Konstruksi Fungsi Lyapunov untuk Menentukan Kestabilan
Konstruksi Fungsi Lyapunov untuk Menentukan
Kestabilan
Reni Sundari dan Erna Apriliani Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia e-mail : april@matematika.its.ac.id
Abstrak —Fungsi Lyapunov adalah salah satu fungsi yang dikonstruksi untuk memeriksa kestabilan global dari suatu
sistem nonlinier. Pada penelitian ini digunakan metode Variabel Gradien, Kravoskii dan Energi Casimir dalam A.
II. TEORI DASAR
Sistem Lorenz mengkonstruksi fungsi Lyapunov. Berdasarkan hasil
Sistem persamaan diferensial biasa dari sistem Lorenz
perhitungan dan simulasi yang dilakukan menggunakan metode variabel gradien dan metode Energi Casimir diperoleh
sebagai berikut:
fungsi Lyapunov untuk sistem Lorenz pada semua titik kesetimbangan. Sedangkan metode Kravoskii belum ( − )
=
menghasilkan fungsi Lyapuno untuk sistem Lorenz pada semua titik kesetimbangan.
= − −
Kata Kunci —Fungsi Lyapunov, Variabel Gradien, Krasovkii, Energi-Casimir, Sistem Lorenz.
= − Keadaan atmosfer dalam model ini dapat digambarkan secara utuh dengan tiga buah variabel bergantung waktu
I. PENDAHULUAN yaitu: laju konveksi , distribusi temperature horizontal ,
ATEMATIKA merupakan disiplin ilmu yang dapat dan distribusi temperature vertikal , dengan tiga parameter diterapkan dalam berbagai ilmu pengetahuan dan yang menjelaskan karakter dari model tersebut yaitu:
M
(rasio dapat memberikan interpretasi solusi analitis yang lebih viskositas tehadap konduktivitas termal),
(perbedaan rinci. Permasalahan yang terjadi dalam kehidupan sehari- temperature antara bagian atas dan bagian bawah lapisan), hari kebanyakan merupakan sistem dinamik. Sistem dinamik dan (perbandingan luas dan ketebalan. yaitu suatu sistem persamaan yang dipengaruhi oleh B.
Kestabilan dan Titik Kesetimbangan
perubahan gerak dan waktu. Salah satu kajian penting dalam Setiap sistem memiliki keadaan setimbang yang berbeda- permasalahan sistem dinamik yakni bagaimana keadaan beda. Keadaan setimbang suatu sistem dapat terjadi pada sistem, apakah sistem tersebut merupakan sistem yang stabil suatu titik yang disebut titik kesetimbangan. Titik atau tak stabil. kesetimbangan adalah suatu titik saat sistem tidak
Aleksander Mikhailovich Lyapunov dalam tesisnya yang mengalami perubahan sepanjang waktu. Sebuah titik berjudul A general task about the stability of motion
∈ adalah sebuah titik kesetimbangan dari sistem persamaan mengembangkan dua metode untuk menganalisis kestabilan ℝ diferensial dari suatu kesetimbangan, yang dikenal dengan metode ) = 0.[5]
̇ = ( ) jika memenuhi ( Lyapunov langsung (The Second Method of Lyapunov) dan C.
Fungsi Lyapunov metode Lyapunov tak langsung (First Method ).
Fungsi Lyapunov adalah suatu fungsi yang memenuhi tiga Penyelesian kestabilan sistem dinamik dengan metode pernyataan berikut ini.
Lyapunov langsung mensyaratkan suatu fungsi, yang disebut
Definsi 2.1 [6] Diberikan fungsi
: ∈ ℝ > ℝ dan ∈ sebagai fungsi Lyapunov. Yaitu fungsi skalar yang titik kesetimbangan sistem persamaan diferensial memenuhi beberapa syarat diantaranya jika ada sebuah nonlinier. Fungsi disebut fungsi Lyapunov jika memenuhi fungsi definit positif sedemikian sehingga turunan dari yaitu pernyataan berikut: semidefinit negatif [1]. Metode Lyapunov langsung banyak a.
Fungsi kontinu dan mempunyai turunan parsial diterapkan untuk menganalisis kestabilan baik sistem linier pertama yang kontinu pada . maupun sistem nonlinier, sistem time-invariant dan juga b.
