163 nugroho adi pramono
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
Simulasi Persamaan Air Dangkal Menggunakan Persamaan NavierStokes Dengan Penambahan Anomali Kedalaman Konfigurasi ZigZag Sebagai Pemecah Ombak
NUGROHO ADI PRAMONO1), ATSNAITA YASRINA2,*), ERA BUDI PRAYEKTI2), CHUSNANA INSJAF Y3)
Jurusan Fisika Universitas Negeri Malang. Jl. Semarang 5 Malang
1)E-mail: nugroho.adi.fmipa@um.ac.id
2)E-mail: atsnaita.yasrina.fmipa@um.ac.id
3)E-mail: era.budi.fmipa@um.ac.id
4)E-mail: chusnana.insyaf.fmipa@um.ac.id
TEL: 0341 552125
ABSTRAK: Telah dilakukan pembuatan program simulasi persamaan air dangkal. Persamaan
yang digunakan adalah persamaan Navier-Stokes dengan penambahan anomali kedalaman
dengan konfigurasi zig-zag pada sistem fisis. Program ditulis dalam Matlab dengan
penghitungan secara numerik menggunakan metode Lax-Wendroff. Hasil simulasi menunjukkan
bahwa anomali kedalaman dengan konfigurasi zig-zag menyebabkan perubahan bentuk pada
gelombang yang secara alami memiliki muka gelombang yang lurus menuju arah pantai .
Penempatan anomali kedalaman yang tepat diperlukan untuk menghasilkan bentuk gelombang
yang berinterferensi destruktif (berkelakuan sebagai pemecah ombak).
Kata Kunci: Navier-Stokes, zig-zag, anomali kedalaman
PENDAHULUAN
Di daerah pantai tertentu dapat dijumpai karang buatan yang bertujuan
mengurangi abrasi air laut dengan menahan atau mengurangi laju air laut. Karang
buatan untuk pemecah ombak biasanya diletakkan di daerah pantai yang memiliki
situs-situs yang perlu dilestarikan seperti candi atau pura. Beberapa karang buatan
diletakkan di daerah pantai untuk mengurangi pengikisan oleh gelombang air laut.
Pergerakan gelombang air laut adalah salah satu dari proses fluida yang dapat
dijelaskan melalui persamaan Navier-Stoke (Thurey et al, 2006).
Meskipun penelitian ini ditujukan untuk perairan laut, simulasi sistem fisis
dihitung dengan pendekatan menggunakan persamaan air dangkal dengan asumsi
bahwa dimensi luas lautan jauh lebih besar dari kedalamannya. Perairan dangkal
adalah perairan yang punya batas permukaan (surface) dan batas dasar (bottom) (Ancey
et al, 2007). Persamaan air dangkal biasanya digunakan untuk mensimulasikan
gelombang yang panjang gelombanganya mirip dengan ketinggian air secara
keseluruhan (Thurey et al, 2006).
Penelitian ini telah dilakukan oleh (Ancey, 2007., Moler, 2011., Robinson, 2011.,
Tiwow, 2015., Thurey, dkk, 2006., Zhang, 2008) dengan membuat variabel H=1, u=0,
dan v=0. Penelitian ini dilakukan dengan membuat variasi pada H di beberapa titik
yang selanjutnya disebut dengan anomali. Pola anomali berbentuk zigzag digunakan
untuk mensimulasikan
pemecah ombak di pantai yang diaplikasikan untuk
mengurangi abrasi air laut dengan dugaan awal bahwa pola zigzag dapat menyebabkan
interferensi destruktif pada gelombang yang menuju pantai.
METODE PENELITIAN
Penelitian ini merupakan simulasi sistem fisis dengan metode komputasi. Sistem
fisis yang dikaji adalah fluida dalam wadah berbentuk kubus dengan ukuran 64x64 grid
dengan kedalaman satu satuan.
Pergerakan fluida dihitung dengan menggunakan persamaan air dangkal yang
ditunjukkan oleh Persamaan (1), (2), dan (3).
