RISET OPERASIONAL 1 RISET OPERASI

  RISET OPERASIONAL 1 RISET OPERASI TIM DOSEN RISET OPERASI UNIVERSITAS GUNADARMA SEPTEMBER 2013

Teori Permainan

  Oleh: Rina Sugiarti Komsi Koranti

Teori Permainan (GAME THEORY)

   Suatu pendekatan matematis untuk merumuskan situasi persaingan dan konfik antara berbagai kepentingan

   Asumsi : Setiap pemain (individu atau kelompok) mempunyai kemampuan untuk mengambil keputusan secara bebas (independent) dan rasional.

  Teori permainan (Cont’)

• Model dalam teori permainan diklasifkasikan berdasarkan jumlah pemain, besarnya keuntungan dan kerugian, dan jumlah strategi.
• Berdasarkan jumlah pemain :

  Model permainan dua pemain, tiga pemain, …, N pemain

  Model Permainan  Berdasarkan besarnya keuntungan/kerugian :

  1.Model permainan jumlah nol (zero-sum game)

  (constant-sum game)

  3.Model permainan bukan jumlah nol (Non zero-sum game)  

Elemen permainan

• Pemain: intelligent opponents (pesaing atau musuh)

• • Strategi: pilihan apa yang harus dilakukan untuk

  mengalahkan lawan

• • Hasil keluaran= Payofs: fungsi dari strategi yang

  berbeda untuk setiap pemain

• • Payof Matrix: Tabel (hasil perolehan dari pemain

  baris)

• • Aturan: bagaimana mengalokasikan hasil kepada

  pemain

The Game: Contoh

• Dua Pemain: Pemain A (baris) dan Pemain B (kolom)
• Melempar koin seimbang
• Hasil yang mungkin: Head (H) dan Tail (T)
• Aturan:
• Jika hasil pertandingan match(pemain A memilih H

  dan hasilnya juga H atau pemain A pilih T dan hasil

  juga T), maka Pemain A mendapatkan $ 1 dari pemain B;
• Jika sebaliknya, Pemain A kehilangan $ 1 untuk Pemain B

The Game: Matrix Payof

  Pemain A (Pemain baris)

  Pemain B H T H

• – 1

  1

• – 1

  T

  1 Strategi setiap pemain: H atau T

  Sebuah Solusi Optimal dikatakan tercapai apabila

pemain tidak menemukan hal yang bermanfaat untuk

Solusi optimal

• • optimal dapat dicapai jika pemain memilih untuk

  menerapkan:
• Strategi Murni (misal: pilih H atau T)
•   Campuran strategi murni = Strategi Campuran

  

Two-Person Zero-Sum Game

• Sebuah game atau permainan dengan dua pemain
• Sebuah keuntungan dari satu pemain sama dengan kerugian yang lain
• Pemain yang difokuskan = pemain baris (Pemain

  A)

• Seorang pemain memaksimalkan keuntungan minimum nya (mengapa?)

• • Pemain B meminimalkan kerugian maksimum nya

  (mengapa?)
• Solusi optimal diperoleh dengan kriteria Minimax- Maximin

  Two-Person Zero-Sum Game with

Saddle Point

  1

  18

  Value

  18 Maximin

  9

  5

  8

  Colum Max

  5 3 7 3 –4 10 –4

  7

  2

  Pemain B Row Min

  2 2 6

  5

  9

  2

  4 Pemain A 1 8

  3

  5

  Two-Person Zero-Sum Game with

Saddle Point

• Seorang pemain (baris): Nilai Maximin = nilai terendah dari permainan

• • Pemain B (kolom): Nilai Minimax = Nilai tertinggi

  dari permainan
• Nilai Maximin = Minimax nilai  Saddle point = Nilai dari permainan

Two-Person Zero-Sum Game dengan Saddle Point

• Saddle point menyebabkan Solusi Optimal

  • Saddle point menunjukkan permainan yang stabil

• Pemain menerapkan Strategi Murni

  umumnya

• Untuk menjaga "optimalitas" dari permainan:

• • nilai maksimin  nilai permainan  nilai minimax

  OR

• • nilai terendah  nilai permainan  nilai tertinggi

Strategi campuran

• Digunakan untuk memecahkan permainan yang tidak memiliki Saddle Point • Solusi optimal diperoleh dengan mengguna>Solusi grafs untuk matrik payof (2 X N) dan (M X 2)
•   Simplex untuk matrik payof (M X N)

  Unstable Game tanpa Saddle

Point

  1

  5

  Value Maximin Value

  15 Minimax

  9

  7

  8

  Max

  7 4 –1 3 –1 Column

  4

  4

  15

  4

  8

  2

  Pemain B Row

  2

  2

  8

  7

  6

  2

  1 5 –10 9 –10

  Pemain A

  4 Min

  3

  3

  B y ₁ y ₂ … y _n A x ₁ a ₁₁ a ₁₂ … a _1n x ₂ = 1 – x ₁ a ₂₁ a ₂₂ … a _2n

  2  N game

• 2  N game:
• – Pemain A memiliki 2 strategi
• –   Pemain B memiliki N ( 2) strategi

