ARTIKEL Kornelius Ronald Demu M0113025 1
MODEL REGRESI NONPARAMETRIK SPLINE TRUNCATED
PADA DATA INDEKS PEMBANGUNAN MANUSIA (IPM)
DI INDONESIA
Kornelius Ronald Demu, Dewi Retno Sari Saputro, Purnami Widyaningsih
Program Studi Matematika FMIPA UNS
Abstrak. Standar ukur pembangunan manusia di suatu negara ditetapkan dalam Indeks
Pembangunan Manusia (IPM). Beberapa faktor diduga memengaruhi IPM di Indonesia,
yaitu angka harapan hidup, PDRB, jumlah penduduk miskin, dan persentase penduduk
buta huruf. Pengaruh faktor-faktor tersebut terhadap IPM di Indonesia dapat diketahui
melalui model regresi. Apabila data IPM dan faktor-faktor tersebut diplotkan maka menunjukkan pola data yang bersifat tidak mengikuti pola tertentu, sehingga data IPM di
Indonesia dapat diterapkan pada model regresi nonparametrik spline truncated. Model
regresi nonparametrik spline truncated terbaik dipengaruhi oleh pemilihan orde dan titik
knot optimal. Dalam artikel ini diterapkan model regresi nonparametrik spline truncated
orde satu dengan 3,4, dan 5 titik knot pada data IPM di Indonesia. Berdasarkan penelitian, diperoleh kombinasi titik knot optimal 5-5-5-4 dengan angka harapan hidup dan
persentase penduduk buta huruf yang memengaruhi IPM di Indonesia.
Kata Kunci: IPM, model regresi nonparametrik, spline truncated, titik knot optimal.
1. Pendahuluan
Indeks Pembangunan Manusia (IPM) merupakan standar ukur pembangunan
manusia di suatu negara dengan mempertimbangkan aspek kesehatan, pendidikan,
dan kelayakan hidup. Dalam beberapa tahun terakhir, IPM di Indonesia menunjukkan peningkatan. Berdasarkan data BPS [2], pada tahun 2013, IPM di Indonesia
68.1%, kemudian dalam kurun waktu dua tahun berturut-turut meningkat menjadi
68.4% dan 68.6%. Faktor-faktor yang diduga memengaruhi IPM yaitu, angka harapan hidup, produk domestik regional bruto (PDRB), jumlah penduduk miskin,
dan persentase penduduk buta huruf (UNDP [9]). Pengaruh faktor-faktor tersebut terhadap IPM dapat diketahui melalui model regresi. Apabila data IPM dan
faktor-faktor tersebut diplotkan, maka menunjukkan pola data yang bersifat tidak
mengikuti pola tertentu. Pendekatan model regresi yang digunakan pada pola data
tersebut adalah model regresi nonparametrik (Eubank [5]).
Menurut Hardle [7], metode yang dapat digunakan pada model regresi nonparametrik yaitu spline. Metode spline memiliki fleksibilitas dalam mengatasi pola
data yang bersifat tidak mengikuti pola tertentu. Spline merupakan potongan fungsi polinomial yang memiliki sifat tersegmen. Spline truncated merupakan modifikasi
fungsi spline. Metode spline truncated dilakukan menggunakan titik knot (Budiantara [3]). Titik knot merupakan titik terjadinya perubahan perilaku pola data
pada subinterval tertentu. Model regresi nonparametrik spline truncated terbaik
1
Model Regresi Nonparametrik Spline Truncated . . .
K. R. Demu, D. R. S. Saputro, P. Widyaningsih
diperoleh berdasarkan titik knot optimal (Budiantara [3]). Titik knot optimal diperoleh berdasarkan nilai generalized cross validation (GCV) minimum (Wahba [10]).
Menurut Lee [8], estimasi parameter model regresi nonparametrik spline truncated
menggunakan metode kuadrat terkecil (MKT). Penelitian ini bertujuan untuk menerapkan model regresi nonparametrik spline truncated pada data IPM di Indonesia
dan menentukan faktor yang memengaruhi IPM di Indonesia.
2. Model Regresi Nonparametrik Spline Truncated
Model regresi nonparametrik spline truncated merupakan model regresi pendekatan nonparametrik dengan fungsi regresi yang berbentuk polinomial spline truncated (Budiantara [3]). Menurut Hardle [7], polinomial spline truncated berorde m
dengan titik knot (K1 , K2 , ..., Kr ) didefinisikan sebagai
j
r
m
f (xi ) = β0 + Σsl=1 Σm
j=1 βj xli + Σk=1 βj+k (xli − Kkl )+
dengan
(xli −
Kkl )m
+
=
{
(xli − Kkl )m , xli ≥ Kkl ;
0,
xli < Kkl .
β0 adalah intersep, βj adalah parameter model, j = 1, 2, . . . , m, βj+k adalah parameter model pada orde ke-j dan titik knot ke-k, k = 1, 2, . . . , r, r adalah banyaknya
titik knot, Kkl adalah titik knot ke-k pada variabel prediktor ke-l, l = 1, 2, . . . , s,
dan xli adalah nilai variabel prediktor ke-l pada pengamatan ke-i, i = 1, 2, . . . , n.
3. Pemilihan Titik Knot Optimal
Model regresi nonparametrik spline truncated terbaik diperoleh berdasarkan
titik knot optimal. Menurut Wahba [10], titik knot optimal diperoleh berdasarkan
nilai GCV minimum. Rumus GCV dituliskan sebagai
GCV (K1 , K2 , ..., Kr ) =
M SE(K1 , K2 , ..., Kr )
(n−1 trace[I − A(K1 , K2 , ..., Kr )])2
dengan M SE(K1 , K2 , ..., Kr ) = n−1 Σni=1 (yi − f (xi ))2 dan A(K1 , K2 , ..., Kr ) meru′
−1
′
pakan matriks yang diperoleh dari rumus XK (XK XK ) XK .
4. Metode Penelitian
4.1. Data Penelitian. Penelitian ini merupakan penelitian terapan yaitu menerapkan data IPM untuk 34 provinsi di Indonesia menggunakan model regresi nonparametrik spline truncated. Data yang digunakan adalah data sekunder dari BPS
[2] meliputi IPM masing-masing provinsi di Indonesia pada tahun 2015 (Y ), angka
2
2017
Model Regresi Nonparametrik Spline Truncated . . .
