BAB XV DIFERENSIAL (Turunan) - 15. Diferensial

17. y = cot x → y ' = - cosec 2 x
18. y = sec x → y ' = sec x tan x

BAB XV
DIFERENSIAL (Turunan)

19. y = cosec x → y ' = - cosec x cotan x
Jika y = f(x), maka turunan pertamanya dinotasikan
dy
dengan y’ =
= f ' (x)
dx
Lim
dy
f ( x + h) − f ( x )
=
dengan
h→0
dx
h

Penggunaan Turunan :
1. Garis singgung

Rumus-Rumus Diferensial:

1. y = k

→ y'= 0

2. y = k x n

→ y ' = k. n x n −1

3. y = sin x

→ y ' = cos x

4. y = cos x

→ y ' = - sin x

persamaan garis singgungya adalah y –b = m (x –a)
dimana m = f ' (x)

5. y = u ± v → y ' = u ' ± v '
6. y = u. v
7. y =

apabila terdapat dua persamaan garis y= m 1 x + c 1 dan
y= m 2 x + c 2 dikatakan
- sejajar apabila m 1 = m 2
- tegak lurus apabila m 1 . m 2 = -1

→ y =u v+v u
'

u
v

'

→ y' =

'

u ' v − v' u
v2

2. Fungsi naik/turun

8. y = k [f(x)] n → y ' = k . n [f(x)] n −1 . [f’(x)]

diketahui y = f(x);
- jika f ' (x) < 0 maka f(x) turun
- jika f ' (x) >0 maka f(x) naik

9. y = sin f(x) → y ' = f ' (x). cos f(x)
10. y = cos f(x) → y ' = - f ' (x). sin f(x)
11. y = sin f(x) → y = n sin
'

n

n −1

'

f(x). cos f(x) . f (x)

12. y = cos n f(x) → y ' = - n cos n −1 f(x). sin f(x) . f ' (x)
13. y = a

f ( x)

14. y = e f ( x )

→ y =a
'

f ( x)

. ln a . f’(x)

→ y ' = e f ( x ) . f ' (x)

f ' ( x)
15. y = ln f(x) → y ' =
f ( x)

16. y = tan x

→ y ' = sec 2 x =

1
cos 2 x

3. Menentukan titik stasioner
diketahui y = f (x).
Bila f ' (a) = 0 maka (a, f(a) ) adalah titik stasioner

- (a, f(a) ) titik minimum jika f '' (a) > 0
- (a, f(a) ) titik maksimum jika f '' (a) < 0
- (a, f(a) ) titik belok jika f '' (a) = 0
3. Menentukan Kecepatan dan percepatan
S = S(t) → jarak yang ditempuh S merupakan
fungsi waktu (t), maka
- kecepatan v = S ' (t)
- percepatan a = S '' (t)
www.belajar-matematika.com - 1

15. SOAL-SOAL DIFERENSIAL

EBTANAS1995
3. Diketahui f(x) =
adalah….

EBTANAS2000
3
2

1. Turunan pertama dari f(x) = 6x adalah f ′(x) = …
1

1

A. 3x 2

lim f ( x + t ) − f ( x)
1
, maka
2
t→0
t
3x

1

1

A.

−6
x3

C.

−2
3x

C.

−2
3x 3

D.

3
2x 2

E.

−1
6x

1

B. 5x 2 C. 6x 2 D. 9x 2 E. 12x 2

jawab:

Jawab:

3
2

f(x) = 6x
3
1
−1
3

2
f ′(x) = .6 x = 9x 2
2

1
1
= x −2
2
3
3x
1
−2
f ' (x) = . -2 x −3 =
3
3x 3

Cara 1: f(x) =

Jawabannya adalah D

Cara 2: Merupakan pembuktian dari:

EBTANAS1999
2. Turunan pertama f(x)= (2x -

A. 8x -

2
x

C. 8x +

2
x

B. 8x +

1
x

D. 8x -

2
x3

1 2
) adalah f ' (x) = ….
x

E. 8x +

Jawab:
f(x)=(2x -

1 2
)
x

f ' (x) = 2 (2x -

1
) . (2 – (-x −2 ))
x

1
1
= 2 (2x - ). (2 + 2 )
x
x
= 2 (4x + {(

= 2 (4x -

2x 2
1
- )- 3 })
2
x x
x

1
2
) = 8x - 3
3
x
x

2
x3

lim f ( x + t ) − f ( x)
t→0
t

f ' (x) =

1
1
− 2
2
lim 3( x + t )
3x
=
t →0
t
x 2 − (x + t)2
x 2 − ( x 2 + 2 xt + t 2 )
lim 3( x + t ) 2 x 2
lim
3( x + t ) 2 x 2
=
=
t→0
t→0
t
t
− (2 xt + t 2 )
lim 3( x 2 + 2 xt + t 2 ) x 2
=
t→0
t

