Konvolusi pada Distribusi dengan Support Kompak

  Prosiding SI MaNIs (Seminar Nasional Integrasi Matematika dan Nilai Islami)

  Vol.1, No.1, Juli 2017, Hal. 453-457

  p-ISSN : 2580-4596; e-ISSN: 2580-460X

  Halaman | 453

  

Konvolusi pada Distribusi dengan Support Kompak

Cynthia Tri Octavianti, Fitria Khasanah

  Pendidikan Matematika, Universitas Wisnuwardhana Malang

  Info Artikel ABSTRACT (10 PT)

  Matematika adalah ilmu pengetahuan yang sangat penting dalam kehidupan

  Riwayat Artikel:

  sehari-hari. Teori distribusi merupakan cakupan dari matematika analisis Diterima: 15 Mei 2017 fungsional. Pada Teori distribusi diberikan definisi mengenai support, support Direvisi: 1 Juni 2017 kompak dan distribusi. Dapat didefinisikan distribusi dengan support kompak.

  Berikut diberikan definisi support. Diberikan himpunan terbuka dan Diterbitkan: 31 Juli 2017

  ⊂ ℝ fungsi : → ℝ, support fungsi , ditulis , adalah klosur dari himpunan

  { ∈ : ( ) ≠ 0}.

  Keyword:

  Selanjutnya fungsi dikatakan mempunyai support kompak jika konvolusi merupakan himpunan kompak. Notasi

  ) menyatakan keluarga fungsi (ℝ

  ∞

  support anggota )

  (ℝ ) yang mempunyai support kompak, dan notasi (ℝ

  ∞

  support kompak menyatakan keluarga fungsi anggota ) yang mempunyai support (ℝ

  ∞

  kompak. Fungsional Linear Kontinu fungsional : (ℝ ) → ℝ disebut distribusi.

  ∞

  Dengan demikian fungsional linear ) disebut distribusi jika pada (ℝ distribusi

  ∞ ∞

  untuk setiap { } ⊂ } →

  (ℝ ) konvergen ke 0 ∈ (ℝ ), berakibat { , dinotasikan dengan )

  0. Himpunan semua distribusi pada ℝ ′ atau ′(ℝ dan ruang distribusi yang mempunyai support kompak pada dinotasikan ℝ dengan ). ℰ′ atau ℰ′(ℝ

  Diberikan definisi konvolusi. Jika ∈ ′(ℝ

  ) dan ∈ ′(ℝ ), maka ∗ ( ) = ⟨ , ( − )⟩. Definisi tersebut dapat digunakan pula jika ∈

  

∞

  ). Konvolusi dapat dioperasikan pada distribusi dengan ℰ′(ℝ ), ∈ (ℝ support kompak.

  Copyright © 2017 SI MaNIs.

  All rights reserved.

  Corresponding Author:

  Third Author, Departement of Mathematics, UIN Maulana Malik Ibrahim Malang, Jl. Gajayana No. 50 Malang, Jawa Timur, Indonesia 65144 Em 1.

   INTRODUCTION

  The Matematika adalah ilmu pengetahuan yang sangat penting dalam kehidupan sehari-hari. Teori distribusi merupakan cakupan dari matematika analisis fungsional. Dalam matematika (dan, khususnya, analisis fungsional) konvolusi adalah operasi matematika pada dua fungsi (f dan g); Itu menghasilkan fungsi ketiga, yang biasanya dipandang sebagai versi modifikasi dari salah satu fungsi asli, memberikan integral dari perkalian titik balik dari dua fungsi tersebut sebagai fungsi dari jumlah yang salah satu fungsi asli diterjemahkan. Konvolusi mirip dengan korelasi silang. Ini memiliki aplikasi yang mencakup probabilitas, statistik, visi komputer, pemrosesan bahasa alami, pemrosesan gambar dan sinyal, rekayasa, dan persamaan diferensial.[1]

  Distribusi (atau fungsi umum) adalah objek yang menggeneralisasi gagasan klasik tentang fungsi dalam analisis matematis. Distribusi memungkinkan untuk membedakan fungsi yang derivatifnya tidak ada. Secara khusus, fungsi integrable lokal memiliki derivatif distribusi. Distribusi banyak digunakan dalam teori persamaan diferensial parsial, di mana mungkin lebih mudah untuk menetapkan adanya solusi distribusi. Distribusi juga penting dalam fisika dan teknik dimana banyak masalah secara alami mengarah pada persamaan diferensial yang solusinya atau kondisi awalnya adalah distribusi, seperti fungsi delta Dirac.. Menurut

