S1-MATEMATIKA I (MATEMATIKA EKONOMI)

  S1- MATEMATIKA I BAHAN 6  LIMIT FUNGSI (LIMITS OF FUNCTIONS)

 KONTINUITAS FUNGSI (FUNCTION CONTINUITY

OR CONTINUOUS FUNCTIONS)

  

Bahan 6.1.

  

LIMIT FUNGSI (LIMITS OF FINCTIONS)

A. BARISAN (SEQUENCES) VS.

LIMIT FUNGSI (LIMITS OF FUNCTIONS)

  Contoh : Sequence : _{n n} f(n) = 2 + 1/10 → 2,1, 2,01, 2,001, 2,0001, …, 2 + 1/10 maka : ₂ Limit dari fungsi f(x) = x , dimana variabel x bergerak diatas sequence itu menuju 2 atau x→2, ₂ sehingga f(x) = x menuju 4, yaitu : _{n 2}

  4,41, 4,0401, 4,004001, …, {(2 + 1/10 ) = 4} pada x menjadi 2 _n untuk x = 2 + 1/10 dengan n→∞ ₂

  x

  4 

  jadi

  lim _{x  2} B. LIMIT FUNGSI (LIMITS OF FUNCTIONS) : DEFINISI & PEMBUKTIANNYA,

1. Definisi

  f ( x )  A 

  → apabila untuk setiap bilangan positif sekecil apapun,

  lim _{x  a} 

  maka dapat diperoleh bilangan positif (besarnya tergantung

  

  ) _{x  a}

  f ( x )  _{ A  }

  sehingga jika 0 < < , berarti : | | | | | | | |

  

a a a A A _{   A }  X   f(x )  Jadi x→a (variabel x bergerak menuju dan hanya dekat ke titik atau angka a di atas sequence), maka fungsi f(x) menuju dan hanya dekat ke nilai atau angka A.

2. Pembuktian Definisi Limit Fungsi

  Contoh : _{x jika x  2 2}

  f ( x ) _{ jika x  2}

  sehingga jika x→2, maka f(x) →4, jadi ₂ 

  x 

  4 lim _{x  2} Bukti

  1  

  Pilih , maka _{x  a x  2}

  

  1

  0 < < menjadi 0 < < yang berarti 1< x < 3 untuk x ≠ 2 _{x 2            4 ( x 2 )( x 2 ) x 2 x 2 x 2  5} Karena _ . _ 1 atau  /

  ₂

5 Dengan pilih atau mana yang terkecil, sehingga

  f ( x )  x  4   x  _{ A } ² 

  menjadi jika 0 < < (=1), jadi terbukti. _{x  4   2 }

  

  Misal, ingin (=0,05), jadi = _{x  2} ^{5 = 0,01, jadi jika}

  

  0 < < (=0,01), maka 1,99 < x < 2,01 (x ≠ 2), sehingga _{2 2} 3,9601 < x < 4,0401 atau ─ 0,0399 < x ─ 4 < 0,0401 _{2 2} berarti |x ─ 4| < 0,05 dimana (x ≠ 4) _{x  2  4  }

  1



  Misal, ingin (=6) dan pilih , juga terbukti, coba!

3. Limit Fungsi Unik

  f ( x ) A 

  Pada , variable x menuju titik atau angka a bisa dari kiri

  lim _{x a }

• _{+ ─}

  atau x→a , atau dari kanan yaitu x→a , sehingga

  

f ( x ) A f ( x ) A

 ₁

   ₂

  (left hand limit) dan (right hand

  lim lim _{x  a  x  a }

  limit)

  f ( x ) A 

  Maka (unik atau hanya satu-satunya)

  lim _{x a }

  hanya apabila benar2 (if and only if)

  f ( x ) A f ( x ) A   _{1 2}

  { } = { }

  lim lim _{x a x a    } Bukti : _{  }

  

  Untuk , maka bisa diperoleh , sehingga _{x  a x  a}

  f ( x )  A  / _{1  } 2 f ( x )  A  / _{2 }

  2

  jika 0 < < dan jika 0 < <

  

