MATERI DAN METODE KAJIAN
KAJIAN SIFAT KEKOMPAKAN PADA RUANG BANACH
Ariyanto*
ABSTRACT
The properties of compactness in Banach spaces in this paper is a generalization of a
compact understanding the system on the real numbers. New concepts formed is
relatively compact, sequentially compact, relatively sequentially compact, and totally
bounded. These paper study about relationship of concepts.
Key words: Banach spaces, compact, compact sequential, totally bounded.
ABSTRAK
Sifat kekompakan di ruang Banach pada tulisan ini merupakan perumuman dari
pengertian kompak pada sistem bilangan real. Konsep-konsep baru yang terbentuk adalah
kompak relatif, kompak sekuensial, kompak sekuensial relatif, dan terbatas total. Tulisan
ini mengkaji keterkaitan konsep-konsep tersebut di atas.Kata kunci : ruang Banach, kompak, kompak sekuensial, terbatas total.
Ruang bernorma dikatakan lengkap apabila setiap barisan Cauchy di dalam ruang bernorma
tersebut konvergen, dan ruang bernorma lengkap dikenal dengan sebutan ruang Banach.Pemberian nama ruang bernorma lengkap sebagai ruang Banach disebabkan Banach yang menemukan struktur sifat-sifat ruang bernorma lengkap dalam meraih disertasi doktornya pada tahun 1920. Liput terbuka suatu himpunan
E di dalam sistem bilangan real dimaksudkan
suatu koleksi himpunan terbuka G yang merupakan himpunan bagian sehingga
E G , dan suatu himpunan E di dalam sistem bilangan real
dikatakan kompak apabila
setiap liput terbuka untuk himpunan E memuat liput-bagian yang banyak anggotanya hingga.
Tulisan ini akan mengitlak (memperumum) pengertian dan sifat-sifat kompak yang dimiliki sistem bilangan real ke ruang Banach. Implikasi lanjutannya adalah pengertian, konsep dan sifat-sifat kompak pada sistem bilangan real
setelah di bawah ke ruang Banach berhasil memunculkan struktur sifat yang baru seperti : kompak relatif, kompak sekuensial, kompak sekuensial relatif, dan terbatas total. Pembahasan pada tulisan ini akan ditampilkan dalam bentuk teorema atau lemma.
MATERI DAN METODE KAJIAN
Tulisan pembahasan sifat kekompakkan pada ruang Banach ini menggunakan pendekatan studi literatur. Langkah permulaan dilakukan adalah menghimpun materi yang dibutuhkan yang diambil dari buku-buku analisis seperti yang tercantum dalam daftar pustaka. Kemudian , mempelajari materi penelitian dan mengolahnya dengan bantuan teori-teori dasar dalam matematika seperti logika, teori himpunan dan analisis dasar.
Teori Dasar
Pada bagian ini akan dibahas pengertian dasar yang akan digunakan sebagai landasan untuk pembahasan berikutnya. Beberapa konsep, sifat dan teorema pada tulisan ini dianggap sudah dipahami. Beberapa bukti teorema dalam bagian ini tidak diberikan karena bisa langsung merujuk ke daftar pustaka.
Ruang Metrik
Pada sub bagian ini akan dibicarakan pengertian dan sifat-sifat dari ruang metrik, sebagai berikut.
Definisi 1 : Diberikan sebarang himpunan tak kosong X .
i Fungsi d : R yang memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :
1 d x y , untuk setiap x y ,
d x y , jika dan hanya jika x y ,
2 d x y , d y x untuk setiap x y , , dan
3 d x y , d x z , d z y untuk setiap x y z , , , , .
X Disebut metrik atau jarak pada
Himpunan dilengkapi dengan suatu metrik , dituliskan dengan , disebut ruang
ii
X d , d
metrik. Jika metriknya telah diketahui maka ruang metrik cukup ditulis
X saja. Anggota ruang
metrik , d disebut titik dan untuk setiap x y , bilangan nonnegatif d x y , disebut jarak
titik x dengan titik y .
Definisi 2 : Diketahui X , d ruang metrik, dan S X .
1. Apabila x sebarang titik di dalam ruang metrik dan , maka Himpunan
X dinamakan persekitaran dengan titik pusat dan jari-jari . N (x ) y X : d x , y x
2. Titik x
X disebut titik limit himpunan S , apabila setiap persekitaran dengan titik pusat x
memuat paling sedikit satu titik y S berlaku dengan y , atau untuk setiap x
N (x ) S x . Koleksi semua titik limit himpunan S disebut derived set dan
dinotasikan dengan S . Himpunan S S S disebut closure( S ). Titik anggota S yang bukan titik limit disebut titik terasing.
3. Titik x
X N (x ) sehingga
disebut titik-dalam himpunan S , apabila terdapat persekitaran
berlaku N (x ) S .
4. Himpunan S
X disebut himpunan terbuka apabila setiap anggotanya merupakan titik- dalam himpunan S . c
5. Himpunan dikatakan himpunan tertutup apabila
S
X S terbuka. Closure( S ) didefinisikan
juga sebagai irisan semua himpunan tertutup yang memuat S .
6. Himpunan S
X dikatakan terbatas apabila ada titik x dan bilangan real
X M sehingga untuk setiap d x , y M . y berlaku S
7. Diameter himpunan , dinotasikan sebagai dan didefinisikan sebagai
S
X d S
d S sup d x , y : untuk setiap x , y S . S juga dikatakan terbatas apabila diameternya
hingga.Teorema 3 : Diketahui X , d ruang metrik, dan S X .
Himpunan .
S tertutup jika dan hanya jika S memuat semua titik limitnya, atau S S
c
Bukti : Syarat perlu : , yaitu ada
S tertutup, jadi S terbuka. Andaikan bahwa S S x S c c c dengan x atau S x S . Karena S terbuka, maka x merupakan titik-dalam himpunan S . c
Jadi, ada bilangan sehingga berlaku N (x ) atau N (x ) . Akibatnya untuk S S
tersebut berlaku . Jadi bukan titik limit himpunan
N (x ) S x x S , kontradiksi
dengan pengambilan x S . c c c c
Syarat cukup : Diketahui S S atau S S . Diambil sebarang x S , maka x S
atau bukan merupakan titik limit himpunan dengan sifat
x S . Jadi ada bilangan N (x ) S x .
Kemungkinan terjadi, N (x ) S atau N (x ) S x .
c c Karena (atau . Jadi, apabila diambil , maka ada
x S x ) maka S N (x ) S x S c
bilangan sehingga N (x ) S atau N (x ) S . Dengan kata lain x merupakan c c titik-dalam himpunan S , sehingga terbukti S himpunan terbuka atau himpunan S tertutup.
Definisi 4 : Diketahui ruang metrik. Barisan di dalam suatu ruang metrik X , d x n
X
dikatakan konvergen jika ada x
X sehingga untuk setiap bilangan terdapat bilangan asli
n , sehingga untuk setiap bilangan asli n n berlaku d x x , . Dalam hal ini dikatakan
n
barisan {x } konvergen ke x atau barisan x mempunyai limit x dan biasa dinotasikan dengan n
n lim d x x , , atau lim x x . Barisan yang tak konvergen dikatakan divergen. n n n
n
Definisi 5 : Diketahui ruang metrik. Suatu barisan di dalam , dan dibentuk
X , d x n
X
barisan bilangan asli n : k N sehingga n n n ... , maka barisan x dinamakan k 1 2 3 n k barisan bagian dari x . n
Definisi 6 : Diketahui X , d ruang metrik. Barisan x di dalam disebut barisan Cauchy n
X
apabila untuk setiap bilangan terdapat bilangan asli sehingga untuk setiap n m , n n 1 1 berlaku d x , x . m n
Teorema 7 : Diketahui X , d ruang metrik, dan .
S
X Apabila titik limit himpunan di dalam x S , maka ada suatu barisan x S sehingga n n lim x x . n
Teorema 8 : Diketahui ruang metrik.
X , d
Apabila setiap barisan x di dalam n X konvergen, maka barisan tersebut merupakan barisan Cauchy.
Ruang Bernorma Pada sub bagian ini akan disajikan definisi ruang bernorma disertai sifat-sifatnya. Definisi 9 : Diketahui X ruang linear atas C atau R .
Fungsi . :
X R disebut norma apabila : x untuk setiap , dan x x . N x X
1 N . x . x untuk setiap x
X dan skalar .
2 untuk setiap .
