Analisis Dinamik Model Epidemi Tipe SEIT
Prosiding
ISSN :9 772407 749004
Analisis Dinamik Model Epidemi Tipe SEIT dengan Perbedaan
Periode Laten dan Tingkat Kejadian Tersaturasi
M. Ivan Ariful Fathonia, Mardlijahb, Hariyantoc
a,b,c
Program Studi Magister Matematika FMIPA ITS
Kampus ITSSukolilo Surabaya Jawa Timur
a
m.ivan@fathonisme.com, bmardlijah@matematika.its.ac.id, chariyanto_its@yahoo.co.id
ABSTRAK
Pada artikel ini dikonstruksi model matematika penyebaran penyakit menular tipe SEIT
(Susceptible Exposed Infective Treatment). Adanya variasi virus dan kondisi jasmani yang
berbeda tiap individu serta adanya perubahan perilaku dari individu rentan menjadi alasan
pembentukan model dengan perbedaan periode laten dan tingkat kejadian tersaturasi. Dari hasil
analisis dinamik, model memiliki dua titik kesetimbangan, yaitu titik kesetimbangan bebas
penyakit yang bersifat stabil saat bilangan reproduksi dasar bernilai lebih kecil atau sama
dengan satu, dan titik kesetimbangan endemi yang eksis dan bersifat stabil saat bilangan
reproduksi dasar bernilai lebih besar dari satu.Hasil analisis dinamik diilustrasikan dengan
simulasi numerik menggunakan software Matlab.
Kata Kunci :analisis dinamik, SEIT, tingkat kejadian tersaturasi, titik kesetimbangan,
kestabilan.
ABSTRACT
In this paper, a SEIT (Susceptible Exposed Infective Treatment) mathematical model
ofthe spread ofinfectious diseases is constructed. The virus variation, differentphysical
conditions of each individual, and behavioral change of susceptible individual sare the reason to
forma model with differences in latent period and saturated incidence rate. From dynamical
analysis results, the model has two equilibrium points, i.e. the disease-free equilibrium point
which stable whenthe basic reproduction numberis less than orequal to one, and the endemic
equilibrium point which exiss and stable when the basic reproduction numberis greatert han
one. The results of dynamical analysis is illustrated by numerical simulation using Matlab
software.
Kata Kunci :dynamical analysis, SEIT, saturated incidence rate, equilibrium point, stability.
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
924
Prosiding
ISSN :9 772407 749004
(Susceptible Infective Removal). Model
Pendahuluan
Penyakit
menular
adalah
penyakit yang disebabkan oleh sebuah
agen biologi, seperti virus, bakteri, atau
parasit. Suatu individu dapat terjangkit
penyakit
menular
melalui
langsung
maupun
tidak
dengan
individu
kontak
langsung
terinfeksi.
Akibat
kontak antarindividu tersebut terjadilah
suatu infeksi baru yang menjadi tanda
adanya
kasus
penyebaran
penyakit
menular. Penyebaran penyakit menular
yang terus terjadi akan mengakibatkan
kondisi yang disebut epidemi. Epidemi
adalah kejadian tersebarnya penyakit
menular dalam masyarakat yang jumlah
penderitanya meningkat secara nyata
melebihi keadaan yang lazim pada
waktu dan daerah tertentu.
Perkembangan
ilmu
pengetahuan di dalam matematika turut
memberikan
peranan
yang
penting
dalam mencegah meluasnya penyebaran
penyakit.
Peranan
tersebut
berupa
pembentukan model matematika yang
dapat
menggambarkan
penyebaran
suatu penyakit di masa yang akan
datang dengan melihat kondisi masa
sekarang atau masa lalu. Model tersebut
disebut dengan model epidemi.
Model epidemi pertama kali
diperkenalkan
oleh
McKendrick(1927),
Kermack
yaitu
dan
SIR menggambarkan suatu penyebaran
penyakit dimana populasi individu yang
rentan (susceptible) dapat terinfeksi
melalui proses interaksi dengan individu
yang terinfeksi (infective), kemudian
populasi yang sembuh (removal) telah
memiliki
kekebalan
penyakit.