Fungsi ( ) > 0 untuk ∈ dengan ≠ dan sistem time-varrying. dengan (dengan titik
( ) = 0 = Pada penelitian ini dibahas mengenai mengkonstruksi kesetimbangan merupakan titik minimum global). fungsi Lyapunov untuk menganalisis kestabilan pada sistem c. nonli\-nier dengan menggunakan metode variabel gradien, Fungsi ̇( ) ≤ 0 untuk setiap ∈ . metode Krasovkii, dan metode Energi-Casimir dan hasil D.
Metode Variabel Gradien
konstruksi fungsi Lyapunov akan diterapkan pada contoh- Diberikan
∶ → ℝ adalah fungsi diferensial kontinu contoh sistem dinamik nonlinier yaitu sistem Lorenz.
III. PEMBAHASAN dan . Derivatif dari
( ) = ( ) ( ) sepanjang trayektori A.
Titik Kesetimbangani
diberikan oleh
1 Jika
> 1 maka terdapat dua titik kesetimbangan yaitu ( ( ))
( ) ( ) = ∑ ̇ = ∫ = dan
(√ ( − 1), √ ( − 1), − 1)
=1
(−√ ( − 1), −√ ( − 1), − 1), sedangkan < 1 Kemudian, mengkonstruksi
( ) sedemikian sehingga ( ) terdapat satu titik kesetimbangan yaitu pada titik (0,0,0). adalah gradien dari fungsi definit positif dan
̇( ) = B.
Kestabilan Lokal
( ) ( ) < 0, ∈ , ≠ 0. Fungsi ( ) bisa dihitung Metode yang digunakan untuk mentransformasi sistem dengan integral nonlinier menjadi sistem linier adalah metode matrik Jacobi.
1
1 Matrik Jacobi yang dibentuk dari sistem diatas adalah
( ) ( ) ( ) = ∫ = ∫ ∑ −
=1
− −1 − = [ ]
− E.
Metode Kravoskii
Titik kesetimbangan nol
Proposisi 2.2 Fungsi adalah fungsi
1
= (0,0,0) , diperoleh , ∶ ℝ → ℝ persamaan karakteristik yaitu diferensial kontinu sedemikian sehingga
(0) = 0. Maka
2
untuk setiap terdapat ( + )(
- ( + 1) + (1 − )) = 0 Karena , dan adalah konstanta positif, maka akar-akar
( ) ( ) = ( ) ( ) persamaan karakteristik yang diperoleh adalah
1 =
1
1 Teorema 2.2 (Teorema Krasovskii) Diberikan
2
( ) = 0 − , 2,3 = − ( + 1) ± √ − (2 + 4 ) + 1.
2
2
adalah titik kesetimbangan untuk system dinamika nonlinier Untuk
< 1, kondisi didalam akar kuadrat kurang dari
2
̇( ) = ( ( )), (0) = , ≥ 0 ( − 1)
, menjadikan < 0 sehingga nilai eigen bernilai Dimana adalah diferensial kontinu dan
: → ℝ negatif dan riil. Oleh karena itu, titik kesetimbangan pada adalah himpunan buka dengan 0 ∈ . Diasumsikan terdapat titik (0,0,0) bersifat stabil. matrik definit positif dan sedemikian
∈ ℝ ∈ ℝ Sedangkan pada dua titik yang lain
(
2 3 ),
persamaan karakteristik yang didapatkan yaitu [ ( )] + [ ( )] ≤ − , ∈ , ≠ 0
3
2
- ( + + 1) + ( + ) + 2 ( − 1) = 0 Maka solusi nol
( ) = 0 adalah kesetimbangan tunggal Dengan menggunakan Routh-Hurwitz, maka dua titik stabil asymptotis dengan fungsi lyapunov ( + +3) ( ) = kesetimbangan jika ,maka
2,3
1 < < =
− −1
, maka solusi nol ( ) ( ). Jika ≡ ℝ ( ) = 0 adalah ketimbangan tunggal stabil asymptotis global.
(±√ ( − 1), ±√ ( − 1), − 1) bersifat stabil.
F.
Metode Energi Casimir C.
Metode Variabel Gradien
Diberikan fungsi Dengan dimisalkan
: → ℝ dan didefinisikan ℎ
11 ℎ 12 ℎ
13
( ) ≡̂ ∑ ( ) ℎ
21 ℎ 22 ℎ
23
∇ ( ) = [ ]
=1
31
32
33
ℎ ℎ ℎ Untuk ∈ , = 1, … , .
Maka fungsi Lyapunov adalah
Teorema 2.3 (Teorema Energi-Casimir) dengan 1.
