Aljabar Boole Gerbang Logika

  

IT105

MATEMATIKA DISKRIT

Ramos Somya, S.Kom., M.Cs.

  

TUJUAN



  Mahasiswa Memahami dan menguasai konsep dasar logika matematika 

  Mahasiswa mempunyai daya nalar yang semakin tajam.

   Pernyataan dan Penghubung Pernyataan

   Konvers, Invers, Kontraposisi, Tautologi & Kontradiksi

   Ekuivalensi

   Penarikan Kesimpulan

   Kalimat berkuantor/Kalkulus Predikat

   Aljabar Boole & Gerbang Logika

  

Bentuk-Bentuk Normal : DNF/Minterm,

CNF/Maxterm

   Program sebagai Logika Instruksi

   Prof. Ir. Danny Manongga, M.Sc., Ph.D.

  

(2007). Matematika Diskrit. Fakultas

Teknologi Informasi UKSW.

   Buku-buku yang membahas Matematika Diskrit

  PENILAIAN 

  Dosen (75%) Tugas : 30% TTS : 35% TAS : 35%

   Asistensi: 25%

  >= 80 A >= 75

• – < 80 AB >= 70
• – < 75

  B >= 65

• – < 70 BC >= 60
• – < 65

  C >= 55

• – < 60 CD

Aturan Kuliah 

  Dressing Code

• – Kemeja atau Kaos ber-krah, rapi dan bersepatu, tidak bersandal-jepit (wajib dan tidak menerima alasan apapun - jika tidak sesuai, tidak diperbolehkan mengikuti kuliah)

   Presensi

• – Absen > 3 kali, tanpa alasan yang jelas, Nilai : E

   Jam Kuliah :

• – Kelas D / Selasa, 09.00
• – 11.00 WIB

   Mulai 09.10 WIB

  TOPIK 1 LOGIKA

  

MATERI 1

PERNYATAAN

PENGHUBUNG PERNYATAAN

  LOGIKA (1) 

  Logika merupakan studi penalaran ( ). reasoning

  

Dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia

disebutkan definisi penalaran :

• – cara berpikir dengan mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budi – bukan dengan perasaan atau pengalaman.

   Materi logika difokuskan pada hubungan antara pernyataan-pernyataan

  LOGIKA (2) 

Perhatikan argumen berikut: Semua pengendara sepeda motor memakai helm

  Setiap orang yang memakai helm adalah mahasiswa. Jadi, semua pengendara sepeda motor adalah mahasiswa.

  

LOGIKA (3)



  Di dalam matematika, hukum-hukum logika : – menspesifikasikan makna dari pernyataan matematis.

• – untuk membedakan antara argumen yang valid dan tidak valid.
• – untuk membuktikan teorema-teorema di dalam matematika.

  

Logika mempunyai aplikasi yang luas di dalam

ilmu komputer : dalam bidang pemrograman, analisis kebenaran algoritma, kecerdasan buatan (

  ), perancangan komputer, artificial intelligence

  

PERNYATAAN



  Adalah kalimat yang mempunyai nilai kebenaran (benar/salah)  kalimat deklaratif/proposisi 

Contoh:

• – UKSW berada di Salatiga. (pernyataan benar)
• – 5+3=9. (pernyataan salah)
• – 100+1=101. (pernyataan, benar/salah tergantung konteks biner/desimal)
• – Meja itu besar. (bukan pernyataan)
• – Apa hobimu? (bukan pernyataan)

   Untuk membuat pernyataan yang lebih kompleks dari pernyataan-pernyataan yang lebih sederhana dibutuhkan penghubung.

   Pernyataan-pernyataan yang lebih kompleks ini disebut pernyataan majemuk ( compound statement ).

   Jadi pernyataan primer atau atomik adalah

pernyataan-pernyataan yang tidak mempunyai

penghubung.

   Dalam pembahasan ini suatu pernyataan akan

   Negasi

   Konjungsi

   Disjungsi

   Kondisi (Conditional)/Implikasi

  

Kondisi Ganda (Biconditional)/Biimplikasi

  

NEGASI (1)



  Notasi: ¬ atau ~ atau ¯ atau ’ 

  

Negasi pernyataan P adalah suatu pernyataan

~P yang mempunyai nilai kebenaran berlawanan dari nilai kebenaran pernyataan semula.

   Contoh: – P : Hari ini hujan.

• – Q : Hari ini panas.

  Maka pernyataan NOT dari P dan Q adalah – ~P: Hari ini tidak hujan.

  NEGASI (2) 

  Tabel Kebenaran

  

DISJUNGSI (1)



  Notasi:  atau + atau   Disjungsi dari dua pernyataan P dan Q adalah

• – suatu pernyataan P  Q yang mempunyai nilai kebenaran T jika P atau Q atau keduanya mempunyai nilai kebenaran T, selain itu P  Q bernilai F.