− t (2 x + t )
lim 3( x + 2 x 3t + x 2 t 2 )
=
t→0
t
4

=

lim
− t (2 x + t )
1
.
4
3
2 2
t → 0 3( x + 2 x t + x t ) t

=

− (2 x + t )
t → 0 3( x + 2 x 3 t + x 2 t 2 )

=

− (2 x + 0)
− 2x
−2
= 3
=
3
2
4
3( x + 2 x .0 + x .0)
3x
3x

lim

4

jawabannya adalah D
4

Jawabannya adalah C
www.matematika-sma.com - 1

EBTANAS1995
4. Turunan pertama dari fungsi f yang ditentukan oleh
f(x) = (2-3x)

5
3

=

(4 x − 1) + 2( x − 3)
(4 x − 1)

adalah f ' (x) = …..

5

5
A. (2-3x) 3
3
8
3
B. − (2-3x) 3
8
8
8
3
3
C. (2-3x) (2-3x) 3
8

D. -5 (2-3x)

=

2
3

=

1
2

4x − 1 + 2x − 6
4x − 1

6x − 7
4x − 1

2

E. 5 (2-3x) 3

Jawabannya adalah D
EBTANAS1999
6. Diketahui fungsi f(x) =

x2 + 6
x

Turunan pertama fungsi f(x) adalah f ′(x) = …

jawab:
5

f(x) = (2-3x) 3

A.

x+

6
x2

x

D.

3
1
x+ 2
2
3x

B.

x−

3
x2

x

E.

3
3
x− 2
2
x

C.

x−

1
3x 2

x

5

−1
5
f (x) = (2-3x) 3 . -3
3

'

= - 5 (2-3x)

2
3

Jawab:

jawabannya adalah D

y=

UN2006

u
v

→ y' =

1
2

5. Turunan pertama dari y = (x-3)(4x-1) adalah….
A.

B.

2

C.

4x − 1
2x − 5

D.

4x − 1

x

x−3

E.

2 4x − 1

2x − 5
2 4x − 1

6x − 7

x2 + 6

f(x) =

x
1

1 −
2 x. x − x 2 ( x 2 + 6)
2
f ' (x) =
( x )2

4x − 1

3

2.x. x −

=
Jawab:
=2

y = u. v → y ' = u ' v + v ' u
y = (x-3)(4x-1)

1
2

1
2

= (4x-1)

1
2

+

−
1 2
x − 3x
2
x

1
2

−

3
2

1
x 2

=

3
2

x -

=

3
2

x -(

=

3
2

x -(

x - 3x
3

x x

1

−
1
y = 1 .(4x-1) + (4x-1) 2 . 4 . (x-3)
2
'

u ' v − v' u
v2

2( x − 3)
(4 x − 1)

1
2

3
x x

.

x
x

3 x
3
)=
2
2
x

jawabannya adalah E
www.matematika-sma.com - 2

)

x -

3 x
x2

x

EBTANAS1998
7. Diketahui fungsi f(x) = sin 2 (2x + 3) dan turunan
dari f adalah f ′. Maka f ′(x) = …
A. 4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
B. 2 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
C. sin (2x + 3) cos (2x + 3)
D. –2 sin (2x + 3) cos (2x + 3)
E. –4 sin (2x + 3) cos (2x + 3)

A. 3x+ y - 1 = 0
B. 2x - y = 0
C. –x + 2y + 5 = 0
D. x + y + 1 = 0
E. x – y – 3 = 0

Jawab:
. y = sin n f(x) → y ' = n sin n −1 f(x). cos f(x) . f ' (x)
f(x) = sin 2 (2x + 3)
f ' x) = 2 sin (2x+3) . cos(2x+3) . 2

jawab:
Persamaan garis singgung
y – b = m(x –a)
Diketahui a = 1 dan b = -2
x 2 - 4x – 2y – 1 = 0
2y = x 2 - 4x – 1
1
1
y = x 2 - 2x –
2
2

= 4 sin (2x+3) . cos(2x+3)
jawabannya adalah A
EBTANAS1997
8. Turunan pertama fungsi f(x) = cos 3 (3-2x) adalah f ' (x) =….
A.
B.
C.
D.
E.

EBTANAS1986
9. Persamaan garis singgung pada kurva
x 2 - 4x – 2y – 1 = 0 di titik (1,- 2) adalah …

-3 cos 2 (3-2x) sin (3-2x)
3 cos 2 (3-2x) sin (3-2)
-6 cos (3-2x) sin (3-2x)
-3 cos (3-2x) sin (6-4x)
3 cos (3-2x) sin (6-4x)

Jawab:
y = cos n f(x) → y ' =- n cos n −1 f(x). sin f(x) f ' (x)
f(x) = cos 3 (3-2x)
f ' (x) = - 3 cos 2 (3-2x) . sin (3-2x) . -2
= 6 cos 2 (3-2x) . sin (3-2x)
(jawabannya tidak ada yang cocok ya!!!)

m(gradien) = y ' = x - 2 (di titik (1,-2) Æ x = 1 )
= 1 - 2 = -1
persamaan garis singgungya adalah :
y – (- 2) =-1 (x – 1)
y + 2 = - x + 1 ⇔ x + y +1 = 0
jawabannya adalah D
EBTANAS2000
10. Garis singgung pada kurva x 2 – y + 2x – 3 = 0
yang tegak lurus pada garis x – 2y + 3 = 0 mempunyai
persamaan …
A. y + 2x + 7 = 0
B. y + 2x + 3 = 0
C. y + 2x + 4 = 0
D. y + 2x – 7 = 0
E. y + 2x – 3 = 0

Ingat rumus trigonometri:
sin 2A = 2 sin A cosA

jawab:

terapkan dalam soal ini :

x 2 – y + 2x – 3 = 0 → y = x 2 + 2x – 3

f ' (x) = 6 cos 2 (3-2x) . sin (3-2x)

Persamaan garis x – 2y + 3 = 0 → 2y = x + 3
1
3
y= x+
2
2

= 6. cos (3-2x) . cos (3-2x) sin (3-2x)
= 3. ( 2 sin (3-2x). cos (3-2x) ) . cos (3-2x)
= 3 (sin 2 (3-2x) ) . cos (3-2x)
= 3 sin (6-4x) .cos (3-2x) = 3 cos (3-2x) sin (6-4x)
Jawabannya adalah E

www.matematika-sma.com - 3

didapat m 1 =

1
2

garis singgung tegak lurus maka :
m 1 . m 2 = -1
1
. m 2 = -1 Æ m 2 = -2
2
kurva y = x 2 + 2x – 3
y ' = 2x + 2 = m 2 = -2
2x + 2 = -2
2x = -4
x = -2
jika x = -2 maka y = (-2) 2 + 2 . (-2) – 3
=4–4–3
= -3
didapat (x 1 , y 1 ) = (-2,-3)
sehingga garis singgungnya adalah:
y - y1 = m 2 ( x - x1)
y +3 = -2 ( x + 2)
y + 3 = -2x – 4
y = -2x - 7 ⇔ y + 2x – 7 = 0
jawabannya adalah D
EBTANAS1991
11. Fungsi f yang dirumuskan dengan
f(x) = x 3 + 3x 2 – 9x – 1 naik dalam interval …
A. x < –3 atau x > 1
B. x < –1 atau x > 1
C. –3 < x < 1
D. –1 < x < 1
E. x < –3 atau x > –1
Jawab:
f(x) = x 3 + 3x 2 – 9x – 1
f ' (x) = 3x 2 + 6x – 9
= x 2 + 2x – 3
⇔ (x + 3 ) (x -1 )
x 1 = -3, x 2 = 1
+ + -- - - - - - -- + +
• • • • • • • • •
-3
0 1
'
jika f (x) >0 maka f(x) naik (bertanda +)
yaitu x < -3 atau x > 1

Jawabannya adalah A

EBTANAS2003
12. Fungsi f(x) = x 3 + 3x 2 – 9x – 7 turun pada interval ..
A. 1 < x < 3
B. –1 < x < 3
C. –3 < x < 1
D. x < –3 atau x > 1
E. x < –1 atau x > 3
Jawab :
fungsi turun jika f ' (x) < 0
f(x) = x 3 + 3x 2 – 9x – 7
f ' (x) = 3x 2 + 6x – 9
= x 2 + 2x – 3
⇔ (x + 3 ) (x -1 )
x 1 = -3, x 2 = 1
+ + -- - - - - - -- + +
• • • • • • • • •
-3
0 1
'
jika f (x) < 0 maka f(x) turun (bertanda -)
yaitu x > -3 dan x < 1

dapat ditulis dengan

-3< x < 1

jawabannya adalah C
EBTANAS2000
13. Nilai maksimum fungsi f(x) = x 4 – 12x pada
interval –3 ≤ x ≤ 1 adalah …
A. 16

B. 9

C. 0

D. -9

E. -16

Jawab:
Tentukan nilai stasioner yaitu f ' (a) = 0
f(x) = x 4 – 12x
f ' (x) = 4x 3 -12x
⇔ x 3 - 3x
⇔ x (x 2 - 3)
⇔ x (x - 3 ) ( x + 3 ) = 0
-- ++
-++
•
•
•
0
3
- 3
max min
Jika x < - 3 Æ - . - . - = - 3