Matematika2 w13 GM Matematika2 w13 GM
MATEMATIKA 2.
13. HÉT
H ENGER KOORDINÁTA - RENDSZER
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
H ENGER KOORDINÁTA - RENDSZER
13. HÉT
2 / 24
H ENGER KOORDINÁTA - RENDSZER 15.6
A háromdimenziós térben az (x, y , z) pont
henger-koordinátáit úgy kapjuk meg, hogy az x és y
koordinátákat polár koordinátákkal írjuk le, a z
koordináta pedig marad a Descartes-féle
derékszögu˝ koordinátarendszer z koordinátája.
x = r cos θ
y = r sin θ
z = z,
ahol 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ ≤ 2π, −∞ < z < ∞.
Megjegyzés: x 2 + y 2 = r 2 .
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
H ENGER KOORDINÁTA - RENDSZER
13. HÉT
3 / 24
H ENGER KOORDINÁTA - RENDSZER
Integrálásnál a térfogatelem:
dV = r drdθdz,
tehát
ZZZ
f (x, y , z) dV =
D
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
ZZZ
f (r , θ, z) r drdθdz.
D
H ENGER KOORDINÁTA - RENDSZER
13. HÉT
4 / 24
P ÉLDA
Számítsuk ki a térfogatát annak a testnek, mely
mind az x 2 + y 2 = 1 hengerben, mind pedig az
x 2 + y 2 + z 2 = 4 gömbben benne van.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
H ENGER KOORDINÁTA - RENDSZER
13. HÉT
5 / 24
G ÖMBI KOORDINÁTA - RENDSZER 15.6
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
G ÖMBI KOORDINÁTA - RENDSZER
13. HÉT
6 / 24
G ÖMBI KOORDINÁTA - RENDSZER
A Descartes-féle derékszögu˝ és a gömbi
koordináták közötti összefüggések:
x = ρ sin φ cos θ
y = ρ sin φ sin θ
z = ρ cos φ,
ahol 0 ≤ ρ < ∞, 0 ≤ φ ≤ π, és 0 ≤ θ ≤ 2π.
Megjegyzés: ρ2 = x 2 + y 2 + z 2 .
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
G ÖMBI KOORDINÁTA - RENDSZER
13. HÉT
7 / 24
G ÖMBI KOORDINÁTA - RENDSZER
Integrálásnál a térfogatelem:
dV = ρ2 sin φ dρdφdθ,
tehát
ZZZ
f (x, y , z) dV =
D
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
ZZZ
f (ρ, φ, θ) ρ2 sin φ dρdφdθ
D
G ÖMBI KOORDINÁTA - RENDSZER
13. HÉT
8 / 24
P ÉLDA
Számítsuk ki az R sugarú gömb térfogatát.
Gömbi koordinátákkal az R sugarú gömb a
0 ≤ ρ ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π
˝
egyenlotlenségekkel
írható le.
Térfogat=
RRR
1 dV
R
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
G ÖMBI KOORDINÁTA - RENDSZER
13. HÉT
9 / 24
P ÉLDA
Számítsuk ki az
ZZZ
e(x
2
+y 2 +z 2 )3/2
dV
B
integrált ahol B az egységgömb
B = {(x, y , z) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1}.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
G ÖMBI KOORDINÁTA - RENDSZER
13. HÉT
10 / 24
P ÉLDA
Gömbi koordinátákat használva, számítsuk
ki annak
p
2
2
a testnek a térfogatát, mely a z = x + y kúp
felett és a x 2 + y 2 + z 2 = z gömb alatt helyezkedik el.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
G ÖMBI KOORDINÁTA - RENDSZER
13. HÉT
11 / 24
P ÉLDA
Számítsuk ki a
Z
z dV integrált, ahol E a z = x 2 + y 2
E
paraboloid és a z = 4 sík által határolt tartomány.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
G ÖMBI KOORDINÁTA - RENDSZER
13. HÉT
12 / 24
P ÉLDA
Számítsuk ki a
Z
(x 2 + y 2 + z 2 )2 dV integrált, ahol B
B
az origó középpontú 5 sugarú gömb.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
G ÖMBI KOORDINÁTA - RENDSZER
13. HÉT
13 / 24
H ELYETTESÍTÉS
Ha x = g(u, v ) és y = h(u, v )
˝
koordináta-transzformáció, és T osképe
G, akkor
ZZ
ZZ
f (x, y )dxdy =
f (g(u, v ), h(u, v )) J(u, v ) dudv ,
T
G
ahol a transzformáció Jacobi determinánsa
∂x ∂x
∂v
.
