BAB VII. TEKNIK PENGINTEGRALAN - BAB7 TEKNIK PENGINTEGRALAN1
BAB VII. TEKNIK PENGINTEGRALAN
7.1. SUBSTITUSI
7.2. INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
7.3. SUBSTITUSI YANG MERASIONALKAN
7.4. PENGINTEGRALAN PARSIAL
7.5. PENGINTEGRALAN FUNGSI RASIONAL
7.6. INTEGRAL TAK WAJAR
- Daftar pendek integral yang sudah diketahui:
1 C x
1 16) cosh 1 15) sinh
C x x dx C x x dx
C ecx xdx ecx C x xdx x C x xdx ec C x xdx
C x xdx C x xdx
C x xdx C x xdxC a a a a C dx a e dx e
C x x dx C r r x dx x x x x x r r
- -x dx
18) tanh sec 17) tan
C x x dx C x C x
dx C x dx
1 14) cos sin 1 13)
1
12) cos cot cos sec tan sec 11) 10) cot cos tan sec )
9 8) sin ln cot cos ln tan 7)
6) sin cos cos sin 5) , 1 , ln 4) 3)
2) ln , 1 bila 1 1)
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
7.1. TEKNIK SUBSTITUSI
5
2
2
2 tan
4
4
3
2
2
2
9
5
2
2
2
2
1
x u dx x x x x u xdx x u dx x x x u v x u dx x x x u dx x a x u dx x x e u dx e e x u dx x e x u dx
x
x u dx x x x xx
x x2
) ( ) ( dan , ) ( ), ( bila , )) ( ( ) ( ) ( ) ( )) ( (
F u f u dx x g du x g u C x g F C u F du u f dx x g x g f
25
Contoh-contoh: 4 4 10)
9) tan sec sec
1
1 8) 4 ,
3
6
INTEGRAL
7 7) tan cos
6) 11 11 5)
9
4 4)
1
6 3)
9
5
3 2) ) ( cos
5 1) SUBSTITUSI
2
7.2. INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
n 1) sin ( x ) dx ?
Bila n ganjil maka n 2 m 1 , m 1 , 2 , 3 ... , sehingga n m m
2
1
2 sin ( x ) dx sin ( x ) dx sin ( x ) sin( x ) dx
m m
2
2 sin ( x ) sin( x ) dx 1 cos ( x ) sin( x ) dx
misalkan u cos x maka du sin xdx , sehingga m m
2
2 1 cos ( x ) sin( x ) dx 1 u du
Bila genap maka 2 , bilangan bulat, sehingga n n m m m m1 cos 2 x m
2
2 sin ( x ) dx sin ( x ) dx dx
2
Cara yang sama juga berlaku untuk cosinus.
m n 2) sin ( x ) cos ( x ) dx ?
Bila n ganjil yaitu n 2 k
1 , k
1 , 2 , 3 ,...
2
2
cos x 1 sin x
Simpan satu faktor cosinus dan gunakan sehingga faktor yang tersisa adalah sinus, kemudian gunakan substitusi u = sin x Demikian pula bila m ganjil.
Bila m dan n genap gunakan rumus sudut ganda
1 cos 2 x 1 cos 2 x
2
2
sin x atau c os x
2
2 atau sin 2 x 2 sin x cos x Contoh-contoh:
5
4
2
2
x dx x xdx x xdx
1) sin ( ) sin sin ( 1 cos ) sin
u x du xdx
Misalkan cos maka sin , sehingga
2
2
2
4 u du u u du
( 1 )
1
2
3
5
3
5
2
1
2
1 (u u u ) cos x cos x cos x C
3
5
3
5
2
x
1 cos
2
4
2
2
x dx x dx dx
2) cos ( ) (cos )
2
1
2
x x dx
1 2 cos 2 cos
2
4
x
1 1 cos
4
x dx
1 2 cos 2
4
2
x
1 3 cos
4
x dx
2 cos 2
4
2
2
x
1 3 cos 4 x x sin
2
4
2
8
x
3 1 cos
4 x x C sin
2
8
4
32
4 Cara lain: dengan integral parsial
3
16
) sin cos cos cos ( cos 2)
1 ( sin cos 2 sin sin cos cos sin 3 sin cos sin cos 3 . sin sin cos cos sin sin cos
4 sin sin cos ) 4 cos
3
C x x x x dx x x x dx x x x dx x x x x xdx x x x x x xd x x x xd xdx x dx x
( 1 )( sin ) cos ( cos ) ( sin ) ( cos ) ( sin 3)
, sehingga cos maka sin Misalkan ) cos sin
) 1 ( cos sin ( 1 )( sin
4
3
2 )
3
3
3
3
3
3
2
2
4
2
3
3
2
2
3
3
2 1 ( )
C u u u du u u u du u u u du u u xdx x x
x dx du x u
xdx x x xdx x x dx x x
9
5
2
7
7
1
9
5
1
7
9
5
8
5
2
4
4
4
2
2
4
2
6
4
2
2
4
2
4
4
4 )
7.3. SUBSTITUSI YANG MERASIONALKAN
n ax b
- Kasus 1 :Integran memuat bentuk
n Penanganan: lakukan substitusi u ax b
atau u ax b
Contoh :
2 x x t
3 dx dt
1) 2)
t
1 x
4
2
3
3
x x dx x x dx
3) (
1 ) 4)
- Kasus 2 :Integran memuat bentuk
2
2
2
2
2
2 a x , a x , atau x a
Bentuk Substitusi
2
2 x a sin u a x
2
2 tan x a u a x
2
2 x a sec u x a
1 3) ) 4 (
2)
16 1) : Contoh
3
2
3
2
2
2
2
2
3
dx x x t dt dx x x
7.4. PENGINTEGRALAN PARSIAL
Ingat kembali bahwa dx x dv x u x v dx x du x v x u dx d
). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
vdu uv udv
x du x v x v x u d x dv x u atau
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
Bila kedua ruas diintegralkan maka
x du x v x v x u d x dv x u
) ( ) ( ) (
Bila kedua ruas dikalikan dengan dx maka
dx x du x v x v x u dx d dx x dv x u
) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) (
sehingga .