  Laman Prosiding Halaman | 454 p-ISSN: 2580-4596; e-ISSN: 2580-460X otobiografinya, Laurent Schwartz(1940) memperkenalkan istilah "distribusi" dengan analogi dengan distribusi muatan listrik. Ide dasar dalam teori distribusi adalah menafsirkan ulang fungsi sebagai fungsi linier yang bekerja pada ruang fungsi test. Ada berbagai kemungkinan pilihan untuk ruang fungsi test, yang mengarah ke ruang distribusi yang berbeda. Ruang dasar fungsi test terdiri dari fungsi smooth dengan support kompak, yang mengarah ke distribusi standar. Dari sini akan diberikan konvolusi pada distribusi dengan support kompak.

2. RESEARCH METHOD

  Penelitian ini bertujuan untuk memberikan ilmu pengetahuan di bidang matematika analisis yaitu Analisis Fungsional yang berkaitan dengan konvolusi pada distribusi dengan support kompak. _1. Adapun langkah-langkah penelitian ini adalah : _2. Memberikan definisi dan sifat distribusi dan distribusi dengan support kompak Memberikan definisi dan sifat Konvolusi distribusi dengan support kompak 3.

RESULTS AND ANALYSIS

3.1 Distribusi dan Distribusi dengan support Kompak

  Himpunan dikatakan terpisah (disconnected) jika terdapat himpunan terbuka tak kosong ⊂ ℝ

  , dengan , ⊂ ℝ ∩ dan ∩ saling asing dan gabungannya menjadi . Selanjutnya dan disebut

  disconnection sedangkan himpunan yang tidak terpisah disebut himpunan terhubung (connected).

  Himpunan , himpunan Ω disebut domain jika himpunan Ω terbuka dan connected.

  Ω ⊂ ℝ Keluarga himpunan terbuka

  = { : ∈ , ℎ } disebut liput terbuka (open cover) himpunan , jika ⊆ ℝ

  ⊆ ⋃

  

∈

Diketahui .

  liput terbuka ⊆ ℝ i. Liput terbuka disebut liput terbuka berhingga, jika banyak anggota berhingga. ii.

  Keluarga himpunan ℋ disebut liput bagian (sub cover) , jika ℋ ⊆ dan ℋ merupakan liput .

  Definisi 3,1.1 (Himpunan Kompak)

  Himpunan dikatakan kompak jika untuk setiap liput terbuka banyak anggotanya berhingga (finite sub cover). Dengan demikian himpunan kompak jika dan hanya jika untuk setiap liput terbuka

  ⊆ ℝ untuk , terdapat

  1 , 2 , … , ∈ sehingga .

  ⊆ ⋃

  

=1

  Himpunan dikatakan terbatas jika terdapat sel ⊆ ℝ dengan ⊆ . Sedangkan himpunan ⊆ ℝ kompak jika dan hanya jika terbatas dan tertutup. [3]

  Diberikan Ω himpunan tak kosong, koleksi semua himpunan bagian dari Ω disebut himpunan kuasa

  Ω (power set) dan biasa dituliskan dengan .

  (Ω) atau 2 Diberikan disebut aljabar- himpunan tak kosong. Koleksi ⊆ 2 pada , jika memenuhi sifat- sifat : i.

  ∅ ∈ , ii. Jika ∈ maka ∈ ,

  ∞

  } ⊆ maka ⋃ =1 Himpunan dan dengan

iii. Jika { ∈ .

  ⊆ ℝ = ∏ [ , ] ,

  =1 [ ] sel untuk setiap i. Volume dari dituliskan | |,

  dengan )

  | | = (

  1 − 1 )(

2 −

2 ) … ( − .

  = ∏ ( − )

  =1 ∗

  Himpunan . Ukuran luar dari ⊆ ℝ , dituliskan ( ), dengan

  ∞ ∞ ∗ }.

  ( ) = {∑ | =1 |: , ⊆ ⋃ =1

  ∗ ∗

  Himpunan dan ⊆ ℝ ( ) ukuran luar dari , maka ( ) ≥ 0.

  ∗ ∗ ∗

  Jika ukuran luar, maka , dengan ⊆ , maka

  (∅) = 0. Selanjutnya jika , ⊆ ℝ ( ) ≤

  ∗ ( ).

