1sistbilreal3
Sistem Bilangan Riil
Sistem bilangan
N : bilangan
asli
Z : bilangan bulat
Q : bilangan rasional
R : bilangan real
N:
1,2,3,….
Z:
…,-2,-1,0,1,2,..
Q:
a
q , a, b Z , b 0
b
R Q Irasional
Contoh Bil Irasional
2 , 3,
MA 1114 Kalkulus 1
2
Garis bilangan
Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut
dengan garis bilangan(real)
2
-3
0 1
Selang
Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang
MA 1114 Kalkulus 1
3
Selang
Jenis-jenis selang
Himpunan
x x a
x x a
x a x b
x a x b
x x b
x x b
x x
selang
, a
Grafik
a
, a
a
a, b
a, b
b,
a
b
a
b
b
b,
b
,
MA 1114 Kalkulus 1
4
Sifat–sifat bilangan real
•
Sifat-sifat urutan :
Trikotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku
salah satu dari x < y atau x > y atau x = y
Ketransitifan
Jika x < y dan y < z maka x < z
Perkalian
Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz,
sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz
MA 1114 Kalkulus 1
5
Pertidaksamaan
Pertidaksamaan
satu variabel adalah suatu
bentuk aljabar dengan satu variabel yang
dihubungkan dengan relasi urutan.
Bentuk umum pertidaksamaan :
A x D x
B x E x
dengan A(x),
B(x), D(x), E(x) adalah suku
banyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0
MA 1114 Kalkulus 1
6
Pertidaksamaan
Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah
mencari semua himpunan bilangan real yang
membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan
bilangan real ini disebut juga Himpunan
Penyelesaian (HP)
Cara menentukan HP :
1.
Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
P( x)
0,
Q( x)
dengan cara :
MA 1114 Kalkulus 1
7
Pertidaksamaan
2.
3.
Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan
Menyamakan penyebut dan menyederhanakan
bentuk pembilangnya
Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan
penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan
menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat
Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada
garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -)
pertidaksamaan di setiap selang bagian yang
muncul
MA 1114 Kalkulus 1
8
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
1
13 2 x 3 5
13 3 2 x 5 3
16 2 x 8
8 x 4
4 x 8
Hp = 4,8
4
MA 1114 Kalkulus 1
8
9
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
2
2 6 4 x 8
8 4 x 2
8 4 x 2
2 4 x 8
1
x 2
2
1
Hp ,2
2
1
2
MA 1114 Kalkulus 1
2
10
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
2
2
x
5x 3 0
3
2 x 1 x 3 0
1
Titik Pemecah (TP) : x
2
++
--
1
2
dan
x 3
++
3
1
Hp = 2 ,3
MA 1114 Kalkulus 1
11
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
4 2 x 4 6 7 x 3 x 6
dan 6 7 x 3 x 6
2 x 4 6 7 x
2 x 7 x 6 4
9 x 10
10
x
9
10
x
9
dan 7 x 3 x 6 6
dan
10 x 0
dan
10 x 0
dan
x 0
MA 1114 Kalkulus 1
12
10
Hp = , 0,
9
0
10
9
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
10
Hp = 0,
9
MA 1114 Kalkulus 1
13
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
1
2
5.
x 1 3x 1
1
2
0
x 1 3x 1
--1
3x 1 2 x 2 0
x 1 3x 1
x 3
0
x 1 3x 1
1
,3
TP : -1,
3
++
1
-3
++
3
1
Hp = , 1 ,3
3
MA 1114 Kalkulus 1
14
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
6.
x 1
x
2 x 3 x
x 1
x
0
2 x 3 x
x 1 3 x x 2 x 0
2 x 3 x
2x2 2x 3
0
2 x x 3
MA 1114 Kalkulus 1
15
Untuk pembilang 2 x 2 2 x 3 mempunyai nilai
Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu
positif, Jadi TP : 2,-3
Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah.
--
++
-3
Hp =
-2
, 3 2,
MA 1114 Kalkulus 1
16
Pertidaksamaan nilai mutlak
Nilai
mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai
jarak x dari titik pusat pada garis bilangan,
sehingga jarak selalu bernilai positif.
