Jumlah Dan Selisih Dua Sudut

a. Aturan kosinus untuk jumlah dan selisih dua sudut

  Pada gambar di samping titik A, B, C, D terletak pada lingkaran yang berjari-jari 1. maka :

  A. Tujuan Pembelajaran

  Setelah mempelajari kegiatan belajar 2, diharapkan siswa dapat

  a. Menentukan nilai kosinus sudut tertentu menggunakan rumus kosinus jumlah dan selisih dua sudut.

  b. Menentukan nilai sinus sudut tertentu menggunakan rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut.

  c. Menentukan nilai tangen sudut tertentu menggunakan rumus tangen jumlah dan selisih dua sudut.

  B. Uraian Materi 6

Jumlah Dan Selisih Dua Sudut

  Perhatikan gambar berikut :

• C(cos (α + β), sin (α + β)) α β
• O •
• A (1, 0)
• β
• 1
• = + = •
• = + = • . sin sin . cos cos

>D(cos β, –sin β)
• B(cos α, sin α)

  Untuk sudut α α α

  α α . sin sin . cos cos

  Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

Kegiatan Belajar 6 Panjang AC sama dengan jarak titik A dan titik C. _{2 2} AC = ( x − ) ( + x y − y ) _{2 C A C A 2 2} 1 sin α β + + + AC = cos α β − −

  y r y x r x

  Untuk sudut ( α + β)

  ( ) ( ) ( ) ( )

  β α β α β α β α

  y r y x r x

  Untuk sudut - β

  β β β β

  . sin sin . cos cos − = − = •

  = − = •

  y r y x r x

  maka koordinat titik B, C, D seperti tampak pada gambar

  = = • = = •

  ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) _{2 2}

  cos sin

  1 = − ₂

  cos α β α β α β

  ( ) ( ) ( ) +

₂ α β α β α &
• 2

  1

• 2 cos ( ) + + + = + cos ( ) sin ( ) −

  2 cos α β

  1 = − ( ) +

• 1

  2 cos α β = − ( )

• 2

  Panjang BD adalah _{2 2} BD x x y y ₂ = ( − ) ( − ) + _{D B D B 2 2}

  ( BD ) = ( cos β − cos α ) ( − sin β − sin α ) + _{2 2 2 2 2} 2 cos β cos α cos α sin β _{2 2} + + β + + = cos − ₂ 2 sin β sin α sin α cos β sin β cos α α

  2 cos β cos α

  2 sin β sin α

• sin
• = −

  1

  1 2 cos β cos α 2 β α sin sin = − + +

  2 2 cos β cos α sin β sin α = − ( − ) _{2 2} Karena Besar sudut ∠ BOD = ∠ COA maka AC = BD sehingga

  2 2 cos α β

  2

  sin β sin α ) − ( ) = − − 2 cos

• 2 (cos β cos α

  α β β α β α 2 (cos cos sin sin ) − ( ) = − + −

  − 2 (cos β cos α − sin β sin α ) cos α β

  ( ) = +

  −

  2

• cos α β = cos β cos α − sin β sin α

  ( )

  Jika sudut β adalah searah jarum jam maka : cos ( α − β ) = cos ( α ( − β ) ) = cos α cos ( − β ) sin α ( + β + sin − )

  α β α β = cos cos − sin sin

  Jadi diperoleh aturan kosinus untuk penjulahan dan pengurangan dua sudut adalah

• cos = cos cos − sin sin

  

α β α β α β

( )

  − = + cos α β cos α cos β • sin α sin β

  ( ) Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

• 30

  2 30 sin 45 sin 30 cos

  6

  4

  2

  4

  6

  2

  1

  2

  2

  2

  3 .

  2

  45 cos

  4

  30 45 cos 15 cos

  3. Bentuk sederhana dari cos20

  o

  cos40

  o

  

o

  sin40

  o Penyelesaian o ^{o o o o o o o}

  20 cos ) 20 cos(

  )

  40 20 cos( 40 sin 20 sin

  40 cos 20 cos =

  2

  ( )

  − = − = +

  6

  Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Contoh soal :

  1. Tentukan nilai dari cos (45

  o

  o

  )

  Penyelesaian ( )

  4

  2

  6

  4

  2

  4

  2

  o Penyelesaian

  1

  2

  2

  2

  3 .