  Jika untuk setiap { } ⊆ ℝ 1 ≤ < ∞, maka

  ∞ ∞ ∗ ∗ .

  ( ) (⋃ =1 ) ≤ ∑ =1

  Definisi 3.1.2 (Himpunan Terukur)

  Himpunan dikatakan terukur jika ⊆ ℝ

  ∗ ∗ ∗

  ) ( ) = ( ∩ ) + ( ∩ Prosiding SI MaNIs (Seminar Nasional Integrasi Matematika dan Nilai Islami) Halaman | 455 Untuk setiap .

  ⊆ ℝ Karena

  = ( ∩ ) ∪ ( ∩ ) ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ …, diperoleh

  ∗ ∗ ∗ ).

  ( ) = ( ∩ ) + ( ∩ Dengan demikian untuk membuktikan himpunan terukur, cukup dengan membuktikan

  ⊆ ℝ

  ∗ ∗ ∗ ).

  ( ) = ( ∩ ) + ( ∩ Himpunan . Jika terukur dan himpunan . Jika

  ⊆ ℝ terukur maka , ⊆ ℝ dan terukur maka ∪ , ∩ terukur. Akibatnya Jika terukur, maka dan terukur.

  , , , … , ⊆ ℝ ⋃ ⋂

  1

  2 3 =1 =1

  Jika terukur dan saling-asing maka untuk setiap berlaku

  1 , 2 , 3 , … , ⊆ ℝ ⊆ ℝ ∗ ∗

  . ) = ∑ )

  ( ∩ (⋃ ( ∩

  

=1 =1

  Jika terukur dan saling-asing maka untuk setiap berlaku , , , … , ⊆ ℝ ⊆ ℝ

  1

  2

  3 ∞ ∞

  ∗ ∗ ) .

  ) = ∑ ( ∩ ( ∩ (⋃ =1 =1

  Jika terukur dan saling-asing maka

  1 , 2 , 3 , … , ⊆ ℝ ∞ ∞

  ∗ ∗ .

  ( ) (⋃ ) = ∑

  =1 =1 ∞ Jika terukur maka terukur.

  , , , … , ⊆ ℝ

  1

  2 3 ⋃ =1 ∗

  Koleksi semua himpunan terukur pada dinotasikan ukuran luar pada himpunan tak ℝ . Jika kosong , maka

  ℝ merupakan aljabar- .

  Definisi 3.1.3 (Ukuran)

  Diketahui merupakan aljabar- . Fungsi : → ℝ ̅, disebut ukuran, jika memenuhi sifat-sifat : i.

  ( ) ≥ 0 untuk setiap ∈ , ii. (∅) = 0

  ∞ ∞

  (⋃ =1 ) = ⋃ ( =1

  iii. ) untuk setiap barisan { } ⊆ dengan ∩ = ∅, ≠ .

  ∗ ∗

  Jika ukuran luar pada maka fungsi ℝ : → ℝ ̅ , dengan ( ) = ( ) untuk setiap ∈ , merupakan ukuran.

  Jika himpunan terukur, ⊆ ℝ : ℝ → ℝ ̅ fungsi, dan sebarang ∈ ℝ, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen : i.

  { ∈ | ( ) > } terukur { ∈ | ( ) ≥ } terukur iii. { ∈ | ( ) < } terukur iv. { ∈ | ( ) ≤ } terukur.

  Ruang ukuran himpunan terukur. Fungsi (ℝ , , ) dan ⊆ ℝ : ℝ → ℝ

  ̅ dikatakan terukur pada jika salah satu pernyataan di atas terpenuhi. Diberikan

  (ℝ , , ) ruang ukuran dan ∈ . Suatu sifat dikatakan berlaku hampir di mana- mana pada , jika terdapat himpunan terukur ⊆ dengan ( ) = 0 sehingga sifat berlaku untuk setiap ∈ − .

  Diberikan himpunan , fungsi karakteristik ⊂ ℝ : ℝ → ℝ didefinisikan dengan

  = {1, ∈ 0, ∉ fungsi terukur jika dan hanya jika terukur.

  Definisi 3.1.4 (Fungsi Sederhana)

  Fungsi : ℝ → ℝ disebut fungsi sederhana jika terdapat , , … , ∈ ℝ dan himpunan terukur

  1

  2

  sehingga , , , … , ⊆ ℝ

  1

  2

  3

  = ∑

  

=1

dengan fungsi Karakteristik dari .

  Selanjutnya untuk , sebagai representasi kanonik.