Definisi nilai mutlak :
x , x 0
x
x ,x 0
MA 1114 Kalkulus 1
17
Pertidaksamaan nilai mutlak
Sifat-sifat nilai mutlak:
1
2
x x2
4
x y
5
x
x
y
y
x a, a 0 a x a
x a
3 x a, a 0 x atau
a
x2 y 2
6. Ketaksamaan segitiga
xy x y
x y x y
MA 1114 Kalkulus 1
18
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Contoh :
1. 2 x 5 3
Kita bisa menggunakan sifat ke-2.
3 2x 5 3
5 3 2x 3 5
2 2x 8
1 x 4
Hp = 1,4
1
MA 1114 Kalkulus 1
4
19
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
2.
2x 5 3
Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4,
karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.
2 x 5 9
2
4 x 20 x 16 0
2
4 x 2 20 x 25 9
2
2 x 10 x 8 0
2 x 2 x 4 0
++
-1
++
4
Hp = 1,4
TP : 1, 4
MA 1114 Kalkulus 1
20
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian pake definisi
3. 2 x 3 4 x 5
Kita bisa menggunakan sifat 4
2 x 3 4 x 5
2
2
4 x 2 12 x 9 16 x 2 40 x 25
12 x 2 28 x 16 0
2
3x 7 x 4 0
TP :
4 , -1
3
MA 1114 Kalkulus 1
21
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Jika digambar pada garis bilangan :
++
-4
3
++
-1
4
Hp = , , 1
3
MA 1114 Kalkulus 1
22
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
4.
x
7 2
2
x
7 2
2
x
5
2
x 10
atau
atau
atau
x
7 2
2
x
9
2
x 18
Hp = 10, , 18
-18
-10
MA 1114 Kalkulus 1
23
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
5. 3 x 2 x 1 2
Kita definisikan dahulu :
x 1 x 1
x 1
x 1 x 1
x 2 x 2
x 2
2 x x 2
Jadi kita mempunyai 3 interval :
I
II
III
1,2
, 1
-1
2,
2
MA 1114 Kalkulus 1
24
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
I. Untuk interval x 1
atau
, 1
3 x 2 x 1 2
3 2 x x 1 2
6 3 x x 1 2
7 2 x 2
2 x 9
2 x 9
9
x
2
atau
9
,
2
MA 1114 Kalkulus 1
25
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
9
Jadi Hp1 = , , 1
2
-1
9
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah , 1
sehingga Hp1 = , 1
MA 1114 Kalkulus 1
26
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
II. Untuk interval 1 x 2
atau
1,2
3 x 2 x 1 2
3 2 x x 1 2
6 3 x x 1 2
5 4 x 2
4 x 7
4 x 7
7
x
4
7
atau ,
4
MA 1114 Kalkulus 1
27
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
7
Jadi Hp2 = , 1,2
4
-1
7
4
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
7
bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah
1, 4
7
sehingga Hp2 = 1,
4
MA 1114 Kalkulus 1
28
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
III. Untuk interval
atau 2,
x 2
3 x 2 x 1 2
3 x 2 x 1 2
3 x 6 x 1 2
2 x 7 2
2 x 5
5
x
2
atau
5
2 ,
MA 1114 Kalkulus 1
29
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Jadi Hp3 = 5 , 2,
2
2
5
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah 5
sehingga
2 ,
5
Hp3 = ,
2
MA 1114 Kalkulus 1
30
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Hp = Hp1 Hp2 Hp3
7 5
Hp , 1 1, ,
4 2
Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval
digambarkan dalam sebuah garis bilangan
MA 1114 Kalkulus 1
31
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
-1
7
-1
7
-1
7
4
5
2
5
4
4
5
2
2
7 5
Jadi Hp = , ,
4 2
MA 1114 Kalkulus 1
32
Soal Latihan
Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
1 x 2 1 x
4 2x
x 2 x 1
2
2
x
x 3
3 2 x 3 2 x 3
2
4 x 1 2 x 2 2
5 2x 3 4x 5
6 x 3 x 2
MA 1114 Kalkulus 1
33
Sistem bilangan
N : bilangan
asli
Z : bilangan bulat
Q : bilangan rasional
R : bilangan real
N:
1,2,3,….
