Dimensi tiga proyeksi sudut

Dimensi Tiga

  ( Sudut

  ) NEXT

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat

  Menentukan proyeksi dan besar sudut dalam ruang dimensi tiga

Proyeksi Pada Bangun Ruang:

  proyeksi titik pada garis proyeksi titik pada bidang proyeksi garis pada bidang Proyeksi titik pada garis

  Dari titik P ditarik garis m garis k garis m memotong k di Q, titik Q adalah hasil proyeksi titik P pada k

  P Q k m

  Contoh H G

  Diketahui

  E F

  kubus ABCD.EFGH Tentukan proyeksi titik A pada garis

  D T C

  a. BC b.BD

  A B

  c. ET (T perpotongan AC dan BD).

  Pembahasan

  Proyeksi titik A pada

  H G E F

  a. BC adalah titik B

  (AB  BC) A’ D

  T

  b. BD adalah titik

  T C A B (AC  BD)

  c. ET adalah titik

  A’ (AC  ET)

  

Proyeksi Titik pada Bidang

  Dari titik P

  P

  di luar bidang H ditarik garis g  H.

  Garis g menembus

  g bidang H di titik P’.

  Titik P’ adalah

  H P’

  proyeksi titik P di bidang H

  Contoh H G

  Diketahui kubus

  E F

  ABCD.EFGH

  a. Proyeksi titik E pada bidang ABCD

  D C A adalah…. B

  b. Proyeksi titik C pada bidang BDG adalah….

  Pembahasan

  a. Proyeksi titik E

  H G E

  pada bidang ABCD

  F

  adalah A

  P (EA  ABCD)

  D C

  b. Proyeksi titik C

  A B

  pada bidang BDG P adalah Proyeksi garis pada bidang Proyeksi sebuah garis

  A

  ke sebuah bidang

  B g

  dapat diperoleh dengan memproyek- sikan titik-titik yang terletak pada garis itu

  A’ g’ H ke bidang. B’

  Jadi proyeksi garis g pada bidang H adalah g’

  

Fakta-fakta

  1. Proyeksi garis pada bidang umumnya berupa garis

  2. Jika garis h

  

  maka

  proyeksi garis h pada bidang  berupa titik.

  3. Jika garis g // bidang  maka

   g’

  yaitu proyeksi garis g pada dan sejajar garis g

  Contoh 1 H G

  Diketahui kubus

  E F

  ABCD.EFGH

  a. Proyeksi garis EF pada bidang ABCD

  D C A adalah…. B

  b. Jika panjang rusuk kubus 6 cm, Panjang proyeksi garis CG pada bidang BDG adalah….

  Pembahasan H G

  a. Proyeksi garis EF

  E F

  pada bidang ABCD berarti menentukan

  D

  proyeksi titik E dan F

  C A B

  pada bidang ABCD, yaitu titik A dan B Jadi proyeksi EF pada ABCD adalah garis AB

  Pembahasan

  b. Proyeksi garis CG

  H G

  pada bidang BDG

  E F

  berarti menentukan

  P

  proyeksi titik C dan titik G

  D C A

  pada bidang BDG,

  B 6 cm

  yaitu titik P dan G Jadi proyeksi CG pada BDG adalah garis PG dan panjangnya?

  H G

• Panjang proyeksi CG

  E F pada BDG adalah panjang garis PG .

  P D C R

• PG = ⅔.GR

  A B 6 cm

  = ⅔.½a√6 = ⅓a√6 = ⅓.6√6

• Jadi panjang proyeksi garis CG pada bidang BDG adalah 2√6 cm

  Contoh 2

  Diketahui limas

  T

  beraturanT.ABCD dengan panjang AB

  m c

  = 16 cm, TA = 18 cm

  Panjang proyeksi TA

  C 16 cm A

  pada bidang ABCD

  B adalah….

  Pembahasan

  Proyeksi TA

  T

  pada bidang ABCD adalah AT’.

  m c

  Panjang AT’= ½AC

  = ½.16√2

  T’ 16 cm A B

  = 8√2 Jadi panjang proyeksi TA pada bidang ABCD adalah 8√2 cm

Sudut Pada Bangun Ruang:

   Sudut antara Dua Garis

  Yang dimaksud dengan

  m besar sudut antara

  dua garis adalah

  k

  besar sudut terkecil yang dibentuk oleh kedua garis tersebut

  Contoh

  Diketahui kubus ABCD.EFGH

  H G

  Besar sudut antara

  E F

  garis-garis:

  a. AB dengan BG

  D C

  b. AH dengan AF

  A B

  Pembahasan

  Besar sudut antara garis-garis:

  H G

  a. AB dengan BG

  E F

  = 90

  b. AH dengan AF

  D C

  = 60 (∆ AFH sss)

  A B BACK

  Sudut antara Garis dan Bidang P

  Sudut antara garis a dan bidang  dilambangkan (a,) adalah sudut antara

  Q

  V garis a dan

  P’ proyeksinya pada .

  Sudut antara garis PQ dengan V = sudut antara PQ dengan P’Q =

   PQP’

  Contoh 1

  Diketahui kubus ABCD.EFGH panjang rusuk 6 cm.

  Gambarlah sudut antara garis BG dengan ACGE,

  A B C D H E F G 6 cm

  Kemudian hitunglah besar sudutnya!