Semakin
terhadap
suatu
berkembangnya
penelitian mengenai model penyebaran
penyakit
menjadikan
epidemiSIRsebagai
pijakan
model
banyak
ilmuwan untuk membuat model epidemi
yang lebih khusus.
Untuk kasus penyakit yang lain,
individu yang terinfeksi dapat sembuh
kembali. Akan tetapi tidak ada jaminan
bahwa individu yang sembuh dari
penyakit tersebut akan kebal terhadap
penyakit yang sama. Selain itu beberapa
penyakit menular memiliki periode
exposedatau disebut juga periode laten.
Periode
exposed
adalah
masa
bersembunyinya penyakit dalam tubuh
ketika sistem kekebalan tubuh dalam
kondisi baik. Adanya individu sembuh
yang kembali rentan dan adanya periode
exposed menjadi alasan pembentukan
model epidemi tipe SEIS (Susceptible
Exposed Infective Susceptible) seperti
yang dikemukakan oleh Fan, Li, dan
Wang (2001).
modelSIR
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
925
Prosiding
ISSN :9 772407 749004
Secara umum, model epidemi
mempertimbangkan
infeksi
tingkat
penyakit
tingkat).Tingkat
kejadian
(incidence
kejadian
infeksi
salah satu upaya untuk mencegah
penyebaran penyakit. Model epidemi
dengan
adanya
memunculkan
pengobatan
populasi
baru
dari
menyatakan banyaknya kasus infeksi
individu terinfeksi yang telah mendapat
baru akibat interaksi antara individu
pengobatan, yaitu populasi treatment,
rentan
sehingga
dengan
individu
terinfeksi.
dan
Serio
(1978)
memperkenalkan
tingkat
kejadian
Treatment)dengan perbedaan periode
infeksi nonlinear yang disebut tingkat
exposed dan tingkat kejadian tersaturasi.
Capasso
diperoleh
SEIT(Susceptible
model
Exposed
epidemi
Infective
kejadian infeksi tersaturasi. Tingkat
kejadian semacam ini lebih efektif
Metode Penelitian
karena mempertimbangkan perubahan
perilaku
dan
pengaruh
kepadatan
individu terinfeksi.Penyebaran penyakit
menular terjadi dalam bentuk yang
beragam, seperti pada penyakit H1N1.
Keberagaman yang terjadi yaitu adanya
perbedaan periode exposed dalam setiap
tubuh individu yang terinfeksi virus
H1N1. Terdapat individu yang melewati
fase periode exposed, dan ada yang
tidak. Hal ini terjadi akibat variasi virus
dan keadaan jasmani yang berbeda dari
setiap individu. Penyebaran penyakit
menular tipe SEIS dengan perbedaan
periode exposed dan tingkat kejadian
tersaturasi telah dimodelkan oleh Wang
(2012).
Penyebaran suatu penyakit dapat
dikendalikan dengan pemberian obat
pada individu terinfeksi. Oleh karena
Pada artikel ini dikonstruksi
model
epidemi
tipe
SEITdengan
perbedaan periode exposed dan tingkat
kejadian tersaturasi. Analisis terhadap
modeldilakukan
titik-titik
untuk
memperoleh
kesetimbangan,
bilangan
reproduksi dasar, dan syarat eksistensi
serta
kestabilan
titik-titik
kesetimbangan model. Pada bagian
akhir, analisis yang telah diperoleh
disimulasikan
dengan
menggunakan
software Matlab.Program simulasi yang
telah dibuat dijalankan denganvariasi
nilai awal, sertavariasi nilai parameter
yang memenuhi dua kondisi, yaitu saat
dan
.Output
program
simulasi dianalisis untuk memastikan
hasil yang sesuai dengan hasil analisis
kestabilan.