Titik Kesetimbangan nol menganggap sistem dinamika nonlinier dimana : → ℝ
Fungsi Lyapunov yang diperoleh adalah lipschitz kontinu pada
1
. Diberikan ∈ adalah titik kesetimbangan dari suatu sistem dan diberikan = ∫ ∇ ( )
: → ℝ, = 1, … , menjadi fungsi Casimir. Diasumsikan bahwa
′
1
vektor ( ), = 2, … , adalah bebas linier dan andaikan
2
2
2
- terdapat sedemikan hingga = ∫ γ( − 0,3 + ) γ = [
1 , … , ] ∈ ℝ 1 ≠ ′ ′′
dan 0, ( ) = 0 ( ) > 0, ∈ ℳ,
′
1 ℳ ≡̂ { ∈ :
2
2
2
dimana ( ) = 0, = 2, … }.
(
- = − 0,3 + ) Maka terdapat
≥ 0 sedemikian sehingga
2 2.
′′
Titik Kesetimbangan pada dua titik yang lain ( ) + ∑ ( ( )) ( ( )) > 0
1
∗ 2 ∗
2 =2
= (( − ) + ( − ) ) Kemudian, solusi kesetimbangan dari sistem
2 ( ) ≡
∗ 2 ∗ ∗
−0,3( − ) + ( − )( −
))
dinamika nonlinier adalah stabil lyapunov dengan fungsi lyapunov.
D.
Metode Kravoskii
2 1.
Titik Kesetimbangan nol ) + [ ( ) − ( )]
( ) = ( ) − ( 2 ∑ Titik kesetimbangan yaitu
1 = (0,0,0) =2
disubstitusikan ke matriks mendapatkan matriks
IV. DAN ANALISIS SIMULASI yaitu
2
−( − 1) A.
Titik Kesetimbangan nol
10 − 11 − 220( − 1) 22( − 1) 0
Nilai parameter yang digunakan adalah = 10, = 8/3. −( − 1) ( − 1)
Berikut ini adalah hasil penyelesaian dari fungsi =
22( − 1) 22( − 1) 0 Lyapunov beserta turunannya
3 [
16] Fungsi Lyapunov adalah
( ) ( ) =
2
2
10 − 11 − ( ( − ))
= 220( − 1) 2( − 1)
− ( − )( ( − ) − ) 22( − 1)
( − 1)
3
2
( ( − ) − ) ( − ) + 22( − 1)
- 2
16 Gambar 1. Grafik Fungsi Lyapunov dengan Metode Variabel Gradien,
r=0.5
Titik
2 =
(√ ( − 1), √ ( − 1), − 1) Fungsi Lyapunov yang diperoleh
2
= 0,1346( ( − ))
- 0,3391 ( − )( ( − ) − )
- 0,1726 ( − )( − )
2
- 0,4694( ( − ) − )
−0,1026( ( − ) − )( − )
2
- 0,3381( − )
3. Kesetimbangan Titik
3 =
(−√ ( − 1), −√ ( − 1), − 1)
Gambar 2. Grafik Turunan Fungsi Lyapunov
Fungsi Lyapunov yang diperoleh
2 Berdasarkan gambar 1 dan 2, terlihat bahwa fungsi
= −5,6421( ( − )) Lyapunov dengan metode variabel gradien semua berada
−14,8311 ( − )( ( − ) − ) pada nilai positif dan bergerak menuju nol. Dan turunannya
- 11,3256 ( − )( − ) dimana semua nilai berada pada bagian negatif dan bergerak
2
−27,2288( ( − ) − ) menuju titik nol.Hal ini menunjukkan bahwa Fungsi −11,8564( ( − ) − )( − )
Lyapunov dapat dikonstruksi dengan metode Variabel
2
− 17,2255( − ) gradien untuk sistem Lorenz pada titik kesetimbangan nol dengan parameter = 0,5.
E.
Metode Energi Casimir 1.
Titik Kesetimbangan nol Fungsi Lyapunov yang diperoleh
1
1
2
2
4
( ) +
- =
2
4 2. Titik Kesetimbangan pada dua titik yang lain
Fungsi Lyapunov yang diperoleh
2 ∗2 2 ∗2
= ( − ) + ( − )
2
2
1
∗ ∗
−( − ) − ( − ) +
2
2 Gambar 3. Grafik Fungsi Lyapunov dengan Metode Kravokii, r=0,5 2 ∗2
( − ) ( )
2
∗
) −( −
1
1 Dengan dan .
= ± =
√ ( −1) −1
B.