K. R. Demu, D. R. S. Saputro, P. Widyaningsih
harapan hidup menurut provinsi (X1 ), PDRB menurut pengeluaran tahunan provinsi (X2 ), jumlah penduduk miskin menurut provinsi (X3 ), dan persentase penduduk
buta huruf menurut provinsi (X4 ).
4.2. Langkah Penelitian. Langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini dimulai dari dibentuknya pola hubungan antara variabel respon dan masing-masing
variabel prediktor melalui scatter plot data. Kemudian ditentukan titik knot optimal pada masing-masing variabel prediktor. Selanjutnya ditentukan model regresi
nonparametrik spline truncated terbaik berdasarkan titik knot optimal. Setelah itu
dilakukan estimasi parameter model dengan MKT. Tahapan terakhir penelitian ini
adalah dilakukannya uji signifikansi parameter, uji asumsi sisaan dan ditentukan koefisien determinasi (R2 ) pada model regresi nonparametrik spline truncated terbaik.
5. Hasil dan Pembahasan
5.1. Pola Hubungan Variabel Respon dan Variabel Prediktor. Pemilihan
model regresi pendekatan nonparametrik dalam memodelkan data IPM di Indonesia
disebabkan oleh pola hubungan Y dengan masing-masing X1 ,X2 ,X3 , dan X4 bersifat
tidak mengikuti pola tertentu. Dua pola hubungan Y dengan masing-masing X1 dan
X2 ditunjukkan pada Gambar 1(a) dan 1(b).
Gambar 1. Dua pola hubungan (a) Y dan X1 , (b)Y dan X2
Berdasarkan Gambar 1(a) dan 1(b), nampak bahwa dua pola hubungan Y dengan masing-masing X1 dan X2 bersifat tidak mengikuti pola tertentu. Sama halnya
dengan pola hubungan Y dengan masing-masing X3 dan X4 , sehingga pendekatan
model regresi yang digunakan adalah model regresi nonparametrik. Spline truncated
merupakan metode dalam model regresi nonparametrik yang baik digunakan apabila
pola hubungan Y dan X bersifat tidak mengikuti pola tertentu (Eubank [5]).
3
2017
Model Regresi Nonparametrik Spline Truncated . . .
K. R. Demu, D. R. S. Saputro, P. Widyaningsih
5.2. Model Regresi Nonparametrik Spline Truncated . Titik knot optimal
sebagai indikator model regresi nonparametrik spline truncated terbaik diperoleh
melalui nilai GCV minimum. Nilai GCV minimum dipengaruhi oleh pemilihan
orde (m) dan banyaknya titik knot (r). Berdasarkan penelitian, dipilih orde satu. Banyaknya titik knot yang digunakan yaitu 3, 4, dan 5 titik knot. Titik knot
yang dipilih pada masing-masing variabel prediktor dimulai dari 3 karena pemilihan banyaknya titik knot < 3 bersifat tidak mewakili keseluruhan data. Sedangkan
untuk pemilihan banyaknya titik knot > 5 akan menghasilkan nilai GCV yang tidak
minimum. Setelah dipilih orde dan banyaknya titik knot, selanjutnya dilakukan perhitungan nilai GCV. Nilai GCV minimum berdasarkan banyaknya titik knot yang
digunakan pada masing-masing variabel prediktor ditunjukkan pada Tabel 1.
Tabel 1. Nilai GCV minimum berdasarkan banyaknya titik knot yang digunakan
No. r(X1 )-r(X2 )-r(X3 )-r(X4 ) GCV minimum
1
3-3-3-3
2
4-4-4-4
3
5-5-5-5
4
5-3-4-5, 5-5-5-4, etc.
8.3966
9.3048
9.9343
7.6307
Berdasarkan Tabel 1, nilai GCV minimum sebesar 7.6307 diperoleh dari kombinasi 5-5-5-4 titik knot yang merupakan titik knot optimal. Banyaknya titik knot
optimal pada variabel X1 , X2 , dan X3 sebanyak 5 titik knot, sedangkan banyaknya
titik knot optimal pada variabel X4 sebanyak 4 titik knot. Setelah diperoleh titik
knot optimal pada masing-masing variabel prediktor, dilakukan estimasi 24 parameter model dengan MKT. Hasil estimasi parameter model regresi nonparametrik
spline truncated dengan titik knot optimal ditunjukkan pada Tabel 2.
Tabel 2. Hasil estimasi parameter model
Parameter
Estimasi
Parameter
βˆ0
βˆ1
−150.029
βˆ8
βˆ9
3.45006
βˆ2
βˆ3
−18.1289
βˆ4
βˆ5
−20.0487
βˆ6
βˆ7
−18.646
30.1189
5.73218
−8.68926 × 10−5
βˆ10
βˆ11
βˆ12
βˆ13
βˆ14
βˆ15
Estimasi
2.17312 × 10
−4
−1.73979 × 10−4
8.90236 × 10
−5
−8.86224 × 10−5
4.30924 × 10−4
8.08703 × 10
−3
−3.57964 × 10
−2
3.65047 × 10−2
4
Parameter
Estimasi
βˆ16
βˆ17
−2.05421 × 10−2
βˆ18
βˆ19
2.29005 × 10−2
βˆ20
βˆ21
20.2997
βˆ22
βˆ23
0.003598
−19.6633
−0.58512
4.7376
−5.54316
2017
Model Regresi Nonparametrik Spline Truncated . . .