  2

  2 30 sin 45 sin 30 cos

  45 cos

  30 45 cos −

  = − =

  − = − = + ^{o o o o o o}

  2. Tentukan nilai dari cos 15

• =
• = − = _{o o o o} ^{o o}
>= <
• sin20

b. Aturan Sinus untuk jumlah dan selisih dua sudut

• − = + Begitu juga untuk ( )

  π β α

  2 cos 2 cos

  2 sin cos 2 cos

  π β α sin cos cos sin sin

  π β α

  π β α

  β α β α β α

  π β α

  − + − = − − =

  ( ) ( )

  π sehingga

  2 cos = −

  Berdasarkan sudut berelasi dikuadran I, jika x x sin

  − − =

  2 cos sin

• =

  Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

  2 cos sin sin − =

  o Penyelesaian

  1. Tentukan nilai dari sin 105

  Contoh Soal :

  

β α β α β α

sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin − = − •

  ( ) ( )

β α β α β α

  Jadi diperoleh aturan sinus untuk penjulahan dan selisih dua sudut adalah

  − − − = − + − = − + = −

  − − + − − = − − − =

  2 cos 2 cos

  2 sin cos 2 cos

  π β α β α sin cos cos sin sin

  π β α

  π β α

  π β α

  π β α

  β α β α β α

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  β α − sin maka

• = + •

  o o o

  60

• sin 105 = sin

  45

  ( ) _{o o o o}

  60 cos

  45 cos 60 sin

  45 =

• sin

  3

  2

  1

  2

• =

  2

  2

  2

  2

  6

  2 = +

  4

  4

  6

  2

• =

  4

  1

  2. Jika tan α 1 dan tan β dengan α dan β sudut lancip, maka nilai sin α − β adalah = =

  ( )

  3 Penyelesaian

  1 sin α

  2

• =

  2

• tan α =

  1

  1

• cos α =

  2

  2

  1

• sin β =

  10

  1

  10 tan β = •

  3

  3 cos β

  10 = •

  10 Maka sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β

  2

  3

  10

  2

  10 = −

  2

  10

  2

  10

  3

  20

  20 = −

  20

  20 3 .

  2 5 −

  2

  5 =

  20

  6

  5

  2

  5 −

  =

  20

  4

  5 =

  20

  5 =

  5 Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

c. Aturan tangen untuk jumlah dan selisih dua sudut

  dengan menggunakan identitas perbandingan maka :

• sin α β

  ( )

  tan α β =

• cos α β

  ( )

  ( )

• sin α cos β cos α sin β

  = cos α cos β sin α sin β − sin α cos β cos α sin β

• cos α cos β cos α cos β

  = cos α cos β sin α sin β − cos α cos β cos α cos β sin α sin β

• cos α cos β

  = sin α sin β 1 − cos α cos β

  α + tan tan β = 1 − tan α tan β

  Dengan cara yang sama maka diperoleh : − β ) + sin ( α ( )

• tan α − β = tan α − β =

  ( ) ( ( ) )

  cos ( α ( − β ) ) + sin α cos β cos α sin β

  ( − ) ( + − )

  = cos α cos β sin α sin β

  ( − ) − ( − )

  sin α cos − β − cos α sin β

  ( )

  =

• cos α cos ( − β ) sin α sin β sin α cos β cos α sin β

  − cos α cos β cos α cos β = cos α cos β sin α sin β

• cos α cos β cos α cos β tan α tan β

  − =

• 1 tan α tan β

  Jadi diperoleh aturan tangen untuk jumlah dan selisih dua sudut adalah

  tan α tan β +

• tan = α β

  ( ) 1 − tan α tan β tan α − tan β

• tan α β − =

  ( )

• 1 tan α tan β

  Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

  Contoh Soal :

  3

  7 sin dan cos dengan sudut a di kuadran III dan sudut b di kuadran IV

  1. Jika a = − b =

  5

  25

• maka nilai dari tan ( a b )

