Matematika2 w12 GM Matematika2 w12 GM
MATEMATIKA 2.
12.HÉT
K ETTŐS INTEGRÁLÁS POLÁRKOORDINÁTÁKKAL
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
K ETTŐS INTEGRÁLÁS
POLÁRKOORDINÁTÁKKAL 15.3
12. HÉT
2 / 22
K ETTŐS INTEGRÁLÁS POLÁRKOORDINÁTÁKKAL
A területelem polár koordinátákkal:
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
K ETTŐS INTEGRÁLÁS
POLÁRKOORDINÁTÁKKAL 15.3
12. HÉT
3 / 22
K ETTŐS INTEGRÁLÁS POLÁRKOORDINÁTÁKKAL
A területelem polár koordinátákkal:
2
2
∆r
∆r
1
1
rk +
rk −
∆θ −
∆θ
∆Ak =
2
2
2
2
∆θ
=
(2rk ∆r )
2
= rk ∆r ∆θ
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
K ETTŐS INTEGRÁLÁS
POLÁRKOORDINÁTÁKKAL 15.3
12. HÉT
4 / 22
K ETTŐS INTEGRÁLÁS POLÁRKOORDINÁTÁKKAL
ZZ
f (r , θ)dA = lim
n→∞
T
= lim
n→∞
=
ZZ
∞
X
f (rk , θk )∆Ak
k =1
∞
X
f (rk , θk )rk ∆r ∆θ
k =1
f (r , θ) r drdθ
T
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
K ETTŐS INTEGRÁLÁS
POLÁRKOORDINÁTÁKKAL 15.3
12. HÉT
5 / 22
P ÉLDÁK
Rajzoljuk fel az integrálási tartományt:
Z 4 Z 3π/2
1
f (r , θ)r dθdr
3π/4
0
2
Z
π/2 Z 2/ sin θ
π/4
0
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
f (r , θ)r drdθ
K ETTŐS INTEGRÁLÁS
POLÁRKOORDINÁTÁKKAL 15.3
12. HÉT
6 / 22
P ÉLDÁK
1
Számítsuk ki
1
(x 2 + y 2 )3/2
f (x, y ) =
2
integrálját R felett.
ZZ
2
2
e−x −y dA integrált, ahol D
Számítsuk ki az
2
2
D
az x + y ≤ 4 körlap.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
K ETTŐS INTEGRÁLÁS
POLÁRKOORDINÁTÁKKAL 15.3
12. HÉT
7 / 22
P ÉLDA
Számítsuk ki annak a testnek a térfogatát, melyet
alulról a z = 0 sík, felülről a z = x 2 + y 2 paraboloid
határol, és benne van az x 2 + y 2 = 2x hengerben.
z
x
y
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
K ETTŐS INTEGRÁLÁS
POLÁRKOORDINÁTÁKKAL 15.3
12. HÉT
8 / 22
P ÉLDA
Számítsuk ki annak a testnek a térfogatát, melyet
felülről a z = 1 − x 2 − y 2 paraboloid és a z = 0 sík
határol.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
K ETTŐS INTEGRÁLÁS
POLÁRKOORDINÁTÁKKAL 15.3
12. HÉT
9 / 22
P ÉLDA
Számítsuk ki a pirossal jelölt ”levél” területét, mely
π
r = cos 2θ, −π
4 ≤ θ ≤ 4 egyenlettel adott.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
K ETTŐS INTEGRÁLÁS
POLÁRKOORDINÁTÁKKAL 15.3
12. HÉT
10 / 22
H ÁRMAS INTEGRÁL
Egy folytonos háromváltozós függvénynek a
háromváltozós tér egy korlátos zárt tartományán vett
integrálját hasonló értelmezzük, mint ahogy egy
kétváltozós függvényz integrálunk a sík egy
tartománya felett.