K. R. Demu, D. R. S. Saputro, P. Widyaningsih
Berdasarkan hasil estimasi parameter model pada Tabel 2, diperoleh model regresi
nonparametrik spline berikut.
yˆ = −150.029 + 3.45006x1 − 18.1289(x1 − 66.7) + 30.1189(x1 − 67.4) −
20.0487(x1 − 68.4) + 5.73218(x1 − 69.5) − 18.646(x1 − 72.5) −
8.6892610 × 10−5 x2 + 2.17312 × 10−4 (x2 − 80461.57) −
1.73979 × 10−4 (x2 − 141270.88) + 8.90236 × 10−5 (x2 − 252022.86) −
8.86224 × 10−5 (x2 − 450936.6) + 4.30924 × 10−4 (x2 − 1354102.11) +
8.08703 × 10−3 x3 − 3.57964 × 10−2 (x3 − 245.54) + 3.65047 × 10−2
(x3 − 495.56) − 2.05421 × 10−2 (x3 − 893.21) + 0.003598(x3 − 1005.68) +
2.29005 × 10−2 (x3 − 1608.14) − 19.6633x4 + 20.2997(x4 − 0.55) −
0.58512(x4 − 3.55) + 4.7376(x4 − 7.79) − 5.54316(x4 − 9.4)+.
Model regresi nonparametrik spline yang terbentuk dapat dituliskan kembali dalam bentuk model regresi nonparametrik spline truncated. Penulisan model regresi
nonparametrik spline truncated dilakukan berdasarkan interval titik knot optimal
pada masing-masing variabel prediktor. Berikut dituliskan model regresi nonparametrik spline truncated berdasarkan interval titik knot optimal pada X1 . Adapun
titik knot optimal pada variabel X1 yaitu 66.7, 67.4, 68.4, 69.5, dan 72.5.
−150.029 + 3.45006x1 ,
1059.168 − 14.67884x1 ,
−970.84 + 15.44x ,
1
yˆ =
400.49
−
4.6087x
1,
2.1 + 1.12348x1 ,
1359.35 − 17.5223x ,
1
x1 < 66.7;
66.7 ≤ x1 < 67.4;
67.4 ≤ x1 < 68.4;
68.4 ≤ x1 < 69.5;
69.5 ≤ x1 < 72.5;
x1 ≥ 72.5.
Model regresi nonparametrik spline truncated berdasarkan interval titik knot
optimal pada X2 , X3 , dan X4 dituliskan dengan cara yang sama. Titik knot optimal
pada variabel X2 yaitu 80461.57, 141270.88, 252022.86, 450936.6, dan 1354102.11.
Titik knot optimal pada variabel X3 yaitu 245.54, 495.56, 893.21, 1005.68, dan
1608.14. Titik knot optimal pada variabel X4 yaitu 0.55, 3.55, 7.79, dan 9.4.
5.3. Uji Signifikansi Parameter. Setelah didapatkan model regresi nonparametrik spline truncated berdasarkan interval titik knot optimal pada masing-masing
X1 , X2 , X3 , dan X4 , selanjutnya dilakukan uji signifikansi parameter. Uji signifikansi parameter bertujuan untuk mengetahui variabel prediktor yang berpengaruh
signifikan terhadap variabel respon (Gujarati [6]). Uji signifikansi parameter terdiri
atas uji keseluruhan dan uji parsial.
5
2017
Model Regresi Nonparametrik Spline Truncated . . .
K. R. Demu, D. R. S. Saputro, P. Widyaningsih
5.3.1. Uji Keseluruhan. Hipotesis yang digunakan adalah H0 : β1 = β2 = β3 =
. . . = β23 = 0 (seluruh parameter model β tidak berpengaruh signifikan terhadap
model regresi) dan H1 : paling tidak terdapat satu βh ̸= 0, h = 1, 2, 3, . . . , 23 (paling
tidak terdapat satu parameter model βh yang signifikan terhadap model regresi).
Taraf signifikansi α = 0.05. Kesimpulan H0 ditolak jika DK = {Fhitung |Fhitung >
F(α,h,n−h−1) = F0.05,23,10 = 2.75}. Statistik uji Fhitung = 8.6640. Karena 8.6640 ∈
DK, H0 ditolak yang berarti paling tidak terdapat satu parameter model βh yang
signifikan terhadap model regresi. Kemudian dilakukan uji parsial untuk mengetahui
parameter model yang signifikan terhadap model regresi secara individu.
5.3.2. Uji Parsial. Hipotesis yang digunakan adalah H0 : βh = 0, h = 1, 2, . . . , 23
(parameter model βh tidak signifikan terhadap model regresi) dan H1 : βh ̸= 0, h =
1, 2, . . . , 23 (parameter model βh signifikan terhadap model regresi). Taraf signifikansi α = 0.05. Kesimpulan H0 ditolak jika DK = {thitung |thitung > t(α/2,n−h) =
t0.025,11 = 2.20}. Berdasarkan nilai thitung , diperoleh parameter model yang signifikan dengan nilai thitung melebihi 2.20, masing-masing β1 = 38.76, β2 = 203.69,
β3 = 338.41, β4 = 225.27, β5 = 64.41, β6 = 209.51, β19 = 108.22, β20 = 111.27,
β21 = 3.22, β22 = 26.07 dan β23 = 30.5. Karena nilai thitung dari β1 , β2 , β3 , β4 , β5 ,
β6 , β19 , β20 , β21 , β22 , dan β23 ∈ DK, maka β1 , β2 , β3 , β4 , β5 , β6 , β19 , β20 , β21 , β22 ,
dan β23 merupakan parameter model yang signifikan terhadap model regresi. Hal
ini mengindikasikan angka harapan hidup (X1 ) dan persentase penduduk buta huruf
(X4 ) merupakan variabel yang berpengaruh signifikan terhadap IPM di Indonesia.
Setelah dilakukan uji signifikansi parameter pada model regresi nonparametrik
spline truncated yang terbentuk, selanjutnya dilakukan uji asumsi sisaan untuk
menguji kelayakan model regresi.
5.4. Uji Asumsi Sisaan. Uji asumsi sisaan bertujuan untuk menguji kelayakan
model regresi (Gujarati [6]). Uji asumsi sisaan meliputi 3 asumsi yang harus dipenuhi, yaitu asumsi kenormalan, independensi, dan heteroskedastisitas. Pengujian
asumsi kenormalan dilakukan menggunakan uji Kolmogorov Smirnov (Bintariningrum dan Budiantara [1]). Pengujian asumsi independensi dilakukan menggunakan
uji Durbin Watson (Gujarati [6]). Pengujian asumsi heteroskedastisitas dilakukan
menggunakan uji Glejser (Bintariningrum dan Budiantara [1]).
