Az egyváltozós függvények Riemann-integrálja
Az egyváltozós függvények Riemann-integrálja
Alapintegrálok
Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket.
n+1
′
Z
xn+1
x
n
•
x dx =
+ c, ha n 6= −1;
mert
+ c = xn
n+1
n+1
Z
1
1
′
•
dx = ln |x| + c ;
mert (ln + c) =
x
x
Z
′
•
sin x dx = − cos x + c ;
mert (− cos x + c) = sin x
•
Z
cos x dx = sin x + c ;
•
Z
1
dx = tan x + c ;
cos2 x
•
Z
1
dx = − cot x + c ;
sin2 x
•
Z
√
•
Z
1
dx = arcsin x + c ;
1 − x2
√
•
Z
1
dx = − arccos x + c ;
1 − x2
1
dx = arctan x + c ;
1 + x2
•
Z
1
dx = −arccot x + c ;
1 + x2
•
Z
cosh x dx = sinh x + c ;
mert (sinh x + c) = cosh x
•
Z
sinh x dx = cosh x + c ;
mert (cosh x + c) = sinh x
•
Z
1
dx = tanh x + c ;
cosh2 x
•
Z
1
dx = − coth x + c ;
sinh2 x
•
Z
ex dx = ex + c ;
′
mert (sin x + c) = cos x
′
mert (tan x + c) =
1
cos2 x
′
mert (− cot x + c) =
1
sin2 x
1
′
mert (arcsin x + c) = √
1 − x2
′
mert (− arccos x + c) = √
1
1 + x2
′
mert (arctan x + c) =
′
mert (−arccot x + c) =
1
1 + x2
′
′
′
mert (tanh x + c) =
1
cosh2 x
′
mert (− coth x + c) =
mert (ex + c) = ex
′
1
1
1 − x2
1
sinh2 x
′
•
Z
ax
+ c;
a dx =
ln a
•
Z
√
1
dx = ar sinh x + c ;
x2 + 1
•
Z
√
x2
•
Z
•
Z
1
1
′
dx = ar tanh x + c, ha |x| < 1; mert (ar tanh x + c) =
1 − x2
1 − x2
x
1
−1
mert
ax
+c
ln a
= ax
1
′
mert (ar sinh x + c) = √
x2 + 1
1
′
mert (ar cosh x + c) = √
2
x −1
dx = ar cosh x + c ;
1
1
′
dx = ar coth x + c, ha |x| > 1; mert (ar coth x + c) =
2
1−x
1 − x2
Az integrálás alapképleteinek és -szabályainak alkalmazása
Példák
Z
Z
dx
x−1
1
(A/1)
=
x−2 dx =
+c=− +c
2
x
−1
x
Z
Z
2
dx
x3
3√
3
− 13
√
x2 + c
(A/2)
dx
=
=
x
+c=
2
3
2
x
3
Z
Z
Z
Z
x3
x5
2 2
4
2
4
−
+c
(A/3) x (x − 1) dx = (x − x ) dx = x dx − x2 dx =
5
3
Z
Z
Z
Z
Z
(A/4) (x2 − 1)2 dx = (x4 − 2x2 + 1) dx = x4 dx − 2 x2 dx + 1 dx =
x5
x3
−2 +x+c
5
3
Z √
Z
x − x + x4
1
2
x3
− 32
2
√
dx
=
(x
−
+
x
)
dx
=
−
+c
−
ln
|x|
+
x2
x
3
x
Z
Z
√
1
1
3
(x + 1)2
2√ 5 4√ 3
√
x +
x +2 x+c
dx = (x 2 + 2x 2 + x− 2 ) dx =
5
3
x
Z 2
Z
Z
Z
x − 4x + 7
(x − 2)2 + 3
3
dx =
dx = (x − 2) dx +
dx =
x−2
x−2
x−2
2
x
=
− 2x + 3 ln |x − 2| + c
2
Z
Z
x2
1 + x2
1 + 2x2
dx =
dx
=
+
x2 (1 + x2 )
x2 (1 + x2 ) x2 (1 + x2 )
Z
1
1
1
dx = − + arctan x + c
+
x2
1 + x2
x
=
(A/5)
(A/6)
(A/7)
(A/8)
2
Z
6
6
dx =
2
5 + 5x
5
Z
1
6
dx = arctan x + c
2
1+x
5
Z
Z
1
ln 2
ln 2
ln 2
√
√
dx = √
dx = √ ar sinhx + c
(A/10)
2
2
2
2
2 + 2x
1+x
Z
Z
Z
1 − cos2 x
sin2 x
dx =
dx =
(A/11) tan2 x dx =
2
cos x
cos2 x
Z
1
− 1 dx = tan x − x + c
cos2 x
Z
Z
cos2 x − sin2 x
cos 2x
dx =
dx =
(A/12)
cos x − sin x
cos x − sin x
Z
(cos x + sin x) dx = sin x − cos x + c
(A/9)
Z 4
x −1
1
x4
dx =
dx = −
+
(A/13)
1−x
x−1
x−1
Z
1
x3 + x2 + x + 1 +
−
dx =
1−x
4
x3
x2
x
+
+
+ x + ln |x − 1| + c
−
4
3
2
Z
Feladatok
Z
√
√
(a/1) ( x + 1)(x − x + 1) dx
(a/2)
Z √
3
x2 −
√
x
√
4
x
dx
Integrálás helyettesítéssel
Z
f (x) dx =
Z
f (ϕ(t)) ϕ′ (t) dt;
helyettesítés : x = ϕ(t)
Példák
Z
Z
1
1
1
(B/1)
cos (4x − 5) dx =
cos t dt = sin t + c = sin (4x − 5) + c
4
4
4
helyettesítés : t = 4x − 5 =⇒
1
dt
= 4 =⇒ dx = dt
dx
4
3
(B/2)
Z
√
1
8 − 2x dx = −
2
Z √
1 2 3
1p
t dt =
(8 − 2x)3 + c
t2 + c = −
2 3
3
helyettesítés : t = 8 − 2x =⇒
(B/3)
(B/4)
Z
e
−x
dx = −
Z
dt
1
= −2 =⇒ dx = − dt
dx
2
et dt = −eu + c = −e−x + c
helyettesítés : t = −x =⇒
dt
= −1 =⇒ dx = − dt
dx
Z
ex(ln 10+1) dx =
10x ex dx = eln 10 ex =
Z
1
ex(ln 10+1)
et +c =
+c
ln 10 + 1
ln 10 + 1
1
dt
= ln 10 + 1 =⇒ dx =
dt
dx
ln 10 + 1
Z
Z
x
1
1
1
1√
5 arctan √ + c
dx =
(B/5)
2 dx =
2
5+x
5
5
5
x
1+ √
5
√
dt
1
x
= √ =⇒ dx = 5 dt
helyettesítés : t = √ =⇒
dx
5
5
Z
Z
Z
1
1
−5
(B/6)
dx
=
(2x
−
3)
dx
=
t−5 dt =
(2x − 3)5
2
helyettesítés : t = x(ln 10 + 1) =⇒
1
1 t−4
1
+c=−
+c
2 −4
8 (2x − 3)4
1
dt
= 2 =⇒ dx = dt
dx
2
Z
Z √
Z
p
p
1
1
3
3
3
3x2 x3 + 8 dx =
t dt
(B/7)
x2 x3 + 8 dx =
3
3
1 3 4
1p
=
t 3 + c = 3 (x3 + 8)4 + c
3 4
4
helyettesítés : t = 2x − 3 =⇒
dt
= 3x2 =⇒ dt = 3x2 dx
dx
Z
Z
Z
1
1
(B/8)