N x y x y x , y 3 X
Ruang linear X yang diperlengkapi norma dinamakan ruang bernorma dan dituliskan dengan X saja.
X , . atau
Teorema 10: Setiap ruang bernorma X merupakan ruang metrik, dengan d ( x , y ) x y
untuk setiap . x , yX Berdasarkan Teorema 10 di atas, setiap ruang bernorma merupakan ruang metrik, maka
semua konsep, pengertian, sifat-sifat, serta teorema-teorema yang berlaku pada ruang metrik berlaku pula pada ruang bernorma. Demikian pula karena ruang bernorma merupakan ruang metrik maka vektor disebut pula sebagai titik.
Teorema 11 : Ruang bernorma
X
dikatakan lengkap apabila setiap barisan Cauchy di dalamnya konvergen, dan ruang bernorma lengkap disebut Ruang Banach.
Contoh : , : , , kontinu koleksi semua fungsi kontinu dari , ke
C a b f a b R f a bmerupakan ruang Banach, akan tetapi . Terhadap norma f sup f x : x a , b b terhadap norma f f x dx , bukan merupakan ruang Banach. 1 a
Definisi 12 : Apabila ruang bernorma memuat suatu barisan e yang memenuhi untuk
X n
setiap sehingga berlaku
x ada dengan tunggal barisan skalar
X n x e e . . . e untuk n , maka e disebut basis untuk 1 1 2 2 n
n n
X .Dengan kata lain, untuk setiap x
X
dapat disajikan sebagai representasi kombinasi linear dari , , . . . , .
e e e 1 2 n
Lemma 13 : Apabila himpunan vektor-vektor bebas linear di dalam suatu ruang
x , x ,..., x 1 2 nbernorma
X yang berdimensi hingga, maka ada suatu bilangan c sehingga untuk setiap
skalar , , ..., berlaku,
1 2 n .
x x ... x c ... 1 1 2 2 n n 1 2 n
Teorema 14 : Setiap ruang bagian berdimensi hingga merupakan
Y dari ruang bernorma
X himpunan tertutup di dalam .
X Lemma 15 X ruang bernorma berdimensi hingga dan Y , Z :(Lemma Riesz’s) Diberikan
ruang bagian
X . Apabila Y tertutup dan Y , maka untuk setiap bilangan Z , 1 ada z 1 dan z y z sehingga Z , untuk setiap y . Y
Bukti : Diambil sebarang
v dengan Z v , dan dibentuk Y a inf v : y y Y . Apabila diambil , 1 , maka ada y Y sehingga berlaku
a
1 v y z c di dalam , dengan c maka diperoleh a . Diambil v y Z
v y
v y z c v y .
1
v y
Selanjutnya, akan ditunjukkan z y sebagai berikut. Untuk setiap y Y diperoleh
y y
z c v y y c v y c v y c v y , y 1
c c
ydengan . Oleh karena itu, menurut definisi di atas diperoleh
y y a v y . a
1 1 c1 Berdasarkan hasil di atas pula, dengan c maka diperoleh
v y a a z y c v y c . a 1 . a v y
Karena y Y diambil sebarang, maka lemma Riesz’s terbukti.
PENGKAJIAN Pembahasan
Pada sub bagian ini akan membahas pengertian dan sifat-sifat kekompakan yang dimiliki oleh ruang Banach. Langkah awal akan mendefinisikan dulu pengertian kompak, dan langkah berikutnya berturut-turut akan menyajikan sifat-sifat kompak di dalam ruang Banach.
Definisi 16 : Koleksi semua himpunan himpunan dikatakan liput
di dalam ruang Banach
X
(cover) himpunan S
X apabila setiap anggota himpunan S termuat paling sedikit dalam satu anggota koleksi semua himpunan .
Dengan kata lain, apabila . Apabila setiap merupakan liput himpunan S
X S G G
anggota , maka
merupakan himpunan terbuka di dalam
X disebut liput terbuka (open cover) untuk S .
Definisi 17 : Diketahui X ruang Banach.
Himpunan S
X dikatakan kompak (compact) apabila untuk setiap liput terbuka himpunan S ada liput bagian berhingga yang juga liput himpunan S .