6
2017
Model Regresi Nonparametrik Spline Truncated . . .
K. R. Demu, D. R. S. Saputro, P. Widyaningsih
5.4.1. Uji Kolmogorov Smirnov . Hipotesis yang digunakan adalah H0 : sisaan berdis-
tribusi normal dan H1 : sisaan tidak berdistribusi normal. Taraf signifikansi yang
digunakan pada penelitian yaitu, α = 0.05. Kesimpulan pada uji Kolmogorov Smirnov yaitu, H0 ditolak jika DK = {KS|KS > q(1−α,n) = q(0.950,34) = 0.152}. Statistik
uji Kolmogorov Smirnov (KS) =0.076. Karena 0.076 ̸∈ DK, H0 tidak ditolak yang
berarti sisaan berdistribusi normal. Asumsi kenormalan dipenuhi.
5.4.2. Uji Durbin Watson. Hipotesis yang digunakan adalah H0 : tidak terdapat
autokorelasi pada sisaan dan H1 : terdapat autokorelasi pada sisaan. Taraf signifikansi yang digunakan pada penelitian yaitu, α = 0.05. Kesimpulan pada uji
Durbin Watson yaitu, H0 ditolak jika DK = {dhitung |dhitung < dl = 1.21 atau
4 − dhitung < du = 1.73}. Statistik uji dhitung = 1.43 dan 4 − dhitung = 2.57 . Karena statistik uji dhitung dan 4 − dhitung ̸∈ DK, H0 tidak ditolak yang berarti tidak
terdapat autokorelasi pada sisaan. Asumsi independensi dipenuhi.
5.4.3. Uji Glejser . Hipotesis yang digunakan adalah H0 : tidak terdapat hetero-
skedastisitas pada sisaan dan H1 : terdapat heteroskedastisitas pada sisaan. Taraf
signifikansi yang digunakan pada penelitian yaitu, α = 0.05. Kesimpulan H0 ditolak jika DK = {Fhitung |Fhitung > F(α,h−1,n−h) = F0.05,22,11 = 2.60}. Statistik uji
Fhitung =0.1979. Karena 0.1979 ̸∈ DK, H0 tidak ditolak yang berarti tidak terdapat
heteroskedastisitas pada sisaan. Asumsi heteroskedastisitas dipenuhi.
5.5. Koefisien Determinasi. Koefisien determinasi (R2 ) pada model regresi dihitung untuk mengetahui seberapa besar variabel respon dijelaskan oleh variabel
prediktor (Drapper and Smith [4]). Berdasarkan perhitungan, nilai R2 adalah
R2 =
Σni=1 (yˆi − y¯)2
541.946
= 0.9454
=
2
573.2278
Σni=1 (yi − y¯)
Berdasarkan model regresi yang terbentuk, diperoleh nilai R2 sebesar 0.9454. Hal
tersebut mengindikasikan IPM di Indonesia dapat dijelaskan sebesar 94.54% oleh
angka harapan hidup dan persentase penduduk buta huruf. Sedangkan sisanya,
5.46% merupakan persentase faktor lain yang belum dimasukkan dalam model.
6. Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat diambil 2 kesimpulan berikut.
7
2017
Model Regresi Nonparametrik Spline Truncated . . .
K. R. Demu, D. R. S. Saputro, P. Widyaningsih
(1) Model regresi nonparametrik spline truncated pada data IPM di Indonesia
yang sesuai adalah
yˆ =
−150.029 + 3.45006x1 ,
1059.168 − 14.67884x1 ,
−970.84 + 15.44x1 ,
400.49 − 4.6087x1 ,
2.1 + 1.12348x1 ,
1359.35 − 17.5223x1 ,
−150.029 − 19.6633x4 ,
−161.1938 + 0.6364x4 ,
−159.1166 + 0.05128x4 ,
−196.0225 + 4.7888x4 ,
−143.9168 − 0.75428x4 ,
x1 < 66.7;
66.7 ≤ x1 < 67.4;
67.4 ≤ x1 < 68.4;
68.4 ≤ x1 < 69.5;
69.5 ≤ x1 < 72.5;
x1 ≥ 72.5;
x4 < 0.55;
0.55 ≤ x4 < 3.55;
3.55 ≤ x4 < 7.79;
7.79 ≤ x4 < 9.4;
x4 ≥ 9.4.
(2) Faktor yang memengaruhi IPM di Indonesia yaitu angka harapan hidup menurut provinsi (X1 ) dan persentase penduduk buta huruf menurut provinsi
(X4 ).
Daftar Pustaka
[1] Bintariningrum, M. F., dan I. N. Budiantara, Pemodelan Regresi Nonparametrik Spline Truncated dan Aplikasinya pada Angka Kelahiran Kasar Di Surabaya, Jurnal Sains dan Seni Pomits
Vol.3 (2014), no. 1, 7-12.
[2] BPS, [Badan Pusat Statistik ], Indeks Pembangunan Manusia di Negara Indonesia, Jakarta,
2015.
[3] Budiantara, I. N., Penelitian Bidang Regresi Spline Menuju Terwujudnya Penelitian Statistika
yang Mandiri dan Berkarakter, Seminar Nasional Matematika, Jurusan Matematika Universitas
Pendidikan Ganesha, Bali, 2011.
[4] Drapper, N. R., and H. Smith, Applied Regression Analysis, Second edition, John Wiley and
Sons, Inc., New York, 1992.
[5] Eubank, R. L., Spline Smoothing and Nonparametric Regression, Second edition, Marcel Dekker, New York, 1999.
[6] Gujarati, N. D., Essential Of Econometrics, Mc Graw-Hill. Inc, New York, 2006.
[7] Hardle, W., Applied Nonparametric Regression, Cambridge University Press, New York, 1994.
[8] Lee, T. C. M., On Algorithms For Ordinary Least Squares Regression Spline Fitting:A Comparative Study, Statistica, Vol.72 (2002), no.8, 647-663.
[9] UNDP, [United Nations Development Programme], Human Development Report, New York,
1990.
[10] Wahba, G., Spline Models For Observational Data, SIAM, Pennsylvania, 1990.
[11] Wand, M. P., A Comparison Of Regression Spline Smoothing Procedures, Computational
Statistics Vol.15 (2000), 443-462.
