3 – 27.02) x (170- QT2x 6.10-6),
dimana :
Qi = aliran air yang mengalir melalui turbin i (cfs)
KWi = tenaga listrik yang dihasilkan turbin i (kilowatt)
QT = total debit yang melalui pembangkit listrik (cfs).
Koefisien polynomial dalam persamaan (2),(3) dan (4) sudah termasuk faktor skala yang
mentransformasi energi mekanis menjadi tenaga listrik dalam kilowatt. Batasan Qi menampilkan
kenyataan bahwa batas debit minimal yang masih mampu menggerakan turbin adalah 250cfs.
Terlihat juga bahwa batas maksimal debit generator ke 3 lebih tinggi dari generator 1 dan 2. Jika
semua generator beroperasi maka masalah yang dihadapi adalah proporsi distribusi debit agar
mendapatkan tenaga listrik yang paling maksimum, atau secara matematis dapat dinyatakan:
(5) Maximize KW1 + KW2 + KW3
subject to
Q1 + Q2 + Q3 = QT
250 ≤ Q1 ≤ 1110,
250 ≤ Q2 ≤1110,
250 ≤ Q3 ≤ 1225.
191
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
Selain skenario tiga generator beroperasi semuanya akan diperhitungkan juga skenario lain jika debit
mengalami penurunan drastis sehingga tidak mungkin mengoperasikan semua generator.
PENGUJIAN CONCAVITY
Untuk mengetahui apakah fungsi(5) memiliki nilai optimum maka dilakukan pengujian concavity
menggunakan matrik Hessian yang akan menghitung nilai eigen dari fungsi tersebut. Persamaan
(2),(3) dan (4) dapat disederhanakan menjadi persamaan (5),(6) dan (7) dimana a,b,c adalah
konstanta-positif pada fungsi tersebut. Suku (170- QT2x 6.10-6) dapat dihilangkan karena merupakan
konstanta dengan nilai positif.
(5)
(6)
(7)
(8)
KW1=c1+b1Q1-a1Q12
KW2=c2+b2Q2-a2Q22
KW3=c3+b3Q3-a3Q32
f=KW1+KW2+KW3= c1+b1Q1-a1Q12+ c2+b2Q2-a2Q22+ c3+b3Q3-a3Q32
f
b1 2 a1Q1
Q1
f
b2 2a2Q2
Q2
f
b3 2a3Q3
Q3
2 f
2 a1
2
Q1
2 f
2a 2
2
Q 2
2 f
Q3
2
2a3
2 f
0
Q1Q 2
2 f
0
Q3 Q1
2 f
0
Q1Q3
2 f
0
Q 2 Q1
2 f
0
Q3Q2
2a1
H 0
0
2 f
0
Q2 Q3
0
2a 2
0
0
0
2a 3
Hasil perhitungan matrik Hessian dari fungsi(5) didapatkan matrik H yang ternyata merupakan
matrik diagonal maka nilai eigen H adalah e 2a , e 2 2a2 dan e 3 2a 3 . Karena nilai a1, a2 dan
a3 adalah positif bukan nol maka keseluruhan nilai eigen adalah negative-definite. Dengan H
memiliki keseluruhan nilai eigen negative-definite maka dapat disimpulkan fungsi f adalah
strictly-concave yang dapat dilakukan optimisasi.
1
1
PROGRAMMING DENGAN SOLVER
Untuk menyelesaikan kasus tersebut digunakan Solver yang merupakan tool dalam Excel. Tiga hal
yang perlu ditentukan dalam penggunaan Solver:
a. Menentukan target yang ingin dicapai
b. Menentukan kendala yang harus dipenuhi
c. Menentukan sel yang akan diubah agar target dipenuhi
Dari table fungsi KW1,KW2,KW3 dan kendala yang telah disiapkan maka parameter-parameter
Solver dapat dilengkapi sepeti pada gambar 3 dan 4.
Setelah dilakukan solving maka detil dari hasil yang didapatkan dapat diperiksa pada lembaran
Answer Report, Limits Reports dan Sensitivity Reports. Salah satu tampilan Answer report untuk
debit total 2100cfs seperti pada gambar 5.
192
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
Gambar 3. Tabel fungsi dan kendala
Gambar 4. Pengisian parameter Solver
Gambar 5. Tampilan Answer Report
193
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
Untuk mencari kombinasi turbin yang optimum maka dipasang sebuah parameter kendala on/off
berupa constrain biner 0 atau 1 yang berguna untuk mematikan atau menghidupkan turbin. Teknik
ini perlu digunakan jika jumlah debit tidak cukup untuk mengoperasikan keseluruhan turbin. Hasil
pengujian berbagai debit disusun pada table 2.
Tabel 2. Distribusi debit turbin untuk
berbagai debit total.
DEBIT(cfs)
Total
Turbin1
Turbin2
Turbin3
250
300
330
350
400
450
500
530
550
600
630
650
750
800
900
1000
1200
1225
1500
1600
1800
2000
2500
3000
3445
3500
4000
250
300
330
350
400
450
500
530
550
600
630
650
0
0
0
0
0
0
662
711
808
607
777
948
1110
1110
1110
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
614
763
911
1110
1110
1110
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
750
800
900
1000
1200
1225
838
889
992
779
960
1141
1225
1225
1225
POWER
(kilowatt)
1781.4015
2674.8922
3194.0625
3533.1118
4355.9705
5143.3886
5895.2960
6329.3699
6611.6325
7292.3478
7683.6614
7937.4012
9280.2080
9936.4647
11147.2855
12222.4720
13966.3937
14146.3612
18208.3001
19343.2654
21383.6726
23224.7507
28411.6805
32089.1942
34043.3262
34043.3262
34043.3262
1400
1200
DEBIT(cfs)
1000
800
600
400
200
0
0
1000
2000
3000
4000
5000
DEBIT TOTAL(cfs)
Turbin 1
Turbin 2
Turbin 3
POWER (x50 KW)
Gambar 6. Kurva debit masing-masing turbin.
Secara umum keseluruhan pola proporsi debit untuk masing-masing turbin dan tenaga total yang
dihasilkan dapat dilihat pada grafik 6.
194
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
KESIMPULAN
Dari pengujian concavity terbukti fungsi adalah strictly-concave sehingga dapat dilakukan optimasi
dalam hal ini dengan bantuan tool Solver Excel. Adapun untuk scenario dengan debit minimal atau
antara 250cfs hingga 750cfs maka cukup turbin #1 yang dioperasikan, kemudian diikuti dengan
turbin #3 untuk debit antara 750cfs sampai 1225cfs. Pengoperasian keseluruhan turbin baru akan
optimal jika debit berada diatas 2000cfs. Pada debit maksimal diatas 3000cfs maka power listrik
akan konstan pada 34043 Kilowatt. Pada debit maksimal ini perlu dibuat pintu buangan air untuk
mecegah kerusakan turbin karena debit maksimal untuk masing-masing turbin adalah 1110cfs dan
1225cfs.
DAFTAR PUSTAKA
[1]
[2]
[3]
[4]
Thomas F.Edgar, David M. Himmelblau, Optimization of Chemical Processes,Mac.Graw
Hill, 2001
A. Fauzi, Analisis Data dengan Excel 2007, Elex Media Komputindo, 2007
Hydro-Turbine Optimization, Math 237, Project B, Spring 2005
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Millinocket,_Maine_%26_Mount_Katahdin.jpg, 15/04/2009.
195