Z:
…,-2,-1,0,1,2,..
Q:
a
q , a, b Z , b 0
b
R Q Irasional
Contoh Bil Irasional
2 , 3,
MA 1114 Kalkulus 1
2
Garis bilangan
Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut
dengan garis bilangan(real)
2
-3
0 1
Selang
Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang
MA 1114 Kalkulus 1
3
Selang
Jenis-jenis selang
Himpunan
x x a
x x a
x a x b
x a x b
x x b
x x b
x x
selang
, a
Grafik
a
, a
a
a, b
a, b
b,
a
b
a
b
b
b,
b
,
MA 1114 Kalkulus 1
4
Sifat–sifat bilangan real
•
Sifat-sifat urutan :
Trikotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku
salah satu dari x < y atau x > y atau x = y
Ketransitifan
Jika x < y dan y < z maka x < z
Perkalian
Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz,
sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz
MA 1114 Kalkulus 1
5
Pertidaksamaan
Pertidaksamaan
satu variabel adalah suatu
bentuk aljabar dengan satu variabel yang
dihubungkan dengan relasi urutan.
Bentuk umum pertidaksamaan :
A x D x
B x E x
dengan A(x),
B(x), D(x), E(x) adalah suku
banyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0
MA 1114 Kalkulus 1
6
Pertidaksamaan
Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah
mencari semua himpunan bilangan real yang
membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan
bilangan real ini disebut juga Himpunan
Penyelesaian (HP)
Cara menentukan HP :
1.
Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
P( x)
0,
Q( x)
dengan cara :
MA 1114 Kalkulus 1
7
Pertidaksamaan
2.
3.
Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan
Menyamakan penyebut dan menyederhanakan
bentuk pembilangnya
Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan
penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan
menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat
Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada
garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -)
pertidaksamaan di setiap selang bagian yang
muncul
MA 1114 Kalkulus 1
8
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
1
13 2 x 3 5
13 3 2 x 5 3
16 2 x 8
8 x 4
4 x 8
Hp = 4,8
4
MA 1114 Kalkulus 1
8
9
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
2
2 6 4 x 8
8 4 x 2
8 4 x 2
2 4 x 8
1
x 2
2
1
Hp ,2
2
1
2
MA 1114 Kalkulus 1
2
10
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
2
2
x
5x 3 0
3
2 x 1 x 3 0
1
Titik Pemecah (TP) : x
2
++
--
1
2
dan
x 3
++
3
1
Hp = 2 ,3
MA 1114 Kalkulus 1
11
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
4 2 x 4 6 7 x 3 x 6
dan 6 7 x 3 x 6
2 x 4 6 7 x
2 x 7 x 6 4
9 x 10
10
x
9
10
x
9
dan 7 x 3 x 6 6
dan
10 x 0
dan
10 x 0
dan
x 0
MA 1114 Kalkulus 1
12
10
Hp = , 0,
9
0
10
9
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
10
Hp = 0,
9
MA 1114 Kalkulus 1
13
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
1
2
5.
x 1 3x 1
1
2
0
x 1 3x 1
--1
3x 1 2 x 2 0
x 1 3x 1
x 3
0
x 1 3x 1
1
,3
TP : -1,
3
++
1
-3
++
3
1
Hp = , 1 ,3
3
MA 1114 Kalkulus 1
14
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
6.
x 1
x
2 x 3 x
x 1
x
0
2 x 3 x
x 1 3 x x 2 x 0
2 x 3 x
2x2 2x 3
0
2 x x 3
MA 1114 Kalkulus 1
15
Untuk pembilang 2 x 2 2 x 3 mempunyai nilai
Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu
positif, Jadi TP : 2,-3
Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah.
--
++
-3
Hp =
-2
, 3 2,
MA 1114 Kalkulus 1
16
Pertidaksamaan nilai mutlak
Nilai
mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai
jarak x dari titik pusat pada garis bilangan,
sehingga jarak selalu bernilai positif.