  Penyelesaian

  3 24 sin a sin b

• 5
• = − = −

  5

  25

  3

  25

  4

  24

  7

• cos = − • a cos a =

  a

  5

  25

  b

  4

  3

  24

  7

• tan a = tan a = −

  4

  7 Sehingga

• tan a tan b tan ( a b ) = + 1 − tan a tan b

  3

  24 − +

  4

  7 =

  3

  24

  1 − −

  4

  7 21 −

  96

  28 =

• 28

  72

  28

  75 −

  28 =

  100

  28 −

  75

  3 = −

  100

  4

  2. Buktikan bahwa tan 180 α tan α − = −

  ( ) Penyelesaian

  tan 180 α tan α − = −

  ( )

  tan 180 − tan α = − tan α

• 1 tan 180 tan α tan α

  − tan α = − 1 tan α

  ( ) +

  − tan α tan α tan α tan α terbukti = − − = −

  1 Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

a. Aturan sin 2

  untuk memahami cara menurunkan aturan sudut rangkap maka pelajari berikut :

  1. Rumus a 2 sin

  a, cos 2a dan tan 2a

• =
• = Jadi diperoleh
• =

  Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

Sudut Rangkap

  tan

  2

  2

  2 a

a

a a

a

  3. Rumus tan 2a

  a a a a a a a a a

  2

  1 tan 2 tan tan

  1 sin cos 2 cos

  1 tan tan ) tan( 2 tan

  − =

  −

  a a a

  2 tan

  1 tan 2 2 tan

  − =

  2

  2

  a a a a a a a a a

  − = − − • − = − − •

  cos sin

  2 sin cos cos sin ) sin( 2 sin

  =

  a a a cos sin

  2 2 sin =

  2. Rumus cos 2a

  ( ) ( )

  − = − =

  2 sin

  1 cos 2 cos 1 cos sin

  2 1 sin sin 1 sin cos sin sin cos cos

  ) cos( 2 cos _{2 2 2 2 2 2 2 2}

  a a a

a a a

a a a a a a a a a

  Jadi diperoleh

  1 cos

  − • − • − • =

• =
• = Jadi diperoleh

  Contoh soal ₃

  1. Buktikan sin 3 a = 3 sin a − 4 sin a

  Penyelesaian ₃

  sin 3 a = 3 sin a − 4 sin a ₃ sin(

  2

  a a )

  3 sin a 4 sin a = − ₃

• 2 a cos a cos
• sin 2 a sin a =
₂ 3 sin a − ₂ 4 sin a 3<
• 2 sin a cos a cos a cos a − sin a sin a =
_{2 2 3} 3 sin a − ₃ 4 sin a

  ( )

  2 sin a cos a cos a sin a sin a 3 sin a 4 sin a _{2 3} − = − ₃

• 3 sin a cos a − sin a =
_{2 3} 3 sin a − 4 sin a ₃ 3 sin a 1 − sin a − sin a = 3 sin a − 4 sin a

  ( ) _{3 3 3}

  3 sin a 3 sin a sin a 3 sin a 4 sin a − − = − _{3 3} 3 sin a −

  4 sin a = 3 sin a − 4 sin a ₃

  2. Buktikan bahwa cos 3 a = 4 cos a − 3 cos a

  Penyelesaian ₃

  cos 3 a = 4 cos a − 3 cos a ₃

  2 a a 4 cos a 3 cos a

  ( ) = − ₃

• cos

  cos 2 a cos a − sin _{2 2} 2 a sin a = 4 cos a − 3 cos a ₃ cos a − sin a cos a − 2 sin a cos a sin a = 4 cos a − 3 cos a

  ( ) ( ) _{3 2 2 3}

  cos a sin a cos a 2 sin a cos a 4 cos a 3 cos a − − = −

  ( ) ( ) _{3 2 3}

  cos a − ₃ 3 sin a cos a = ₂ 4 cos a − ₃ 3 cos a cos a − 3 1 − cos a cos a = 4 cos a − 3 cos a ₃ ( ) _{3 3} cos a 3 cos a cos a 4 cos a 3 cos a

  − − = − ₃ ( ) _{3 3 3} 3 cos a + cos a − 3 cos a = ₃ 4 cos a − 3 cos a 4 cos a − 3 cos a = 4 cos a − 3 cos a

  Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

  16 Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

  1

  a a a a a

  4. Jika

  4

  1

  2

  1 cos =

  a , tentukan nilai sin a Penyelesaian

  8

  15 sin

  8

  7 cos

  16

  16

  2 cos

  16

  − = − =

  2 cos

  1

  4

  1 2 cos

  1

  2

  1 cos 2 cos

  2

  1 2 cos cos

  2 ²

  = − =

  − =

  − = − =

  − = =

  = ⇔ =

  − = − =

  3. Jika

  54

  3

  1 tan = a tentukan cos 3a

  Penyelesaian

  10

  50

  9

  10

  5

  45

  54

  10

  9

  10

  5

  10

  − =

  3

  1 tan _{3 3} =

  3

  3 cos

  10

  4 3 cos

  4 cos 3 cos

  10

  9

  3

  3

  10

  4

  10 27 .