Ha az értelmezési tartomány egy téglatest, akkor
kisebb téglatestekre daraboljuk, így képezzük a
Riemann-féle közelítő összeget:
Sn =
n
X
f (xk , yk , zk )∆Vk .
k =1
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
H ÁRMAS INTEGRÁL
12. HÉT
11 / 22
H ÁRMAS INTEGRÁL
ZZZ
f (x, y , z) dV = lim
n→∞
T
Alternatív jelölés:
Z
n
X
f (xk , yk , zk )∆Vk
k =1
f dV
T
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
H ÁRMAS INTEGRÁL
12. HÉT
12 / 22
I TERÁLT INTEGRÁL
Ha f (x, y , z) folytonos a
T : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, p ≤ z ≤ q korlátos, zárt
téglatest-tartományon, akkor
Z
f (x, y , z) dV =
T
Z
q
p
Z
d
c
Z
b
f (x, y , z) dx
a
!
dy
!
dz
Az integrálást más sorrendben is elvégezhetjük.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
H ÁRMAS INTEGRÁL
12. HÉT
13 / 22
S ZUKCESSZÍV INTEGRÁLÁS
Az integrálási tartomány D lehet két felület közötti
rész. Ekkor
A legbelső integrál határai a két felülethez
tartoznak. A legbelső integrál határai
tartalmazhatják a két külső integrálási változót.
A középső és kölső integrál azt adja meg, hogy
D-nek az xy -síkra vetített árnyékán integrálunk.
A középső integrál határai csak legfeljebb a külső
integrálási változót tartalmazhatja.
A legkülső integrál határai konstansok.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
H ÁRMAS INTEGRÁL
12. HÉT
14 / 22
P ÉLDÁK
Mely tartomány felett integrálunk?
Z 1 Z 1 Z √1−x 2
1
f (x, y , z) dzdxdy
0
2
3
Z
Z
0
0
0
−1
1Z 1
Z
√
−1 0
√
1 Z 1−z 2
1−z 2
√
− 1−z 2
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
f (x, y , z) dydzdx
Z
√
0
1−x 2 −z 2
f (x, y , z) dydxdz
H ÁRMAS INTEGRÁL
12. HÉT
15 / 22
H ÁRMAS INTEGRÁL
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
H ÁRMAS INTEGRÁL
12. HÉT
16 / 22
A LKALMAZÁSOK : TÉRFOGAT, ÁTLAG
A tér egy korlátos,
RRR zárt T tartományának a
térfogata: V =
dV .
T
1
Az f átlagértéke T -n:
T térfogata
ZZZ
f dV .
T
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
A LKALMAZÁSOK
12. HÉT
17 / 22
P ÉLDA
Számítsuk ki annak a
piramisnak
a
térfogatát, melynek alapja a
z = 0 sík, az oldalai
pedig y = 0, y − x = 4
és
2x + y + z = 10.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
A LKALMAZÁSOK
12. HÉT
18 / 22
A LKALMAZÁSOK : TÖMEG , TÖMEGKÖZÉPPONT
Tömeg: M =
sűrűség.
ZZZ
δ dV , ahol δ(x, y , z) a
D
Statikai nyomatékok: Myz =
Mxz =
Mxy =
ZZZ
ZZZ D
Z Z ZD
xδ dV
y δ dV
zδ dV
D
Tömegközéppont: x̄ =
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
Myz
M ,
A LKALMAZÁSOK
ȳ =
Mxz
M ,
z̄ =
Mxy
M
12. HÉT
19 / 22
P ÉLDA
Számítsuk ki annak a piramisnak a tömegét, melynek alapja a z = −6 sík, az
oldalai pedig y = 0, y −x =
4 és 2x + y + x = 4, ha
a sűrűsége δ(x, y , z) = y .
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
A LKALMAZÁSOK
12. HÉT
20 / 22
F ELADATOK
Thomas-féle Kalkulus 15.3–15.5
15.3/ 1–10, 19, 33
15.4/ 7–15, 21, 22, 24–27, 37
15.5/ 13, 14, 15ab
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
12. HÉT
21 / 22
KÖSZÖNÖM A
FIGYELMET!