Titik Kesetimbangan dua titik yang lain Gambar 4. Grafik Turunan
Berdasarkan gambar 3 dan 4 terlihat bahwa fungsi
Gambar 7. Grafik Fungsi lyapunov dengan metode Variabel
Lyapunov dengan metode Kravoskii semua berada pada nilai positif dan bergerak menuju nol. Dan turunan dimana sebagian nilai berada pada bagian positif dan sebagian nilai berada pada bagian negatif bergerak menuju titik nol juga.Hal ini menunjukkan bahwa Fungsi Lyapunov tidak dapat dikonstruksi dengan metode Kravoskii untuk sistem Lorenz pada titik kesetimbangan nol dengan parameter
< 1.
Gambar 8. Grafik turunan dari gambar 7
Berdasarkan gambar 7 dan 8, terlihat bahwa fungsi Lyapunov semua berada pada nilai positif dan bergerak menuju nol. Dan turunannya dimana semua nilai berada pada bagian negatif dan bergerak menuju titik nol.Hal ini menunjukkan bahwa Fungsi Lyapunov dapat dikonstruksi dengan metode Variabel gradien untuk sistem Lorenz pada
Gambar 5. Grafik Fungsi Lyapunov dengan Metode Energi Casimir
titik kesetimbangan dengan parameter
2 = 24. Sistem
Lorenz pada titik kesetimbangan
2 bersifat stabil.
Gambar 6. Grafik Turunannya
Berdasarkan gambar 5 dan 6 terlihat bahwa fungsi Lyapunov
Gambar 9.Grafik Fungsi Lyapunov dengan metode Kravokii
dengan metode Energi Casimir semua berada pada nilai positif dan bergerak menuju nol. Dan turunannya dimana semua nilai berada pada bagian negatif dan bergerak menuju titik nol.Hal ini menunjukkan bahwa Fungsi Lyapunov dapat dikonstruksi dengan metode Energi-Casimir untuk sistem Lorenz pada titik kesetimbangan nol dengan parameter
= 0.5.
V. PENUTUP A.
Kesimpulan 1.
Sistem pada titik kesetimbangan pada (0,0,0) bersifat stabil local jika
< 1 dan pada dua titik kesetimbangan yang lain bersifat stabil jika 1 <
( + +3) .
<
− −1 2.
Sistem Lorenz pada titik kesetimbangan (0,0,0) diperoleh a.
Fungsi Lyapunov dapat dikonstruksi dengan metode variabel gradien.
b. Lyapunov belum dapat Fungsi
Gambar 10. Grafik Turunan dari gambar 9
dikonstruksi dengan menggunakan metode Kravoskii. Berdasarkan gambar 9 dan 10 terlihat bahwa fungsi c.
Fungsi Lyapunov dapat dikonstruksi Lyapunov semua berada pada nilai negatif dan bergerak dengan metode Casimir. menuju titik nol. Dan turunannya dimana nilai berada pada 3.
Sistem pada dua titik kesetimbangan yang lain. bagian positif dan bergerak menuju titik nol. Hal ini a.
Fungsi Lyapunov dapat dikonstruksi menunjukkan bahwa Fungsi Lyapunov belum dapat dengan metode variabel gradien. Sistem dikonstruksi dengan metode Kravoskii untuk sistem Lorenz Lorenz bersifat stabil jika 1 < < pada titik kesetimbangan
( + +3) − −1
b. Lyapunov belum dapat Fungsi dikonstruksi dengan menggunakan metode Kravoskii.
c.
Fungsi Lyapunov dapat dikonstruksi dengan metode Casimir. Sistem Lorenz
( + +3)
bersifat stabil jika 1 < <
− −1
DAFTAR PUSTAKA
[1] Riyanto, Andi (2015).”Analisis Kestabilan Sistem Suspensi Mobil Seperempat Kendaraan Dengan Metode Lyapunov Langsung
”. Skripsi Gambar 11. Grafik Fungsi Lyapunov dengan metode Energi Casimir S1, Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta.
[2] Khalil, H. (2002).”Nonlinear System Third Edition”. New Jersey: Pearson Prentice Hall Gambar 12.Grafik turunan gambar 11
Berdasarkan gambar 11 dan 12 terlihat bahwa fungsi Lyapunov semua berada pada nilai positif dan bergerak menuju titik nol. Dan turunan dimana semua nilai berada pada bagian negatif dan bergerak menuju titik nol. Hal ini menunjukkan bahwa Fungsi Lyapunov dapat dikonstruksi dengan metode Energi-Casimir untuk sistem Lorenz pada dua titik kesetimbangan yang lain. Sistem tersebut pada titik kesetimbangan bersifat stabil jika 2 1 < < 24.7.