ISBN 978-602-71279-1-9
FTK-1
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
(1)
(2)
(3)
Dimana variabel bebasnya yaitu x, y, dan t. Untuk variabel terikatnya adalah h dan
dua dimensi kecepatan u dan v. Turunan parsial diperoleh dari komponen variabel di
yang kemudian dikelompokkan menjadi vektor dan dituliskan kembali
atas
sebagai turunan hyperbolic parsial pertama
Dan Vektor nya,
(4)
(5)
Persamaan turunan hyperbolic parsial pertama :
(6)
(7)
Gambar 1a merupakan grid dari sistem fisis yang ditinjau, setiap sel memiliki
u,v dan h dengan nilai awal nol untuk u dan v dan 1 untuk h. Saat sistem diberi
gangguan, maka nilai dari u,v dan h tiap sel akan berubah sesuai dengan persamaan
(7).
Penyelesaian dari persamaan turunan parsial hiperbolik adalah dengan metode
numerik, yaitu dengan menggunakan metode Lax-Wendroff. Dalam metode ini, untuk
mendapatkan nilai u,v dan h pada t+1, kita harus mencari nilai antara seperti yang
ditampilkan di Gambar 2.
Dalam Matlab kode untuk mencari nilai antara adalah sebagai berikut
% t+1/2
% arah x
i = 1:n+1;
j = 1:n;
% height
Hx(i,j) = (H(i+1,j+1)+H(i,j+1))/2 - dt/(2*dx)*(U(i+1,j+1)-U(i,j+1));
% x momentum
Ux(i,j) = (U(i+1,j+1)+U(i,j+1))/2 - ...
dt/(2*dx)*((U(i+1,j+1).^2./H(i+1,j+1) + g/2*H(i+1,j+1).^2) - ...
(U(i,j+1).^2./H(i,j+1) + g/2*H(i,j+1).^2));
% y momentum
Vx(i,j) = (V(i+1,j+1)+V(i,j+1))/2 - ...
dt/(2*dx)*((U(i+1,j+1).*V(i+1,j+1)./H(i+1,j+1)) - ...
(U(i,j+1).*V(i,j+1)./H(i,j+1)));
% arah y
i = 1:n;
ISBN 978-602-71279-1-9
FTK-2
j = 1:n+1;
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
% height
Hy(i,j) = (H(i+1,j+1)+H(i+1,j))/2 - dt/(2*dy)*(V(i+1,j+1)-V(i+1,j));
% x momentum
Uy(i,j) = (U(i+1,j+1)+U(i+1,j))/2 - ...
dt/(2*dy)*((V(i+1,j+1).*U(i+1,j+1)./H(i+1,j+1)) - ...
(V(i+1,j).*U(i+1,j)./H(i+1,j)));
% y momentum
Vy(i,j) = (V(i+1,j+1)+V(i+1,j))/2 - ...
dt/(2*dy)*((V(i+1,j+1).^2./H(i+1,j+1) + g/2*H(i+1,j+1).^2) - ...
(V(i+1,j).^2./H(i+1,j) + g/2*H(i+1,j).^2));
a)
b)
Gambar 1 a) grid dari sitem fisis, b) nilai antara untuk menghitung u, v,
dan h di t+1.
Dari nilai-nilai antara tersebut kita dapat menghitung nilai di t+1 dengan
i = 2:n+1;
j = 2:n+1;
% height
H(i,j) = H(i,j) - (dt/dx)*(Ux(i,j-1)-Ux(i-1,j-1)) - ...
(dt/dy)*(Vy(i-1,j)-Vy(i-1,j-1));
% x momentum
U(i,j) = U(i,j) - (dt/dx)*((Ux(i,j-1).^2./Hx(i,j-1) + g/2*Hx(i,j-1).^2) - ...
(Ux(i-1,j-1).^2./Hx(i-1,j-1) + g/2*Hx(i-1,j-1).^2)) ...
- (dt/dy)*((Vy(i-1,j).*Uy(i-1,j)./Hy(i-1,j)) - ...