itu, pengobatan perlu dilakukan sebagai
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
926
Prosiding
ISSN :9 772407 749004
:tingkat individu terinfeksi
Hasil dan Pembahasan
yang menjadiexposed,
A. Konstruksi model
: tingkat individu terinfeksi
Model epidemi tipe SEIT dengan
yang menjadi infective,
perbedaan periode exposed dan tingkat
: tingkat kejadian tersaturasi.
kejadian tersaturasi dikonstruksi dari
sistem
persamaan
autonomous
Diagram
kompartemen
dari
sistem
nonlinear dengan empat variabel tak
persamaan (1) ditampilkanpada Gambar
bebas.Variabel-variabel
1.
adalah ,
,
banyaknya
dan
tersebut
yang mewakili
populasi
susceptible,
exposed, infective, dan treatment. Laju
perubahan keempat populasi tersebut
adalah sebagai berikut.
(1)
Gambar 1. Diagram kompartemen
Dari sistem (1) diperoleh jumlah
total
populasi
,
sehingga
dengan
(2)
Dengan mensubstitusikan
: tingkat kelahiran,
ke persamaan (1) dan menyertakan
: tingkat kematian alami,
:
tingkat
kematian
akibat
persamaan (2) yang menggantikan
,
diperoleh sistem baru sebagai berikut.
penyakit,
: tingkat pengobatan,
: tingkat individu infectiveyang
kembali rentan,
: tingkat individu
treatmentyang kembalirentan,
: tingkat individu exposed yang
menjadiinfective,
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
927
Prosiding
ISSN :9 772407 749004
Titik
kesetimbangan
menjelaskan bahwa pada keadaan ini
(3)
tidak terdapat individu exposed dan
infective dalam populasi, sehingga tidak
pernah terjadi kontak atau interaksi
antara
individu
susceptibledengan
individu infective. Dengan kata lain
semua individu dalamkeadaan sehat.
dengan
Keadaan seperti ini disebut dengan
keadaan
bebas
kesetimbangan
penyakit.Titik
menjelaskan bahwa
pada keadaan ini terdapat individu
terinfeksi
B. Titik kesetimbangan dan
dalam populasi.
Keadaan
seperti ini disebut keadaan endemi.
bilangan reproduksi dasar
Dari titik kesetimbangan endemi
Titik-titik kesetimbangan dari
sistem persamaan (3) dapat diperoleh
diperoleh bilangan reproduksi dasar
dengan
jika
maka hanya terdapat satu
titik kesetimbangan yang eksis yaitu
Sehingga
didapatkandua
titik
kesetimbangan,
titik kesetimbangan bebas penyakit.
Sedangkan jika
dan
dengan
maka terdapat
dua titik kesetimbangan yang eksis,
yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit
dan endemi.
C. Analisis kestabilantitik
kesetimbangan
Untuk mencari kestabilan dari
titik kesetimbangan yang diperoleh
maka dibentuk matriks Jacobi dari
dimana
dan
sistem persamaan (3), yaitu
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
928
Prosiding
[
ISSN :9 772407 749004
]
[
dengan
]
Nilai eigen matriks diperoleh dari
persamaan karakteristik |
|
, sehingga
Akar-akar persamaan karakteristikyang
diperoleh
adalah
dan
yang
diperoleh
polinomial
, serta
dan
dari
persamaan
.Berdasarkan
teorema
Vieta, diperoleh
Titik kesetimbangan bebas penyakit
disubstitusikan ke dalam
matriks Jacobi, diperoleh matriks
yaitu
,
dan
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
929
Prosiding
ISSN :9 772407 749004
Berdasarkan
diperoleh
Jika
dan
maka
(
Titik
)
kesetimbangan
endemi
disubstitusikan
ke
matriks diperoleh
sehingga
[
]
dengan
Dari
dan
terbukti bahwa jika
persamaan
, maka
memiliki akar-akar
(
)
negatif, sehingga semua nilai eigen
bernilai negatif. Dengan kata lain titik
kesetimbangan
bersifat
asimtotik. Jika
,maka
stabil. Jika
stabil
bersifat
, maka
sehingga persamaan
memiliki
salah satu akar yang positif. Karena
terdapat nilai eigen yang positif maka
terbukti titik kesetimbangan
tidak
stabil.