8
2017
PADA DATA INDEKS PEMBANGUNAN MANUSIA (IPM)
DI INDONESIA
Kornelius Ronald Demu, Dewi Retno Sari Saputro, Purnami Widyaningsih
Program Studi Matematika FMIPA UNS
Abstrak. Standar ukur pembangunan manusia di suatu negara ditetapkan dalam Indeks
Pembangunan Manusia (IPM). Beberapa faktor diduga memengaruhi IPM di Indonesia,
yaitu angka harapan hidup, PDRB, jumlah penduduk miskin, dan persentase penduduk
buta huruf. Pengaruh faktor-faktor tersebut terhadap IPM di Indonesia dapat diketahui
melalui model regresi. Apabila data IPM dan faktor-faktor tersebut diplotkan maka menunjukkan pola data yang bersifat tidak mengikuti pola tertentu, sehingga data IPM di
Indonesia dapat diterapkan pada model regresi nonparametrik spline truncated. Model
regresi nonparametrik spline truncated terbaik dipengaruhi oleh pemilihan orde dan titik
knot optimal. Dalam artikel ini diterapkan model regresi nonparametrik spline truncated
orde satu dengan 3,4, dan 5 titik knot pada data IPM di Indonesia. Berdasarkan penelitian, diperoleh kombinasi titik knot optimal 5-5-5-4 dengan angka harapan hidup dan
persentase penduduk buta huruf yang memengaruhi IPM di Indonesia.
Kata Kunci: IPM, model regresi nonparametrik, spline truncated, titik knot optimal.
1. Pendahuluan
Indeks Pembangunan Manusia (IPM) merupakan standar ukur pembangunan
manusia di suatu negara dengan mempertimbangkan aspek kesehatan, pendidikan,
dan kelayakan hidup. Dalam beberapa tahun terakhir, IPM di Indonesia menunjukkan peningkatan. Berdasarkan data BPS [2], pada tahun 2013, IPM di Indonesia
68.1%, kemudian dalam kurun waktu dua tahun berturut-turut meningkat menjadi
68.4% dan 68.6%. Faktor-faktor yang diduga memengaruhi IPM yaitu, angka harapan hidup, produk domestik regional bruto (PDRB), jumlah penduduk miskin,
dan persentase penduduk buta huruf (UNDP [9]). Pengaruh faktor-faktor tersebut terhadap IPM dapat diketahui melalui model regresi. Apabila data IPM dan
faktor-faktor tersebut diplotkan, maka menunjukkan pola data yang bersifat tidak
mengikuti pola tertentu. Pendekatan model regresi yang digunakan pada pola data
tersebut adalah model regresi nonparametrik (Eubank [5]).
Menurut Hardle [7], metode yang dapat digunakan pada model regresi nonparametrik yaitu spline. Metode spline memiliki fleksibilitas dalam mengatasi pola
data yang bersifat tidak mengikuti pola tertentu. Spline merupakan potongan fungsi polinomial yang memiliki sifat tersegmen. Spline truncated merupakan modifikasi
fungsi spline. Metode spline truncated dilakukan menggunakan titik knot (Budiantara [3]). Titik knot merupakan titik terjadinya perubahan perilaku pola data
pada subinterval tertentu. Model regresi nonparametrik spline truncated terbaik
1
Model Regresi Nonparametrik Spline Truncated . . .
K. R. Demu, D. R. S. Saputro, P. Widyaningsih
diperoleh berdasarkan titik knot optimal (Budiantara [3]). Titik knot optimal diperoleh berdasarkan nilai generalized cross validation (GCV) minimum (Wahba [10]).
Menurut Lee [8], estimasi parameter model regresi nonparametrik spline truncated
menggunakan metode kuadrat terkecil (MKT). Penelitian ini bertujuan untuk menerapkan model regresi nonparametrik spline truncated pada data IPM di Indonesia
dan menentukan faktor yang memengaruhi IPM di Indonesia.
2. Model Regresi Nonparametrik Spline Truncated
Model regresi nonparametrik spline truncated merupakan model regresi pendekatan nonparametrik dengan fungsi regresi yang berbentuk polinomial spline truncated (Budiantara [3]). Menurut Hardle [7], polinomial spline truncated berorde m
dengan titik knot (K1 , K2 , ..., Kr ) didefinisikan sebagai
j
r
m
f (xi ) = β0 + Σsl=1 Σm
j=1 βj xli + Σk=1 βj+k (xli − Kkl )+
dengan
(xli −
Kkl )m
+
=
{
(xli − Kkl )m , xli ≥ Kkl ;
0,
xli < Kkl .
β0 adalah intersep, βj adalah parameter model, j = 1, 2, . . . , m, βj+k adalah parameter model pada orde ke-j dan titik knot ke-k, k = 1, 2, . . . , r, r adalah banyaknya
titik knot, Kkl adalah titik knot ke-k pada variabel prediktor ke-l, l = 1, 2, . . . , s,
dan xli adalah nilai variabel prediktor ke-l pada pengamatan ke-i, i = 1, 2, . . . , n.
3. Pemilihan Titik Knot Optimal
Model regresi nonparametrik spline truncated terbaik diperoleh berdasarkan
titik knot optimal. Menurut Wahba [10], titik knot optimal diperoleh berdasarkan
nilai GCV minimum. Rumus GCV dituliskan sebagai
GCV (K1 , K2 , ..., Kr ) =
M SE(K1 , K2 , ..., Kr )
(n−1 trace[I − A(K1 , K2 , ..., Kr )])2
dengan M SE(K1 , K2 , ..., Kr ) = n−1 Σni=1 (yi − f (xi ))2 dan A(K1 , K2 , ..., Kr ) meru′
−1
′
pakan matriks yang diperoleh dari rumus XK (XK XK ) XK .
4. Metode Penelitian
4.1. Data Penelitian. Penelitian ini merupakan penelitian terapan yaitu menerapkan data IPM untuk 34 provinsi di Indonesia menggunakan model regresi nonparametrik spline truncated. Data yang digunakan adalah data sekunder dari BPS
[2] meliputi IPM masing-masing provinsi di Indonesia pada tahun 2015 (Y ), angka
2
2017
Model Regresi Nonparametrik Spline Truncated . . .
