Bentuk Umum Primal-Dual Simetrik (1)
TEORI DUALITAS MATAKULIAH RISET OPERASIONAL Pertemuan Ke 10 & 11 Pertemuan Ke-10 & 11
Riani Lubis Jurusan Teknik Informatika Jurusan Teknik Informatika Universitas Komputer Indonesia
PENGANTAR
Konsep dualitas menjelaskan secara matematis bahwa sebuah kasus PL berhubungan dengan kasus PL yang g g y g lainnya.
Istilah dualitas menunjuk pada kenyataan bahwa setiap LP terdiri atas dua bentuk, yaitu :
Primal : bentuk pertama persamaan PL
Dual : bentuk kedua persamaan PL yang berhubungan dengan bentuk pertamanya.
Penyelesaian kasus Primal secara otomatis akan menyelesaikan kasus dual, dan demikian pula sebaliknya. sebaliknya
- c
- … + c
- a
- … + a
- a
- … + a
- a
- … + a
m
m1
2
y
21
1
y
11
F.Pembatas : a
m
y
2
m ≥ c
y
2
1
y
1
F. Tujuan : Min W = b
F T j Mi W b b b
Dual :
≥ 0
n
y
1
2
a y + a y + + a y ≥ c a
≥ c
m
y
mn
2
y
2n
1
y
1n
2 ...
≥ a
≥ c
m
y
m2
2
y
22
1
y
12
, … , x
, x
n
F.Pembatas : a
≤ b
n
x
1n
2
x
12
1
x
11
n
a
x
n
2
x
2
1
x
1
F. Tujuan : Maks Z = c
Bentuk Umum Primal-Dual Simetrik (1) Primal :
1
21
1
x
x
m
≤ b
n
x
mn
2
x
m2
1
m1
x
a
2 ...
≤ b
n
x
2n
2
x
22
1
- b
- … + b
- a
- … + a
- a
- … + a
- a
- … + a
- c
- … + c
- a
- … + a
- a
- … + a
- a
- … + a
m
m1
2
y
21
1
y
11
F.Pembatas : a
m
y
2
m ≤ c
y
2
1
y
1
F. Tujuan : Maks W = b
F T j M k W b b b
Dual :
≥ 0
n
y
1
2
a y + a y + + a y ≤ c a
≤ c
m
y
mn
2
y
2n
1
y
1n
2 ...
≤ a
≤ c
m
y
m2
2
y
22
1
y
12
, … , x
, x
n
F.Pembatas : a
≥ b
n
x
1n
2
x
12
1
x
11
n
a
x
n
2
x
2
1
x
1
F. Tujuan : Min Z = c
Bentuk Umum Primal-Dual Simetrik (2) Primal :
1
21
1
x
x
m
≥ b
n
x
mn
2
x
m2
1
m1
x
a
2 ...
≥ b
n
x
2n
2
x
22
1
- b
- … + b
- a
- … + a
- a
- … + a
- a
- … + a
Hubungan Primal-Dual Simetrik (1) 1.
Koefisien fungsi tujuan pada masalah primal menjadi ruas kanan kendala fungsional pada masalah dualnya.
Sebaliknya, ruas kanan kendala fungsional pada masalah primal menjadi koefisien fungsi tujuan pada masalah primal menjadi koefisien fungsi tujuan pada masalah dual.
2. Tanda pertidaksamaan kendala dibalik.
3. Tujuan diubah dari minimasi dalam masalah primal
menjadi maksimasi dalam masalah dual, dan demikian menjadi maksimasi dalam masalah dual dan demikian pula berlaku sebaliknya.
Hubungan Primal-Dual Simetrik (2) 4.
Setiap kolom kendala fungsional pada masalah primal berhubungan dengan satu baris kendala fungsional pada masalah dual. Sehingga banyaknya kendala fungsional fungsional pada pada masalah masalah dual dual sama sama dengan dengan banyaknya variabel pada masalah primal.
5. Setiap baris kendala fungsional pada masalah primal
berhubungan dengan suatu kolom dalam masalah berhubungan dengan suatu kolom dalam masalah dual. Sehingga ada satu variabel pada masalah dual untuk setiap kendala pada masalah primal.