(Vy(i-1,j-1).*Uy(i-1,j-1)./Hy(i-1,j-1)));
% y momentum
V(i,j) = V(i,j) - (dt/dx)*((Ux(i,j-1).*Vx(i,j-1)./Hx(i,j-1)) - ...
(Ux(i-1,j-1).*Vx(i-1,j-1)./Hx(i-1,j-1))) ...
- (dt/dy)*((Vy(i-1,j).^2./Hy(i-1,j) + g/2*Hy(i-1,j).^2) - ...
(Vy(i-1,j-1).^2./Hy(i-1,j-1) + g/2*Hy(i-1,j-1).^2));
Anomali dalam penelitian ini divariasi sebanyak empat kali dalam program Matlab.
Yang pertama adalah anomali sejajar tanpa selang, selang satu, selang dua dan selang
ISBN 978-602-71279-1-9
FTK-3
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
tiga. Pemberian anomali pada program dilakukan dengan cara membuat grid tertentu
bernilai tetap seperti berikut
for i=1:n
if mod(i,2)==0
H(i,20)=1;
else
H(i,19)=1;
end
end
Untuk anomali berselang digunakan kode seperti berikut (contoh untuk selang dua)
%anomalikedalaman
for i=1:n
if mod(i,2)==0
H(i,20)=1;
else
H(i,17)=1;
end
end
Perhatikan bahwa selang di sini adalah selang antara dua kolom anomali, bukan
selang antar anomali dalam satu kolom.
Untuk membandingkan pengaruh anomali antara variasi selang, nilai amplitudo
gelombang di sel [1,1] dicatat selama program berjalan.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil simulasi secara visual 3d dapat dilihat pada Gambar 2
Gambar 2. Hasil simulasi 3D
Grafik amplitudo sel [1,1] selama program berjalan untuk sistem tanpa anomali dapat
dilihat pada Gambar 3.a
ISBN 978-602-71279-1-9
FTK-4
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
a
b
c
Gambar 3. Amplitudo sel [1,1] pada a) simulasi tanpa anomali, b) anomali
zigzag, c) gabungan nilai amplitudo (warna ungu adalah amplitudo simulasi
tanpa anomali).
Gambar 3b menunjukkan amplitudo sel yang sama saat sistem diberi anomali
kedalaman. Dari grafik terlihat bahwa seiring berjalannya waktu, amplitudo sel
menjadi relatif lebih kecil daripada sistem fisis tanpa anomali. Hal yang sama berlaku
pada sistem dengan pemberian anomali zigzag berselang. Dari Gambar 3c terlihat
bahwa pemberian variasi lebar selang tidak begitu berpengaruh pada amplitudo sel [1,1]
relatif terhadap sistem dengan anomali lainnya.
KESIMPULAN
Hasil simulasi menunjukkan bahwa anomali kedalaman dengan konfigurasi zig-zag
menyebabkan perubahan bentuk pada gelombang yang secara alami memiliki muka
gelombang yang lurus menuju arah pantai . Penempatan anomali kedalaman yang
tepat diperlukan untuk menghasilkan bentuk gelombang yang berinterferensi destruktif
(berkelakuan sebagai pemecah ombak). Perlu dilakukan penelitian lebih lanjut dengan
memperlakukan sel yang berbatasan langsung dengan anomali kedalaman dengan
perlakuan khusus, misal dengan pemberian syarat reflektif seperti yang berlaku pada
sel-sel batas.
ISBN 978-602-71279-1-9
FTK-5
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
DAFTAR RUJUKAN
Ancey, Christope. 2007. Plasticity and Geophysical Flows.. Journal of Non-Newtonian
Fluid Mechanics (4-35). Lausanne, Switzerland: Ecole Polytechnique Federale de
Lausanne
Aref, Hassan. 2012. The Navier-Stokes equation : a Classification of Flows and Exact
Solution. Theory Computation Fluid Dynamic (26:481). Cambridge University.