   Contoh: P: Hari ini hujan.

  Q: Ada 10 kamar dalam rumah ini. P

   Q: Hari ini hujan atau ada 10 kamar dalam rumah

  

DISJUNGSI (2)



  Saya akan menonton pertandingan di tv atau pergi ke lapangan pertandingan. “atau” dipakai dalam bentuk yang eksklusif untuk memilih salah satu dari dua alternatif tetapi tidak keduanya (P atau Q saja tetapi tidak P dan Q).

  

  Ada sesuatu yang salah dengan bolam itu atau dengan pengabelannya. “atau” dipakai dalam bentuk yang inklusif yaitu bisa salah satu atau kedua alternatif terjadi (P, atau Q atau P dan Q). “atau” digunakan seperti yang dimaksud (simbol ).

   Dua atau tiga orang cedera dalam kecelakaan itu.

  “atau” tidak ditujukan dalam arti Penghubung yang

  DISJUNGSI (3) 

Sifat simetri: P  Q = Q  P.

 Negasi P  Q adalah ~P  ~Q. 

  Tabel Kebenaran:

  

KONJUNGSI (1)



  Notasi: , . , , atau   Konjungsi dari dua pernyataan P dan Q adalah

• – suatu pernyataan P  Q yang mempunyai nilai kebenaran T bila P dan Q keduanya mempunyai nilai kebenaran T, selain itu P  Q bernilai F.

   Contoh: P: Hari ini hujan.

  Q: Ada 10 kamar dalam rumah ini. P

   Q: Hari ini hujan dan ada 10 kamar dalam rumah

  

KONJUNGSI (2)

 Mawar berwarna merah dan kucing berwarna hitam.

  “dan” digunakan seperti yang dimaksud (simbol ). Prinsip simetri berlaku. P Q = QP

   Inem membuka pintu dan berjalan masuk.

  “dan” berarti “kemudian” karena “berjalan masuk” terjadi setelah “Inem membuka pintu”  tidak dapat diterjemahkan dengan .

  Prinsip simetri tidak berlaku. P Q  QP

   Inem dan Ponim bersaudara.

  “dan” bukan penghubung, karena hanya satu kalimat bukan dua kalimat setara yang dihubungkan dengan AND.

  Bila dipecah, akan menjadi kalimat berita tidak lengkap.

  KONJUNGSI (3)  Sifat simetri: P  Q = Q  P.  Negasi P  Q adalah ~P  ~Q. 

  Tabel Kebenaran:

  

IMPLIKASI (1)



  Notasi:   Jika P dan Q adalah dua pernyataan, maka implikasi pernyataan P  Q dapat dibaca sebagai IF P, THEN Q.

   P dan Q adalah suatu pernyataan conditional. P disebut proposisi antecedent/premis/kondisi dan Q adalah consequent/konklusi.

  

Implikasi tidak mempunyai sifat simetri dalam

  IMPLIKASI (2) 

  

Implikasi  memainkan peranan penting

p q dalam penalaran. Implikasi ini tidak hanya diekspresikan dalam pernyataan standard “jika

  

, maka ” tetapi juga dapat diekspresikan

p q dalam berbagai cara, antara lain:

• – Jika , maka

  p q

  ,

• – Jika p q
• – mengakibatkan

  p q

• – jika

  q p

• – hanya jika

  p q

• – syarat cukup agar

  p q

  

IMPLIKASI (3)



  Contoh: – P : Langit cerah hari ini. Q: 2+7 >4.

  P Q : Jika langit cerah hari ini, maka 2+7 >4.

• – P: Ibu ke pasar. Q: Didi ke sekolah.

  P Q : Jika ibu ke pasar, maka Didi ke sekolah.

• – Tulis dalam bentuk simbolis: “Kalau William mengambil Kalkulus atau Harry mengambil Sosiologi, maka Charles akan mengambil Bahasa Inggris.” J: William mengambil Kalkulus. K: Harry mengambil Sosiologi. L: Charles mengambil Bahasa Inggris.

  IMPLIKASI (4)  P  Q  (ekuivalen dengan) ~P  Q.

  Buktikan dengan tabel kebenaran!  ~(P  Q)  ~(~P  Q)  P  ~Q. 

  Tabel Kebenaran:

  

IMPLIKASI (5)



  Proposisi-proposisi berikut adalah implikasi dalam berbagai bentuk:

  a) Jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur.

  b) Jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang.

  

c) Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut

naik.

  d) Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan.

  e) Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal hanya jika ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit.

  f) Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan api dari rokok.

  g) Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia adalah dengan mengontrak pemain asing kenamaan.

  

IMPLIKASI (6)



  Ubahlah proposisi c sampai h, ke dalam bentuk , maka proposisi “jika p q ”.