J(u, v ) = det ∂u
∂y ∂y
∂u
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
H ELYETTESÍTÉS 15.7
∂v
13. HÉT
14 / 24
P OLÁRKOORDINÁTÁK
Igazoljuk, hogy ha polárkoordinátákra térünk át, azaz
x = r cos θ és y = r sin θ, akkor a Jacobi
determináns J(r , θ) = r , tehát
ZZ
ZZ
f (r , θ) r drdθ.
f (x, y ) dxdy =
T
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
G
H ELYETTESÍTÉS 15.7
13. HÉT
15 / 24
H ELYETTESÍTÉS
Ha x = g(u, v , w), y = h(u, v , w) és z = k (u, v , w)
˝
koordináta-transzformáció, és T osképe
G, akkor
ZZZ
f (x, y , z)dxdydz =
T
=
ZZZ
G
f (u, v , w)) J(u, v , w) dudvdw,
ahol a transzformáció Jacobi determinánsa
∂x ∂x ∂x
∂u ∂v ∂w
∂y
∂y ∂y
J(u, v , w) = ∂u ∂v
.
∂w
∂z
∂z
∂z
∂u
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
H ELYETTESÍTÉS 15.7
∂v
∂w
13. HÉT
16 / 24
P ÉLDA
Használjuk az x = 2s + t, y = s − t transzformációt
az
ZZ
(x + y )dA
R
integrál kiszámítására, ahol R a (0, 0), (3, −3),
(5, −2) és (2, 1) csúcsú parallelogramma.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
H ELYETTESÍTÉS 15.7
13. HÉT
17 / 24
P ÉLDA
Számítsuk ki
ZZ
x 2 − xy + y 2 dA
R
integrált ahol R az x 2 − xy + y 2 = 2 görbével határolt
ellipszis.
q
q
√
√
2
Legyen x = 2u − 3 v és y = 2u + 23 v .
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
H ELYETTESÍTÉS 15.7
13. HÉT
18 / 24
P ÉLDA
y2
= 1 ellipszis területét.
Számítsuk ki x +
36
2
Legyen x =
u
2
és y = 3v .
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
H ELYETTESÍTÉS 15.7
13. HÉT
19 / 24
P ÉLDA
Használjuk az x = u 2 − v 2 ,
y = 2uv transzformációt
az
ZZ
y dA
R
integrál kiszámítására,
ahol R az a korlátos tartomány melyet az x-tengely,
és az y 2 = 4 − 4x, y 2 = 4 + 4x parabolák határolnak
és y ≥ 0.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
H ELYETTESÍTÉS 15.7
13. HÉT
20 / 24
I GAZ /H AMIS KÉRDÉSEK
1
2
3
Ha
Z
f dA = 0 akkor f (x, y ) = 0 az R tartomány
R
ponjaira.
Z
Z 1Z x
f (x, y ) dydx =
1Z y
0
0
0
0
−1
−1
0
f (x, y ) dxdy
bármely f (x, y ) függvényre.
Z 1Z 3
Z 3Z 1
f (x, y ) dxdy
f (x, y ) dydx =
0
bármely f (x, y ) függvényre.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
H ELYETTESÍTÉS 15.7
13. HÉT
21 / 24
TÖBBES INTEGRÁLOK : I GAZ /H AMIS KÉRDÉSEK
4
5
6
Z
Z
1
−1
b
a
A
Z
Z
Z
0
√
1−x 2
dydx > 0.
0
d
f (x)g(y )dydx =
c
1 Z 12
Z
b
a
f (x) dx ·
Z
d
g(y ) dy
c
f dxdy iterált integrál integrálási
5
tartománya 0 ≤ x ≤ 1, 5 ≤ y ≤ 12.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
H ELYETTESÍTÉS 15.7
13. HÉT
22 / 24
F ELADATOK
Thomas-féle Kalkulus 15.6–15.7
15.6/ 1–5, 7, 14–19, 21, 27, 43–47. 53–54
15.7/ 1–10, 21–22
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
13. HÉT
23 / 24
KÖSZÖNÖM A
FIGYELMET!