  2  N game

  Strategi murni B Ekspektasi Payoff A

  1 (a ₁₁ – a ₂₁ )x ₁ + a ₂₁

  2 (a ₁₂ – a ₂₂ )x ₁ + a ₂₂

  … … n (a _1n – a _2n )x ₁ + a _2n

  2  N game: contoh

  B y ₁ y ₂ y ₃ y ₄ A x ₁

  2

  2 3 –1 x ₂

  4

  3

  2

  6

  2  N game

  Strategi murni B Ekspektasi Payoff A

  1

• – 2x + 4
₁

  2

• – x + 3
₁

  3 x + 2 ₁

  4

• –7 x + 6
₁ Solusi optimum: solusi Grafik

  

Solusi Grafk x = 0 dan x = 1 = x

₆

  1

  1

  2

  5 _{4 1} Maximin

  3 _{2 3}

  2

  1 ₄ x = 0 _{1 x* =1/2 1} ^{x = 1} ₁

• 1

  

Solusi optimal untuk pemain A

• • Intersep antara baris (2), (3) dan (4)

  (x * = ½, x *= ½)

  1

  2

  5

  2 (2) – x + 3 = – ½ + 3 = /

  1

  5

  2 v* (3) x + 2 = ½ + 2 = /

  1

  7

  5

  2

  2 (4) –7 x + 6 = – / + 6 = /

  1

• • pemain B dapat mengkombinasikan ke 3 strategi

₅

  

2

• pemain A menang = /

Solusi optimal untuk pemain B

• Kombinasi (2), (3) dan (4):
₁ dan y = 0, y = y –1 (y * = y *) _{4 3 2 2} 3<
• (2,3)  y dan y = 0, y = y –1 (y * = y *)
• (2,4)  y
¹ _{1 dan y 2 = 0, y} ³ _{4 = y} ⁴ _{3 –1 (y} ² _{3 * = y} ² _{4 *)} 4<
• (3,4)  y

Solusi optimal untuk pemain B

  Strategi murni B Ekspektasi Payoff A

  2

  (2,3)  y ₁ dan y ₄ = 0, y ₃

= y

₂ –1 (y ₂ * = y ₃ *)
• – y
₂ + 3

  3 y ₂ + 2

• – y
₂ + 3 = y ₂ + 2

  ⁵ /

  2

• – 2 y
₂ = – 1 y

  2 dan y * = ¹ /

• =
¹ /

Solusi optimal untuk pemain B

  Strategi murni B Ekspektasi Payoff A

  2

• – y
₂ + 3

  4

  (2,4)  y ₁ dan d y ₃ = 0, y ₄ = y ₂ –1 (y ₂ * = y ₄ *)

• – 7y
2– y ₂ + 3 = –7y ₂ + 6 6 y ₂ = 3 y

  2 dan y * = ¹ /

  ⁵ /

  2

• =
¹ /

Solusi optimal untuk Pemain B

  Strategy Murni A Ekspektasi Payoff B

  3 y ₃ + 2

  4

  (3,4)  y ₁ dan y ₂ = 0, y ₄ = y ₃ –1 (y ₃ * = y ₄ *) y ₃ + 2 = –7y ₃ + 6 8 y ₃ = 4 y

• – 7y
₃ + 6

  2 dan y * = ¹ /

  ⁵ /

  2

• =
¹ /

M  2 game

• M 2 game:
• – Pemain A mempunyai M ( 2) strategi
• – Pemain B mempunyai 2 strategi

  B y y 1 – y _{1 2= 1} x a a _{1 11 12} A x a a _{2 21 22} … … … x a a _{m m1 m2}

M  2 game

  Strategy Murni A Ekspektasi Payoff B

  1 (a – a )y + a _{11 12 1 12}

  2 (a – a )y + a _{21 22 1 22}

  … … m (a – a )y + a _{m1 m2 1 m2}

M 2 game: contoh

  B y ₁ y ₂ A x ₁

  2

  4 x ₂

  3

  2 x ₃ – 2

  6

M  2 game

  Strategy Murni A Ekspektasi Payoff B

  1

• – 2 y + 4
₁

  2 y + 2 ₁

  3

• – 8 y + 6
₁ Solusi optimum dengan metode Grafis
Solusi grafk y

  1 = 1 = y

  1 = 0 dan y

  2 y ₁ ^{= 1}

  1 ^{5 2 3 4 6}

• 1
^{2 1 3} _-2 ^{y 1 * = y 3 * = 1 / 3} Minimax

Solusi Optimum untuk Pemain B

• Intersep di antara baris (1) dan (3)
_{1 1} (y * = /3, y *= /3) _{1 3 2 10} (1) – 2y + 4 = – /3 + 4 = /3 _{1 8 10} (3) – 8y 1 + 6 = – /3 + 6 = /3Pemain B dapat mengkombinasikan 2 macam strategi 10<
• Pemain B rugi = /3