K. R. Demu, D. R. S. Saputro, P. Widyaningsih
harapan hidup menurut provinsi (X1 ), PDRB menurut pengeluaran tahunan provinsi (X2 ), jumlah penduduk miskin menurut provinsi (X3 ), dan persentase penduduk
buta huruf menurut provinsi (X4 ).
4.2. Langkah Penelitian. Langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini dimulai dari dibentuknya pola hubungan antara variabel respon dan masing-masing
variabel prediktor melalui scatter plot data. Kemudian ditentukan titik knot optimal pada masing-masing variabel prediktor. Selanjutnya ditentukan model regresi
nonparametrik spline truncated terbaik berdasarkan titik knot optimal. Setelah itu
dilakukan estimasi parameter model dengan MKT. Tahapan terakhir penelitian ini
adalah dilakukannya uji signifikansi parameter, uji asumsi sisaan dan ditentukan koefisien determinasi (R2 ) pada model regresi nonparametrik spline truncated terbaik.
5. Hasil dan Pembahasan
5.1. Pola Hubungan Variabel Respon dan Variabel Prediktor. Pemilihan
model regresi pendekatan nonparametrik dalam memodelkan data IPM di Indonesia
disebabkan oleh pola hubungan Y dengan masing-masing X1 ,X2 ,X3 , dan X4 bersifat
tidak mengikuti pola tertentu. Dua pola hubungan Y dengan masing-masing X1 dan
X2 ditunjukkan pada Gambar 1(a) dan 1(b).
Gambar 1. Dua pola hubungan (a) Y dan X1 , (b)Y dan X2
Berdasarkan Gambar 1(a) dan 1(b), nampak bahwa dua pola hubungan Y dengan masing-masing X1 dan X2 bersifat tidak mengikuti pola tertentu. Sama halnya
dengan pola hubungan Y dengan masing-masing X3 dan X4 , sehingga pendekatan
model regresi yang digunakan adalah model regresi nonparametrik. Spline truncated
merupakan metode dalam model regresi nonparametrik yang baik digunakan apabila
pola hubungan Y dan X bersifat tidak mengikuti pola tertentu (Eubank [5]).
3
2017
Model Regresi Nonparametrik Spline Truncated . . .
K. R. Demu, D. R. S. Saputro, P. Widyaningsih
5.2. Model Regresi Nonparametrik Spline Truncated . Titik knot optimal
sebagai indikator model regresi nonparametrik spline truncated terbaik diperoleh
melalui nilai GCV minimum. Nilai GCV minimum dipengaruhi oleh pemilihan
orde (m) dan banyaknya titik knot (r). Berdasarkan penelitian, dipilih orde satu. Banyaknya titik knot yang digunakan yaitu 3, 4, dan 5 titik knot. Titik knot
yang dipilih pada masing-masing variabel prediktor dimulai dari 3 karena pemilihan banyaknya titik knot < 3 bersifat tidak mewakili keseluruhan data. Sedangkan
untuk pemilihan banyaknya titik knot > 5 akan menghasilkan nilai GCV yang tidak
minimum. Setelah dipilih orde dan banyaknya titik knot, selanjutnya dilakukan perhitungan nilai GCV. Nilai GCV minimum berdasarkan banyaknya titik knot yang
digunakan pada masing-masing variabel prediktor ditunjukkan pada Tabel 1.
Tabel 1. Nilai GCV minimum berdasarkan banyaknya titik knot yang digunakan
No. r(X1 )-r(X2 )-r(X3 )-r(X4 ) GCV minimum
1
3-3-3-3
2
4-4-4-4
3
5-5-5-5
4
5-3-4-5, 5-5-5-4, etc.
8.3966
9.3048
9.9343
7.6307
Berdasarkan Tabel 1, nilai GCV minimum sebesar 7.6307 diperoleh dari kombinasi 5-5-5-4 titik knot yang merupakan titik knot optimal. Banyaknya titik knot
optimal pada variabel X1 , X2 , dan X3 sebanyak 5 titik knot, sedangkan banyaknya
titik knot optimal pada variabel X4 sebanyak 4 titik knot. Setelah diperoleh titik
knot optimal pada masing-masing variabel prediktor, dilakukan estimasi 24 parameter model dengan MKT. Hasil estimasi parameter model regresi nonparametrik
spline truncated dengan titik knot optimal ditunjukkan pada Tabel 2.
Tabel 2. Hasil estimasi parameter model
Parameter
Estimasi
Parameter
βˆ0
βˆ1
−150.029
βˆ8
βˆ9
3.45006
βˆ2
βˆ3
−18.1289
βˆ4
βˆ5
−20.0487
βˆ6
βˆ7
−18.646
30.1189
5.73218
−8.68926 × 10−5
βˆ10
βˆ11
βˆ12
βˆ13
βˆ14
βˆ15
Estimasi
2.17312 × 10
−4
−1.73979 × 10−4
8.90236 × 10
−5
−8.86224 × 10−5
4.30924 × 10−4
8.08703 × 10
−3
−3.57964 × 10
−2
3.65047 × 10−2
4
Parameter
Estimasi
βˆ16
βˆ17
−2.05421 × 10−2
βˆ18
βˆ19
2.29005 × 10−2
βˆ20
βˆ21
20.2997
βˆ22
βˆ23
0.003598
−19.6633
−0.58512
4.7376
−5.54316
2017
Model Regresi Nonparametrik Spline Truncated . . .
K. R. Demu, D. R. S. Saputro, P. Widyaningsih
Berdasarkan hasil estimasi parameter model pada Tabel 2, diperoleh model regresi
nonparametrik spline berikut.
yˆ = −150.029 + 3.45006x1 − 18.1289(x1 − 66.7) + 30.1189(x1 − 67.4) −
20.0487(x1 − 68.4) + 5.73218(x1 − 69.5) − 18.646(x1 − 72.5) −
8.6892610 × 10−5 x2 + 2.17312 × 10−4 (x2 − 80461.57) −
1.73979 × 10−4 (x2 − 141270.88) + 8.90236 × 10−5 (x2 − 252022.86) −
8.86224 × 10−5 (x2 − 450936.6) + 4.30924 × 10−4 (x2 − 1354102.11) +
8.08703 × 10−3 x3 − 3.57964 × 10−2 (x3 − 245.54) + 3.65047 × 10−2
(x3 − 495.56) − 2.05421 × 10−2 (x3 − 893.21) + 0.003598(x3 − 1005.68) +
2.29005 × 10−2 (x3 − 1608.14) − 19.6633x4 + 20.2997(x4 − 0.55) −
0.58512(x4 − 3.55) + 4.7376(x4 − 7.79) − 5.54316(x4 − 9.4)+.