13. HÉT
H ENGER KOORDINÁTA - RENDSZER
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
H ENGER KOORDINÁTA - RENDSZER
13. HÉT
2 / 24
H ENGER KOORDINÁTA - RENDSZER 15.6
A háromdimenziós térben az (x, y , z) pont
henger-koordinátáit úgy kapjuk meg, hogy az x és y
koordinátákat polár koordinátákkal írjuk le, a z
koordináta pedig marad a Descartes-féle
derékszögu˝ koordinátarendszer z koordinátája.
x = r cos θ
y = r sin θ
z = z,
ahol 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ ≤ 2π, −∞ < z < ∞.
Megjegyzés: x 2 + y 2 = r 2 .
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
H ENGER KOORDINÁTA - RENDSZER
13. HÉT
3 / 24
H ENGER KOORDINÁTA - RENDSZER
Integrálásnál a térfogatelem:
dV = r drdθdz,
tehát
ZZZ
f (x, y , z) dV =
D
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
ZZZ
f (r , θ, z) r drdθdz.
D
H ENGER KOORDINÁTA - RENDSZER
13. HÉT
4 / 24
P ÉLDA
Számítsuk ki a térfogatát annak a testnek, mely
mind az x 2 + y 2 = 1 hengerben, mind pedig az
x 2 + y 2 + z 2 = 4 gömbben benne van.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
H ENGER KOORDINÁTA - RENDSZER
13. HÉT
5 / 24
G ÖMBI KOORDINÁTA - RENDSZER 15.6
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
G ÖMBI KOORDINÁTA - RENDSZER
13. HÉT
6 / 24
G ÖMBI KOORDINÁTA - RENDSZER
A Descartes-féle derékszögu˝ és a gömbi
koordináták közötti összefüggések:
x = ρ sin φ cos θ
y = ρ sin φ sin θ
z = ρ cos φ,
ahol 0 ≤ ρ < ∞, 0 ≤ φ ≤ π, és 0 ≤ θ ≤ 2π.
Megjegyzés: ρ2 = x 2 + y 2 + z 2 .
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
G ÖMBI KOORDINÁTA - RENDSZER
13. HÉT
7 / 24
G ÖMBI KOORDINÁTA - RENDSZER
Integrálásnál a térfogatelem:
dV = ρ2 sin φ dρdφdθ,
tehát
ZZZ
f (x, y , z) dV =
D
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
ZZZ
f (ρ, φ, θ) ρ2 sin φ dρdφdθ
D
G ÖMBI KOORDINÁTA - RENDSZER
13. HÉT
8 / 24
P ÉLDA
Számítsuk ki az R sugarú gömb térfogatát.
Gömbi koordinátákkal az R sugarú gömb a
0 ≤ ρ ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π
˝
egyenlotlenségekkel
írható le.
Térfogat=
RRR
1 dV
R
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
G ÖMBI KOORDINÁTA - RENDSZER
13. HÉT
9 / 24
P ÉLDA
Számítsuk ki az
ZZZ
e(x
2
+y 2 +z 2 )3/2
dV
B
integrált ahol B az egységgömb
B = {(x, y , z) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1}.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
G ÖMBI KOORDINÁTA - RENDSZER
13. HÉT
10 / 24
P ÉLDA
Gömbi koordinátákat használva, számítsuk
ki annak
p
2
2
a testnek a térfogatát, mely a z = x + y kúp
felett és a x 2 + y 2 + z 2 = z gömb alatt helyezkedik el.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
G ÖMBI KOORDINÁTA - RENDSZER
13. HÉT
11 / 24
P ÉLDA
Számítsuk ki a
Z
z dV integrált, ahol E a z = x 2 + y 2
E
paraboloid és a z = 4 sík által határolt tartomány.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
G ÖMBI KOORDINÁTA - RENDSZER
13. HÉT
12 / 24
P ÉLDA
Számítsuk ki a
Z
(x 2 + y 2 + z 2 )2 dV integrált, ahol B
B
az origó középpontú 5 sugarú gömb.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
G ÖMBI KOORDINÁTA - RENDSZER
13. HÉT
13 / 24
H ELYETTESÍTÉS
Ha x = g(u, v ) és y = h(u, v )
˝
koordináta-transzformáció, és T osképe
G, akkor
ZZ
ZZ
f (x, y )dxdy =
f (g(u, v ), h(u, v )) J(u, v ) dudv ,
T
G
ahol a transzformáció Jacobi determinánsa
∂x ∂x
∂v
.