x sin (x2 + 2) dx =
2x sin (x2 + 2) dx =
sin t dt =
2
2
helyettesítés : t = x3 + 8 =⇒
−
1
1
cos t + c = − cos (x2 + 2) + c
2
2
dt
= 2x =⇒ dt = 2x dx
dx
Z √
Z √
3
3 4
tan x
3p
3
3
3 + c =
(B/9)
t
dt
=
tan4 x + c
dx
=
t
2
cos x
4
4
helyettesítés : t = x2 + 2 =⇒
4
helyettesítés : t = tan x =⇒
Z
(B/10)
x
1
dx =
x4 + 1
2
Z
1
1
1
dt = arctan t + c = arctan x2 + c
t2 + 1
2
2
helyettesítés : t = x2 =⇒
(B/11)
Z
x3
1
dx =
8
4
x −1
1
1
dt
=
=⇒ dt =
dx
2
dx
cos x
cos2 x
dt
= 2x =⇒ dt = 2x dx
dx
Z
1
1
1
√
dt = ar cosht + c = ar coshx4 + c
2
4
4
t −1
dt
= 4x3 =⇒ dt = 4x3 dx
helyettesítés : t = x4 =⇒
dx
√
Feladatok
Z
π
(b/1)
sin ( − 3x) dx
3
Z
3
√
dx
(b/2)
3x2 − 2
Z p
5
(b/3)
(8 − 3x)6 dx
(b/4)
Z
p
x 1 − x2 dx
(b/5)
Z
x
√
dx
2
x +1
Z
cos x
√
dx
sin x
Z √
ln x
dx
(b/7)
x
Z
cos x
p
(b/8)
dx
1 + sin2 x
(b/6)
Integrálás az
Példák
Z
(C/1)
Z
f ′ (x)
dx = ln |f (x)| + c szabállyal
f (x)
x
1
dx =
4 + x2
2
Z
2x
dx = ln (4 + x2 ) + c
4 + x2
(lehet t = 4 + x4 helyettesítéssel is)
5
(C/2)
Z
1
dx =
x ln x
Z
1
x
ln x
dx = ln | ln x| + c
(lehet t = ln x helyettesítéssel is)
Z
Z
5
x − 21
x+2
2
dx =
dx =
+
(C/3)
2x − 1
2x − 1 2x − 1
Z
x 5
1 5 2
dx = + ln |2x − 1| + c
+
2 4 2x − 1
2 4
(lehet t = 2x − 1 helyettesítéssel is)
Z
Z
Z
3x − 1
3x
1
(C/4)
dx =
dx −
dx =
x2 + 9
x2 + 9
x2 + 9
Z
Z
Z
1
1
2x
1
1
3
∗ 3
2
dx
−
ln
(x
+
9)
−
dx =
dx
=
=
2
2
x
2 x +9
9
2
3 1 + t2
1+
3
3
1
3
1
x
= ln (x2 + 9) − arctan t + c = ln (x2 + 9) − arctan + c
2
3
2
3
3
∗ helyettesítés a második integrálban: t =
dt
1
1
x
=⇒
= =⇒ dt = dx
3
dx
3
3
Parciális integrálás
Z
u(x)v ′ (x) dx = u(x)v(x) −
Z
u′ (x)v(x) dx
Példák
Z
Z
(D/1) x cos x dx = x sin x − sin x dx = x sin x + cos x + c
u=x
u′ = 1
v ′ = cos x v = sin x
Z
Z
1 2
2
(2)
(1)
2
x cos 3x dx =
(D/2) (x − 1) sin 3x dx = − (x − 1) cos 3x +
3
3
(1)
u = x2 − 1
v ′ = sin 3x
u′ = 2x
1
v = − cos 3x
3
6
(2)
u=x
v ′ = cos 3x
u′ = 1
1
v = sin 3x
3
1
2
= − (x2 − 1) cos 3x +
3
3
(2)
1
1
x sin 3x −
3
3
Z
sin 3x dx
=
2
2
1
cos 3x + c
− (x2 − 1) cos 3x + x sin 3x +
3
9
27
Z
Z
√
(1)
(2)
(D/3) sin x dx = 2 t sin t dt =
(1)
helyettesítés:
x = t2 =⇒ dx = 2t dt
(2)
u=t
v ′ = sin t
u′ = 1
v = − cos t
Z
√
√
= −2t cos t + 2 cos t dt = −2t cos t + 2 sin t = −2 x cos x +
√
+ 2 sin x + c
Z
Z
1
x sin 2x dx =
(D/4) x sin x cos x dx =
2
(2)
u=x
u′ = 1
v ′ = sin 2x
1
v = − cos 2x
2
1
1
= − x cos 2x +
4
4
Z
(D/5) x arctan x dx =
u = arctan x
v′ = x
Z
x
1
cos 2x dx = − cos 2x + sin 2x + c
4
8
1
1 + x2
x2
v=
2
u′ =
Z
1
x2
x2
arctan x −
dx =
2
2Z 1 + xZ2
x2
1
1
1
=
arctan x−
dx+
2
2
2 1 + x2
Z
Z
3
(1) 1
(D/6) e3x cos 2x dx = e3x sin 2x −
2
2
=
7
Z
x2
1 1 + x2 − 1
arctan x −
dx =
2
2
1 + x2
x2
x 1
dx =
arctan x− + arctan x+c
2
2 2
e3x sin 2x dx
(∗)
u = e3x
(1)
v ′ = cos 2x
u′ = 3e3x
1
v = sin 2x
2
Másrészt :
Z
e
3x
(2)
2
1
cos 2x dx = e3x cos 2x +
3
3
(2)
u = cos 2x
v ′ = e3x
Z
e3x sin 2x dx
(∗∗)
u′ = −2 sin 2x
1
v = e3x
3
A (∗) Zegyenletet 4-gyel, a (∗∗) egyenletet 9-cel szorozva és összeadva a e3x sin 2x dx tag kiesik, így kapjuk :
13
Z
e3x cos 2x dx = 2e3x sin 2x + 3e3x cos 2x
Tehát :
(D/7)
Z
e3x cos 2x dx =
Z
earcsin x dx =
∗
Z
2e3x sin 2x + 3e3x cos 2x
+c
13
et cos t dt =?
∗ helyettesítés : t = arcsin x =⇒ x = sin t =⇒ dx = cos tdt
Z
(1)
et cos t dt = et sin t −
(1)
Z
et sin t dt
u = et
u ′ = et
v ′ = cos t v = sin t
Másrészt :
Z
t
(2)
t
e cos t dt = e cos t +
(2)
Z
et sin t dt
u = cos t u′ = − sin t
v ′ = et
v = et
A két egyenletetet összadva az
2
Z
Z
et sin t dt tag kiesik, így :
et cos t dt = et sin t + et cos t = et (sin t + cos t)
8
Tehát :
√
x
Z
earcsin x dx =
=
p
earcsin x
(x + 1 − x2 ) + c
2
e
arcsin x
2
1−x2
}|
{
z }| { z
(sin arcsin x + cos arcsin x) =
Feladatok
2
Z
x+2
(d/1)
dx
ex
Z
(d/2)
x2 ax dx
(d/3)
Z
x3 e−x dx
(d/4)
Z
arctan
(d/5)
Z
ln3 x dx (segítség : u = ln3 x, v ′ = 1; majd további két ehhez hasonló
(d/7)
Z
(8x2 − 11x + 5)ex dx
(d/8)
Z
x arcsin xdx
(d/9)
Z
x3 3x dx
2
√
x dx
parc. int.)