  2      ^A = < <  Karena sangat kecil dan bahkan menjadi 0, maka A =A , jadi terbukti. _{1 2}

• A 
^{1 2 A f ( x ) f ( x ) A f ( x ) f ( x ) A} _{1    2 A  1  2 /} 2 /

  4. Infinity

   Infinite limits

  f ( x )  

  (infinite) :

  lim _{x  a}

  apabila untuk bilangan positif M (apapun besarnya), terdapat _{x  a}

  f ( x )  M 

   bilangan positif sehingga jika 0 < < . f ( x )   

  Juga, (infinite) :

  lim _{x a }

  apabila untuk bilangan positif M (apapun besarnya), terdapat

  f ( x ) M x  a _{ } 

   bilangan positif sehingga jika 0 < < . _{─ +} Juga berlaku untuk notasi dengan x→a dan x→a .

   x→∞

  f ( x )  A 

  → apabila untuk setiap bilangan positif sekecil

  lim _{x  } 

  apapun, maka dapat diperoleh bilangan positif

  f ( x )  A   _x 

  jika > M → bandingkan dengan definisi di atas.

  f ( x )  

  (infinite) :

  lim _{x  }

  apabila untuk bilangan positif M (apapun besarnya), terdapat

  

f ( x ) M x

_ bilangan positif P sehingga jika > P.

  5. Teori Limit Fungsi f ( x )  A f ( x )  B

  Dengan dan

  lim lim _{x  a x  a} f ( x )  A

f ( x ) A

  

  1). (konstan) → apabila (konstan)

  lim _{x  a}

  k . f ( x )  k . A 2). lim _{x  a n n} f ( x ) n f ( x )

  

  3). = A → (bilangan riil)

  lim lim _{x a a  x} f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )

  

   

4).

  A  B

  lim lim lim _{x a x a x a   } f ( x ) . g ( x ) f ( x ) g ( x )

   

  5). . A . B

  lim lim lim _{x a x a x a  } lim f ( x ) f ( x ) A _{x a } dan B

     lim 6). g ( x ) _{x  a} lim g ( x ) B _{x  a}

  Catatan : Konsep dari limit (the concept of limit) → Lihat C&W (Book 1) Ch. 6 hal. 129-135).

  Teori limit (limit theorems) → Lihat C&W (Book 1) Ch.6 hal. 139-141).

6. Contoh

  x   1). lim _{x  1 } 1 x

  1 ₂   lim _{x  1 } 1 x ₂

  ( x  5 )   3). lim _{x   2}

  ( 2  x )    4). lim _{x   x}

    ^{1 x} _ 

  2

  5). (buktikan dan bandingkan dengan contoh di atas) ₁

  lim _{x  1 2}   ^{1 x} _{2  2}

  ( x  5 )  ( 2  x ) 

  7

  6). (bandingkan dengan contoh di atas)

  lim _{x  }

  7). Special limits :

  

  e x ^{x x}  

        _{ }

  1

  1

  lim dan

      e x ^x _{x }

_

^{/ 1}

  1

lim

  

  1

  1 lim

    _ x e ^x _x

  

  1 ln

  1 lim ₁

    _ x x _x

7. Soal Latihan 1).

  1

  4 _{2 1} lim

  2 ₃ ³ ₁ lim x x _x

  1

     

      _{ } x x x _x 7).

  2 ₃ ² lim

  4

  1

      _{ x} x _x 6).

  4 ₃ ³ ₂ lim

  3

  5

  6

      _ x x x _x 5).

  12

  3

  1

  7

  _{ } x f _x ) ( lim ₃ x f x 4).

  ) ( lim ₃

  b). Cari

  _{ } x f _x

  ) ( lim ₃

  a). Cari

  8

  1 lim x x

     _ ^{4 1 )} 1 (

        _ x x x x _x 2).