6. Bentuk dual dari masalah dual adalah bentuk primal. p
- 2X
- X
3 Pembatas : (1)
- X
- 3X
- 30X
- 40X
≤ ≤
3 ≥ 0
Dual : Maksimumkan W = 20X
1
2
(2)
≤5
2Y
1
2
3
(2)
(3)
1
2
3Y
1
2
3 Y
1
2
3 Y
1 , Y
2 , Y
3 ≥ 0
2 , X
40 X
1 , X
3X
Contoh P i l Primal :
Minimumkan Z =
5X
1
2
(2)
2X
1
6X
1
2
3 ≥
8X
2
X
3
5X
3 ≥ ≥
20
30 (3)
7X
1
2
3 Pembatas : (1)
- 6Y
- 7Y
- 8Y
- Y
- 5Y
- 3Y
Contoh 1
PT.XY adalah sebuah perusahaan furnitur yang memproduksi meja, kursi dan rak buku yang harus melalui memproduksi meja kursi dan rak buku yang harus melalui proses perakitan, pemolesan, dan pengepakan. Data waktu yang dibutuhkan setiap jenis produk terhadap proses dan y g j waktu yang tersedian dapat dilihat pada tabel di bawah ini :
WAKTU YANG DIBUTUHKAN (JAM/UNIT) WAKTU YANG DIBUTUHKAN (JAM/UNIT) WAKTU WAKTU PROSES
Perakitan
3
4
2
60 Pemolesan
2
1
2
40 Pengepakan Pengepakan
1
1
3
3
2
2
80 Laba ($/Unit)
80
2
4
3
PRIMAL :
Dipusatkan pada kontribusi ketiga produk Dipusatkan pada kontribusi ketiga produk Variabel Keputusan : x = jumlah produksi meja
1
x = jumlah produksi kursi
2
x = jumlah produksi rak buku
3 Fungsi Tujuan : Fungsi Tujuan :
Maksimasi Z = 2x + 4x + 3x (Laba/Unit produk)
1
2
3 Fungsi Pembatas : F i P b t
3x + 4x + 2x ≤ 60 (kebutuhan waktu proses perakitan)
1
2
3
2x 2x + x x + 2x 2x 40 (kebutuhan waktu proses pemolesan) ≤ 40 (kebutuhan waktu proses pemolesan)
1
1
2
2
3
3
x + 3x + 2x ≤ 80 (kebutuhan waktu proses pengepakan)
1
2
3
x , x , x ≥ 0
1
2
3 Jika dibayangkan ; diperlukan biaya untuk masing-masing
p proses tersebut di atas (misal biaya tenaga kerja) yang sesuai ( y g j ) y g
DUAL :
Dipusatkan pada penilaian waktu yang digunakan dalam tiga Dipusatkan pada penilaian waktu yang digunakan dalam tiga fungsi untuk memproduksi ketiga jenis produk.
Asumsi : A i y = biaya tenaga kerja/jam untuk proses perakitan
1
y y = biaya tenaga kerja/jam untuk proses pemolesan y g j j p p
2
2
y = biaya tenaga kerja/jam untuk proses pengepakan
3 Fungsi Tujuan : Fungsi Tujuan :
Minimasi W = 60y + 40y + 80y (biaya tenaga kerja ketiga proses)
1
1
2
2
3
3 Fungsi Pembatas :
3y 3y + 2y + y + 2y + y ≥ 2 (waktu proses produksi meja) ≥ 2 (waktu proses produksi meja)
1
2
3
4y + y + 3y ≥ 4 (waktu proses produksi kursi)
1
2
3
2y + 2y + 2y ≥ 3 (waktu proses produksi rak buku)
1
2
3
y , y , y ≥ 0
1
2
3
Contoh 2
Sebuah toko yang menjual keperluan pertanian menyediakan dua merek pupuk kimia (Pupuk A dan Pupuk
B). Setiap jenis pupuk mengandung campuran bahan Nitrogen dan fosfat dalam jumlah tertentu.