Z
(d/6)
xex dx
(d/10)
Z
sin
(d/11)
Z
xarctgxdx
(d/12)
Z
x2 cos 2xdx
(d/13)
Z
x sin x cos xdx
√
xdx
9
(d/14)
Z
ln xdx
(d/15)
Z
ln2 xdx
(d/16)
Z
ln3 xdx
(d/17)
Z
(arcsin x)2 dx
(d/18)
Z
ex cos xdx
(d/19)
Z
2x sin xdx
(d/20)
Z
earcsin x dx
(d/21)
Z
e3x cos 2xdx
(d/22)
Z
x + 22
dx
ex
(d/23)
Z
x ln xdx
Racionális törtfüggvények integrálása
Példák
Z
(E/1)
x−2
dx =?
x2 − 7x + 12
Az integrandust parciális törtekre bontjuk :
x−2
x−2
A
B
=
=
+
=
x2 − 7x + 12 (x − 3)(x − 4)
x−3 x−4
=
A(x − 4) + B(x − 3)
x(A + B) − 4A − 3B
=
(x − 3)(x − 4)
(x − 3)(x − 4)
10
Összehasonlítva a számlálóban az együtthatókat a jobb és bal oldalon, a
következő egyenletrendszert kapjuk :
A+B =1
−4A − 3B = −2,
melynek megoldása : A = −1, B = 2. Tehát :
Z
Z
Z
Z
1
1
1
2
x−2
dx
=
−
−
dx
=
+
dx
+
2
dx =
x2 − 7x + 12
x−3 x−4
x−3
x−4
= − ln |x − 3| + 2 ln |x − 4| + ln c = ln c
(E/2)
Z
x
∗ 1
dx =
4
2
x − 3x + 2
2
Z
t2
(x − 4)2
.
|x − 3|
1
dt =?
− 3t + 2
(∗ helyettesítés : t = x2 =⇒ dt = 2xdx)
Az integrandust parciális törtekre bontjuk :
1
1
A
B
=
=
+
=
t2 − 3t + 2 (t − 1)(t − 2)
t−1 t−2
=
t(A + B) − 2A − B
A(t − 2) + B(t − 1)
=
.
(t − 1)(t − 2)
(t − 1)(t − 2)
Összehasonlítva a számlálóban az együtthatókat, a következő egyenletrendszert kapjuk :
A+B =0
−2A − B = 1,
melynek megoldása : A = −1, B = 1. Tehát :
Z
Z
1
1
1
1
1
dx =
dx
=
+
−
2 t2 − 3t + 2
2
t−1 t−2
Z
Z
1
1
1
1
=−
dx +
dx =
2 t−1
2 t−2
1
1
1
= − ln |t − 1| + ln |t − 2| + ln c =
2
2
2
=
1
|t − 2|
1
|x2 − 2|
ln c
= ln c 2
.
2
|t − 1|
2
|x − 1|
11
(E/3)
Z
x2
3x − 2
dx =?
+ 4x + 8
Itt a nevező nem bontható fel lineáris tényezők szorzatára, ezért
az integrandust két olyan tört összegére bontjuk, amelyek egyikében a
a számláló a nevező deriváltjának konstansszorosa, a másik számlálója
pedig konstans :
α(2x + 4)
β
2αx + 4α + β
3x − 2
= 2
+
= 2
.
x2 + 4x + 8
x + 4x + 8 x2 + 4x + 8
x + 4x + 8
Összehasonlítva a számlálóban az együtthatókat, a következő egyenletrendszert kapjuk :
2α = 3
4α + β = −2,
3
, β = −8. Tehát :
2
Z
Z
Z
3x − 2
1
3
2x + 4
dx =
dx − 8
dx =
x2 + 4x + 8
2 x2 + 4x + 8
x2 + 4x + 8
Z
3
1
1
dx =
= ln (x2 + 4x + 8) − 8
2
2
4 ( x+2
2 ) +1
melynek megoldása : α =
=
(E/4)
Z
3
x+2
ln (x2 + 4x + 8) − 4 arctan
+ c.
2
2
x3 − 2x2 + 4
dx =?
x3 (x − 2)2
Az integrandust parciális törtekre bontjuk :
A
B
C
D
E
x3 − 2x2 + 4
= + 2+ 2+
+
=
3
2
x (x − 2)
x
x
x
(x − 2) (x − 2)2
=
A[x2 (x − 2)2 ] + B[x(x − 2)2 ] + C[(x − 2)2 ] + D[x3 (x − 2)] + E[x3 ]
.
x3 (x − 2)2
Összehasonlítva a számlálóban az együtthatókat, a következő egyenlet-
12
rendszert kapjuk :
A+D =0
−4A + B − 2D + E = 1
4A − 4B + C = −2
4B − 4C = 0
4C = 4 ,
1
1
1
, B = 1, C = 1, D = − , E = . Tehát :
4
4
2
Z
Z 3
1
x − 2x2 + 4
1
1
1
1
dx =
dx
=
+
+
−
+
x3 (x − 2)2
4x x2
x3
4(x − 2) 2(x − 2)2
1 x 1
1
1
= ln
− −
−
+ c.
4
x − 2 x 2x2
2(x − 1)
melynek megoldása : A =
(E/5)
Z
1
dx =
x6 + x4
Z
1
dx =?
x4 (x2 + 1)
Az integrandust parciális törtekre bontjuk :
1
C
D
Ex + F
A
B
= + 2+ 3+ 4+ 2
=
x4 (x2 + 1)
x
x
x
x
x +1
=
A(x5 + x3 ) + B(x4 + x2 ) + C(x3 + x) + D(x2 + 1) + Ex5 + F x4
.
x4 (x2 + 1)
Összehasonlítva a számlálóban az együtthatókat, a következő egyenletrendszert kapjuk :
A+E =0
B+F =0
A+C =0
B+D =0
C=0
D = 1,
melynek megoldása : A = 0, B = −1, C = 0, D = 1, E = 0, F = 1.
Tehát :
Z
Z
1
1
1
1
1
1
dx = − 2 + arctan x + c.