Teknik ini biasanya digunakan untuk menyelesaikan integral dari perkalian fungsi.
) ( ) ( ) ( Contoh : x
1) dx x
1 x
2) xe dx
2 3) x ln xdx
1 4) sin ( x ) dx
2 5) ln(
1 x ) dx
6) x cos xdx
2 x
3 7) x e dx
8) x ln xdx
2 9) x sec xdx
10) cos x ln(sin x ) dx
Agar terampil mengintegralkan diperlukan
1. Mata jeli
2. Feeling
3. LATIHAN
7.5. PENGINTEGRALAN FUNGSI RASIONAL
Bentuk umum fungsi rasional: n
2 a a x a x a x f ( x ) n
1
2 y m
2 g ( x )
b b x b x b x m
1
2 Bentuk umum integral fungsi rasional: n
2 a a x a x a x f ( x ) n
1
2 dx dx m
2 g ( x )
b b x b x b x m
1
2
Langkah-langkah penyelesaian: n m
1. Jika , bagilah f(x) dengan g(x), sehingga diperoleh n
2 a a x a x a x R ( x ) n
1
2 Q ( x )
2 m g ( x ) b b x b x b x m
1
2
2. Uraikan g(x) menjadi hasil kali faktor-faktor linier dan kuadrat yang tak terfaktorkan lagi. k
3. Untuk tiap faktor yang berbentuk , dekomposisi-
(ax + b) kanlah menjadiA A A
1 2 k
2 k ax b
( ax b ) ( ax b )
j
4. Untuk tiap faktor yang berbentuk , (ax2 + bx+c) dekomposisikanlah menjadi
B x C
B x C B x C j j
1
1
2
2
2
2
2 2 j
ax bx c ( ax bx c ) ( ax bx c )
5. Tentukan , lalu selesaikan j A , , A , B , , B , C , , C
1 k 1 j
1
2 2)
3
3
2
3
2
2
2
2
2 1) : Contoh
1
5
3
5 3)
2
6
2 4)
20
6
5 5)
7
4
4
dx x x x dx x x x x dx
x x
x
dx x x dx x xx x x
5
7.6. Integral Tak Wajar (Improper Integral)
1. Integral Tak Wajar Jenis I: batas pengintegralan tak berhingga
2. Integral Tak Wajar Jenis II: integran tak berhingga
3. Integral Tak Wajar Jenis III: Campuran ITW I dan ITW II
1. Integral Tak Wajar Jenis I t
b f x dx t a f x dx f x dx
a. Jika ( ) ada maka ( ) lim ( ) b
a a a b b b f x dx t b f x dx f x dx
b. Jika ( ) ada maka ( ) lim ( ) a
t a
a f x dt f x dt f x dt
c. ( ) ( ) ( ) a
Contoh :
b b dx dx
1
1 1 . lim lim lim 1 1 (KONVERGEN )
2
2 b b b
x b x x
1
1
1 b
dx dx b x b
2 . lim lim ln lim ln ln 2 (DIVERGEN)
2 b b b
x x
2
2
3
3
3 x x x 3 a
3
3 e dx e dx e e e e e
3. lim lim lim (KONVERGEN )
a a a a a b dx dx dx x x
4. lim arctan e lim arctan e a
x x x x x x a b
e e e e e e
a b
e e e e
lim arctan arctan lim arctan arctan
a b
(KONVERGEN )
2. Integral Tak Wajar Jenis II
3
1
1
1
1
1
2
2
2
3
3
2
3
1
2 ) 1 ( lim )
1 ( lim ) 1 ( lim
) ) 1 ( ) 1 (
) 1 (
) 1 ( ) 1 ( 1 ( 3.
) ( 2 ln ln . 2 ln lim ln lim lim
2 2 ) arcsin(
3 arcsin lim 3 arcsin lim
9 lim 9 .
1 : Contoh
2
1 2 1 2 12
1 t t t t t t t t t t t t t t t x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx t x x dx x dx t x x dx x dx
1
b t c t t a c t b c c a b a b t a t b a t a b t b a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f b c a c x f dx x f dx x f
a x x f
dx x f dx x fb x x f
) ( lim ) ( lim ) ( ) ( ) ( maka , dengan k suatu titi di kontinu tidak ) ( Jika c. ) ( lim ) ( maka
) a, selang pada kontinu ( Jika di kontinu dan tidak b b.
) ( lim ) ( maka ) a, selang pada kontinu ( Jika di kontinu dan tidak b a.
1
2. Integral Tak Wajar Jenis III
) 1 ( ) 1 ( 1 (
5
5
5
6
6
5
5
5
5
) ) 1 (
) 1 ( ) 1 (
) ) 1 (
1
) 1 ( ) 1 ( 1 (
.
2
5
5
5
5
5
5 .
1 : Contoh
2 1
2
1 x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx x dx x dx x dx x dx x dx x dx1
2
1
1
1
1
2