  10

  a a a a a a a a a

b. Aturan Setengah sudut

• ⇔ − =
• = ⇔ =

  1 sin 2 2 cos

  a a a a a a a a a a

  1 2 cos ^{2 2}

  2

  1 2 cos sin

  2

  1 sin sin

  2

  − = ⇔

  1

  2 cos

  2

  2

  1 sin

  2

  − = ⇔

  − = ⇔ =

  2 cos

  2

  − =

  − = ⇔

  1 tan 2 2 tan _{2 2}

  1 tan tan

  2

  2

  1 tan

  − −

  2

  1

  1 tan

  2

  ( ) a

a

a a a a

  ⇔ − = dan dari uraian tan 2a

  1

  2 2 cos ^{2 2}

  a a a a a a a a a a

  1

  1 cos

  1 15 cos 2 2 cos

  2 cos

  2 ) 15 (

  1 15 cos

  1 15 cos 2 30 cos

  2

  2 ^{2 2 2}

  3

  Penyelesaian

  2 ² − ^o

  1 15 cos

  5. Tentukan nilai dari

  16 Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

  2

  = − = − = −

  2 cos

  1 2 cos 1 cos

  2

  1 2 cos cos cos

  2

• = ⇔

  1 cos

  2

  2

  = −

  1

  2

  1 cos

  2

  2 1 cos

  Dari uraian sudut rangkap cos 2a dapat diturunkan aturan setengah sudut :

  o ^{o o o o} a a

• = ⇔

  16 Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd Contoh Soal

  2 cos

  2. Jika

  3

  2

  2

  1 sin = x tentukan tan x

  Penyelesaian

  5 4 tan

  9

  1 cos cos

  1

  9

  8

  1

  = _o

  9

  4

  2 cos

  1

  3

  2

  2 cos

  1

  2

  1 sin = = − =

  − =

  − =

  − =

  a a

  = = −

  1. Tentukan nilai dari ^o 5 , 22 sin

  2

  Penyelesaian ( )

  2

  2

  2

  1

  2

  2

  4

  1

  4

  2

  2

  2

  = −

  2

  2

  2 45 cos

  1

  45

  2

  1 sin 5 , 22 sin

  2 cos

  1

  2

  1 sin − =

  − = −

  = −

  x x x x x x x

a. Aturan kosinus

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a

  16 Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

Konversi Perkalian Penjumlah/Pengurangan

  Dari uraian jumlah dan selisih dua sudut cos (a + b) dan cos (a – b) kita dapat menurunkan aturan trigonometri yang lain

• = − − = + ₋ cos cos

  − − + − = − = − − +

• = − − = + ₊ cos cos

  2

  Penyelesaian

  1. Bentuk sederhana dari ^{o o} 20 sin 70 sin

  1 sin sin Contoh soal

  2

  1 cos cos cos cos

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a b a b a

b a b a b a

  − + + = • − − + − = • cos cos

  2

  Jadi diperoleh

  2

  − + + = = − + +

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a

  1 sin sin sin sin 2 cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos cos cos jika yang dieliminasi adalah sina sinb

  1 cos cos cos cos 2 cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos cos cos

  4 60 cos 90 cos

  2

  − − = − − =

  − − + − = − − + − =

  2. Hitunglah nilai ^{o o} 75 cos 15 cos

  4 Penyelesaian

  ( ) ( ) ( )

  1 cos cos =

  4 ) cos( ) cos(

  2

  1

  2 75 cos 15 cos

  4 75 cos 15 cos

  2 75 cos 15 cos

  4 )

  75 ) 15 cos(

  75 15 cos(

  1 sin sin =

  ) cos( ) cos(

  1

  2

  − + + = − + + =

  16 Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd ( )