−
dx
=
+
+
x6 + x4
x2
x4
x2 + 1
x 3x
13
Feladatok
Z
2x2 − 5
(e/1)
dx
x4 − 5x2 + 6
Z
1
(e/2)
dx
x4 − x2
Z
x
dx
(e/3)
x3 − 1
Z
x2
(e/4)
dx
1 − x4
Z
1
(e/5)
dx
(x + 1)2 (x2 + 1)
Z
2
(e/6)
dx
5x − 1
Z
π
dx
(e/7)
x+2
Z
2x + 1
(e/8)
dx
3x − 4
Z
7x − 2
(e/9)
dx
4x + 11
Z 2
x +1
(e/10)
dx
x+1
Z 2
x − 2x + 3
dx
(e/11)
5x + 7
R 3 +2x2 +x
dx
(e/12) 3x 10x−1
Z
17dx
(e/13)
(3x + 14)2
Z
33dx
(e/14)
(x + 19)3
Z
x+7
(e/15)
dx
(x + 2)2
Z 2
x −x+8
dx
(e/16)
(x − 3)3
Z 3
x + x2 − x + 1
(e/17)
dx
(x − 1)4
14
(e/18)
Z
(e/19)
Z
(e/20)
Z
dx
3x2 + 4x + 5
(e/21)
Z
(e/22)
Z
dx
5x2 − 4x + 3
(e/23)
Z
(e/24)
Z
(e/25)
Z
(e/26)
Z
(e/27)
Z
(e/28)
Z
(e/29)
Z
(e/30)
Z
(e/31)
Z
(e/32)
Z
dx
(x2 + 1)3
(e/33)
Z
3x − 4
(x2 + 4)3
(e/34)
Z
x+1
dx
x4 + 4x2 + 3
x4 + 1
dx
(x − 2)3
x7
dx
(1 + x)6
dx
x2 − 6x − 10
x−4
dx
x2 + 4
7x − 6
x2 − 8
3x4 + 4x3 − x + 13
dx
x2 + 3x − 4
x6 − x5
dx
x2 − 5x − 6
x3
x4 + x2 + 1
dx
+ 3x2 + 3x + 1
x3
x+3
dx
+ 4x2 + 4x
(x2 + 1)dx
(x2 − 10x + 21)(x2 + 2x + 1)
x4 + x2 + 1
dx
(x + 1)2 (x − 1)2
dx
(x2 + 1)2
15
(e/35)
Z
(x2
(e/36)
Z
x4
(e/37)
Z
(e/38)
Z
x3 + x + 2
dx
+ x + 1)(x − 2)
x3 + 2
dx
− 4x2 + 3
xdx
x4 − 2x2 − 3
x4
xdx
− 3x2 + 2
Trigonometrikus és hiperbolikus függvények integrálása
Páratlan kitevő esetén : leválasztás + helyettesítés.
Páros kitevő esetén : linearizálás.
Linearizálási formulák :
cos2 x + sin2 x = 1;
cos 2x = cos2 x − sin2 x;
sin 2x = 2 sin x cos x;
cos2 x = 1 − sin2 x;
sin2 x = 1 − cos2 x;
1 + cos 2x
;
2
1 − cos 2x
sin2 x =
;
2
cos2 x =
cosh2 x − sinh2 x = 1;
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x;
sinh 2x = 2 sinh x cosh x;
cosh2 x = 1 + sinh2 x;
sinh2 x = cosh2 x − 1;
cosh 2x + 1
;
2
cosh 2x − 1
sinh2 x =
.
2
cosh2 x =
16
Példák
Z
Z
Z
5
4
(F/1) cos x dx = cos x cos x dx = (cos2 x)2 cos x dx =
Z
∗
(1 − sin2 x)2 cos x dx =
=t−
Z
(1 − t2 )2 dt =
Z
(1 − 2t2 + t4 ) dt =
t5
2
1
2t3
+ + c = sin x − sin3 x + sin5 x + c
3
5
3
5
(∗ helyettesítés : t = sin x =⇒ dt = cos xdx)
Z
3
1 − cos 2x
(F/2) sin x dx = (sin x) dx =
dx =
2
Z
1
1 − 3 cos 2x + 3 cos2 2x − cos3 2x dx =
=
8
Z
1 + cos 4x
1
3
− cos 2x dx =
1 − 3 cos 2x + 3
=
8
2
Z
Z
6
2
3
= · · · (az utolsó tagra a páratlan kitevő módszerét alkalmazva) · · · =
=
(F/3)
Z
1
8
5
3
3
1
1
x − sin 2x + sin 4x − sin 2x + sin3 2x + c
2
2
8
2
6
2
3
sinh x cosh x dx =
Z
dt
z }| { Z
sinh x(1+sinh x) cosh x dx = t2 (1+t2 ) dt =
2
2
t5
sinh3 x sinh5 x
t3
+
=
+
+c
3
5
3
5
Z
Z 2
Z
1
(cosh2 x − 1) sinh x
t −1
2 5
sinh3 x
√
√
√ dt = t 2 − 2t 2 =
dx =
dx =
(F/4)
5
t
cosh x
cosh x
p
√
2
=
cosh5 x − 2 cosh x + c
5
=
Feladatok
Z
sin4 x
dx
(f/1)
cos2 x
Z
(f/2)
sin6 x cos3 x dx
(f/3)
Z
sin3 x
dx
cos4 x
(f/4)
Z
1
dx
sinh x cosh x
17
(f/5)
Z
cos 3xdx
(f/6)
Z
x sin x2 dx
(f/7)
Z
(sin2 x − cos2 x)dx
(f/8)
Z
sin x cos xdx
(f/9)
Z
sin2 x cos2 xdx
(f/10)
Z
sin3 x cos xdx
(f/11)
Z
sin2 x cos3 xdx
(f/12)
Z
sin5 xdx
(f/13)
Z
cos5 xdx
(f/14)
Z
cos3 xdx
(f/15)
Z
sin5 x cos2 xdx
(f/16)
Z
sin xdx
1 + cos2 x
(f/17)
Z
cos xdx
1 + cos 2x
(f/18)
Z
sin3 xdx
1 + sin2 x
(f/19)
Z
√
(f/20)
Z
√
(f/21)
Z
dx
sin x + cos x
(f/22)
Z
dx
cos3 x
1 + cos xdx
1 − cos xdx
18
(f/23)
Z
(f/24)
Z
(f/25)
Z
tg5 xdx
(f/26)
Z
dx
sin4 x cos4 x
dx
5 − 3 cos x
sin x − cos x
dx
sin x + cos x
Az R(ex ) alakú függvények integrálása
Számítsuk ki a következő integrálokat :
Z
(g/1)
sinh2 xdx
(g/2)
Z
cosh3 xdx
(g/3)
Z
dx
shx
(g/4)
Z
sinh2 xch3 dx
(g/5)
Z
sinh3 xdx
√
cosh x
(g/6)
Z
e2x dx
ex + 1
(g/7)
Z
ex
(g/8)
Z
6dx
−3
ex sinh 3xdx
Irracionális függvények integrálása
Számítsuk ki a következő integrálokat :
Z
xdx
√
(h/1)
3x + 5
Z
√
(h/2)
(x2 − 3x + 2) 2x − 1dx
(h/3)
Z
√
dx
ex + 1
19
√
3
x2 dx
√
9x2 − 6x + 5
(h/4)
Z
(h/5)
Z
sinh xdx
√
cosh x
(h/6)
Z
√
(h/7)
Z
x3 dx
√
x8 − 1
xdx
x2 + 1
További feladatok
Számítsuk ki a következő integrálokat :
Z
cos 2xdx
a)
cos x − sin x
Z
b)
e−x dx
c)
Z
cos(4x − 5)dx
d)
Z
√
e)
Z
10x ex dx
f)
Z
g)
Z
5 + x2
dx
5 − x2
h)
Z
i)
Z p
5
8 − 2xdx
3dx
√
3x2 − 2
x3 dx
(2x − 4)5
(8 − 3x)6 dx
j)
Z
p
x 1 − x2 dx
k)
Z
cos xdx
√
sin x
l)
Z
x sin(x2 + 1)dx
20
Z
dx
x ln x
Z √
ln x
n)
dx
x
Z
cos xdx
p
o)
1 + sin2 x
m)
21
Alapintegrálok
Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket.