  ∩ = ∅, ∀ ≠ dan = ∀ ≠ maka ∑

  =1

  Diberikan ruang ukuran terukur. Jika

  (ℝ , , ), fungsi : ℝ → ℝ → ℝ ̅, : ℝ ̅ dan ⊆ ℝ terukur pada dan = hampir dimana-mana pada maka terukur pada .

  Definisi 3.15 (Integral Lebesgue) Diberikan ruang ukuran , dan fungsi sederhana

  (ℝ , , ) ruang ukuran Lebesgue, ⊂ ℝ : → ℝ berbentuk kanonik, yaitu = ∑ . Bilangan

  =1

  ∫ = ∑ ( )

  

=1

  disebut integral Lebesgue fungsi sederhana pada .

  Definisi 3.1.6 (Ruang

  (ℝ , , ))

  Konvolusi pada Distribusi dengan Support Kompak Halaman | 456 p-ISSN: 2580-4596; e-ISSN: 2580-460X

  Diberikan ruang ukuran (ℝ , , ), untuk 1 ≤ < ∞, (ℝ , , ) adalah himpunan semua fungsi terukur .

  : ℝ < ∞ → ℝ dengan ∫ | |

  ℝ

  Koleksi (ℝ , , )merupakan ruang bernorma terhadap norma

  ⁄

  1

  ‖ ‖ = (∫ | | )

  ℝ

  Untuk ∈ (ℝ , , ), 1 ≤ < ∞. [3], [5]

  Fungsi ) dikatakan mempunyai derivatif parsial terhadap peubah ke- ̅: ⊆ ℝ → ℂ, ̅ = ( ,

  1

  2 1( ) 2( )

  m di dan ada. Lebih lanjut , jika

  ̅( ) 1( ) 2( )

  = Lebih lanjut untuk bilangan bulat non negatif, pasangan

• .

  , , … , = ( , , … , ) disebut multi indeks

  1

  2

  1

  2

  berdimensi . Kemudian didefinisikan

  | | = + ⋯ + +

  1

  

2

  dan

  | | 1+ 2+⋯+ = = .

  1

  1

  … …

  1

  1 Sehingga fungsi

  ̅ dikatakan mempunyai derivative parsial hingga kali jika

  | | | | | |

  ̅( ) ( ) ( )

  

1

  2 + = .

  1

  1

  1

  … … …

  1

  1

  1 Koleksi semua fungsi

  : ℝ → ℝ sehingga ∈ (ℝ ) untuk setiap multi indeks yang kurang atau sama dengan dinotasikan dengan (ℝ ). Selanjutnya koleksi semua fungsi : ℝ → ℝ sehingga ∈

  ∞ (ℝ ) untuk setiap multi indeks dinotasikan dengan (ℝ ).

  Definisi 3.1.7 (Support)

  Diberikan himpunan terbuka dan fungsi ⊂ ℝ : → ℝ. Support fungsi , ditulis , adalah klosur dari himpunan

  { ∈ : ( ) ≠ 0}. Selanjutnya fungsi dikatakan mempunyai support kompak jika merupakan himpunan kompak. Notasi

  (ℝ ) menyatakan keluarga fungsi anggota (ℝ ) yang mempunyai support kompak, dan notasi

  ∞ ∞ (ℝ ) menyatakan keluarga fungsi anggota (ℝ ) yang mempunyai support kompak.

  Definisi 3.1.8.( Fungsi Tes)

  Diberikan fungsi jika

  : ℝ → ℝ. Fungsi disebut fungsi tes (test function) pada ℝ 1.

  , Fungsi mempunyai derivatif parsial sampai tak hingga kali yang kontinu pada ℝ

  2. sehingga terdapat domain terbatas Ω ⊂ ℝ ( ) = 0 untuk setiap ∉ Ω.

  ∞

  Diperhatikan bahwa setiap yang

  ∈ (ℝ ) merupakan fungsi tes karena terdapat domain Ω ⊂ ℝ

  ∞

  supportnya kompak. Sebaliknya setiap fungsi tes belum tentu anggota (ℝ ).

  ∞

  Jika ∈ (ℝ ) dan sebarang fungsi yang mempunyai derivatif parsial sampai tak hingga kali maka

  ∞

  ( )( ) = ( ) ( ) ∈

  perkalian (ℝ ).

  Definisi 3.1.9

  (Distribusi)

  ∞

  Fungsional linear kontinu : (ℝ ) → ℝ disebut distribusi.