Erratum. 2000. On the Derivation of the Buckley-Leverett Model from the Two Fluid
Navier-Stokes Equation in a Thin Domain Computational Geoscience. Computational
Geoscience (99-101). France : UFR Matemathique, Analyse Numerique.
Hinkelmann, Reinhard., Liang, Qiuhua., Aizinger, Vadym., Dawson, Clint. 2015. Robust
Shallow Water Model. Environ Earth Science,(74:7273-7274).
LeVeque, Randall J. 2005. Finite Difference Methods for Differential Equation. AMath
(585-586). Washington : University Of Washington.
Moler, Cleve. "Chapter 18: Shallow Water Equations." Experiments with MATLAB.
MathWorks.
Web. .
Robinson, Colin Richard. 2011. Shallow Water Equation. Syracuse University.
Setiawan, Toni. 2015. Fluida Dinamis.
Stubbe, Peter. 2015. The Euler and Navier-Stokes Equation Revisited. Physics Fluids
Dynamic.
Suhamjani, Jani. 2005. Aplikasi Lagrangian Navier-Stokes pada Turbulensi. Bogor :
Intitut Pertanian Bogor.
Thurey, Nils., Muller-Fischer, Matthias., Schrim, Simon., Gross, Markus. 2006. Realtime Breaking Waves for Shallow Water Simulation. Switzerland : ETH Zurich,
AGEIA Technologies.
Tiwow, Vistarani A., Malago, J.D. 2015. Application of Navier-Stokes Equation to
Laminar Fluid Flow Case in Unhorizontal Pipe. Jurnal Sainsmat (51-56).
Makassar:FMIPA Universitas Negeri Makassar.
Tubbs, Kevin. 2010. Lattice Boltzmann Modelling for Shallow Water Equation Using
High Performance Computing.
Zhang, Huai., Shi, Yaolin., Yuen, David A., Yan, Zhanzhan., Yuan, Xiaoru dan Zhang,
Chaofan. 2008. Modelling and Visualization of Tsunamis. Pure and Applied
Geophysics,(475-496)
ISBN 978-602-71279-1-9
FTK-6
Simulasi Persamaan Air Dangkal Menggunakan Persamaan NavierStokes Dengan Penambahan Anomali Kedalaman Konfigurasi ZigZag Sebagai Pemecah Ombak
NUGROHO ADI PRAMONO1), ATSNAITA YASRINA2,*), ERA BUDI PRAYEKTI2), CHUSNANA INSJAF Y3)
Jurusan Fisika Universitas Negeri Malang. Jl. Semarang 5 Malang
1)E-mail: nugroho.adi.fmipa@um.ac.id
2)E-mail: atsnaita.yasrina.fmipa@um.ac.id
3)E-mail: era.budi.fmipa@um.ac.id
4)E-mail: chusnana.insyaf.fmipa@um.ac.id
TEL: 0341 552125
ABSTRAK: Telah dilakukan pembuatan program simulasi persamaan air dangkal. Persamaan
yang digunakan adalah persamaan Navier-Stokes dengan penambahan anomali kedalaman
dengan konfigurasi zig-zag pada sistem fisis. Program ditulis dalam Matlab dengan
penghitungan secara numerik menggunakan metode Lax-Wendroff. Hasil simulasi menunjukkan
bahwa anomali kedalaman dengan konfigurasi zig-zag menyebabkan perubahan bentuk pada
gelombang yang secara alami memiliki muka gelombang yang lurus menuju arah pantai .
Penempatan anomali kedalaman yang tepat diperlukan untuk menghasilkan bentuk gelombang
yang berinterferensi destruktif (berkelakuan sebagai pemecah ombak).
Kata Kunci: Navier-Stokes, zig-zag, anomali kedalaman
PENDAHULUAN
Di daerah pantai tertentu dapat dijumpai karang buatan yang bertujuan
mengurangi abrasi air laut dengan menahan atau mengurangi laju air laut. Karang
buatan untuk pemecah ombak biasanya diletakkan di daerah pantai yang memiliki
situs-situs yang perlu dilestarikan seperti candi atau pura. Beberapa karang buatan
diletakkan di daerah pantai untuk mengurangi pengikisan oleh gelombang air laut.