n+1
′
Z
xn+1
x
n
•
x dx =
+ c, ha n 6= −1;
mert
+ c = xn
n+1
n+1
Z
1
1
′
•
dx = ln |x| + c ;
mert (ln + c) =
x
x
Z
′
•
sin x dx = − cos x + c ;
mert (− cos x + c) = sin x
•
Z
cos x dx = sin x + c ;
•
Z
1
dx = tan x + c ;
cos2 x
•
Z
1
dx = − cot x + c ;
sin2 x
•
Z
√
•
Z
1
dx = arcsin x + c ;
1 − x2
√
•
Z
1
dx = − arccos x + c ;
1 − x2
1
dx = arctan x + c ;
1 + x2
•
Z
1
dx = −arccot x + c ;
1 + x2
•
Z
cosh x dx = sinh x + c ;
mert (sinh x + c) = cosh x
•
Z
sinh x dx = cosh x + c ;
mert (cosh x + c) = sinh x
•
Z
1
dx = tanh x + c ;
cosh2 x
•
Z
1
dx = − coth x + c ;
sinh2 x
•
Z
ex dx = ex + c ;
′
mert (sin x + c) = cos x
′
mert (tan x + c) =
1
cos2 x
′
mert (− cot x + c) =
1
sin2 x
1
′
mert (arcsin x + c) = √
1 − x2
′
mert (− arccos x + c) = √
1
1 + x2
′
mert (arctan x + c) =
′
mert (−arccot x + c) =
1
1 + x2
′
′
′
mert (tanh x + c) =
1
cosh2 x
′
mert (− coth x + c) =
mert (ex + c) = ex
′
1
1
1 − x2
1
sinh2 x
′
•
Z
ax
+ c;
a dx =
ln a
•
Z
√
1
dx = ar sinh x + c ;
x2 + 1
•
Z
√
x2
•
Z
•
Z
1
1
′
dx = ar tanh x + c, ha |x| < 1; mert (ar tanh x + c) =
1 − x2
1 − x2
x
1
−1
mert
ax
+c
ln a
= ax
1
′
mert (ar sinh x + c) = √
x2 + 1
1
′
mert (ar cosh x + c) = √
2
x −1
dx = ar cosh x + c ;
1
1
′
dx = ar coth x + c, ha |x| > 1; mert (ar coth x + c) =
2
1−x
1 − x2
Az integrálás alapképleteinek és -szabályainak alkalmazása
Példák
Z
Z
dx
x−1
1
(A/1)
=
x−2 dx =
+c=− +c
2
x
−1
x
Z
Z
2
dx
x3
3√
3
− 13
√
x2 + c
(A/2)
dx
=
=
x
+c=
2
3
2
x
3
Z
Z
Z
Z
x3
x5
2 2
4
2
4
−
+c
(A/3) x (x − 1) dx = (x − x ) dx = x dx − x2 dx =
5
3
Z
Z
Z
Z
Z
(A/4) (x2 − 1)2 dx = (x4 − 2x2 + 1) dx = x4 dx − 2 x2 dx + 1 dx =
x5
x3
−2 +x+c
5
3
Z √
Z
x − x + x4
1
2
x3
− 32
2
√
dx
=
(x
−
+
x
)
dx
=
−
+c
−
ln
|x|
+
x2
x
3
x
Z
Z
√
1
1
3
(x + 1)2
2√ 5 4√ 3
√
x +
x +2 x+c
dx = (x 2 + 2x 2 + x− 2 ) dx =
5
3
x
Z 2
Z
Z
Z
x − 4x + 7
(x − 2)2 + 3
3
dx =
dx = (x − 2) dx +
dx =
x−2
x−2
x−2
2
x
=
− 2x + 3 ln |x − 2| + c
2
Z
Z
x2
1 + x2
1 + 2x2
dx =
dx
=
+
x2 (1 + x2 )
x2 (1 + x2 ) x2 (1 + x2 )
Z
1
1
1
dx = − + arctan x + c
+
x2
1 + x2
x
=
(A/5)
(A/6)
(A/7)
(A/8)
2
Z
6
6
dx =
2
5 + 5x
5
Z
1
6
dx = arctan x + c
2
1+x
5
Z
Z
1
ln 2
ln 2
ln 2
√
√
dx = √
dx = √ ar sinhx + c
(A/10)
2
2
2
2
2 + 2x
1+x
Z
Z
Z
1 − cos2 x
sin2 x
dx =
dx =
(A/11) tan2 x dx =
2
cos x
cos2 x
Z
1
− 1 dx = tan x − x + c
cos2 x
Z
Z
cos2 x − sin2 x
cos 2x
dx =
dx =
(A/12)
cos x − sin x
cos x − sin x
Z
(cos x + sin x) dx = sin x − cos x + c
(A/9)
Z 4
x −1
1
x4
dx =
dx = −
+
(A/13)
1−x
x−1
x−1
Z
1
x3 + x2 + x + 1 +
−
dx =
1−x
4
x3
x2
x
+
+
+ x + ln |x − 1| + c
−
4
3
2
Z
Feladatok
Z
√
√
(a/1) ( x + 1)(x − x + 1) dx
(a/2)
Z √
3
x2 −
√
x
√
4
x
dx
Integrálás helyettesítéssel
Z
f (x) dx =
Z
f (ϕ(t)) ϕ′ (t) dt;
helyettesítés : x = ϕ(t)
Példák
Z
Z
1
1
1
(B/1)
cos (4x − 5) dx =
cos t dt = sin t + c = sin (4x − 5) + c
4
4
4
helyettesítés : t = 4x − 5 =⇒
1
dt
= 4 =⇒ dx = dt
dx
4
3
(B/2)
Z
√
1
8 − 2x dx = −
2
Z √
1 2 3
1p
t dt =
(8 − 2x)3 + c
t2 + c = −
2 3
3
helyettesítés : t = 8 − 2x =⇒
(B/3)
(B/4)
Z
e
−x
dx = −
Z
dt
1
= −2 =⇒ dx = − dt
dx
2
et dt = −eu + c = −e−x + c
helyettesítés : t = −x =⇒
dt
= −1 =⇒ dx = − dt
dx
Z
ex(ln 10+1) dx =
10x ex dx = eln 10 ex =
Z
1
ex(ln 10+1)
et +c =
+c
ln 10 + 1
ln 10 + 1
1
dt
= ln 10 + 1 =⇒ dx =
dt
dx
ln 10 + 1
Z
Z
x
1
1
1
1√
5 arctan √ + c
dx =
(B/5)
2 dx =
2
5+x
5
5
5
x
1+ √
5
√
dt
1
x
= √ =⇒ dx = 5 dt
helyettesítés : t = √ =⇒
dx
5
5
Z
Z
Z
1
1
−5
(B/6)
dx
=
(2x
−
3)
dx
=
t−5 dt =
(2x − 3)5
2
helyettesítés : t = x(ln 10 + 1) =⇒
1
1 t−4
1
+c=−
+c
2 −4
8 (2x − 3)4
1
dt
= 2 =⇒ dx = dt
dx
2
Z
Z √
Z
p
p
1
1
3
3
3
3x2 x3 + 8 dx =
t dt
(B/7)
x2 x3 + 8 dx =
3
3
1 3 4
1p
=
t 3 + c = 3 (x3 + 8)4 + c
3 4
4
helyettesítés : t = 2x − 3 =⇒
dt
= 3x2 =⇒ dt = 3x2 dx
dx
Z
Z
Z
1
1
(B/8)
x sin (x2 + 2) dx =
2x sin (x2 + 2) dx =
sin t dt =
2
2
helyettesítés : t = x3 + 8 =⇒
−
1