J(u, v ) = det ∂u
∂y ∂y
∂u
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
H ELYETTESÍTÉS 15.7
∂v
13. HÉT
14 / 24
P OLÁRKOORDINÁTÁK
Igazoljuk, hogy ha polárkoordinátákra térünk át, azaz
x = r cos θ és y = r sin θ, akkor a Jacobi
determináns J(r , θ) = r , tehát
ZZ
ZZ
f (r , θ) r drdθ.
f (x, y ) dxdy =
T
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
G
H ELYETTESÍTÉS 15.7
13. HÉT
15 / 24
H ELYETTESÍTÉS
Ha x = g(u, v , w), y = h(u, v , w) és z = k (u, v , w)
˝
koordináta-transzformáció, és T osképe
G, akkor
ZZZ
f (x, y , z)dxdydz =
T
=
ZZZ
G
f (u, v , w)) J(u, v , w) dudvdw,
ahol a transzformáció Jacobi determinánsa
∂x ∂x ∂x
∂u ∂v ∂w
∂y
∂y ∂y
J(u, v , w) = ∂u ∂v
.
∂w
∂z
∂z
∂z
∂u
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
H ELYETTESÍTÉS 15.7
∂v
∂w
13. HÉT
16 / 24
P ÉLDA
Használjuk az x = 2s + t, y = s − t transzformációt
az
ZZ
(x + y )dA
R
integrál kiszámítására, ahol R a (0, 0), (3, −3),
(5, −2) és (2, 1) csúcsú parallelogramma.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
H ELYETTESÍTÉS 15.7
13. HÉT
17 / 24
P ÉLDA
Számítsuk ki
ZZ
x 2 − xy + y 2 dA
R
integrált ahol R az x 2 − xy + y 2 = 2 görbével határolt
ellipszis.
q
q
√
√
2
Legyen x = 2u − 3 v és y = 2u + 23 v .
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
H ELYETTESÍTÉS 15.7
13. HÉT
18 / 24
P ÉLDA
y2
= 1 ellipszis területét.
Számítsuk ki x +
36
2
Legyen x =
u
2
és y = 3v .
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
H ELYETTESÍTÉS 15.7
13. HÉT
19 / 24
P ÉLDA
Használjuk az x = u 2 − v 2 ,
y = 2uv transzformációt
az
ZZ
y dA
R
integrál kiszámítására,
ahol R az a korlátos tartomány melyet az x-tengely,
és az y 2 = 4 − 4x, y 2 = 4 + 4x parabolák határolnak
és y ≥ 0.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
H ELYETTESÍTÉS 15.7
13. HÉT
20 / 24
I GAZ /H AMIS KÉRDÉSEK
1
2
3
Ha
Z
f dA = 0 akkor f (x, y ) = 0 az R tartomány
R
ponjaira.
Z
Z 1Z x
f (x, y ) dydx =
1Z y
0
0
0
0
−1
−1
0
f (x, y ) dxdy
bármely f (x, y ) függvényre.
Z 1Z 3
Z 3Z 1
f (x, y ) dxdy
f (x, y ) dydx =
0
bármely f (x, y ) függvényre.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
H ELYETTESÍTÉS 15.7
13. HÉT
21 / 24
TÖBBES INTEGRÁLOK : I GAZ /H AMIS KÉRDÉSEK
4
5
6
Z
Z
1
−1
b
a
A
Z
Z
Z
0
√
1−x 2
dydx > 0.
0
d
f (x)g(y )dydx =
c
1 Z 12
Z
b
a
f (x) dx ·
Z
d
g(y ) dy
c
f dxdy iterált integrál integrálási
5
tartománya 0 ≤ x ≤ 1, 5 ≤ y ≤ 12.
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
H ELYETTESÍTÉS 15.7
13. HÉT
22 / 24
F ELADATOK
Thomas-féle Kalkulus 15.6–15.7
15.6/ 1–5, 7, 14–19, 21, 27, 43–47. 53–54
15.7/ 1–10, 21–22
TÖBBES INTEGRÁLOK 15.6–15.7
13. HÉT
23 / 24
KÖSZÖNÖM A
FIGYELMET!