  2 ^{2 3 4} ₁ lim

  6

  Mm 3). _ ^{       3 , 3 3 3 ) ( x x x x x f}

  

Bahan 6.2.

  KONTINUITAS FUNGSI (FUNCTION CONTINUITY OR CONTINUOUS FUNCTIONS)

1. Tiga syarat untuk fungsi kontinyu (continuous functions)

  Fungsi f(x) dinyatakan kontinyu pada titik atau angka x = x , apabila 3 syarat dipenuhi :

  1). f(x) pada x = x , atau f(x ), diperoleh (defined). f ( x ) angka ( diperoleh )

  

  2). lim _{x x }

  f ( x )  f ( x ) lim 3). _{x  x}

   Fungsi dinyatakan continuous pada suatu interval (open or closed), apabila continuous di setiap titik pada suatu interval. ₂

• 1 continuous pada x = 2 karena  f(x) = x

  f ( x ) f ( x 2 )   lim _{x  x 2} = 5 → tiga syarat di atas dipenuhi.

  4 x _{ tidak continuous pada x = 3 karena f(x=3) = 5}

   f(x) = _{ 1} adalah angka imaginer → tiga syarat di atas tidak dipenuhi.

   Jadi, fungsi dinyatakan continuous, apabila fungsi continuous pada setiap titik di atas domain fungsinya :

  2

• 1 (serta semua fungsi polynomial pada x, juga  Maka f(x) = x demikian untuk fungsi rasional sepanjang fungsi pada penyebut tidak nol) adalah continuous function.

   Hanya di atas an open interval a < x < b pada domain

  f ( x ) f ( a )

   fungsinya, karena : lim dan _{x  a }

  f ( x ) f ( b )

  

  lim _{x b  }

  Sedangkan dua limit itu tidak diperoleh apabila di atas a closed interval a ≤ x ≤ b.  Kanan dan kiri kontinuitas (right and left hand continuity)

  Apabila f(x) terdefinisi (is defined) hanya pada interval x ≥ x , maka f(x) continuous (on the right) pada x = x , jika :

  f ( x ) f ( x )

  

  lim

• ⁺ _{x x  }

  yaitu f(x ) = f(x ) Apabila f(x) terdefinisi (is defined) hanya pada interval x ≤ x , maka f(x) continuous (on the left) pada x = x , jika :

  f ( x ) f ( x ) ─

  

  lim _{x  x } yaitu f(x ) = f(x )

  2. Contoh Continuous Functions dan Discontinuous Functions _{x jika x  2 2} f ( x ) 

  1). jika x  ²

  sehingga jika x→2, maka f(x) →4, jadi ₂ 

  x 

  4 lim _{x  2} Jadi f(x) continuous selain pada x = 2. _{2 2} x 

  4 Tapi f(x) = x untuk semua x, maka , jadi continuous lim _{x  2} pada semua titik termasuk x =2.

  f(x)

  1 2). f(x) = x _

  2

  discontinuous pada x = 2 0 2 x

  f ( x ) karena f(2) dan lim ₂ x tidak diperoleh (exists).

  Bahkan berupa

  infinite discontinuous. _{2 }

  x

  4

  3). f(x) = f(x)

  x 

  2

  4 ○

  discontinuous pada x =2

  karena terdapat lubang (a hole) sehingga f(2) tidak diperoleh (defined) yaitu 0/0, walaupun

  f ( x )

  4 

  (defined). 0 2 x

  lim _{x  2} Discontinuity dimaksud dapat dihilangkan (removable) dengan

  meredefinisi fungsi menjadi : _{2 }

  x

  4

  f(x) = ; x ≠ 2

  x 

  2 ₂ x 

  4 Catatan grafik atau kurva f(x) = dan g(x) = x + 2 sama, x 

  2 Kecuali pada fungsi rasional itu terdapat lubang ( a hole).

  Catatan : Fungsi kontinyu dan layak mempunyai derivatif (continuity and differentiability of a function) → Lihat C&W (Book 1) Ch. 6 hal. 141- 146).