12.HÉT
K ETTŐS INTEGRÁLÁS POLÁRKOORDINÁTÁKKAL
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
K ETTŐS INTEGRÁLÁS
POLÁRKOORDINÁTÁKKAL 15.3
12. HÉT
2 / 22
K ETTŐS INTEGRÁLÁS POLÁRKOORDINÁTÁKKAL
A területelem polár koordinátákkal:
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
K ETTŐS INTEGRÁLÁS
POLÁRKOORDINÁTÁKKAL 15.3
12. HÉT
3 / 22
K ETTŐS INTEGRÁLÁS POLÁRKOORDINÁTÁKKAL
A területelem polár koordinátákkal:
2
2
∆r
∆r
1
1
rk +
rk −
∆θ −
∆θ
∆Ak =
2
2
2
2
∆θ
=
(2rk ∆r )
2
= rk ∆r ∆θ
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
K ETTŐS INTEGRÁLÁS
POLÁRKOORDINÁTÁKKAL 15.3
12. HÉT
4 / 22
K ETTŐS INTEGRÁLÁS POLÁRKOORDINÁTÁKKAL
ZZ
f (r , θ)dA = lim
n→∞
T
= lim
n→∞
=
ZZ
∞
X
f (rk , θk )∆Ak
k =1
∞
X
f (rk , θk )rk ∆r ∆θ
k =1
f (r , θ) r drdθ
T
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
K ETTŐS INTEGRÁLÁS
POLÁRKOORDINÁTÁKKAL 15.3
12. HÉT
5 / 22
P ÉLDÁK
Rajzoljuk fel az integrálási tartományt:
Z 4 Z 3π/2
1
f (r , θ)r dθdr
3π/4
0
2
Z
π/2 Z 2/ sin θ
π/4
0
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
f (r , θ)r drdθ
K ETTŐS INTEGRÁLÁS
POLÁRKOORDINÁTÁKKAL 15.3
12. HÉT
6 / 22
P ÉLDÁK
1
Számítsuk ki
1
(x 2 + y 2 )3/2
f (x, y ) =
2
integrálját R felett.
ZZ
2
2
e−x −y dA integrált, ahol D
Számítsuk ki az
2
2
D
az x + y ≤ 4 körlap.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
K ETTŐS INTEGRÁLÁS
POLÁRKOORDINÁTÁKKAL 15.3
12. HÉT
7 / 22
P ÉLDA
Számítsuk ki annak a testnek a térfogatát, melyet
alulról a z = 0 sík, felülről a z = x 2 + y 2 paraboloid
határol, és benne van az x 2 + y 2 = 2x hengerben.
z
x
y
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
K ETTŐS INTEGRÁLÁS
POLÁRKOORDINÁTÁKKAL 15.3
12. HÉT
8 / 22
P ÉLDA
Számítsuk ki annak a testnek a térfogatát, melyet
felülről a z = 1 − x 2 − y 2 paraboloid és a z = 0 sík
határol.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
K ETTŐS INTEGRÁLÁS
POLÁRKOORDINÁTÁKKAL 15.3
12. HÉT
9 / 22
P ÉLDA
Számítsuk ki a pirossal jelölt ”levél” területét, mely
π
r = cos 2θ, −π
4 ≤ θ ≤ 4 egyenlettel adott.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
K ETTŐS INTEGRÁLÁS
POLÁRKOORDINÁTÁKKAL 15.3
12. HÉT
10 / 22
H ÁRMAS INTEGRÁL
Egy folytonos háromváltozós függvénynek a
háromváltozós tér egy korlátos zárt tartományán vett
integrálját hasonló értelmezzük, mint ahogy egy
kétváltozós függvényz integrálunk a sík egy
tartománya felett.
Ha az értelmezési tartomány egy téglatest, akkor
kisebb téglatestekre daraboljuk, így képezzük a
Riemann-féle közelítő összeget:
Sn =
n
X
f (xk , yk , zk )∆Vk .
k =1
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
H ÁRMAS INTEGRÁL
12. HÉT
11 / 22
H ÁRMAS INTEGRÁL
ZZZ
f (x, y , z) dV = lim
n→∞
T
Alternatív jelölés:
Z
n
X
f (xk , yk , zk )∆Vk
k =1
f dV
T
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
H ÁRMAS INTEGRÁL
12. HÉT
12 / 22
I TERÁLT INTEGRÁL
Ha f (x, y , z) folytonos a
T : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, p ≤ z ≤ q korlátos, zárt
téglatest-tartományon, akkor
Z
f (x, y , z) dV =
T
Z
q
p
Z
d
c
Z
b
f (x, y , z) dx
a
!
dy
!
dz
Az integrálást más sorrendben is elvégezhetjük.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
H ÁRMAS INTEGRÁL
12. HÉT
13 / 22
S ZUKCESSZÍV INTEGRÁLÁS
Az integrálási tartomány D lehet két felület közötti
rész. Ekkor
A legbelső integrál határai a két felülethez
tartoznak. A legbelső integrál határai
tartalmazhatják a két külső integrálási változót.
A középső és kölső integrál azt adja meg, hogy
D-nek az xy -síkra vetített árnyékán integrálunk.
A középső integrál határai csak legfeljebb a külső
integrálási változót tartalmazhatja.
A legkülső integrál határai konstansok.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
H ÁRMAS INTEGRÁL
12. HÉT
14 / 22
P ÉLDÁK
Mely tartomány felett integrálunk?
Z 1 Z 1 Z √1−x 2
1
f (x, y , z) dzdxdy
0
2
3
Z
Z
0
0
0
−1
1Z 1
Z
√
−1 0
√
1 Z 1−z 2
1−z 2
√
− 1−z 2
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
f (x, y , z) dydzdx
Z
√
0
1−x 2 −z 2
f (x, y , z) dydxdz
H ÁRMAS INTEGRÁL
12. HÉT
15 / 22
H ÁRMAS INTEGRÁL
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
H ÁRMAS INTEGRÁL
12. HÉT
16 / 22
A LKALMAZÁSOK : TÉRFOGAT, ÁTLAG
A tér egy korlátos,
RRR zárt T tartományának a
térfogata: V =
dV .
T
1
Az f átlagértéke T -n:
T térfogata
ZZZ
f dV .
T
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
A LKALMAZÁSOK
12. HÉT
17 / 22
P ÉLDA
Számítsuk ki annak a
piramisnak
a
térfogatát, melynek alapja a
z = 0 sík, az oldalai
pedig y = 0, y − x = 4
és
2x + y + z = 10.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
A LKALMAZÁSOK
12. HÉT
18 / 22
A LKALMAZÁSOK : TÖMEG , TÖMEGKÖZÉPPONT
Tömeg: M =
sűrűség.
ZZZ
δ dV , ahol δ(x, y , z) a
D
Statikai nyomatékok: Myz =
Mxz =
Mxy =
ZZZ
ZZZ D
Z Z ZD
xδ dV
y δ dV
zδ dV
D
Tömegközéppont: x̄ =
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
Myz
M ,
A LKALMAZÁSOK
ȳ =
Mxz
M ,
z̄ =
Mxy
M
12. HÉT
19 / 22
P ÉLDA
Számítsuk ki annak a piramisnak a tömegét, melynek alapja a z = −6 sík, az
oldalai pedig y = 0, y −x =
4 és 2x + y + x = 4, ha
a sűrűsége δ(x, y , z) = y .
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
A LKALMAZÁSOK
12. HÉT
20 / 22
F ELADATOK
Thomas-féle Kalkulus 15.3–15.5
15.3/ 1–10, 19, 33
15.4/ 7–15, 21, 22, 24–27, 37
15.5/ 13, 14, 15ab
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.3–15.5
12. HÉT
21 / 22
KÖSZÖNÖM A
FIGYELMET!