Definisi nilai mutlak :
x , x 0
x
x ,x 0
MA 1114 Kalkulus 1
17
Pertidaksamaan nilai mutlak
Sifat-sifat nilai mutlak:
1
2
x x2
4
x y
5
x
x
y
y
x a, a 0 a x a
x a
3 x a, a 0 x atau
a
x2 y 2
6. Ketaksamaan segitiga
xy x y
x y x y
MA 1114 Kalkulus 1
18
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Contoh :
1. 2 x 5 3
Kita bisa menggunakan sifat ke-2.
3 2x 5 3
5 3 2x 3 5
2 2x 8
1 x 4
Hp = 1,4
1
MA 1114 Kalkulus 1
4
19
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
2.
2x 5 3
Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4,
karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.
2 x 5 9
2
4 x 20 x 16 0
2
4 x 2 20 x 25 9
2
2 x 10 x 8 0
2 x 2 x 4 0
++
-1
++
4
Hp = 1,4
TP : 1, 4
MA 1114 Kalkulus 1
20
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian pake definisi
3. 2 x 3 4 x 5
Kita bisa menggunakan sifat 4
2 x 3 4 x 5
2
2
4 x 2 12 x 9 16 x 2 40 x 25
12 x 2 28 x 16 0
2
3x 7 x 4 0
TP :
4 , -1
3
MA 1114 Kalkulus 1
21
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Jika digambar pada garis bilangan :
++
-4
3
++
-1
4
Hp = , , 1
3
MA 1114 Kalkulus 1
22
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
4.
x
7 2
2
x
7 2
2
x
5
2
x 10
atau
atau
atau
x
7 2
2
x
9
2
x 18
Hp = 10, , 18
-18
-10
MA 1114 Kalkulus 1
23
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
5. 3 x 2 x 1 2
Kita definisikan dahulu :
x 1 x 1
x 1
x 1 x 1
x 2 x 2
x 2
2 x x 2
Jadi kita mempunyai 3 interval :
I
II
III
1,2
, 1
-1
2,
2
MA 1114 Kalkulus 1
24
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
I. Untuk interval x 1
atau
, 1
3 x 2 x 1 2
3 2 x x 1 2
6 3 x x 1 2
7 2 x 2
2 x 9
2 x 9
9
x
2
atau
9
,
2
MA 1114 Kalkulus 1
25
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
9
Jadi Hp1 = , , 1
2
-1
9
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah , 1
sehingga Hp1 = , 1
MA 1114 Kalkulus 1
26
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
II. Untuk interval 1 x 2
atau
1,2
3 x 2 x 1 2
3 2 x x 1 2
6 3 x x 1 2
5 4 x 2
4 x 7
4 x 7
7
x
4
7
atau ,
4
MA 1114 Kalkulus 1
27
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
7
Jadi Hp2 = , 1,2
4
-1
7
4
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
7
bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah
1, 4
7
sehingga Hp2 = 1,
4
MA 1114 Kalkulus 1
28
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
III. Untuk interval
atau 2,
x 2
3 x 2 x 1 2
3 x 2 x 1 2
3 x 6 x 1 2
2 x 7 2
2 x 5
5
x
2
atau
5
2 ,
MA 1114 Kalkulus 1
29
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Jadi Hp3 = 5 , 2,
2
2
5
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan
bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah 5
sehingga
2 ,
5
Hp3 = ,
2
MA 1114 Kalkulus 1
30
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
Hp = Hp1 Hp2 Hp3
7 5
Hp , 1 1, ,
4 2
Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval
digambarkan dalam sebuah garis bilangan
MA 1114 Kalkulus 1
31
Contoh : Menentukan Himpunan
Penyelesaian
-1
7
-1
7
-1
7
4
5
2
5
4
4
5
2
2
7 5
Jadi Hp = , ,
4 2
MA 1114 Kalkulus 1
32
Soal Latihan
Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
1 x 2 1 x
4 2x
x 2 x 1
2
2
x
x 3
3 2 x 3 2 x 3
2
4 x 1 2 x 2 2
5 2x 3 4x 5
6 x 3 x 2
MA 1114 Kalkulus 1
33