Pergerakan gelombang air laut adalah salah satu dari proses fluida yang dapat
dijelaskan melalui persamaan Navier-Stoke (Thurey et al, 2006).
Meskipun penelitian ini ditujukan untuk perairan laut, simulasi sistem fisis
dihitung dengan pendekatan menggunakan persamaan air dangkal dengan asumsi
bahwa dimensi luas lautan jauh lebih besar dari kedalamannya. Perairan dangkal
adalah perairan yang punya batas permukaan (surface) dan batas dasar (bottom) (Ancey
et al, 2007). Persamaan air dangkal biasanya digunakan untuk mensimulasikan
gelombang yang panjang gelombanganya mirip dengan ketinggian air secara
keseluruhan (Thurey et al, 2006).
Penelitian ini telah dilakukan oleh (Ancey, 2007., Moler, 2011., Robinson, 2011.,
Tiwow, 2015., Thurey, dkk, 2006., Zhang, 2008) dengan membuat variabel H=1, u=0,
dan v=0. Penelitian ini dilakukan dengan membuat variasi pada H di beberapa titik
yang selanjutnya disebut dengan anomali. Pola anomali berbentuk zigzag digunakan
untuk mensimulasikan
pemecah ombak di pantai yang diaplikasikan untuk
mengurangi abrasi air laut dengan dugaan awal bahwa pola zigzag dapat menyebabkan
interferensi destruktif pada gelombang yang menuju pantai.
METODE PENELITIAN
Penelitian ini merupakan simulasi sistem fisis dengan metode komputasi. Sistem
fisis yang dikaji adalah fluida dalam wadah berbentuk kubus dengan ukuran 64x64 grid
dengan kedalaman satu satuan.
Pergerakan fluida dihitung dengan menggunakan persamaan air dangkal yang
ditunjukkan oleh Persamaan (1), (2), dan (3).
ISBN 978-602-71279-1-9
FTK-1
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
(1)
(2)
(3)
Dimana variabel bebasnya yaitu x, y, dan t. Untuk variabel terikatnya adalah h dan
dua dimensi kecepatan u dan v. Turunan parsial diperoleh dari komponen variabel di
yang kemudian dikelompokkan menjadi vektor dan dituliskan kembali
atas
sebagai turunan hyperbolic parsial pertama
Dan Vektor nya,
(4)
(5)
Persamaan turunan hyperbolic parsial pertama :
(6)
(7)
Gambar 1a merupakan grid dari sistem fisis yang ditinjau, setiap sel memiliki
u,v dan h dengan nilai awal nol untuk u dan v dan 1 untuk h. Saat sistem diberi
gangguan, maka nilai dari u,v dan h tiap sel akan berubah sesuai dengan persamaan
(7).
Penyelesaian dari persamaan turunan parsial hiperbolik adalah dengan metode
numerik, yaitu dengan menggunakan metode Lax-Wendroff. Dalam metode ini, untuk
mendapatkan nilai u,v dan h pada t+1, kita harus mencari nilai antara seperti yang
ditampilkan di Gambar 2.
Dalam Matlab kode untuk mencari nilai antara adalah sebagai berikut
% t+1/2
% arah x
i = 1:n+1;
j = 1:n;
% height
Hx(i,j) = (H(i+1,j+1)+H(i,j+1))/2 - dt/(2*dx)*(U(i+1,j+1)-U(i,j+1));
% x momentum
Ux(i,j) = (U(i+1,j+1)+U(i,j+1))/2 - ...
dt/(2*dx)*((U(i+1,j+1).^2./H(i+1,j+1) + g/2*H(i+1,j+1).^2) - ...
(U(i,j+1).^2./H(i,j+1) + g/2*H(i,j+1).^2));
% y momentum
Vx(i,j) = (V(i+1,j+1)+V(i,j+1))/2 - ...
dt/(2*dx)*((U(i+1,j+1).*V(i+1,j+1)./H(i+1,j+1)) - ...