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
930
Prosiding
ISSN :9 772407 749004
2. Jika
positif, maka
.
sehingga
Untuk itu
Berdasarkan
Ruppert(1965),
Quirk
kestabilan
haruslah negatif.
&
matriks
dapat ditentukan. Dari matriks
, didapatkan dua kondisi, yaitu :
1. Jika
(
Terdapat
negatif, maka
dua
)
yaitu
sehingga
Untuk itu
kemungkinan,
atau
.
. Karena
selalu positif
maka kondisi yang mungkin adalah
haruslah positif.
, jadi
(
Terdapat
dua
yaitu
)
kemungkinan,
Selain itu, haruslah
atau
(
. Untuk
maka
)
terbukti
sehingga
Untuk
maka
bernilai negatif, sehingga
(4)
kondisi ini tidak mungkin.
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
931
Prosiding
ISSN :9 772407 749004
Karena
persamaan
(4)
benar, maka jelas
Untuk simulasi numerik saat
bernilai
. Sehingga
kondisi
, nilai parameter yang
digunakan diberikan pada Tabel 1. Dari
terbukti
nilai-nilai parameter pada Tabel 1 dan
dengan
didapatkan
.
Berdasarkan
tingkatpengobatan
dua
kondisi
tersebut, serta karena
bebas
titik
penyakit
dan
,
memenuhi
teorema
kestabilanQuirk
demikiandapat
jika
,maka
kesetimbangan
bersifat
dan
titik
yang
&
Ruppert(1965).Dengan
disimpulkan
,
kesetimbangan
,maka
matriks
,
merupakan kesetimbangan endemi.
titik
stabil
Tabel 1. Nilai parameter dalam simulasi
asimtotik.
Parameter
D. Simulasi
Dinamika penyakit menular pada
model epidemi SEIT dapat diamati
melalui simulasi numerik yang dibuat
menggunakan software Matlab. Model
disimulasikan
saat
Untuk mengetahui potret fase, model
saat
populasi
(
)adalah
0.1
0.01
0.1
0.4
0.5
dan
disimulasikan
Nilai
awal
0.4
0.1
0.1
0.2
dan
Untuk mengetahui perubahan jumlah
populasi,
populasi
adalah
model
disimulasikan
saat
Dari titik-titikkesetimbangan tersebut
awal
terlihat bahwa keduanya eksis, seperti
yang ditampilkan pada Gambar 2.
Berdasarkan Gambar 2 dapat diketahui
bahwa dengan empat jumlah populasi
awal yang berbeda, populasi akan stabil
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
932
Prosiding
di titik
ISSN :9 772407 749004
. Hal ini diperjelas pada
70
Gambar 3.Pada Gambar 3 terlihat bahwa
60
8
6
di titik
50
danjumlah total populasi
Jumlah Individu
populasi akan stabil
.
Titik tersebut adalah titik kesetimbangan
4
2
dengan
10
menunjukkan jika
yang
maka titik
3
30
20
analitik
1
0
350
0
0
50
100
360
370
380
150
200
250
Waktu (Hari)
kesetimbangan endemi bersifat stabil,
sedangkan titik kesetimbangan bebas
E = Exposed
I = Infective
T = Treatment
N = Total populasi
S = Susceptible
5
40
endemi.Hasil simulasi numerik sesuai
perhitungan
7
300
390
400
350
400
Gambar 3. Perubahan populasi saat
penyakit bersifat tidak stabil.
