2. DERET FOURIER - DERET FOURIER.pdf

2. DERET FOURIER
Fungsi Periodik
Deret Fourier Trigonometri
Identitas Parseval
Terapan Deret Fourier

oleh : Marwan dan Joedono






2.1. Fungsi Periodik
Definisi 1
Suatu fungsi f disebut fungsi periodik jika terdapat bilangan real positif
2p, sehingga untuk tiap t berlaku
f(t+2p) = f(t)
Bilangan positif 2p dinamakan perioda fungsi f.

y

0

2p

Gambar 1 :

4p

6p

t

Contoh grafik suatu fungsi periodik
dengan perioda 2p

Bila 2p merupakan perioda fungsi f, maka :
f(t) = f(t+2p) = f[(t+2p)+2p] = f(t+4p).
Jadi 4p juga perioda fungsi f. Dengan cara serupa, akan diperoleh periodaperioda fungsi f, yaitu 4p, 6p, 8p,.... Secara umum dapat dikatakan bila 2p
adalah perioda fungsi f, maka 2np (n=1,2,3,...) juga merupakan perioda f.

Perioda terkecil suatu fungsi disebut Perioda Dasar (fundamental period).
Tidak semua fungsi periodik mempunyai perioda dasar (misalnya fungsi
konstan y=k).

Deret Fourier

1

Contoh 1
1. f(t) = k , k konstan.
Setiap bilangan real positif 2p merupakan perioda fungsi f sebab :
f(t+2p) = k = f(t).
Mengingat tidak ada nilai 2p terkecil untuk f tersebut, maka fungsi f
tidak mempunyai perioda dasar.
2. g(t)=sin(ωt), dengan ω suatu bilangan real positif, maka perioda dasar
fungsi g adalah 2π/ω.
3. h(t)=tan(t), adalah suatu fungsi periodik dengan perioda dasar π,
meskipun t an (π 2 + n π) =tidak terdefinisi untuk n=1,2,3,...
4. y(x)=sin(3x)+cos(2x) adalah fungsi periodik dengan perioda dasar 2π,
sebab :

sin(3x), perioda dasar T1=2π/3
cos(2x), perioda dasar T2=π, maka
Perioda dasar sin(3x)+cos(2x), T=KPK{T1,T2}=2π
(KPK=Kelipatan Persekutuan terKecil)
Grafik fungsi y(x) dapat dilihat pada gambar berikut

Gambar 2 : Grafik y(x)=sin(3x)+cos(2x)
∞

nπx 
nπx
 , p konstan. Perioda dasar f adalah
5. f ( x ) = ∑  cos
+ sin
p 
p
n =1 

T=KPK{2p ,2p/2 ,2p/3 ,2p/4 ,⋅⋅⋅⋅}=2p.
Untuk selanjutnya, perioda dasar disebut perioda saja.

Deret Fourier

2

2.2. Deret Fourier Trigonometri
Definisi 2
Diketahui fungsi f terdefinisi pada interval (-p,p) sedemikian hingga
integral-integral :
p

∫ f( x) sin

-p

n πx
dx
p

p

∫ f( x) cos

dan

-p

n πx
dx ada, untuk n=0,1,2,...
p

Deret Fourier (Trigonometri) fungsi f pada interval (-p,p) didefinisikan
oleh :
f( x) =

1
2

a0 +



∞

∑  a

n =1



n

cos

n πx 
n πx

+ b n sin
p 
p

dengan
1
an =
p
1
bn =
p

p

∫ f( x) cos

-p
p

∫ f( x) sin

-p

n πx
dx , n=0,1,2,3,....
p
n πx
dx , n=1,2,3,....
p

an dan bn disebut Koefisien Fourier fungsi f.
Contoh 2:
Diketahui f fungsi periodik dengan definisi pada satu perioda
, −π