(U(i,j+1).*V(i,j+1)./H(i,j+1)));
% arah y
i = 1:n;
ISBN 978-602-71279-1-9
FTK-2
j = 1:n+1;
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
% height
Hy(i,j) = (H(i+1,j+1)+H(i+1,j))/2 - dt/(2*dy)*(V(i+1,j+1)-V(i+1,j));
% x momentum
Uy(i,j) = (U(i+1,j+1)+U(i+1,j))/2 - ...
dt/(2*dy)*((V(i+1,j+1).*U(i+1,j+1)./H(i+1,j+1)) - ...
(V(i+1,j).*U(i+1,j)./H(i+1,j)));
% y momentum
Vy(i,j) = (V(i+1,j+1)+V(i+1,j))/2 - ...
dt/(2*dy)*((V(i+1,j+1).^2./H(i+1,j+1) + g/2*H(i+1,j+1).^2) - ...
(V(i+1,j).^2./H(i+1,j) + g/2*H(i+1,j).^2));
a)
b)
Gambar 1 a) grid dari sitem fisis, b) nilai antara untuk menghitung u, v,
dan h di t+1.
Dari nilai-nilai antara tersebut kita dapat menghitung nilai di t+1 dengan
i = 2:n+1;
j = 2:n+1;
% height
H(i,j) = H(i,j) - (dt/dx)*(Ux(i,j-1)-Ux(i-1,j-1)) - ...
(dt/dy)*(Vy(i-1,j)-Vy(i-1,j-1));
% x momentum
U(i,j) = U(i,j) - (dt/dx)*((Ux(i,j-1).^2./Hx(i,j-1) + g/2*Hx(i,j-1).^2) - ...
(Ux(i-1,j-1).^2./Hx(i-1,j-1) + g/2*Hx(i-1,j-1).^2)) ...
- (dt/dy)*((Vy(i-1,j).*Uy(i-1,j)./Hy(i-1,j)) - ...
(Vy(i-1,j-1).*Uy(i-1,j-1)./Hy(i-1,j-1)));
% y momentum
V(i,j) = V(i,j) - (dt/dx)*((Ux(i,j-1).*Vx(i,j-1)./Hx(i,j-1)) - ...
(Ux(i-1,j-1).*Vx(i-1,j-1)./Hx(i-1,j-1))) ...
- (dt/dy)*((Vy(i-1,j).^2./Hy(i-1,j) + g/2*Hy(i-1,j).^2) - ...
(Vy(i-1,j-1).^2./Hy(i-1,j-1) + g/2*Hy(i-1,j-1).^2));
Anomali dalam penelitian ini divariasi sebanyak empat kali dalam program Matlab.
Yang pertama adalah anomali sejajar tanpa selang, selang satu, selang dua dan selang
ISBN 978-602-71279-1-9
FTK-3
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
tiga. Pemberian anomali pada program dilakukan dengan cara membuat grid tertentu
bernilai tetap seperti berikut
for i=1:n
if mod(i,2)==0
H(i,20)=1;
else
H(i,19)=1;
end
end
Untuk anomali berselang digunakan kode seperti berikut (contoh untuk selang dua)
%anomalikedalaman
for i=1:n
if mod(i,2)==0
H(i,20)=1;
else
H(i,17)=1;
end
end
Perhatikan bahwa selang di sini adalah selang antara dua kolom anomali, bukan
selang antar anomali dalam satu kolom.
Untuk membandingkan pengaruh anomali antara variasi selang, nilai amplitudo
gelombang di sel [1,1] dicatat selama program berjalan.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil simulasi secara visual 3d dapat dilihat pada Gambar 2
Gambar 2. Hasil simulasi 3D
Grafik amplitudo sel [1,1] selama program berjalan untuk sistem tanpa anomali dapat
dilihat pada Gambar 3.a
ISBN 978-602-71279-1-9
FTK-4
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
a
b
c
Gambar 3. Amplitudo sel [1,1] pada a) simulasi tanpa anomali, b) anomali
zigzag, c) gabungan nilai amplitudo (warna ungu adalah amplitudo simulasi
tanpa anomali).