Solusi Optimum untuk pemain A

• kombinasi (1) dan (3):
₂ dan x = 0, x = x –1 (x * = x *) ₄

₃

_{1 1} 3<
• (1,3)  x

Solusi Optimum untuk pemain A

  dan x = 0, x = x –1 (x * = x *) (1,3)  x _{2 4}

₃

_{1 1 3} Strategi murni A Expektasi Payoff A

  1

• – 2x + 4
₁

  3

• – 8x +6
1<
• –2x + 4 = – 8x +6
_{1 1 10}

  3 A menang = / 6 x = 2 _{1 1 1}

  3

  3 x = * ₁ / dan x * = / ₃

M  N Games: Simplex

• Fokus pada baris (Pemain A)
• dualitas masalah
• Tujuan Fungsi: memaksimalkan

  w = Y + Y + . . . Y

_{1 2 n}

M  N Games: Simplex

   Terhadap (Constraints / kendala): a Y + a Y + . . . + a Y _{11 1 12 2 1n n  1} a Y + a Y + . . . + a Y _{21 1 22 2 2n n  1} … … … a Y + a Y + . . . + a Y _{m1 1 m2 2 mn n  1} Y ^{1 , Y 2 , . . . , Y n} _{1 1}  0  w = v* = /w

  /v   Y = /v, j = 1,2,. . . , n _{j Yi}

M  N Games: Simplex

• • Pastikan tabel tidak berisi nilai nol dan negatif

• • Gunakan K (nilai konstan) memastikan bahwa

  tabel tidak berisi nilai nol dan negatif
• K&gt; negatif dari nilai maksimin
• K&gt; negatif dari nilai paling negatif

M  N Games: Simplex

• Jika K adalah digunakan dlm tabel ,
₁ v* = /w &nda
• z = w
• X * = X /z, X * = X /z, . . . , X * = X /z
_{1 1 2 2 m m}

M  N Games: contoh

  A B Row

  1

  2

  3 Min

  1 3 –1 –3 –3 2 –3 3 –1 –3 3 –4 –3

  3 –4 Column Max

  3

  3

  3 K = 5 A B Row

  1

  4

  8

  8

  1 Column Max

  8

  2

  1

  3

  2

  8

  2

  2

  2

  2

  2

  4

  8

  1

  3 Min

  8 Maximize: w = Y ₁ + Y ₂ + Y ₃ Fungsi Tujuan A B Row

  1

  1

  2Y ₁ + 8Y ₂ + 4Y ₃  1

  :

  Sesuai dengan

  8Y ₁ + 4Y ₂ + 2Y ₃  1

  8

  8

  8

  1 Column Max

  8

  2

  3

  2

  2

  4

  8

  2

  2

  2

  2

  4

  8

  1

  3 Min

  1Y ₁ + 2Y ₂ + 8Y ₃  1

  8Y ₁ + 4Y ₂ + 2Y ₃  1  8Y ₁

• 4Y
₂ + 2Y ₃ + S ₁ = 1 Sesuai dengan :

  2Y ₁ + 8Y ₂ + 4Y ₃  1  2Y ₁

• 8Y
₂ + 4Y ₃ + S ₂ = 1

  1Y ₁ + 2Y ₂ + 8Y ₃  1 1Y ₁

• 2Y
₂ + 8Y ₃ + S ₃ = 1

  Y

  1 , Y

  2 ,Y

  3  0

  Maximize: w = Y ₁ + Y ₂ + Y ₃ + S ₁ +S ₂ +S ₃ Fungsi Tujuan :

  Basic Y ₁ Y ₂ Y ₃ S ₁ S ₂ S ₃ Solution w -1 -1 -1 S ₁

  8

  4

  2

  1

  1 S ₂

  2

  8

  4

  1

  1 S ₃

  1

  2

  8

  1

  1 Basic Y ₁ Y ₂ Y ₃ S ₁ S ₂ S ₃ Solution w 5/49 11/196 1/14 45/196

  Y ₁ 1 1/7 -1/14 1/14 Y ₂ 1 -3/98 31/196 -1/14 11/96

  Y ₃ 1 -1/98 -3/98 1/7 5/49 Tabel Optimal (Akhir)

Solusi optimal untuk B

• w = 45/196
• v* = 1/w – K = 196/45 – 225/45 = –29/45
• y * = Y /w = (1/14)/(45/196) = 14/45

  1

  1

• y * = Y /w = (11/196)/(45/196) = 11/45

  2

  2

• y * = Y /w = (5/49)/(45/196) = 20/45

  3

  3

Solusi untuk A

   z = w = 45/196  X = 5/49

  1

   X = 11/196

  2

   X = 1/14

  3

   x * = X /z = (5/49)/(45/196) = 20/45

  1

  1

   x

• = X /z = (11/196)/(45/196) = 11/45

  2

  2

   x * = X /z = (1/14)/(45/196) = 14/45

  3

  3 Hamdy A Taha, Operation Research an

Introduction, edisi 8, Macmillan, New york

REFERENSI

  SELESAI