Jelasnya,
S kompak apabila koleksi semua himpunan terbuka merupakan liput terbuka n untuk S , maka ada himpunan berhingga G , G ,..., G sehingga berlaku S G . 1 2 n i i 1
Contoh : 1. Di dalam ruang Banach X , himpunan berhingga merupakan himpunan kompak.
Jawab : Misalkan himpunan berhingga tersebut adalah S x , x ,..., x dan G 1 2 n
merupakan liput terbuka untuk S , maka ada anggota S merupakan anggota G untuk paling
sedikit satu . Jadi untuk setiap dipilih satu saja yang memuat , sebut saja
x G x G . i i i
Jadi G , G , ..., G merupakan liput bagian berhingga untuk S . Terbukti untuk sebarang
1 2 n liput terbuka untuk S memuat liput bagian berhingga untuk S . Jadi disimpulkan S kompak.
1
2. Himpunan di dalam sistem bilangan real S : n tidak kompak.
n
Definisi 18 : Diketahui ruang Banach.
X Himpunan dikatakan kompak relatif (relatively compact) jika dan hanya jika (closure S
X S S ) merupakan himpunan kompak.
Definisi 19 : Diketahui X ruang Banach.
Himpunan dikatakan kompak sekuensial (sequentially compact) apabila setiap barisan
S
X x di dalam S mempunyai barisan bagian x yang konvergen ke x S
n n k .
Definisi 20 : Diketahui X ruang Banach.
Himpunan dikatakan kompak sekuensial relatif (relatively sequentially compact) jika dan
S
X hanya jika S (closure S ) merupakan himpunan kompak.
Definisi 21 : Diketahui X ruang Banach.
Himpunan S
X disebut net apabila S himpunan berhingga dan N ( x ) X , dan
X x S
disebut terbatas total apabila X memuat suatu net , untuk setiap .
Definisi 22 : Diketahui ruang Banach, dan .
X liput terbuka untuk
X Bilangan disebut bilangan Lebesque untuk liput terbuka apabila setiap himpunan S X dengan d (S ) , ada G sehingga S G .
Teorema 23 : : Diketahui ruang Banach.
X Apabila setiap himpunan tak berhingga S X mempunyai titik limit di dalam X , maka
X
kompak sekuensial. Bukti : Diambil sebarang barisan di dalam . Dibentuk range dari barisan tersebut sebagai
x n
X
berikut : S x : n . nApabila S berhingga, maka ada paling sedikit satu anggota x untuk tak berhingga S banyaknya indeks , sebab merupakan fungsi dengan domain himpunan tak berhingga
n x n .
Dengan demikian terbentuk suatu barisan n : k sehingga n n ... , dan k 1 2
x x ... x . Jadi diperoleh suatu barisan bagian yang konvergen ke x S X . Apabila n n 1 2
di dalam maka ada barisan di dalam
S tak berhingga, dan S mempunyai titik limit x
X S
yang konvergen ke x . Dipilih n sehingga berlaku x x 1 n 1 1 . Kemudian dipilih n dengan 2
1
n n sehingga x x . Setelah dipilih n n ... n , maka dipilih n dengan
1 2 n 2 1 2 k 1 k2
1 sehingga yang konvergen ke .
n n x x . Jadi terbentuk barisan x x k k 1 n n k k k Dengan kata lain terbukti kompak sekuensial.
X Lemma 24 : Diketahui ruang Banach.
X Apabila himpunan S X tak berhingga yang terbatas total, maka untuk setiap ada himpunan tak berhingga .
M sehingga S d M
Bukti : Diketahui
. Misalkan himpunan S himpunan tak berhingga dan diberikan sebarang n
H x , x ,..., x merupakan suatu net di dalam 1 2 n X sehingga berlaku X N ( x ) , i
3 i 1 n
3
yang berakibat S ( S N ( x )) . Dengan demikian paling sedikit ada satu dari himpunan-
i i 1 3
himpunan yang memuat himpunan tak berhingga, sebut saja
S N ( x ) i M dengan 3 d M .
Teorema 25 : Diketahui X ruang Banach.
X terbatas total jika dan hanya jika setiap barisan x di dalam n X mempunyai barisan bagian Cauchy.
Bukti : syarat perlu : Diambil sebarang barisan Diketahui
X ruang Banach. Pandang himpunan
A x ; n . Apabila A berhingga, maka barisan x mempunyai barisan bagian
n nberhingga yang konstan. Oleh karena itu, barisan ini merupakan barisan Cauchy. Sekarang misalkan A tak berhingga, maka berdasarkan Lemma 23 ada himpunan tak berhingga B A 1 dengan . Dipilih sehingga
d B 1 1 n x . Selanjutnya dengan cara yang sama, ada suatu B 1 n 1
1
1 himpunan tak berhingga B B dengan d B . Dipilih n n sehingga x B . 2 1 2 2 1 n 2 2
2 Apabila prosedur ini dilakukan terus menerus, maka diperoleh himpunan-himpunan tak berhingga
1 B B ... B B dengan d B i
1 , 2 ,..., n ) sehingga untuk setiap bilangan k k 1 2 1 i ( i
asli berlaku ). Berdasarkan proses ini diperoleh
n n ... n n x ( B i k k 1 2 1 n i 1 , 2 ,..., n i
suatu barisan bagian x dari x . Apabila diberikan sebarang , maka dipilih k n n
k
1 sehingga . Dengan cara yang sama seperti di atas diperoleh x B untuk m k . Jadi n k m
k
1 apabila maka berlaku . Oleh karena itu terbukti bahwa setiap
j , m k x x n n j m
k
barisan di dalam mempunyai barisan bagian Cauchy.X Syarat cukup : Andaikan himpunan tidak terbatas total, maka ada sehingga tidak X
terdapat net di dalam
X . Diberikan sebarang x 1 X dan dipilih x 2 X sehingga
. Hal ini mungkin terjadi sebab himpunan bukan suatu di dalam
x x 2 1 x net
1 X . Selajutnya dipilih x 3 X dengan x x dan x x , dan ini mungkin 3 1 3 2
terjadi sebab x , x bukan suatu net di dalam . Apabila proses dilakukan secara terus
1 2 X
menerus dengan cara yang sama, maka akan diperoleh himpunan yang bukan
x , x ,..., x 1 2 n
suatu net di dalam
X dengan sifat x x , untuk setiap i j ( j
1 , 2 ,.., k ). Jadi
i j
ada x
X dengan x x , untuk j
1 1 mempunyai barisan bagian Cauchy, kontradiksi dengan yang diketahui.
1 , 2 ,.., k . Oleh karena itu barisan x tidak n k j n
Teorema 26 : Ruang Banach kompak sekuensial jika dan hanya jika terbatas total.
X X
Bukti : Syarat perlu : Karena kompak sekuensial, maka setiap barisan x di dalam
X n
X
mempunyai barisan bagian yang konvergen, yang berakibat barisan merupakan
x x
n k n k
barisan Cauchy. Jadi, setiap barisan di dalam mempunyai barisan bagian Cauchy, dan
X berdasarkan Teorema 25 terbukti bahwa terbatas total.
X Syarat cukup : Diketahui terbatas total dan diambil sebarang barisan x di dalam .
X n
X Menurut Teorema 25, maka barisan mempunyai barisan bagian Cauchy dan karena x x n n k
X ruang Banach, maka barisan x konvergen atau terbukti X kompak sekuensial.
n k Lemma 27 : Diketahui X ruang Banach. Apabila X kompak sekuensial, maka setiap liput
terbuka untuk X mempunyai bilangan Lebesque. Bukti : Diketahui kompak sekuensial dan liput terbuka . Andaikan tidak ada
X untuk
X
bilangan Lebesque untuk liput terbuka ada himpunan tak kosong , maka untuk setiap n
1 A n n n X dengan d A sehingga A tidak termuat dalam . Selanjutnya, dipilih
n x A , dan karena X kompak sekuensial maka barisan x di dalam X mempunyai barisan n n
n
bagian yang konvergen ke . Dipilih sehingga . Karena himpunan
x x G x G G n k
terbuka, maka ada bilangan sehingga N ( x ) G . Karena x konvergen ke x ,
n k
maka x termuat di dalam N ( x ) untuk tak berhingga banyak n . Dipilih n yang n k k k 1 maksimal sehingga dengan maka diperoleh
x N ( x ) . Apabila diambil y A
k n n k n k2
, dan mengingat maka berakibat
y x d A y x . Oleh karena itu
k n n n k k 1 1
2
y N ( x ) , dengan demikian diperoleh A N ( x ) G . Kotradiksi dengan fakta bahwa
n kuntuk setiap n , A tidak termuat di dalam anggota . Dengan kata lain mempunyai n bilangan Lebesque.
Teorema 28 : Diketahui ruang Banach dan .
X S
X S kompak jika dan hanya jika S kompak sekuensial.
Bukti : Syarat perlu : Andaikan S tidak kompak sekuensial, maka menurut Lemma 26 ada suatu himpunan tak berhingga
A dengan A tidak mempunyai titik limit di dalam S . Dengan S
demikian setiap anggota , dan setiap titik anggota merupakan
S bukan titik limit himpunan A A
titik terasing. Jadi, untuk setiap x A sehingga N ( x ) A x , dan ada bilangan
untuk setiap dengan dapat dibuat persekitaran ( y ) sehingga ( ) . y S y A N N x A
Karena tak berhingga, maka koleksi semua himpunan
A
merupakan liput terbuka untuk N ( x ) : x A N ( y ) : x & S y A S , akan tetapi
liput terbuka tidak memuat liput bagian berhingga. Sebab, apabila menghilangkan satu persekitaran N (x ) saja dari titik x maka S tidak terliput lagi, dan kontradiksi dengan A
fakta bahwa S kompak. Syarat cukup : Diberikan sebarang liput terbuka
untuk S , maka menurut Lemma 26 liput terbuka mempunyai bilangan Lebesque , dan berdasarkan Teorema 25 maka S terbatas
total. Oleh karena itu, ada suatu net dari himpunan berhingga x , x ,..., x sehingga 1 2 n
3 untuk setiap berlaku
k
1 , 2 ,..., n
2 d N ( x ) . Selanjutnya, ada G dengan N ( x ) G .
k k k k
3
3 3 n
Karena N ( x ) S G , G ,..., G merupakan liput bagian berhingga , maka diperoleh
k 1 2 n k 1 3
untuk S , atau terbukti S kompak.
Teorema 29 : Diketahui X ruang Banach dan S X .
Jika S kompak, maka S tertutup dan terbatas.
c
Bukti : (a) Diambil sebarang dengan
x X x S , dan untuk setiap anggota x dibuat S
persekitaran N (x ) y : x y , dan persekitaran N ( x ) y : x y dengan
1 pusat x dan jari-jari x x . Jelas bahwa, N (x ) N ( x ) untuk setiap x S .
2 Oleh karena itu, koleksi semua himpunan persekitaran-persekitaran N ( x ) : x S
merupakan liput terbuka untuk S . Karena diketahui S kompak, maka ada x , x , ... , x S n n 1 2 n sehingga berlaku S ( ) . Dibentuk himpunan W ( ) dengan N x N x
i i i 1 i 1
1
, untuk setiap , , , . Jadi i i
x x i
1
2 ... n W merupakan suatu persekitaran dari titik
2
x dan himpunan bagian semua N ( x ) , untuk setiap i
1 ,
2 , ... , n . Jadi, i
W N ( x ) , untuk setiap i
1 ,
2 , ... , n sehingga W N (x ) . Akibatnya,
i c c c atau merupakan titik-dalam himpunan
W S W S . Jadi x S , jadi S terbuka atau
S tertutup.(b) Untuk setiap x S N ( x ) y : x y
1 , yaitu persekitaran
dibentuk persekitaran 1 dengan pusat dan jari-jari . Koleksi semua himpunan merupakan liput
x 1 N ( x ) : x S 1
terbuka untuk , , , n S . Karena diketahui S kompak, maka ada x x ... x sehingga S 1 2 m
S N ( x ) . Namakan, M 1 maks x x , x x , ..., x x . Untuk sebarang
1 i 1 2 1 3 1 m
i 1
, sehingga berlaku . Jadi diperoleh
y ada S x dengan j 1 j m y N ( x ) 1 j x y x x x y M 1 1 j j 1 1 M . Jadi untuk setiap y S berlaku x y M atau dengan kata lain S terbatas. 1 Teorema 30 : Diketahui ruang Banach, dan .
X S
X Apabila S tertutup dan terbatas, dan X berdimensi hingga maka S kompak.