KANDUNGAN BAHAN KIMIA JENIS NITROGEN (KG/SAK) NITROGEN (KG/SAK) FOSFAT (KG/SAK) FOSFAT (KG/SAK)
Jenis A
2
4 Jenis B Jenis B
4
4
3
3 Seorang petani membutuhkan paling sedikit 16 Kg Nitrogen
dan 24 Kg Fosfat untuk lahan pertaniannya. Harga Pupul A dan 24 Kg Fosfat untuk lahan pertaniannya Harga Pupul A dan Pupuk B masing-masing $6 dan $3. Petani tersebut ingin mengetahui berapa sak masing masing jenis pupuk harus mengetahui berapa sak masing-masing jenis pupuk harus Fungsi Tujuan : Minimalkan Z = 6x
- 3x
- 24y
1
V i b l K t j l h k k A Variabel Keputusan : x
1
= jumlah sak pupuk A x
2
= jumlah sak pupuk B
PRIMAL : DUAL :
1
Maksimalkan W = 16y
2 Fungsi Tujuan :
2 Fungsi Pembatas :
- 4x
- 4y
- 3x
- 3y
, x
≥ 0
2
, y
1
≤ 3 y
2
1
≥ 0 4y
2
≥ 24 x
1
2x
2
1
4x
≤ 6 4 + 3 ≤ 3
1
Fungsi Pembatas : 2y
≥ 16 4 + 3 ≥ 24
2
1
2
PRIMAL :
Fungsi Tujuan : Fungsi Tujuan : Minimalkan Z = 6x + 3x
1
2 F Fungsi Pembatas : i P b t 2x
2 + 4 + 4x ≥ 16 ≥ 16
1
2
4x + 3x ≥ 24
1
2
x , , x ≥ 0
1
1
2
2 STANDAR PRIMAL :
Fungsi Tujuan : Fungsi Tujuan : Minimalkan Z = 6x + 3x + MR + MR
1
2
1
2 Fungsi Pembatas : 2x + 4x – S + R = 16
1
2
1
1
4x + 3x – S + R = 24
1
2
2
2
x x x , x , S S S , S , R R , R R ≥ 0 ≥ 0
1
2
1
2
1
2 Fungsi tujuan (baru) :
Minimalkan Z – (6 – 6M)x – (3 – 7M)x – MS – MS = 40M
1
2
1
2 Solusi optimum : X = 0, X = 8 dan Z = 24
DUAL:
Fungsi Tujuan : Fungsi Tujuan : Maksimalkan W Maksimalkan W = 16y 16y + 24y 24y
1
1
2
2 Fungsi Pembatas : 2y + 4y
≤ 6
1
2
4y 4 + 3y + 3 ≤ 3 ≤ 3
1
2
y , y ≥ 0
1
2 STANDAR DUAL:
Fungsi Tujuan : Maksimalkan W = 16y + 24y
1
2 Fungsi Pembatas : 2y + 4y + S = 6
1
2
1
4y + 3y + S = 3
1
1
2
2
2
2
y , y , S , S ≥ 0
1
2
1
2
2 S
24 S -3 1/3 1 -4/3
8
16
1
1 z
1
3
1
3
2
4
1 6 3/2 S
4
2
1
2 Solusi Rasio W 1 -16 -24 S
1 S
1
y
Iterasi Basis W y
1 S
- 3 1/3 1 -4/3
1
- y
- S
2
pada primal Maka :
S
1
(dual) x
1
(primal) = 0 S
2
(dual) x
pada dual berkorespodensi dengan x
(primal) = 8 S
2
(dual) x
2
(primal) 8
2
2
2
2 y
pada dual berkorespodensi dengan S
2 4/3 1 1/3
1
1
pada dual berkorespodensi dengan S
1
pada primal y x
2
pada primal S
pada primal
1
pada dual berkorespodensi dengan x
1 S pada primal
1
pada dual berkorespodensi dengan x
1
2
Bentuk Umum Primal-Dual Asimetrik Primal :
F. Tujuan : Min/Maks Z = c
- c
- … + c
- a
- … + a
- a
- … + a
1
2
x
n ≤ b
2
a
m1
x
1
m2
x
mn
2
x
n
= b
m
x x x ≥ 0 x
1
, x
2
, … , x
n
≥ 0
2n
x
1
1
1
2
x
2
n
x
n
F.Pembatas : a
11
x
12
22
x
2
1n
x
n
≥ b
1
a x + a x + + a x ≤ b a
21
x
- a
- … + a
Hal yang Harus Diperhatikan pada Primal Dual Asimetri Primal-Dual Asimetri 1.
Persoalan :
Maksimasi : Jika kendala primal ke-i bertanda ‘
≥’,
maka variabel dual yang berkorespondensi dengan kendala tersebut akan memenuhi y ≤ 0. i
Minimasi : Jika kendala primal ke-i bertanda ‘
≤’,
maka variabel dual yang berkorespondensi dengan k i b l d l b k d i d kendala tersebut akan memenuhi y ≤ 0. i 2.
2 Jika kendala primal ke-i bertanda ‘=‘, maka variabel Jika kendala primal ke i bertanda ‘=‘ maka variabel
dual yang berkorespondensi dengan kendala tersebut akan tidak terbatas dalam tanda. akan tidak terbatas dalam tanda.
3. Jika variabel primal ke-i tidak terbatas dalam tanda,
maka kendala dual ke-i akan bertanda ‘=‘
Transformasi PL Asimetri menjadi Simetri Transformasi PL Asimetri menjadi Simetri 1.