Model regresi nonparametrik spline yang terbentuk dapat dituliskan kembali dalam bentuk model regresi nonparametrik spline truncated. Penulisan model regresi
nonparametrik spline truncated dilakukan berdasarkan interval titik knot optimal
pada masing-masing variabel prediktor. Berikut dituliskan model regresi nonparametrik spline truncated berdasarkan interval titik knot optimal pada X1 . Adapun
titik knot optimal pada variabel X1 yaitu 66.7, 67.4, 68.4, 69.5, dan 72.5.
−150.029 + 3.45006x1 ,
1059.168 − 14.67884x1 ,
−970.84 + 15.44x ,
1
yˆ =
400.49
−
4.6087x
1,
2.1 + 1.12348x1 ,
1359.35 − 17.5223x ,
1
x1 < 66.7;
66.7 ≤ x1 < 67.4;
67.4 ≤ x1 < 68.4;
68.4 ≤ x1 < 69.5;
69.5 ≤ x1 < 72.5;
x1 ≥ 72.5.
Model regresi nonparametrik spline truncated berdasarkan interval titik knot
optimal pada X2 , X3 , dan X4 dituliskan dengan cara yang sama. Titik knot optimal
pada variabel X2 yaitu 80461.57, 141270.88, 252022.86, 450936.6, dan 1354102.11.
Titik knot optimal pada variabel X3 yaitu 245.54, 495.56, 893.21, 1005.68, dan
1608.14. Titik knot optimal pada variabel X4 yaitu 0.55, 3.55, 7.79, dan 9.4.
5.3. Uji Signifikansi Parameter. Setelah didapatkan model regresi nonparametrik spline truncated berdasarkan interval titik knot optimal pada masing-masing
X1 , X2 , X3 , dan X4 , selanjutnya dilakukan uji signifikansi parameter. Uji signifikansi parameter bertujuan untuk mengetahui variabel prediktor yang berpengaruh
signifikan terhadap variabel respon (Gujarati [6]). Uji signifikansi parameter terdiri
atas uji keseluruhan dan uji parsial.
5
2017
Model Regresi Nonparametrik Spline Truncated . . .
K. R. Demu, D. R. S. Saputro, P. Widyaningsih
5.3.1. Uji Keseluruhan. Hipotesis yang digunakan adalah H0 : β1 = β2 = β3 =
. . . = β23 = 0 (seluruh parameter model β tidak berpengaruh signifikan terhadap
model regresi) dan H1 : paling tidak terdapat satu βh ̸= 0, h = 1, 2, 3, . . . , 23 (paling
tidak terdapat satu parameter model βh yang signifikan terhadap model regresi).
Taraf signifikansi α = 0.05. Kesimpulan H0 ditolak jika DK = {Fhitung |Fhitung >
F(α,h,n−h−1) = F0.05,23,10 = 2.75}. Statistik uji Fhitung = 8.6640. Karena 8.6640 ∈
DK, H0 ditolak yang berarti paling tidak terdapat satu parameter model βh yang
signifikan terhadap model regresi. Kemudian dilakukan uji parsial untuk mengetahui
parameter model yang signifikan terhadap model regresi secara individu.
5.3.2. Uji Parsial. Hipotesis yang digunakan adalah H0 : βh = 0, h = 1, 2, . . . , 23
(parameter model βh tidak signifikan terhadap model regresi) dan H1 : βh ̸= 0, h =
1, 2, . . . , 23 (parameter model βh signifikan terhadap model regresi). Taraf signifikansi α = 0.05. Kesimpulan H0 ditolak jika DK = {thitung |thitung > t(α/2,n−h) =
t0.025,11 = 2.20}. Berdasarkan nilai thitung , diperoleh parameter model yang signifikan dengan nilai thitung melebihi 2.20, masing-masing β1 = 38.76, β2 = 203.69,
β3 = 338.41, β4 = 225.27, β5 = 64.41, β6 = 209.51, β19 = 108.22, β20 = 111.27,
β21 = 3.22, β22 = 26.07 dan β23 = 30.5. Karena nilai thitung dari β1 , β2 , β3 , β4 , β5 ,
β6 , β19 , β20 , β21 , β22 , dan β23 ∈ DK, maka β1 , β2 , β3 , β4 , β5 , β6 , β19 , β20 , β21 , β22 ,
dan β23 merupakan parameter model yang signifikan terhadap model regresi. Hal
ini mengindikasikan angka harapan hidup (X1 ) dan persentase penduduk buta huruf
(X4 ) merupakan variabel yang berpengaruh signifikan terhadap IPM di Indonesia.
Setelah dilakukan uji signifikansi parameter pada model regresi nonparametrik
spline truncated yang terbentuk, selanjutnya dilakukan uji asumsi sisaan untuk
menguji kelayakan model regresi.
5.4. Uji Asumsi Sisaan. Uji asumsi sisaan bertujuan untuk menguji kelayakan
model regresi (Gujarati [6]). Uji asumsi sisaan meliputi 3 asumsi yang harus dipenuhi, yaitu asumsi kenormalan, independensi, dan heteroskedastisitas. Pengujian
asumsi kenormalan dilakukan menggunakan uji Kolmogorov Smirnov (Bintariningrum dan Budiantara [1]). Pengujian asumsi independensi dilakukan menggunakan
uji Durbin Watson (Gujarati [6]). Pengujian asumsi heteroskedastisitas dilakukan
menggunakan uji Glejser (Bintariningrum dan Budiantara [1]).
6
2017
Model Regresi Nonparametrik Spline Truncated . . .