  Pembahasan H G

  Proyeksi garis BG

  E F

  pada bidang ACGE adalah garis KG

  (K = titik potong D C K A

  AC dan BD) _{6 cm} B

  Jadi (BG,ACGE) = (BG,KG) = BGK

  Pembahasan H G

  BG = 6√2 cm

  E F

  BK = ½BD = ½.6√2 = 3√2 cm

  D C K

  ∆BKG siku-siku di K

  A _{6 cm} B BK _

  3

  2 _

  1

  sinBGK =

  BG

  2

  6

  2 Jadi, besar BGK = 30 Contoh 2 H G

  Diketahui

  E F

  kubus ABCD.EFGH panjang rusuk 8 cm.

  D C A _{8 cm} B

  Nilai tangens sudut antara garis CG dan bidang AFH adalah….

  Pembahasan H P G

  tan(CG,AFH)

  E F

  = tan (PQ,AP) = tan APQ ₁ AC

  AQ ₂ D C _

  =

  PQ GC Q A _{8 cm} B ₁ .

  8

  2 _{2 }

  4

  2

  =

  8

  8 Nilai tangens sudut antara garis CG

  dan bidang AFH adalah ½√2 _BACK

  Contoh 3

  Pada limas segiempat beraturan T.ABCD yang semua rusuknya sama panjang, sudut antara TA dan bidang ABCD adalah….

  T A B C D _{a cm} ^{a cm}

  Pembahasan T _{a cm} • TA = TB = a cm

  (diagonal

• AC = a√2

   persegi)

  C _{a cm} ∆TAC = ∆ siku-siku A B

• D

  samakaki sudut antara TA dan bidang ABCD adalah sudut antara TA dan AC yang besarnya 45 _BACK Sudut antara Bidang dan Bidang

  Sudut antara bidang  dan bidang  adalah sudut antara garis g dan h, dimana

  g  (,) dan h  (,).

  (,) garis potong bidang  dan  ^{ } (,) g h

  Contoh 1 H G

  Diketahui kubus

  E F

  ABCD.EFGH

  a. Gambarlah sudut antara bidang BDG

  D C A

  dengan ABCD

  B

  b. Tentukan nilai sinus sudut antara BDG dan ABCD!

  Pembahasan

  a. (BDG,ABCD)

  H G

• garis potong BDG

  E F

  dan ABCD  BD

• garis pada ABCD yang  BD  AC

  D C

• garis pada BDG

  A P B

  yang  BD  GP Jadi (BDG,ABCD) = (GP,PC) =GPC

  Pembahasan

  b. sin(BDG,ABCD)

  H G

  = sin GPC

  E F GC

  =

  GP a

  6

  6 ₁ x _{ 1}

  =

  .6 a

  6 ₂

  6 ₂ D C A

  = ⅓√6

  P B

  Jadi, sin(BDG,ABCD) = ⅓√6

  Contoh 2 T

  Limas beraturan

  9 c

  T.ABC, panjang

  m

  rusuk alas 6 cm dan panjang rusuk tegak

  A C m

  9 cm. Nilai sinus sudut

  6 c B

  antara bidang TAB dengan bidang ABC adalah….

  Pembahasan T

• sin(TAB,ABC)

  9 c

  = sin(TP,PC)

  m

  = sinTPC

• TC = 9 cm, BP = 3 cm

  A C _{2 2} m P

  3 3 6 

• PC =

  6 c 3 3 cm

  B 27 

  = _{2 2}

  3 9 

• PT =

  6 3 cm 72 

  =

• Lihat ∆ TPC PT = 6√2, PC = 3√3

  T

Aturan cosinus

_{2 2 2} TC = TP + PC

• – 2TP.TC.cosTPC

  9 c m 81 = 72 + 27 – 2.6√2.3√3.cosTPC

  2 6√ 36√6.cosTPC = 99 – 81

  A

  1 3√3 P

  36√6.cosTPC = 18 _{1 x 6} B cosTPC = _{2 6 6}

  6 = ₁₂

• Lihat ∆ TPC
₆

  cosP = ₁₂ Maka diperoleh

  12 144 -

  6 ₁₃₈ Sin P =

  138 ₁₂  P √6

  Jadi sinus (TAB,ABC) ₁₃₈ = ₁₂ BACK

  Contoh 3 _{4 cm} Diketahui kubus H G

  ABCD.EFGH, pan-

  E F

  jang rusuk 4 cm Titik P dan Q berturut-turut

  D C Q

  di tengah-tengah

  A B P AB dan AD.

  Sudut antara bidang FHQP dan bi- dang AFH adalah . Nilai cos =…

  Pembahasan _{4 cm} • (FHQP,AFH) H G K

  = (KL,KA)

  E F _ = AKL = 

• AK = ½a√6 = 2√6
• AL = LM = ¼ AC

  D C Q L M = ¼a√2 = √2

  A B _{2 2} P ML KM 

• KL =
₂

  4

  2

  18  

  = =3√2 Pembahasan

• AK = 2√6 , AL = √2

  K

  KL = 3√2

  Aturan Cosinus: _{2 2 2} AL = AK + KL _

• – 2AK.KLcos 2 = 24 + 18 – 2.2√6.3√2.cos 24√3.cos = 42 – 2 24√3.cos = 40

  M

  5 L A

  3 cos = _{5 3}

  9 Jadi nilai cos = ₉