1
cos t + c = − cos (x2 + 2) + c
2
2
dt
= 2x =⇒ dt = 2x dx
dx
Z √
Z √
3
3 4
tan x
3p
3
3
3 + c =
(B/9)
t
dt
=
tan4 x + c
dx
=
t
2
cos x
4
4
helyettesítés : t = x2 + 2 =⇒
4
helyettesítés : t = tan x =⇒
Z
(B/10)
x
1
dx =
x4 + 1
2
Z
1
1
1
dt = arctan t + c = arctan x2 + c
t2 + 1
2
2
helyettesítés : t = x2 =⇒
(B/11)
Z
x3
1
dx =
8
4
x −1
1
1
dt
=
=⇒ dt =
dx
2
dx
cos x
cos2 x
dt
= 2x =⇒ dt = 2x dx
dx
Z
1
1
1
√
dt = ar cosht + c = ar coshx4 + c
2
4
4
t −1
dt
= 4x3 =⇒ dt = 4x3 dx
helyettesítés : t = x4 =⇒
dx
√
Feladatok
Z
π
(b/1)
sin ( − 3x) dx
3
Z
3
√
dx
(b/2)
3x2 − 2
Z p
5
(b/3)
(8 − 3x)6 dx
(b/4)
Z
p
x 1 − x2 dx
(b/5)
Z
x
√
dx
2
x +1
Z
cos x
√
dx
sin x
Z √
ln x
dx
(b/7)
x
Z
cos x
p
(b/8)
dx
1 + sin2 x
(b/6)
Integrálás az
Példák
Z
(C/1)
Z
f ′ (x)
dx = ln |f (x)| + c szabállyal
f (x)
x
1
dx =
4 + x2
2
Z
2x
dx = ln (4 + x2 ) + c
4 + x2
(lehet t = 4 + x4 helyettesítéssel is)
5
(C/2)
Z
1
dx =
x ln x
Z
1
x
ln x
dx = ln | ln x| + c
(lehet t = ln x helyettesítéssel is)
Z
Z
5
x − 21
x+2
2
dx =
dx =
+
(C/3)
2x − 1
2x − 1 2x − 1
Z
x 5
1 5 2
dx = + ln |2x − 1| + c
+
2 4 2x − 1
2 4
(lehet t = 2x − 1 helyettesítéssel is)
Z
Z
Z
3x − 1
3x
1
(C/4)
dx =
dx −
dx =
x2 + 9
x2 + 9
x2 + 9
Z
Z
Z
1
1
2x
1
1
3
∗ 3
2
dx
−
ln
(x
+
9)
−
dx =
dx
=
=
2
2
x
2 x +9
9
2
3 1 + t2
1+
3
3
1
3
1
x
= ln (x2 + 9) − arctan t + c = ln (x2 + 9) − arctan + c
2
3
2
3
3
∗ helyettesítés a második integrálban: t =
dt
1
1
x
=⇒
= =⇒ dt = dx
3
dx
3
3
Parciális integrálás
Z
u(x)v ′ (x) dx = u(x)v(x) −
Z
u′ (x)v(x) dx
Példák
Z
Z
(D/1) x cos x dx = x sin x − sin x dx = x sin x + cos x + c
u=x
u′ = 1
v ′ = cos x v = sin x
Z
Z
1 2
2
(2)
(1)
2
x cos 3x dx =
(D/2) (x − 1) sin 3x dx = − (x − 1) cos 3x +
3
3
(1)
u = x2 − 1
v ′ = sin 3x
u′ = 2x
1
v = − cos 3x
3
6
(2)
u=x
v ′ = cos 3x
u′ = 1
1
v = sin 3x
3
1
2
= − (x2 − 1) cos 3x +
3
3
(2)
1
1
x sin 3x −
3
3
Z
sin 3x dx
=
2
2
1
cos 3x + c
− (x2 − 1) cos 3x + x sin 3x +
3
9
27
Z
Z
√
(1)
(2)
(D/3) sin x dx = 2 t sin t dt =
(1)
helyettesítés:
x = t2 =⇒ dx = 2t dt
(2)
u=t
v ′ = sin t
u′ = 1
v = − cos t
Z
√
√
= −2t cos t + 2 cos t dt = −2t cos t + 2 sin t = −2 x cos x +
√
+ 2 sin x + c
Z
Z
1
x sin 2x dx =
(D/4) x sin x cos x dx =
2
(2)
u=x
u′ = 1
v ′ = sin 2x
1
v = − cos 2x
2
1
1
= − x cos 2x +
4
4
Z
(D/5) x arctan x dx =
u = arctan x
v′ = x
Z
x
1
cos 2x dx = − cos 2x + sin 2x + c
4
8
1
1 + x2
x2
v=
2
u′ =
Z
1
x2
x2
arctan x −
dx =
2
2Z 1 + xZ2
x2
1
1
1
=
arctan x−
dx+
2
2
2 1 + x2
Z
Z
3
(1) 1
(D/6) e3x cos 2x dx = e3x sin 2x −
2
2
=
7
Z
x2
1 1 + x2 − 1
arctan x −
dx =
2
2
1 + x2
x2
x 1
dx =
arctan x− + arctan x+c
2
2 2
e3x sin 2x dx
(∗)
u = e3x
(1)
v ′ = cos 2x
u′ = 3e3x
1
v = sin 2x
2
Másrészt :
Z
e
3x
(2)
2
1
cos 2x dx = e3x cos 2x +
3
3
(2)
u = cos 2x
v ′ = e3x
Z
e3x sin 2x dx
(∗∗)
u′ = −2 sin 2x
1
v = e3x
3
A (∗) Zegyenletet 4-gyel, a (∗∗) egyenletet 9-cel szorozva és összeadva a e3x sin 2x dx tag kiesik, így kapjuk :
13
Z
e3x cos 2x dx = 2e3x sin 2x + 3e3x cos 2x
Tehát :
(D/7)
Z
e3x cos 2x dx =
Z
earcsin x dx =
∗
Z
2e3x sin 2x + 3e3x cos 2x
+c
13
et cos t dt =?
∗ helyettesítés : t = arcsin x =⇒ x = sin t =⇒ dx = cos tdt
Z
(1)
et cos t dt = et sin t −
(1)
Z
et sin t dt
u = et
u ′ = et
v ′ = cos t v = sin t
Másrészt :
Z
t
(2)
t
e cos t dt = e cos t +
(2)
Z
et sin t dt
u = cos t u′ = − sin t
v ′ = et
v = et
A két egyenletetet összadva az
2
Z
Z
et sin t dt tag kiesik, így :
et cos t dt = et sin t + et cos t = et (sin t + cos t)
8
Tehát :
√
x
Z
earcsin x dx =
=
p
earcsin x
(x + 1 − x2 ) + c
2
e
arcsin x
2
1−x2
}|
{
z }| { z
(sin arcsin x + cos arcsin x) =
Feladatok
2
Z
x+2
(d/1)
dx
ex
Z
(d/2)
x2 ax dx
(d/3)
Z
x3 e−x dx
(d/4)
Z
arctan
(d/5)
Z
ln3 x dx (segítség : u = ln3 x, v ′ = 1; majd további két ehhez hasonló
(d/7)
Z
(8x2 − 11x + 5)ex dx
(d/8)
Z
x arcsin xdx
(d/9)
Z
x3 3x dx
2
√
x dx
parc. int.)