Untuk simulasi saat
Potret fase
30
diperoleh dengan menambah tingkat
Nilai awal
Titik bebas penyakit P o
Susceptible
25
pengobatan
Titik endemi P *
20
parameter
(20,15,10)
15
,
10
menjadi
tersebut
danhanya
. Dari nilai
diperoleh
satu
titik
(5,15,25)
(10,25,5)
kesetimbangan yang eksis, yaitu titik
(10,5,10)
5
30
(6.85,0.64,0.22)
20
(10,0,0)
25
20
15
10
Infective
10
0
5
0
Exposed
sedangkan titik
tidak eksis, seperti
pada Gambar 4.
Gambar 2. Potret fase saat
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
933
Prosiding
ISSN :9 772407 749004
mengalami
Potret fase
Nilai awal
jangka waktu
30
25
(10,25,5)
20
sampai
populasinya habis. Akibatnya dalam
Titik bebas penyakit P o
Susceptible
penurunan
hari hanya terdapat
populasi susceptible yang hidup dan
(20,15,10)
jumlahnya stabil di titik kesetimbangan
15
(10,5,10)
10
(10,0,0)
5
25
(5,15,25)
0
bebas penyakit
.
5
20
10
15
15
10
20
5
0
25
Infective
Exposed
Kesimpulan
Gambar 4. Potret fase saat
Kesimpulan yang dapat diambil
dari
penelitian
ini
adalah
sebagai
berikut.
70
1. Model epidemi tipe SEITdengan
15
60
perbedaan
10
50
Jumlah Individu
800
30
900
1000
empat variabel tak bebas.
E = Exposed
I = Infective
T = Treatment
N = Total populasi
S = Susceptible
20
2. Model
memiliki
kesetimbangan,
10
kesetimbangan
200
400
600
Waktu (Hari)
800
1000
bilangan
kesetimbangan
Berdasarkan
titik
titik
penyakit
endemi
yang
kedua
titik
ditentukan
oleh
reproduksi
dasar.
Jika
maka titik kesetimbangan
empat populasi awal yang berbeda,
di
bebas
kestabilan
kesetimbangan
stabil
yaitu
lebih besar darisatu.
3. Syarat
akan
titik
hanya eksis saat bilangan reproduksi
dasar
Gambar 4 menunjukkan bahwa dengan
dua
yang selalu eksis, dan titik
kesetimbangan
Gambar 5. Perubahan populasi saat
populasi
dan
sistem autonomous nonlinear dengan
40
0
0
exposed
tingkat kejadian tersaturasi berupa
5
0
periode
endemi
stabil,
maka
grafik
sebaliknya
jika
hanya
titik
perubahan populasi pada Gambar 5,
kesetimbangan bebas penyakit yang
populasi exposed dan infective terus
stabil.
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
934
Prosiding
4. Simulasi
ISSN :9 772407 749004
numerik
menunjukkan
bahwa tingkat pengobatan
dapat
mengubah bilangan reproduksi dasar.
Semakin besar
reproduksi
, maka bilangan
dasar
kecil.Akibatnya
semakin
semakin
tercapai
, atau kondisi bebas penyakit.
Biosciences, Volume 42, pp. 43-
61.
Fan, M., Li, M. Y. & Wang, K., 2001.
Global Stability of an SEIS
Epidemic
Model
with
Recruitment and a Varying Total
Population Size. Mathematical
Biosciences, Volume 170, pp.
199-208.
Ucapan Terima Kasih
Penulis berterima kasih kepada
Kermack, W. O. & McKendrick, A. G.,
Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi
1927. A Contribution of the
yang
Mathematical
telah
kepada
memberikan
penulis
dukungan
sehingga
dapat
memperoleh ilmu untuk menulis artikel
ini. Penulis juga berterima kasih kepada
Basuki Widodo dan Isa Irawan atas
masukan yang telah diberikan selama
penulisan artikel ini.
Epidemics.
Theory
s.l.,
The
of
Royal
Society, pp. 700-721.
Quirk, J. P. & Ruppert, R., 1965.