  

Penyelesaian: – Jika es mencair di kutub, maka permukaan air laut naik

• – Jika orang itu diberi ongkos jalan, maka ia mau berangkat.
• – Jika Ahmad mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal, maka ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit.
• – Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan “Percikan api dari

  rokok adalah syarat cukup untuk membuat pom bensin

  meledak” atau “Jika api memercik dari rokok, maka pom bensin meledak”
• – Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan “Mengontrak pemain asing kenamaan adalah syarat perlu untuk Indonesia agar ikut Piala Dunia” atau “Jika Indonesia ikut Piala Dunia

  BIIMPLIKASI (1) 

  Notasi:  

  Jika P dan Q adalah dua pernyataan, maka biimplikasi pernyataan P  Q (dibaca P jika dan hanya jika Q) mempunyai nilai T bilamana baik P dan Q keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama.

   P Q mempunyai sifat simetri yaitu:

  

BIIMPLIKASI (2)



  Terdapat sejumlah cara untuk menyatakan bikondisional p  q dalam kata-kata, yaitu:

• – p

  jika dan hanya jika q .

• – p adalah syarat perlu dan cukup untuk

  q .

• – Jika

  p maka q , dan sebaliknya.

  BIIMPLIKASI (3) 

  P  Q  (PQ)  (QP) 

  Tabel Kebenaran:

  

BIIMPLIKASI (4)



Proposisi majemuk berikut adalah bi- implikasi:

• – 1 + 1 = 2 jika dan hanya jika 2 + 2 = 4.
• – Syarat cukup dan syarat perlu agar hari hujan adalah kelembaban udara tinggi.
• – Jika anda orang kaya maka anda mempunyai banyak uang, dan sebaliknya.

  BIIMPLIKASI (5)  Tuliskan setiap proposisi berikut ke dalam jika dan hanya jika bentuk “ p q ”:

  a) Jika udara di luar panas maka anda membeli es krim, dan jika anda membeli es krim maka udara di luar panas.

  b) Syarat cukup dan perlu agar anda memenangkan pertandingan adalah anda melakukan banyak latihan.

  c) Anda naik jabatan jika anda punya koneksi, dan anda punya koneksi jika anda naik jabatan.

  d) Jika anda lama menonton televisi maka mata anda lelah, begitu sebaliknya.

  

BIIMPLIKASI (6)



Penyelesaian:

  a) Anda membeli es krim jika dan hanya jika udara di luar panas.

  b) Anda melakukan banyak latihan jika dan hanya jika anda memenangkan pertandingan.

  c) Anda naik jabatan jika dan hanya jika anda punya koneksi.

  d) Mata anda lelah jika dan hanya jika anda lama menonton televisi.

  e) Kereta api datang terlambat jika dan hanya jika saya

  TABEL NEGASI

  TABEL

SETARA/SENILAI/EKUIVALEN

  MATERI 2

KONVERS, INVERS, KONTRAPOSISI

TAUTOLOGI & KONTRADIKSI

  

Dari suatu implikasi, bisa dibentuk varian

implikasi yang lain, yaitu:

• – Konvers (Q  P)
• – Invers (~P  ~Q)
• – Kontraposisi (~Q  ~P)

   P  Q  ~Q  ~P

   Buktikan dengan tabel kebenaran!

  

  Jika A merupakan suatu bujursangkar, maka A merupakan suatu 4 persegi panjang P : A merupakan suatu bujursangkar Q : A merupakan suatu 4 persegi panjang Kn: Q

   P : Jika A merupakan 4 persegi panjang, maka A adalah suatu bujursangkar In: P  Q : Jika A bukan bujursangkar, maka A bukan 4 persegi panjang Kt: Q  P : Jika A bukan 4 persegi panjang, maka A bukan bujursangkar Ngs: P  Q: adalah suatu bujursangkar dan A bukan

  A

  

  Jika n adalah bilangan prima > 2, maka n adalah bilangan ganjil.

  P : n adalah bilangan prima > 2 Q : n adalah bilangan ganjil Kn: Q

   P : Jika n adalah bilangan ganjil, maka n adalah bilangan prima > 2 In: P  Q : Jika n bukan bilangan prima > 2, maka n bukan bilangan ganjil Kt: Q  P : Jika n bukan bilangan ganjil, maka n bukan bilangan prima > 2

  

TAUTOLOGI dan KONTRADIKSI (1)



  Tautologi adalah pernyataan yang nilai kebenarannya selalu benar.

   Contoh: P  ~P (buktikan!)

  

Kontradiksi adalah pernyataan yang nilai

kebenarannya selalu salah.

   Contoh: P  ~P (buktikan!)

  

TAUTOLOGI dan KONTRADIKSI (2)



  Tunjukkan bahwa kalimat-kalimat di bawah ini adalah Tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran. TAUTOLOGI dan KONTRADIKSI (3)

  TAUTOLOGI dan KONTRADIKSI (4)