Z
(d/6)
xex dx
(d/10)
Z
sin
(d/11)
Z
xarctgxdx
(d/12)
Z
x2 cos 2xdx
(d/13)
Z
x sin x cos xdx
√
xdx
9
(d/14)
Z
ln xdx
(d/15)
Z
ln2 xdx
(d/16)
Z
ln3 xdx
(d/17)
Z
(arcsin x)2 dx
(d/18)
Z
ex cos xdx
(d/19)
Z
2x sin xdx
(d/20)
Z
earcsin x dx
(d/21)
Z
e3x cos 2xdx
(d/22)
Z
x + 22
dx
ex
(d/23)
Z
x ln xdx
Racionális törtfüggvények integrálása
Példák
Z
(E/1)
x−2
dx =?
x2 − 7x + 12
Az integrandust parciális törtekre bontjuk :
x−2
x−2
A
B
=
=
+
=
x2 − 7x + 12 (x − 3)(x − 4)
x−3 x−4
=
A(x − 4) + B(x − 3)
x(A + B) − 4A − 3B
=
(x − 3)(x − 4)
(x − 3)(x − 4)
10
Összehasonlítva a számlálóban az együtthatókat a jobb és bal oldalon, a
következő egyenletrendszert kapjuk :
A+B =1
−4A − 3B = −2,
melynek megoldása : A = −1, B = 2. Tehát :
Z
Z
Z
Z
1
1
1
2
x−2
dx
=
−
−
dx
=
+
dx
+
2
dx =
x2 − 7x + 12
x−3 x−4
x−3
x−4
= − ln |x − 3| + 2 ln |x − 4| + ln c = ln c
(E/2)
Z
x
∗ 1
dx =
4
2
x − 3x + 2
2
Z
t2
(x − 4)2
.
|x − 3|
1
dt =?
− 3t + 2
(∗ helyettesítés : t = x2 =⇒ dt = 2xdx)
Az integrandust parciális törtekre bontjuk :
1
1
A
B
=
=
+
=
t2 − 3t + 2 (t − 1)(t − 2)
t−1 t−2
=
t(A + B) − 2A − B
A(t − 2) + B(t − 1)
=
.
(t − 1)(t − 2)
(t − 1)(t − 2)
Összehasonlítva a számlálóban az együtthatókat, a következő egyenletrendszert kapjuk :
A+B =0
−2A − B = 1,
melynek megoldása : A = −1, B = 1. Tehát :
Z
Z
1
1
1
1
1
dx =
dx
=
+
−
2 t2 − 3t + 2
2
t−1 t−2
Z
Z
1
1
1
1
=−
dx +
dx =
2 t−1
2 t−2
1
1
1
= − ln |t − 1| + ln |t − 2| + ln c =
2
2
2
=
1
|t − 2|
1
|x2 − 2|
ln c
= ln c 2
.
2
|t − 1|
2
|x − 1|
11
(E/3)
Z
x2
3x − 2
dx =?
+ 4x + 8
Itt a nevező nem bontható fel lineáris tényezők szorzatára, ezért
az integrandust két olyan tört összegére bontjuk, amelyek egyikében a
a számláló a nevező deriváltjának konstansszorosa, a másik számlálója
pedig konstans :
α(2x + 4)
β
2αx + 4α + β
3x − 2
= 2
+
= 2
.
x2 + 4x + 8
x + 4x + 8 x2 + 4x + 8
x + 4x + 8
Összehasonlítva a számlálóban az együtthatókat, a következő egyenletrendszert kapjuk :
2α = 3
4α + β = −2,
3
, β = −8. Tehát :
2
Z
Z
Z
3x − 2
1
3
2x + 4
dx =
dx − 8
dx =
x2 + 4x + 8
2 x2 + 4x + 8
x2 + 4x + 8
Z
3
1
1
dx =
= ln (x2 + 4x + 8) − 8
2
2
4 ( x+2
2 ) +1
melynek megoldása : α =
=
(E/4)
Z
3
x+2
ln (x2 + 4x + 8) − 4 arctan
+ c.
2
2
x3 − 2x2 + 4
dx =?
x3 (x − 2)2
Az integrandust parciális törtekre bontjuk :
A
B
C
D
E
x3 − 2x2 + 4
= + 2+ 2+
+
=
3
2
x (x − 2)
x
x
x
(x − 2) (x − 2)2
=
A[x2 (x − 2)2 ] + B[x(x − 2)2 ] + C[(x − 2)2 ] + D[x3 (x − 2)] + E[x3 ]
.
x3 (x − 2)2
Összehasonlítva a számlálóban az együtthatókat, a következő egyenlet-
12
rendszert kapjuk :
A+D =0
−4A + B − 2D + E = 1
4A − 4B + C = −2
4B − 4C = 0
4C = 4 ,
1
1
1
, B = 1, C = 1, D = − , E = . Tehát :
4
4
2
Z
Z 3
1
x − 2x2 + 4
1
1
1
1
dx =
dx
=
+
+
−
+
x3 (x − 2)2
4x x2
x3
4(x − 2) 2(x − 2)2
1 x 1
1
1
= ln
− −
−
+ c.
4
x − 2 x 2x2
2(x − 1)
melynek megoldása : A =
(E/5)
Z
1
dx =
x6 + x4
Z
1
dx =?
x4 (x2 + 1)
Az integrandust parciális törtekre bontjuk :
1
C
D
Ex + F
A
B
= + 2+ 3+ 4+ 2
=
x4 (x2 + 1)
x
x
x
x
x +1
=
A(x5 + x3 ) + B(x4 + x2 ) + C(x3 + x) + D(x2 + 1) + Ex5 + F x4
.
x4 (x2 + 1)
Összehasonlítva a számlálóban az együtthatókat, a következő egyenletrendszert kapjuk :
A+E =0
B+F =0
A+C =0
B+D =0
C=0
D = 1,
melynek megoldása : A = 0, B = −1, C = 0, D = 1, E = 0, F = 1.
Tehát :
Z
Z
1
1
1
1
1
1
dx = − 2 + arctan x + c.