  ∞ ∞

  Dengan demikian fungsional linear pada (ℝ ) disebut distribusi jika untuk setiap { } ⊂ (ℝ )

  ∞

  konvergen ke 0 ∈ (ℝ ), berakibat { , } → 0. Himpunan semua distribusi pada dinotasikan dengan

  ℝ ′ atau ′(ℝ ) dan ruang distribusi yang mempunyai support kompak pada dinotasikan ℝ ℰ′ atau ℰ′′(ℝ ).([4]

  ∞ Teorema 3.1.10

  Fungsional Linear pada (ℝ ) distribusi jika dan hanya jika ∀ ⊂ Ω kompak ∃ > 0 dan

  ∈ sehingga berlaku ( )|, untuk ∀ ∈ |⟨ , ⟩| ≤ ∑ | (Ω).

  | |≤

3.2 Konvolusi Distribusi dengan support Kompak

  Konvolusi dua fungsi dan didefinisikan sebagai ∗ ( ) = ∫ ( ) ( − )

  ℝ 1 ∞ ∞

  ( ∗ ) = ∗

  Jika dan maka dan ∈ ∈ ∗ = ∗ , ∗ ∈ .

  ′ Definisi 3.2.1

  . Jika ∈ (ℝ ) dan ∈ (ℝ ) maka ∗ ( ) = ⟨ , ( − )⟩. Notasi , ( − )⟩ berarti bahwa distribusi bekerja pada fungsi tes ↦ ( − ).

  ⟨ Prosiding SI MaNIs (Seminar Nasional Integrasi Matematika dan Nilai Islami) Halaman | 457

  Teorema 3.2.2 ′ ∞

  Jika ∈ (ℝ ) dan ∈ (ℝ ), maka ∗ ∈ )

  (ℝ Bukti : Akan ditunjukkan . Jika

  ∗ kontinu. Andaikan → | − | ≤ 1 maka ↦ ( − ) mempunyai support pada himpunan kompak. Lebih lanjut konvergen seragam.

  ( ( − ) − ( − )) → 0, → Jadi diperoleh

  ( − ) → ( − ) pada ketika → ∗ ( ) = ⟨ , ( − )⟩ → ) , . , ( − )⟩ = ∗ ( →

  ⟨

  

∞

Akibat 3.2.3 ini juga berlaku pada ∈ ℇ′(ℝ ), ∈ (ℝ ).

  Teorema 3.2.4 ′

  Jika ∈ (ℝ ) dan , ∈ (ℝ ) maka( ∗ ) ∗ = ∗ ( ∗ )

  Contoh 3.2.5

  Akan dipetakan ⟼ ∗ , dimana ∈ (ℝ ). Untuk , ∈ (ℝ ), diperoleh

  ∫( ∗ ) = ∬ ( − ) ( ) ( ) = ∫ ( ̅ ∗ ) di mana ̅( ) = (− ). Sehingga diperoleh

  ′ ).

  ⟨ ∗ u, ⟩ = ⟨ , ̅ ∗ ⟩, ∈ (ℝ ), ∈ (ℝ

  Akibat 3.2.6

  Jika ∈ ℇ′(ℝ ) cukup jika salah satu dari , mempunyai support kompak maka( ∗ ) ∗ = ∗

  ( ∗ ) Bukti

  ∗ ( ∗ )( ) = ⟨ , ∫ ( − − ) ( ) , ( − − )⟩ ( ) ⟩ = ∫ ⟨

  ℝ ℝ

  = ∫ ∗ ( − ) ( ) = ( ∗ ) ∗

  ℝ 4.

   CONCLUSION

  Konvolusi juga berlaku pada distribusi dengan support kompak dengan salah satu dari , mempunyai support kompak. Yaitu Jika

  ∈ ℇ′(ℝ ) cukup jika salah satu dari , mempunyai support kompak maka ( ∗ ) ∗ = ∗ ( ∗ ).

  REFERENCES [1] diakses 31 Maret 2017.

  [2] diakses 31 Maret 2017. [3]

  Royden HL. Real Analysis. New York: Collier Mac Millan International Editions. 1968 [4]

  Stakgold I. Green’s Functions and Boundary Value Problems. New York: John Wiley and Sons. 1979 [5]

  Wheeden RL. Measure and Integral. New York: Marcell Dekker, Inc. 1977

  Konvolusi pada Distribusi dengan Support Kompak