Bukti : Misalkan Dim(
X ) n , dan e , e , . . . , e merupakan basis untuk 1 2 n X . Diambil
sebarang barisan di dalam
x S , maka untuk setiap x anggota S dapat disajikan sebagai m m
representasi kombinasi linear sebagai berikut, ( m ) ( m ) ( m )
x x e x e . . . x e m 1 1 2 2 n n
Karena diketahui sehingga .
S terbatas, maka ada bilangan k x , untuk setiap k m m
Menurut Lemma 13, maka diperoleh ( m ) ( m ) ( m ) ( m ) n k x x e x e ... x e c x , dengan c . m 1 1 2 2 j n n
j 1 (m )
Oleh karena itu barisan bilangan x terbatas. Jadi ia mempunyai titik limit, katakan titik
j
limitnya tersebut adalah , untuk . Akibatnya, barisan mempunyai barisan
x j m 1 j n x n bagian z yang konvergen ke z x e . Karena himpunan S tertutup, maka z . Ini S m j j j 1
menunjukkan bahwa sebarang barisan x di dalam S mempunyai barisan bagian yang
m
konvergen dalam
S . Dengan kata lain S kompak sekuensial atau S kompak.
Teorema 31 : Diketahui X ruang Banach, dan S X .
S kompak relatif jika dan hanya jika S terbatas total.
Bukti : Syarat perlu : Diketahui kompak. Apabila
S kompak relatif atau S S S S
kompak berakibat
S kompak sekuensial, maka menurut Teorema 26 S terbatas total. Apabila S
tidak kompak, dan karena S merupakan koleksi semua himpunan titik limit di dalam S , maka berdasarkan Teorema 23 S kompak sekuensial, dan sekali lagi menurut Teorema 26 terbukti S terbatas total. Syarat cukup : Diketahui kompak.
S kompak relatif, yaitu S
Apabila S kompak berakibat S kompak sekuensial atau terbukti S terbatas total. Sekarang
apabila S tidak kompak dan karena S merupakan koleksi semua titik limit di dalam S , maka diperoleh S kompak sekuensial atau terbukti S terbatas total. Syarat perlu : Diambil sebarang barisan di dalam
x S . Karena diketahui S terbatas total, n
maka ada himpunan-himpunan berhingga N ( y ), N ( y ), . . . , N ( y ) yang merupakan 1 1 1 2 1 i 2 2 2
suatu 1 . Paling sedikit dari persekitaran-persekitaran ini memuat suatu barisan tak hingga,
net 1 katakanlah x dengan x x . Selanjutnya. Diambil lagi suatu net , maka paling
n , 1 n , 1 n
2
1 sedikit satu dari persekitaran-persekitaran di dalam himpunan berhingga dari suatu net 2 memuat barisan tak berhingga dengan . Apabila proses dilakukan terus
x x x n , 2 n , 2 n , 1 menerus maka akan diperoleh suatu barisan tak hingga
m n x ,
mempunyai barisan bagian yang konvergen atau
1 m n
, sehingga
n n x ,
merupakan barisan Cauchy. Karena
X lengkap maka barisan n n x ,
adalah konvergen. Dengan kata lain barisan
n n x ,
S
kompak sekuensial. Berakibat S kompak relatif.
SIMPULAN
Berdasarkan keseluruhan uraian di atas diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut : 1. Apabila suatu himpunan tak berhingga mempunyai titik limit di dalam ruang Banach, maka ruang Banach tersebut kompak sekuensial.
2. Suatu ruang Banach yang kompak sekuensial jika dan hanya jika ruang Banach tersebut terbatas total.
3. Suatu himpunan di dalam ruang Banach yang kompak jika dan hanya jika himpunan tersebut kompak sekuensial.
4. Apabila suatu himpunan yang kompak di dalam ruang Banach, maka himpunan tersebut tertutup dan terbatas.
5. Apabila suatu himpunan yang tertutup dan terbatas di dalam ruang Banach, dan himpunan itu juga berdimensi hingga maka himpunan tersebut kompak.
6. Suatu himpunan yang kompak relatif di dalam ruang Banach jika dan hanya jika himpunan tersebut terbatas total.
) , ( min
x x , ,
, untuk suatu
m
m
dengan
m n x ,
1 , m n x sehingga
m n x ,
termuat di dalam persekitaran berdiameter
1
1 . Jadi diperoleh m m n n
. Misalkan
n n x ,
merupakan barisan diagonal, maka
n j
j j
x,