≥ (pada fungsi tujuan ≥’ (pada fungsi tujuan maksimasi) atau kendala ‘ ≤’ (pada fungsi tujuan minimasi) dengan bilangan ( 1). minimasi) dengan bilangan (-1).
1 Kalikan setiap kendala Kalikan setiap kendala ‘
2.
2 Ganti setiap kendala Ganti setiap kendala ‘=‘ dengan dua ketidaksamaan dengan dua ketidaksamaan
kendala (‘ ≥’ dan ‘≤’).
3. Ganti setiap variabel x tak terbatas menjadi x = x ‘-x ’’
j j j j dimana x ‘ ’’ ≥ 0, x ≥ 0. j j j j
Contoh Primal : P i l
F. Tujuan : Maks Z = x + 2x – 3x + 4x
1
2
3
4 F.Pembatas : x + 2x + 2x – 3x ≤ 25
1
2
3
4 2x + x – 3x + 2x = 15
1
2
3
4 x , x , x , x
≥ 0
1
2
3
4 C Cara 1
1 1.
Ganti kendala ‘=‘ dengan dua ketidaksamaan kendala ( (‘
≥ dan ≤ ). ≥’ dan ‘≤’) 2. Karena fungsi tujuannya maksimasi, maka kalikan kendala kendala ‘
≥ dengan bilangan (-1). ≥’ dengan bilangan (-1)
Primal :
F. Tujuan : Maks Z = x + 2x – 3x + 4x
1
2
3
4 F.Pembatas : x + 2x + 2x – 3x ≤ 25
1
1
2
2
3
3
4 2x + x – 3x + 2x
4
≤ 15
1
2
3
4 (2x + x – 3x + 2x
≥ 15) x (-1)
1
2
3
4 x , x , x , x
≥ 0
1
2
3
4
Primal :
F. Tujuan : Maks Z = x + 2x – 3x + 4x
1
2
3
4 F.Pembatas : x + 2x + 2x – 3x ≤ 25
1
2
3
4 2x + x – 3x + 2x
≤ 15
1
2
3
4
- – 2x – x + 3x – 2x
≤ – 15
1
2
3
4
F. Tujuan : Min W = 25y
- 15y
- 2y
- y
- – y
- – 3y
- –3y
- 2y
- 2y
2 ’ – y
Atau
1
2 ’ – y
2 ‘’)
F.Pembatas : y
1
2 ’ – y
2 ’’)
≥ 1 2y
1
≥ 2 2 3( ’ ’’) ≥ 3 2y
2 ’’)
1 ≥ 0 dan y
1
2 ’ – y
2 ’’)
≥ – 3
1
2 ’ – y
2 ’’)
≥ 4 y ≥ 0 dan y tidak terbatas dalam tanda y
1 ≥ 0 dan y
2 tidak terbatas dalam tanda
2 tidak terbatas dalam tanda
2 ≥ 4 y
2
2 2y
1
2 ’ – 15y
2 ‘’
F.Pembatas : y
1
2 ’ – 2y
2 ’’
≥ 1 2y + y ’ y ’’
≥ 2 2y
1
2 ≥ 2
Dual :
2y
1
2 ’ + 3y
2 ’’
≥ – 3
1
2 ’ – 2y
2 ’’
≥ 4 3y
1
F T j Mi W 25 15 ’ 15 ‘’
F. Tujuan : Min W = 25y
- 15(y
- 2(y
- (y
- – 3(y
- –3y
- 2(y
Cara 2 Primal :
F. Tujuan : Maks Z = x + 2x – 3x + 4x
1
2
3
4 F.Pembatas : x + 2x + 2x – 3x ≤ 25
1
2
3
4 2x + x – 3x + 2x = 15
1
2
3
4 x , x , x , x
≥ 0
1
2
3
4 Standar Primal :
F. Tujuan : Maks Z = x + 2x – 3x + 4x – MR
1
2
3
4
2 F.Pembatas : x + 2x + 2x – 3x + S = 25
1
2
3
4
1 2x + x – 3x + 2x + R = 15
1
2
3
4
2 x , x , x , x , S , R
≥ 0
1
2
3
4
1
2
Dual :
F. Tujuan : Min W = 25y + 15y
1
2 F.Pembatas : y + 2y ≥ 1
1
2 2y + y
≥ 2
1
2 2y – 3y
≥ – 3
1
2
- –3y + 2y
≥ 4
1
2 y + 0y
≥ 0 y ≥ 0
1
2
1 y tidak terbatas dalam tanda
2
Catatan :
Varibel artifisial tidak diperhatikan
Karena y tidak terbatas dalam tanda, maka y
2
2 memiliki dua harga yaitu y iliki d h it = (y ( ’ ’ –y ’’) ’’)
2
2
2 Min W = 25y
