05. Analisis Kestabilan Sistem.PDF (319Kb)
Ì Pendahuluan Ì Dasar Root Locus Ì
Plot Root Locus
Ì Aturan-Aturan Penggambaran Root Locus Ì
Root Locus Melalui MATLAB
Ì Kasus Khusus Ì Analisis Sistem Kendali Melalui Root Locus Ì Root Locus untuk Sistem dengan
Transport Lag
Ì PENDAHULUAN
n Karakteristik tanggapan transient sistem loop tertutup dapat ditentukan dari lokasi pole-pole (loop tertutupnya). n Bila K berubah, maka letak pole-pole nya juga berubah. n Perlu pemahaman pola perpindahan letak pole-pole dalam bidang s. n Desain sistem kendali melalui gain adjusment: pilih
K sehingga pole-pole terletak ditempat yang diinginkan. n Desain sistem kendali melalui kompensasi: memindahkan letak pole yang tak diinginkan melalui pole-zero cancellation. n Mencari akar-akar persamaan karakteristik untuk orde tinggi sulit, terlebih dengan K sebagai variabel.
(Alternatif: gunakan MATLAB ?!) n W.R. Evan mengembangkan metoda untuk mencari akar-akar persamaan orde tinggi : metoda Root Locus. n Root Locus: tempat kedudukan akar-akar persamaan karakterstik dengan K = 0 sampai K = tak hingga. n Melalui Root Locus dapat diduga pergeseran letak pole-pole terhadap perubahan K, terhadap penambahan pole-pole atau zero-zero loop terbuka.
Ì DASAR ROOT LOCUS
Persamaan Karakteristik: s
2
- 2s + K =0 Akar-akar Persamaan Karakteristik : s K K
= − ± − = − ± −
2 4 4
2
1
1
s
2
- 2 1 -1 -1 2 -1+j1 -1+j1 10 -1+j3 -1+j3 101 -1+j10 -1+j10
K=0) dan berakhir di zero-zero G(s)H(s) (untuk K →∞ ) termasuk zero-zero pada titik takhingga. n Root Locus cukup bermanfaat dalam desain sistem kendali linear karena Root Locus dapat menunjukkan pole-pole dan zero-zero loop terbuka mana yang harus diubah sehingga spesifikasi unjuk kerja sistem dapat dipenuhi. n Pendekatan desain melalui Root Locus sangat cocok diterapkan untuk memperoleh hasil secara cepat. n Sistem kendali yang membutuhkan lebih dari 1 parameter untuk diatur masih dapat menggunakan pendekatan Root Locus dengan mengubah hanya 1 parameter pada satu saat. n Root Locus sangat memudahkan pengamatan pengaruh variasi suatu parameter (K) terhadap letak pole-pole. n Sketsa Root Locus secara manual tetap dibutuhkan untuk dapat memahaminya dan untuk memperoleh idea dasar secara cepat, meskipun MATLAB dapat melakukannya secara cepat dan akurat. n Spesifikasi transient (koefisien redaman) dapat ditentukan dengan mengatur nilai K melalui Root
Locus.
Ì PLOT ROOT LOCUS
Persamaan Karakteristik: 1 + G(s)H(s) = 0 Atau:
G(s)H(s) = -1, Sehingga:
(2k+1); (syarat ÉG(s)H(s) = ! 180 sudut) k = 0, 1, 2, ….
| G(s)H(s)| = 1 (syarat magnitude)
Ì PROSEDUR PENGGAMBARAN ROOT LOCUS
1. Letakkan pole-pole dan zero-zero loop terbuka pada bidang s.
2. Tentukan Root Locus pada sumbu nyata.
- Syarat Sudut: (2k+1); k = 0, 1, 2, ….
ÉG(s)H(s) = ! 180 Ambil titik test : bila jumlah total pole dan zero
- dikanan titik ini ganjil, maka titik tsb terletak di Root Locus.