K. R. Demu, D. R. S. Saputro, P. Widyaningsih
5.4.1. Uji Kolmogorov Smirnov . Hipotesis yang digunakan adalah H0 : sisaan berdis-
tribusi normal dan H1 : sisaan tidak berdistribusi normal. Taraf signifikansi yang
digunakan pada penelitian yaitu, α = 0.05. Kesimpulan pada uji Kolmogorov Smirnov yaitu, H0 ditolak jika DK = {KS|KS > q(1−α,n) = q(0.950,34) = 0.152}. Statistik
uji Kolmogorov Smirnov (KS) =0.076. Karena 0.076 ̸∈ DK, H0 tidak ditolak yang
berarti sisaan berdistribusi normal. Asumsi kenormalan dipenuhi.
5.4.2. Uji Durbin Watson. Hipotesis yang digunakan adalah H0 : tidak terdapat
autokorelasi pada sisaan dan H1 : terdapat autokorelasi pada sisaan. Taraf signifikansi yang digunakan pada penelitian yaitu, α = 0.05. Kesimpulan pada uji
Durbin Watson yaitu, H0 ditolak jika DK = {dhitung |dhitung < dl = 1.21 atau
4 − dhitung < du = 1.73}. Statistik uji dhitung = 1.43 dan 4 − dhitung = 2.57 . Karena statistik uji dhitung dan 4 − dhitung ̸∈ DK, H0 tidak ditolak yang berarti tidak
terdapat autokorelasi pada sisaan. Asumsi independensi dipenuhi.
5.4.3. Uji Glejser . Hipotesis yang digunakan adalah H0 : tidak terdapat hetero-
skedastisitas pada sisaan dan H1 : terdapat heteroskedastisitas pada sisaan. Taraf
signifikansi yang digunakan pada penelitian yaitu, α = 0.05. Kesimpulan H0 ditolak jika DK = {Fhitung |Fhitung > F(α,h−1,n−h) = F0.05,22,11 = 2.60}. Statistik uji
Fhitung =0.1979. Karena 0.1979 ̸∈ DK, H0 tidak ditolak yang berarti tidak terdapat
heteroskedastisitas pada sisaan. Asumsi heteroskedastisitas dipenuhi.
5.5. Koefisien Determinasi. Koefisien determinasi (R2 ) pada model regresi dihitung untuk mengetahui seberapa besar variabel respon dijelaskan oleh variabel
prediktor (Drapper and Smith [4]). Berdasarkan perhitungan, nilai R2 adalah
R2 =
Σni=1 (yˆi − y¯)2
541.946
= 0.9454
=
2
573.2278
Σni=1 (yi − y¯)
Berdasarkan model regresi yang terbentuk, diperoleh nilai R2 sebesar 0.9454. Hal
tersebut mengindikasikan IPM di Indonesia dapat dijelaskan sebesar 94.54% oleh
angka harapan hidup dan persentase penduduk buta huruf. Sedangkan sisanya,
5.46% merupakan persentase faktor lain yang belum dimasukkan dalam model.
6. Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat diambil 2 kesimpulan berikut.
7
2017
Model Regresi Nonparametrik Spline Truncated . . .
K. R. Demu, D. R. S. Saputro, P. Widyaningsih
(1) Model regresi nonparametrik spline truncated pada data IPM di Indonesia
yang sesuai adalah
yˆ =
−150.029 + 3.45006x1 ,
1059.168 − 14.67884x1 ,
−970.84 + 15.44x1 ,
400.49 − 4.6087x1 ,
2.1 + 1.12348x1 ,
1359.35 − 17.5223x1 ,
−150.029 − 19.6633x4 ,
−161.1938 + 0.6364x4 ,
−159.1166 + 0.05128x4 ,
−196.0225 + 4.7888x4 ,
−143.9168 − 0.75428x4 ,
x1 < 66.7;
66.7 ≤ x1 < 67.4;
67.4 ≤ x1 < 68.4;
68.4 ≤ x1 < 69.5;
69.5 ≤ x1 < 72.5;
x1 ≥ 72.5;
x4 < 0.55;
0.55 ≤ x4 < 3.55;
3.55 ≤ x4 < 7.79;
7.79 ≤ x4 < 9.4;
x4 ≥ 9.4.
(2) Faktor yang memengaruhi IPM di Indonesia yaitu angka harapan hidup menurut provinsi (X1 ) dan persentase penduduk buta huruf menurut provinsi
(X4 ).
Daftar Pustaka
[1] Bintariningrum, M. F., dan I. N. Budiantara, Pemodelan Regresi Nonparametrik Spline Truncated dan Aplikasinya pada Angka Kelahiran Kasar Di Surabaya, Jurnal Sains dan Seni Pomits
Vol.3 (2014), no. 1, 7-12.
[2] BPS, [Badan Pusat Statistik ], Indeks Pembangunan Manusia di Negara Indonesia, Jakarta,
2015.
[3] Budiantara, I. N., Penelitian Bidang Regresi Spline Menuju Terwujudnya Penelitian Statistika
yang Mandiri dan Berkarakter, Seminar Nasional Matematika, Jurusan Matematika Universitas
Pendidikan Ganesha, Bali, 2011.
[4] Drapper, N. R., and H. Smith, Applied Regression Analysis, Second edition, John Wiley and
Sons, Inc., New York, 1992.
[5] Eubank, R. L., Spline Smoothing and Nonparametric Regression, Second edition, Marcel Dekker, New York, 1999.
[6] Gujarati, N. D., Essential Of Econometrics, Mc Graw-Hill. Inc, New York, 2006.
[7] Hardle, W., Applied Nonparametric Regression, Cambridge University Press, New York, 1994.
[8] Lee, T. C. M., On Algorithms For Ordinary Least Squares Regression Spline Fitting:A Comparative Study, Statistica, Vol.72 (2002), no.8, 647-663.
[9] UNDP, [United Nations Development Programme], Human Development Report, New York,
1990.
[10] Wahba, G., Spline Models For Observational Data, SIAM, Pennsylvania, 1990.
[11] Wand, M. P., A Comparison Of Regression Spline Smoothing Procedures, Computational
Statistics Vol.15 (2000), 443-462.
8
2017