Standar Dual :
F. Tujuan :
- 15(y
- MR
- MR
- MR
- 2(y
- 2(y
- R
- R
- (y
- R
1
- – 3(y
- R
- –3y
- 2(y
- R
4
2 , S
2 y
2 ) S
3 R
3
3
1
2 ’ –y
2 ’’) – S
4
4 = 4 y
1 , y
2 ’ y
2 ’’, S
1 , S
3 , S
3 ,
1 3(y
1 , R
2 , R
3 , R
4 ≥ 0 y
1 , y
2 , y
2 ,
1 ,
2 ,
3 ,
4 ,
1 ,
2 ,
4 , R
3
3 = – 3 2y
2 ) MR
2 ’ –y
1
4 F Pembatas : y
3 MR
2 MR
1 MR
2 y
1
1 15(y
4 Min W 25y
3
2
1
2 ’’)+MR
2 ’’) – S
1 =
2 ’ –y
2 ’ –y
2 ’ –y
1
2y
2 = 2
2
2 ’’) – S
1
1 F.Pembatas : y
1 2y
1
1
2 ) S
2 y
1
2 ’’) – S
Sifat-Sifat Primal-Dual (1)
Sifat 1 :
Menentukan koefisien fungsi tujuan variabel-variabel M t k k fi i f i t j i b l i b l basis awal Caranya : Caranya : a.
b.
Kurangi nilai-nilai simpleks multiplier dengan fungsi g p p g g tujuan yang original dari baris-baris awal.
Sifat-Sifat Primal-Dual (2) Sifat Sifat Primal Dual (2)
Sifat 2 :
Menentukan koefisien fungsi tujuan varaibel-variabel non basis awal Caranya : a.
Subtitusikan simpleks p multiplier p p pada variabel- variabel pembatas dual
b.
Cari selisih antara ruas kiri & ruas kanan dari pembatas dua
Sifat-Sifat Primal-Dual (3) ( )
Sifat 3 :
Sifat 3 :
Menentukan nilai ruas kanan (solusi) dari variabel- variabel basis variabel basis Caranya :
Sifat-Sifat Primal-Dual (4) ( )
Sifat 4 : Sif t 4
Menentukan koefisien pembatas Caranya :
Contoh P i Primal : l
F. Tujuan : Maks Z = 4x + 6x + 2x
1
2
3 F.Pembatas : 4x – 4x ≤ 5
1
2
- – x + 6x
≤ 5
1
2
- – x + x + x
5 ≤ 5
1
2
3 x , x , x
≥ 0
1
2
3 Standar Primal/Standar Simpleks :
F. Tujuan : Maks Z = 4x + 6x + 2x
1
2
3 F.Pembatas : 4x – 4x + S = 5
1
2
1
- – x + 6x + S = 5
1
2
2
- – x + x + x + S = 5
1
2
3
3 x , x , x , S S , S S , S S
≥ 0
1
2
3
1
2
3 Jika salah satu iterasinya adalah sbb (belum tentu tabel optimal): optimal):
Sifat 1 : mencari Simpleks Multifier (SM) maka diperoleh : maka diperoleh : a 3/2 – S = 3/2 – 0 = 3/2
1 b b 2 – S
2 S = 2 – 0 = 2
2
2
2 c 0 – S = 0 – 0 = 0
3
Sifat 2 : F.Pembatas Dual : 4y – y – y ≥ 4
1
2
3
1
2
3 y y ≥ 2
- –4y + 6y + y ≥ 6
3
3 Dimana dari sifat 1 diperoleh : Dimana dari sifat 1 diperoleh :
SM = [3/2 2 0] = [ y y y ]
1
2
3 Jadi diperoleh : Jadi diperoleh : d 4(3/2) – 2 – 0 – 4 = 0 e – 4(3/2) + 6(2) + 0 – 6 = 0 4(3/2) 6(2)
6 f 0 – 2 = – 2
Sifat 3 : maka diperoleh : maka diperoleh : g 5/2 h h 5/4 5/4 i 6 1/4
Sifat 4 :
Untuk mencari nilai “t”, masukkan nilai-nilai X , X , dan
1
2 X X yang sudah diketahui pada fungsi tujuan original : yang sudah diketahui pada fungsi tujuan original :
3 t = 4 (5/2) + 6 (5/4) + 2(0) = 17 1/2