−
dx
=
+
+
x6 + x4
x2
x4
x2 + 1
x 3x
13
Feladatok
Z
2x2 − 5
(e/1)
dx
x4 − 5x2 + 6
Z
1
(e/2)
dx
x4 − x2
Z
x
dx
(e/3)
x3 − 1
Z
x2
(e/4)
dx
1 − x4
Z
1
(e/5)
dx
(x + 1)2 (x2 + 1)
Z
2
(e/6)
dx
5x − 1
Z
π
dx
(e/7)
x+2
Z
2x + 1
(e/8)
dx
3x − 4
Z
7x − 2
(e/9)
dx
4x + 11
Z 2
x +1
(e/10)
dx
x+1
Z 2
x − 2x + 3
dx
(e/11)
5x + 7
R 3 +2x2 +x
dx
(e/12) 3x 10x−1
Z
17dx
(e/13)
(3x + 14)2
Z
33dx
(e/14)
(x + 19)3
Z
x+7
(e/15)
dx
(x + 2)2
Z 2
x −x+8
dx
(e/16)
(x − 3)3
Z 3
x + x2 − x + 1
(e/17)
dx
(x − 1)4
14
(e/18)
Z
(e/19)
Z
(e/20)
Z
dx
3x2 + 4x + 5
(e/21)
Z
(e/22)
Z
dx
5x2 − 4x + 3
(e/23)
Z
(e/24)
Z
(e/25)
Z
(e/26)
Z
(e/27)
Z
(e/28)
Z
(e/29)
Z
(e/30)
Z
(e/31)
Z
(e/32)
Z
dx
(x2 + 1)3
(e/33)
Z
3x − 4
(x2 + 4)3
(e/34)
Z
x+1
dx
x4 + 4x2 + 3
x4 + 1
dx
(x − 2)3
x7
dx
(1 + x)6
dx
x2 − 6x − 10
x−4
dx
x2 + 4
7x − 6
x2 − 8
3x4 + 4x3 − x + 13
dx
x2 + 3x − 4
x6 − x5
dx
x2 − 5x − 6
x3
x4 + x2 + 1
dx
+ 3x2 + 3x + 1
x3
x+3
dx
+ 4x2 + 4x
(x2 + 1)dx
(x2 − 10x + 21)(x2 + 2x + 1)
x4 + x2 + 1
dx
(x + 1)2 (x − 1)2
dx
(x2 + 1)2
15
(e/35)
Z
(x2
(e/36)
Z
x4
(e/37)
Z
(e/38)
Z
x3 + x + 2
dx
+ x + 1)(x − 2)
x3 + 2
dx
− 4x2 + 3
xdx
x4 − 2x2 − 3
x4
xdx
− 3x2 + 2
Trigonometrikus és hiperbolikus függvények integrálása
Páratlan kitevő esetén : leválasztás + helyettesítés.
Páros kitevő esetén : linearizálás.
Linearizálási formulák :
cos2 x + sin2 x = 1;
cos 2x = cos2 x − sin2 x;
sin 2x = 2 sin x cos x;
cos2 x = 1 − sin2 x;
sin2 x = 1 − cos2 x;
1 + cos 2x
;
2
1 − cos 2x
sin2 x =
;
2
cos2 x =
cosh2 x − sinh2 x = 1;
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x;
sinh 2x = 2 sinh x cosh x;
cosh2 x = 1 + sinh2 x;
sinh2 x = cosh2 x − 1;
cosh 2x + 1
;
2
cosh 2x − 1
sinh2 x =
.
2
cosh2 x =
16
Példák
Z
Z
Z
5
4
(F/1) cos x dx = cos x cos x dx = (cos2 x)2 cos x dx =
Z
∗
(1 − sin2 x)2 cos x dx =
=t−
Z
(1 − t2 )2 dt =
Z
(1 − 2t2 + t4 ) dt =
t5
2
1
2t3
+ + c = sin x − sin3 x + sin5 x + c
3
5
3
5
(∗ helyettesítés : t = sin x =⇒ dt = cos xdx)
Z
3
1 − cos 2x
(F/2) sin x dx = (sin x) dx =
dx =
2
Z
1
1 − 3 cos 2x + 3 cos2 2x − cos3 2x dx =
=
8
Z
1 + cos 4x
1
3
− cos 2x dx =
1 − 3 cos 2x + 3
=
8
2
Z
Z
6
2
3
= · · · (az utolsó tagra a páratlan kitevő módszerét alkalmazva) · · · =
=
(F/3)
Z
1
8
5
3
3
1
1
x − sin 2x + sin 4x − sin 2x + sin3 2x + c
2
2
8
2
6
2
3
sinh x cosh x dx =
Z
dt
z }| { Z
sinh x(1+sinh x) cosh x dx = t2 (1+t2 ) dt =
2
2
t5
sinh3 x sinh5 x
t3
+
=
+
+c
3
5
3
5
Z
Z 2
Z
1
(cosh2 x − 1) sinh x
t −1
2 5
sinh3 x
√
√
√ dt = t 2 − 2t 2 =
dx =
dx =
(F/4)
5
t
cosh x
cosh x
p
√
2
=
cosh5 x − 2 cosh x + c
5
=
Feladatok
Z
sin4 x
dx
(f/1)
cos2 x
Z
(f/2)
sin6 x cos3 x dx
(f/3)
Z
sin3 x
dx
cos4 x
(f/4)
Z
1
dx
sinh x cosh x
17
(f/5)
Z
cos 3xdx
(f/6)
Z
x sin x2 dx
(f/7)
Z
(sin2 x − cos2 x)dx
(f/8)
Z
sin x cos xdx
(f/9)
Z
sin2 x cos2 xdx
(f/10)
Z
sin3 x cos xdx
(f/11)
Z
sin2 x cos3 xdx
(f/12)
Z
sin5 xdx
(f/13)
Z
cos5 xdx
(f/14)
Z
cos3 xdx
(f/15)
Z
sin5 x cos2 xdx
(f/16)
Z
sin xdx
1 + cos2 x
(f/17)
Z
cos xdx
1 + cos 2x
(f/18)
Z
sin3 xdx
1 + sin2 x
(f/19)
Z
√
(f/20)
Z
√
(f/21)
Z
dx
sin x + cos x
(f/22)
Z
dx
cos3 x
1 + cos xdx
1 − cos xdx
18
(f/23)
Z
(f/24)
Z
(f/25)
Z
tg5 xdx
(f/26)
Z
dx
sin4 x cos4 x
dx
5 − 3 cos x
sin x − cos x
dx
sin x + cos x
Az R(ex ) alakú függvények integrálása
Számítsuk ki a következő integrálokat :
Z
(g/1)
sinh2 xdx
(g/2)
Z
cosh3 xdx
(g/3)
Z
dx
shx
(g/4)
Z
sinh2 xch3 dx
(g/5)
Z
sinh3 xdx
√
cosh x
(g/6)
Z
e2x dx
ex + 1
(g/7)
Z
ex
(g/8)
Z
6dx
−3
ex sinh 3xdx
Irracionális függvények integrálása
Számítsuk ki a következő integrálokat :
Z
xdx
√
(h/1)
3x + 5
Z
√
(h/2)
(x2 − 3x + 2) 2x − 1dx
(h/3)
Z
√
dx
ex + 1
19
√
3
x2 dx
√
9x2 − 6x + 5
(h/4)
Z
(h/5)
Z
sinh xdx
√
cosh x
(h/6)
Z
√
(h/7)
Z
x3 dx
√
x8 − 1
xdx
x2 + 1
További feladatok
Számítsuk ki a következő integrálokat :
Z
cos 2xdx
a)
cos x − sin x
Z
b)
e−x dx
c)
Z
cos(4x − 5)dx
d)
Z
√
e)
Z
10x ex dx
f)
Z
g)
Z
5 + x2
dx
5 − x2
h)
Z
i)
Z p
5
8 − 2xdx
3dx
√
3x2 − 2
x3 dx
(2x − 4)5
(8 − 3x)6 dx
j)
Z
p
x 1 − x2 dx
k)
Z
cos xdx
√
sin x
l)
Z
x sin(x2 + 1)dx
20
Z
dx
x ln x
Z √
ln x
n)
dx
x
Z
cos xdx
p
o)
1 + sin2 x
m)
21