  ( ) ( ) ( ) _{o o o} ^{o o o o o o o o o o o o o} b a b a b a

  50 cos

  2

  1 20 sin 70 sin 50 cos

  1 20 sin 70 sin 50 cos

  1 20 sin 70 sin

  90 cos

  2

  1 20 sin 70 sin

  )

  20 ) 70 cos(

  20 70 cos(

  2

  2

• =
• =

b. Aturan sinus

  Dari aturan jumlah dan selisih dua sudut pada aturan sinus jika kita eliminasi maka diperoleh :

  4

  1 75 cos 15 cos

  2

  o o ^{o o o o o o o o o o o o} b a b a b a

• = + ₊

  ( ) ) sin( ) sin(

• = + ₋

  2

  − = −

  − − + = = − − +

  b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a

  ) 2 ) sin( sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin sin(

  1 sin cos sin cos

  ( )

  ) sin( ) sin(

  2

  Jika yang dieliminasi adalah sin a cos b maka di peroleh :

  − = −

  b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a

  ) 2 ) sin( sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin sin(

  1 cos sin cos sin

  − + + = = − + +

  16 Sehingga aturan sinus untuk konversi perkalian ke penjumlahan/pengurangan

  1 a b a b a b sin cos = sin( ) sin( − ) + + •

  ( )

  2

  1 a b a b a b cos sin = sin( ) − sin( − ) + •

  ( )

  2 Contoh Soal: _{o o}

  1. Tentukan nilai dari sin 75 cos

  15 _{o o}

  1 75 cos 15 = sin(

  ( )

  75 + + sin 15 ) sin( 75 − 15 )

  2 _{o o}

  1 75 cos 15 = sin 90 sin + sin

  60

  ( )

  2 _{o o}

  1

  3 sin 75 cos

  15

  1 = +

  2

  2

  1

  2

• _{o o}

  3 sin 75 cos

  15 =

  2

  2

  2

• _{o o}

  3 sin 75 cos 15 =

  4

  1

• 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari ( + sin x 210 ) sin ( x − 210 ) =

  3 untuk

  2 ≤ x ≤ 360

  Penyelesaian

  1

• sin x 210 sin x − 210 =

  3

  ( ) ( )

  2

  1 sin

  a cos b sin( a b ) sin( a b )

  = ( − ) + +

  2

  1 sin x cos 210 sin( x 210 ) sin( x 210 ) = ( ) + + −

  2 sin(

• x 210 ) sin( x 210 )
• 2 sin x cos 210

  − =

  1 2 sin x cos 210

  3 =

  2 Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

• = + = = =
• =

  2

  1 cos

  2

  1

  2

  1 cos

  2

  1

  2

  1 sin

  1 sin

  2

  1 sin

  2

  1 cos

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  2

• − + − − + + = − + −

  1

cos

  2

  1 cos

  2

  1 cos 2 sin sin

  2

  1 sin

  2

  1 cos 2 cos cos

  2

  2

  1 sin 2 cos cos sin sin

  1 sin 2 cos cos

  2

  1

sin

  2

  − + = − • − + = + •

  − + − = − • − + = + •

  

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p

  − − + − − + + = − + − − − + = − dengan cara yang sama untuk sin a sinb, cos a sinb dan sin a cosb di peroleh aturan

  2 − = − + −

  1

  2

  1 cos

  1 sin

  }

  o

  , 330

  o

  = − Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah {210

  − = − =

  k x atau k x x atau x x x x

  2

  2

  Dari aturan ( ) ( ) ( ) b a b a b a − − + − = cos cos

  3

  1

  2

  3

  2

  1 sin 1 sin

  2

  . 360 330 360 . 210 210 330 sin sin sin sin

  16 Modul Matematika dasar 2 Disusun oleh Khairul Basari, S.Pd

  

Konversi Penjumlah/Pengurangan ke Perkalian

  2

  2

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  1 sin

  1 sin

  1 sin sin di peroleh di atas Jika

  2

  cos cos

  ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) q p q p q p q p q p q p q p q p q p

q p q p q p q p q p q p

b a b a b a

  1 maka

  2

  ( ) q p b − =

  1 dan

  2

  ( ) q p a

  1 sin 2 sin sin