3. Tentukan asimtot Root Locus:
- Banyaknya asimtot = n – m n = banyaknya pole loop terbuka m= banyaknya zero loop terbuka
±
- 180 (2k 1)
- Sudut-sudut asimtot =
n − m
k=0, 1, 2, …
• Titik Potong asimtot-asimtot pada sumbu nyata:
letak pole berhingga − letak zero berhingga ( ) ( ) σ a ∑ ∑
= n − m
4. Tentukan titik-titik break-away dan titik-titik break-in: Untuk Persamaan Karakteristik:
B(s) + KA(s) = 0, Maka titik-titik tsb harus berada di Root Locus dan memenuhi persamaan:
' ' dK B s A s B s A s
( ) ( ) ( ) ( ) − = − =
2 ds A s
( )
5. Tentukan sudut-sudut datang / sudut-sudut berangkat untuk pole-pole / zero-zero kompleks sekawan.
6. Tentukan batas kestabilan mutlak sistem (K):
- Melalui Kriteria Routh Hurwitz.
- Secara analitis: memotong sumbu imajiner: s = jz
7. Sketsa Root Locus secara lebih teliti pada daerah- daerah selain sumbu nyata dan asimtot.
8. Tentukan letak pole-pole melalui nilai K yang memenuhi syarat magnitude. Sebalikya, bila letak pole- pole ditentukan (pada Root Locus), maka nilai K yang memenuhi dapat dihitung secara grafis atau secara analitis: Secara grafis:
CONTOH 1: CONTOH 2:
Ì BEBERAPA CATATAN
- Konfigurasi pole-zero yang sedikit bergeser dapat mengubah total bentuk Root Lo
- Orde sistem dapat berkurang akibat pole-pole G(s) di
‘hilang’kan (cancelled) oleh zero-zero H(s)
Ì ROOT LOCUS MELALUI MATLAB
Ì KASUS KHUSUS ] Parameter K bukan penguatan loop terbuka.
] Umpanbalik positif.
] Parameter K bukan Penguatan Loop Terbuka.
] Umpanbalik Positif.
- Modifikasi Aturan
2. Bila jumlah total pole dan zero dikanan titik test, maka titik tsb berada di Root Locus.
k ±
36
3. Sudut-sudut asimtot = ; k=0, 1, 2, …
n − m
5. Sudut datang dan sudut pergi : 180 diganti dengan . Contoh:
Ì ANALISIS SISTEM KENDALI
- Ortogonalitas dan locus dengan penguatan konstan
- Sistem stabil kondisional
- Sistem fasa non-minimum
- Ortogonalitas dan Locus dengan Penguatan Konstan
Root locus dan lokus dengan penguatan konstan merupakan pemetaan konformal lokus G(s)H(s)=
∠
180 (2k+1) dan |G(s)H(s)| = konstan dalam bidang
±
G(s)H(s)
- Sistem Stabil Kondisional
- Sistem stabil untuk 0 < K < 14 dan
64<K <195
- Prakteknya stabil kondisional tak diinginkan, karena sistem mudah menjadi tak stabil.
- Stabil kondisional dapat etrjadi pada sisetm dengan lintasan maju tak stabil (karena ada minor loop).
- Stabil kondisional dapat dihindari melalui kompensasi yang sesuai (penambahan zero).
- Sistem Fasa Non-Minimum
(Pergeseran fasa bila diberi input sinus)
- Sistem fasa minimum: bila semua pole dan zero sistem loop terbuka terletak disebelah kiri bidang
- Sistem fasa non-minimum: bila sedikitnya ada
satu pole atau zero sistem loop terbuka terletak disebelah kanan bidang-s.
= 180 (2k+1); k= 0, 1, 2, …
±
Sehingga:
K T s
( a 1 )
−
∠ =( 1 )
+
s Ts
Ì ROOT LOCUS DENGAN TRANSPORT LAG
- Transport lag / Dead Time: keterlambatan pengukuran akibat sifat kelembaman sistem fisis.
- Elapse time: T = L/v detik,
- Sehingga : y(t) = x(t-T)
- Fungsi Alih:
Dead Time menyebabkan ketidakstabilan sistem, sekalipun untuk sistem orde-1
Pendekatan Transport Lag
- Bila T kecil sekali dan fungsi f(t) pada elemen tsb kontinyu dan smooth:
- Pendekatan Lain: