INTEGRASI NUMERIK DENGAN METODE KUADRATUR GAUSS-LEGENDRE MENGGUNAKAN PENDEKATAN INTERPOLASI HERMITE DAN POLINOMIAL LEGENDRE

  Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 148 – 153

  ISSN : 2303–2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND

  

INTEGRASI NUMERIK DENGAN METODE

KUADRATUR GAUSS-LEGENDRE MENGGUNAKAN

PENDEKATAN INTERPOLASI HERMITE DAN

POLINOMIAL LEGENDRE

  

Aulia Radesa, Narwen, Bukti Ginting

Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,

  

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia.

_Abstrak.

email : auliaradesa@gmail.com

Integrasi Numerik merupakan metode aproksimasi untuk memperoleh nilai

integral suatu fungsi secara numerik. Metode ini digunakan pada fungsi-fungsi yang

diintegralkan secara analitik agak sulit. Salah satu metode aproksimasi integral menggu-

nakan Metode Kuadratur Gauss-Legendre, karena metode ini memiliki error yang kecil

dan perumusan yang sederhana. Untuk mendapatkan perumusan tersebut diperlukan

fungsi pembobot dengan pendekatan Interpolasi Hermite. Interpolasi Hermite memben-

tuk polinomial yang berderajat 2n−1 dan titik yang digunakan sebanyak n titik, dimana

_n

setiap titik-titik tersebut merupakan pembuat nol pada polinomial Legendre (p (x) = 0)

dan terletak pada interval [−1, 1].

  Kata Kunci : Kuadratur Gauss, Interpolasi Hermite, Polinomial Legendre, Interpolasi Lagrange

  1. Pendahuluan Aproksimasi integrasi dalam metode numerik dapat terbagi menjadi dua bagian

  [2]

  besar berdasarkan cara pengambilan panjang interval . Kedua macam metode aproksimasi tersebut bertujuan untuk memperoleh ketelitian yang lebih mendekati nilai sebenarnya dan kedua metode tersebut yaitu: (1) Metode Newton-Cotes

  Dalam pendekatan metode numerik dengan aturan Newton Cotes, fungsi in- _n tegral f (x) dihampiri dengan polinom p (x). Selanjutnya integrasi dilakukan _n terhadap p (x) karena suku-suku polinom lebih mudah untuk diintegrasikan.

  Adapun perumusan dengan metode Newton-Cotes yaitu: Rumus trapesium, Rumus Simpson 1/3, Rumus Simpson 3/8, Rumus Boole. (2) Metode Kuadratur Gauss

  Pendekatan lain dengan metode Kuadratur Gaus, nilai integrasi numerik cukup diperoleh dengan menghitung nilai fungsi f (x) pada beberapa titik ter- tentu. Pada Metode Kuadratur Gaus terdapat dua perumusan untuk mendap- atkan nilai integrasi numerik, yaitu: Kuadratur Gaus-Legendre dan Kuadratur Clenshaw-Curtis. Metode Kuadratur Gauss-Legendre dan Metode Kuadratur

  Integrasi Numerik dengan Metode Kuadratur Gauss-Legendre

  yang hampir sama, namun Metode Gaus-Legendre cenderung lebih sederhana dan lebih mudah dimengerti [3]. Perumusan dengan Kuadratur Gaus pada aproksimasi integrasi f (x) dengan interval [−1, 1] untuk n titik yang besar (n ≥ 3) membutuhkan perhitungan yang rumit. Oleh karena itu perlu cara lain untuk perhitungannya, yaitu dengan menggu- nakan rumus interpolasi Hermite. Interpolasi tersebut membentuk polinomial yang berderajat 2n − 1 dengan menggunakan n titik, dengan memisalkan n titik tersebut adalah titik-titik pembuat nol pada polinomial Legendre. Kemudian dengan meng- gunakan titik-titik pembuat nol polinomial Legendre maka diperoleh perumusan yang dinamakan Integrasi Kuadratur Gaus-Legendre.

  2. Pembahasan 2.1.

  Kuadratur Gauss-Legendre dengan n titik Misalkan diberikan sebuah fungsi f (x). Fungsi f (x) ini dapat dihampiri dengan menggunakan definisi sebagai berikut f n n

  (x) = H (x) + ε (x), (2.1) dengan _{X n n X ′} ˜

  H n y i h i y h i (x) = (x) + i (x), (2.2) _{i i}

  =1 =1

  2

  ˜ h i i i , )[l (x)] (2.3)

  (x) = (x − x _′

  2

  h i i i i , _{i (x )][l (x)] (2.4)} (x) = [1 − 2l )(x − x _i ψ n (x) l (x) = , (2.5) _{i i ′}

  )ψ n (x ) (x − x

  (2n)

  f (ξ)

  2

  ε n n (x) = [ψ (x)]

  (2.6) ; ξ ∈ [−1, 1],

  (2n)! ψ n i n _{i− ). (2.7)}

  (x) = (x − x )(x − x

  1 ) · · · (x − x 1 )(x − x +1 ) · · · (x − x

  Untuk mendapatkan rumus integrasi pada interval [−1, 1] maka kedua ruas pada persamaan (2.1) diintegrasikan menjadi _Z

1 Z

  1 Z _{n n}

  1 _{− − −} f (x)dx = H (x)dx + ε (x)dx. (2.8)

  1

  1

  1

  h i (x) dengan batas

  Dari persamaan (2.3), dengan i = 1, · · · , n diperoleh integral ˜ [−1, 1]. _{Z Z}

  1

  

1

_n

  ψ (x) ˜ h i l i

  (x)dx = (x)dx. _{′ −} ψ i _{n (x )}

  1 −

  

1

Diketahui bahwa polinomial Legendre yang berderajat n adalah sebagai berikut _n d

  1 n

  2

  Aulia Radesa, Narwen, Bukti Ginting _n

  2

  dengan (x polinom berderajat 2n sehingga − 1) _n

  2

  2 (n!) ψ n p n (x) = (x).

  (2n)! Jadi _{Z Z}

  1

  1

  1 ˜ h i p n i

  (x)dx = (x)l (x)dx. (2.9) _{′ −} p i _{n (x )}

  1 −

  1 Teorema 2.1.

  Dua polinomial Legendre yang berbeda akan saling tegak lurus ( orthogonal) pada interval −1 < x < 1, jika _R

1 P m n

  (1) (x)P ₋ (x)dx = 0; m 6= n, _R

  1

  1

  2

  2 (2) P (x)dx = . _{− l}

  1

  2l + 1 _i Dari persamaan (2.9) menunjukkan bahwa l (x) adalah polinomial berderajat

  (n − 1). Dengan menggunakan Teorema 2.1 maka _Z

  1

  1 ˜ h i

  (x)dx = (2.10) _′ · 0 = 0. ₋ p i _{n (x )}

1 Dengan sifat ortogonalitas polinomial Legendre maka persamaan (2.8) menjadi

  _{Z n n}

  1 Z

  1 Z _X

  1 Z _X

  1 _{i i i i n} 2 ′ _{− − − −} f (x)dx = f (x )[l (x)] dx + 2 f (x )l i (x) ˜ h (x)dx + ε (x)dx.

  1

  1 _{i i}

  1

  1 _R =1 =1

  1

  ˜ h i Karena (x)dx = 0 maka ₋

  1 _{Z Z n}

1 X

  1 ₋ + f f i i ε n

  (x)dx = (x )w (x)dx, (2.11)

  1 − _i

  1 =1 _R

  2 1 [ψ(x)] 2 2n

  dengan w i = [l i (x)] dx dan ε n (x) = f ₋ (ξ), ξ ∈ [−1, 1]. Persamaan

  1

  (2n)! (2.11) dinamakan rumus integrasi Kuadratur Gauss-Legendre.

  2.2. Rumus Bobot _i Untuk menyederhanakan fungsi bobot (w ) pada persamaan (2.11), maka dapat dituliskan _Z

  

1

w i = l i (x)dx. _{− i}

  

1

Rumus bobot (w ) pada persamaan (2.11) dapat disederhanakan menjadi rumus yang mudah dikerjakan untuk n yang lebih besar.

  Diketahui bahwa salah satu persamaan rekursif polinomial Legendre adalah _{i i} (2i + 1)xp (x) = (i + 1)p +1 (x)ip i−

  1 (x) (2.12) Akibat 2.2.

  Persamaan identitas Cristoffel polinomial Legendre didefinisikan se- bagai berikut _{X n n n n n} (n + 1)[p (t)p (x)p (t) _{i i} +1 (x) − p +1

  (2i + 1)p (t)p (x) = (2.13)

  Integrasi Numerik dengan Metode Kuadratur Gauss-Legendre _i

  Bukti. Kalikan persamaan (2.12) dengan p (t) sehingga _{i i i i i} (2i + 1)xp (x)p (t) = (i + 1)p (x)p (t) + ip i− (x)p (t) (2.14)

• 1

  1 Misalkan terdapat persamaan lain yang sama dengan persamaan (2.14) sebagai

  berikut _{i i i i i} (2i + 1)tp (x)p (t) = (i + 1)p (t)p (x) + ip i− (t)p (x) (2.15)

• +1

  1 Kurangi persamaan (2.15) dengan persamaan (2.14) _{i i i i i i i i}

  (x)p (t) = (i+1)[p (t)p (t)p (t)p i− i− (t)p (x)] (2i+1)(t−x)p +1 (x)−p +1 (x)]−i[p

  1 (x)−p

  1

  (2.16) Dengan persamaan (2.16) jumlahkan untuk i = 1 sampai dengan i = n, diperoleh _{X n X n}

  (i + 1)[p i (t)p i i (t)p i (2i + 1)p i (x)p i (t) _i +1 (x) − p +1 (x)] = (t − x) _i =1 =1 _{X n} i i i

  [p (t)p i−

  1 i− 1 (t)p (x)].

  − (x) − p _i

  =1

  Dengan metode telescoping maka ruas kiri menjadi _{n n n n i i X n} (n + 1)[p (t)p (t)p (2i + 1)p (x)p (t).

• 1 (x) − p +1 (x)] − (t − x) = (t − x) _i =0

  Suku terakhir pada ruas kiri dapat dipindahkan ke ruas kanan sehingga penjumla- han dimulai dari i = 0 sampai i = n. Maka persamaan dibawah ini dapat didefin- isikan sebagai Identitas Cristoffel _{n n n n X n}

  (n + 1)[p (t)p (x)p (t)

• 1 (x) − p +1 _{i i}

  = (2i + 1)p (t)p (x). (2.17) (t − x) _{i n k} =0

  Diberikan pembuat nol dari polinomial p (x) adalah x _k , k = 1, 2, · · · , n, dengan mengganti t dengan x pada persamaan (2.17), _{X n n k n n n k} (n + 1)[p +1 (x )p +1 (x)p (x ) _{i k i} (x) − p

  (2i + 1)p (x )p (x) = . (2.18) _k (x _i − x)

  =0

  Integralkan pada interval [−1, 1] diperoleh _{n Z X}

1 Z

  1

  (n + 1)[p n (x k )p n n (x)p n (x k ) _{i k p i} +1 (x) − p +1 dx

  (2i + 1)p (x ) (x)dx = _{k −} (x _i 1 − 1 − x) =0 _Z

  1

  p n (x)

  = (n + 1) p n (x k ) dx

• 1 − _k
_{− − x)} (x _Z

  1

  

1

_n

  p (x)

• 1

  p n k dx (x ) _{k −} (x _{k n n k} 1 − x)

  Karena x adalah pembuat nol pada p (x) maka p (x ) = 0, sehingga _{n Z Z X}

  1

  1

  p n _{i k p i n k dx.} (x) (2i + 1)p (x ) (x )

  (x)dx = −(n + 1)p +1

  Aulia Radesa, Narwen, Bukti Ginting _R

  1

  p n Dengan menggunakan kasus khusus pada Teorema 2.1 dimana (x)dx = 0 ₋

  1

  dengan n 6= 0, maka _{n Z X}

_{i k i}

  1 (2i + 1)p (x ) p (x)dx = 2. _{− i}

  1 =0

  Maka _Z

  1 _{n n k dx} p (x)

  (x ) = 2 −(n + 1)p +1 ₋ x k _Z 1 − x

  1

  p n (x)

  −2 _{k n k} dx = . _{− − x +1} x (n + 1)p (x )

1 Sehingga didapatkan rumus bobot sebagai berikut

  −2 w i . = (2.19) _{′ i n i}

  (n + 1)p n (x )p +1 (x )

  2.3. Rumus Galat ( Error) Kuadratur Gauss-Legendre Dari persamaan (2.8), galat (error ) untuk interpolasi Hermite adalah _{Z Z}

  1 (2n)

  1

  f

  2 E n (f ) = ε n (x)dx = (ξ) [ψ(x)] dx, ξ (2.20)

  ∈ [−1, 1], _{− −} (2n)!

  1

  1

  p n (x) dengan ψ(x) = . Dengan menggunakan Teorema 2.1 diketahui bahwa

  A n _Z

  1

  2

  2 p . _{n (x)dx = (2.21) −} 2n + 1 _{n n}

  1 _n

  Karena A koefisien dari x pada polinomial Legendre (p (x)) maka

  2

  (2n)!

_{n .}

  2

  [A ] = (2.22) _n

  2

  2 (n!) Substitusikan persamaan (2.21) dan persamaan (2.22) ke dalam persamaan (2.20) sehingga diperoleh galat Kuadratur Gauss-Legendre,

  2n+1 4 (2n

  f 2 (n!) (ξ) E n .

  (f ) = (2.23) ·

  2

  (2n + 1)[(2n)!] (2n)! Untuk membuat galat(error ) ke bentuk yang lebih mudah dipahami, misalkan

  

2n+1

  4 _n 2 (n!) e = , (2.24)

  2

  (2n + 1)[(2n)!] selanjutnya definisikan rumus Stirling sebagai berikut: _{−n n} √ n n 2πn. (2.25)

  ! ≃ e Substitusi persamaan (2.25) ke persamaan (2.24) sehingga diperoleh _n √

  2n+1 −n 4 2n − 4n 4n

  2

  n . n 2 (e 2πn) 2 2 e (2πn) e n

  = = √

  2n − _{− 2n} 4n 2n 4n

  2

  (2n + 1)e 4 n 4πn (2n + 1)[e (2n) 4πn]

  2

  π 2(2πn) 2πn

  ∼ = = .

  _n Integrasi Numerik dengan Metode Kuadratur Gauss-Legendre Jika n → ∞, maka e → 0.

  Misalkan nilai maksimum fungsi f (x) pada turunan ke-2n sebagai

  2n

  |f (x)| M , n

  = max (2.26)

  

2n ≥ 0,

₋ 1≤x≤1

  (2n)! dengan f (x): fungsi yang dapat diturunkan tak terbatas pada [−1, 1], terdapat <

  2n

  supremum untuk n ≥ 0 maka M ∞. Sehingga didapatkan bentuk galat (error) yang lebih mudah dipahami sebagai berikut. _{n M . (2.27)} π |E (f )| ≤ 2n _n

  4

  3. Kesimpulan Perumusan Kuadratur Gauss-Legendre pada aproksimasi integrasi f (x) pada inter- val [−1, 1], didefinisikan sebagai berikut: _{Z n}

1 X

  f f i i n ₋ (x)dx = (x )w + E (f ),

  1 _{i i n i} =1

  dengan x adalah titik-titik pembuat nol (p (x)), f (x ) adalah fungsi dengan vari- _{i i n} abel x ; w adalah interval yang ditentukan (bobot); E (f ) adalah galat atau error aproksimasi sebagai berikut.

  −2 w i = _{′ i n i}

  (n + 1)p n (x )p (x )

• 1 2n+1

  4 (2n)

  2 (n!) f (ξ) E n , ξ

  (f ) = · ∈ [−1, 1].

  

2

  (2n + 1)[(2n)!] (2n)! Dengan asumsi f (x) dapat diturunkan 2n kali dan kontinu pada [−1, 1]. Daftar Pustaka [1] Atkinson, E.Kendall. 1989. An Introduction to Numerical Analysis, Second Edi- tion. John Wiley. [2] Munir, Rinaldi. 2003. Metode Numerik, Edisi ke-5. Informatika. Bandung. _nd [3] Scheid, Francis. 1988. Numerical Analysis, 2 Edition. McGraw-Hill. [4] Susatio, Yerri. 2005. Metode Numerik Berbasis MathCAD. Andi. Yogyakarta.