Gambar 3b menunjukkan amplitudo sel yang sama saat sistem diberi anomali
kedalaman. Dari grafik terlihat bahwa seiring berjalannya waktu, amplitudo sel
menjadi relatif lebih kecil daripada sistem fisis tanpa anomali. Hal yang sama berlaku
pada sistem dengan pemberian anomali zigzag berselang. Dari Gambar 3c terlihat
bahwa pemberian variasi lebar selang tidak begitu berpengaruh pada amplitudo sel [1,1]
relatif terhadap sistem dengan anomali lainnya.
KESIMPULAN
Hasil simulasi menunjukkan bahwa anomali kedalaman dengan konfigurasi zig-zag
menyebabkan perubahan bentuk pada gelombang yang secara alami memiliki muka
gelombang yang lurus menuju arah pantai . Penempatan anomali kedalaman yang
tepat diperlukan untuk menghasilkan bentuk gelombang yang berinterferensi destruktif
(berkelakuan sebagai pemecah ombak). Perlu dilakukan penelitian lebih lanjut dengan
memperlakukan sel yang berbatasan langsung dengan anomali kedalaman dengan
perlakuan khusus, misal dengan pemberian syarat reflektif seperti yang berlaku pada
sel-sel batas.
ISBN 978-602-71279-1-9
FTK-5
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
DAFTAR RUJUKAN
Ancey, Christope. 2007. Plasticity and Geophysical Flows.. Journal of Non-Newtonian
Fluid Mechanics (4-35). Lausanne, Switzerland: Ecole Polytechnique Federale de
Lausanne
Aref, Hassan. 2012. The Navier-Stokes equation : a Classification of Flows and Exact
Solution. Theory Computation Fluid Dynamic (26:481). Cambridge University.
Erratum. 2000. On the Derivation of the Buckley-Leverett Model from the Two Fluid
Navier-Stokes Equation in a Thin Domain Computational Geoscience. Computational
Geoscience (99-101). France : UFR Matemathique, Analyse Numerique.
Hinkelmann, Reinhard., Liang, Qiuhua., Aizinger, Vadym., Dawson, Clint. 2015. Robust
Shallow Water Model. Environ Earth Science,(74:7273-7274).
LeVeque, Randall J. 2005. Finite Difference Methods for Differential Equation. AMath
(585-586). Washington : University Of Washington.
Moler, Cleve. "Chapter 18: Shallow Water Equations." Experiments with MATLAB.
MathWorks.
Web. .
Robinson, Colin Richard. 2011. Shallow Water Equation. Syracuse University.
Setiawan, Toni. 2015. Fluida Dinamis.
Stubbe, Peter. 2015. The Euler and Navier-Stokes Equation Revisited. Physics Fluids
Dynamic.
Suhamjani, Jani. 2005. Aplikasi Lagrangian Navier-Stokes pada Turbulensi. Bogor :
Intitut Pertanian Bogor.
Thurey, Nils., Muller-Fischer, Matthias., Schrim, Simon., Gross, Markus. 2006. Realtime Breaking Waves for Shallow Water Simulation. Switzerland : ETH Zurich,
AGEIA Technologies.
Tiwow, Vistarani A., Malago, J.D. 2015. Application of Navier-Stokes Equation to
Laminar Fluid Flow Case in Unhorizontal Pipe. Jurnal Sainsmat (51-56).
Makassar:FMIPA Universitas Negeri Makassar.
Tubbs, Kevin. 2010. Lattice Boltzmann Modelling for Shallow Water Equation Using
High Performance Computing.
Zhang, Huai., Shi, Yaolin., Yuen, David A., Yan, Zhanzhan., Yuan, Xiaoru dan Zhang,
Chaofan. 2008. Modelling and Visualization of Tsunamis. Pure and Applied
Geophysics,(475-496)
ISBN 978-602-71279-1-9
FTK-6