Qualitative Economics and The
Stability of Equilibrium. Rev.
Econ. Stud., pp. 311-326.
Pustaka
Wang, J., 2012. Analysis of an SEIS
Capasso, V. & Serio, G., 1978. A
Epidemic
Model
with
a
Generalization of the Kermack-
Changing Delitescence. Abstract
McKendrick
and Applied Analysis, pp. 1-10.
Deterministic
Epidemic Model. Mathematical
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
935
ISSN :9 772407 749004
Analisis Dinamik Model Epidemi Tipe SEIT dengan Perbedaan
Periode Laten dan Tingkat Kejadian Tersaturasi
M. Ivan Ariful Fathonia, Mardlijahb, Hariyantoc
a,b,c
Program Studi Magister Matematika FMIPA ITS
Kampus ITSSukolilo Surabaya Jawa Timur
a
m.ivan@fathonisme.com, bmardlijah@matematika.its.ac.id, chariyanto_its@yahoo.co.id
ABSTRAK
Pada artikel ini dikonstruksi model matematika penyebaran penyakit menular tipe SEIT
(Susceptible Exposed Infective Treatment). Adanya variasi virus dan kondisi jasmani yang
berbeda tiap individu serta adanya perubahan perilaku dari individu rentan menjadi alasan
pembentukan model dengan perbedaan periode laten dan tingkat kejadian tersaturasi. Dari hasil
analisis dinamik, model memiliki dua titik kesetimbangan, yaitu titik kesetimbangan bebas
penyakit yang bersifat stabil saat bilangan reproduksi dasar bernilai lebih kecil atau sama
dengan satu, dan titik kesetimbangan endemi yang eksis dan bersifat stabil saat bilangan
reproduksi dasar bernilai lebih besar dari satu.Hasil analisis dinamik diilustrasikan dengan
simulasi numerik menggunakan software Matlab.
Kata Kunci :analisis dinamik, SEIT, tingkat kejadian tersaturasi, titik kesetimbangan,
kestabilan.
ABSTRACT
In this paper, a SEIT (Susceptible Exposed Infective Treatment) mathematical model
ofthe spread ofinfectious diseases is constructed. The virus variation, differentphysical
conditions of each individual, and behavioral change of susceptible individual sare the reason to
forma model with differences in latent period and saturated incidence rate. From dynamical
analysis results, the model has two equilibrium points, i.e. the disease-free equilibrium point
which stable whenthe basic reproduction numberis less than orequal to one, and the endemic
equilibrium point which exiss and stable when the basic reproduction numberis greatert han
one. The results of dynamical analysis is illustrated by numerical simulation using Matlab
software.
Kata Kunci :dynamical analysis, SEIT, saturated incidence rate, equilibrium point, stability.
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
924
Prosiding
ISSN :9 772407 749004
(Susceptible Infective Removal). Model
Pendahuluan
Penyakit
menular
adalah
penyakit yang disebabkan oleh sebuah
agen biologi, seperti virus, bakteri, atau
parasit. Suatu individu dapat terjangkit
penyakit
menular
melalui
langsung
maupun
tidak
dengan
individu
kontak
langsung
terinfeksi.
Akibat
kontak antarindividu tersebut terjadilah
suatu infeksi baru yang menjadi tanda
adanya
kasus
penyebaran
penyakit
menular. Penyebaran penyakit menular
yang terus terjadi akan mengakibatkan
kondisi yang disebut epidemi. Epidemi
adalah kejadian tersebarnya penyakit
menular dalam masyarakat yang jumlah
penderitanya meningkat secara nyata
melebihi keadaan yang lazim pada
waktu dan daerah tertentu.
Perkembangan
ilmu
pengetahuan di dalam matematika turut
memberikan
peranan
yang
penting
dalam mencegah meluasnya penyebaran
penyakit.
Peranan
tersebut
berupa
pembentukan model matematika yang
dapat
menggambarkan
penyebaran
suatu penyakit di masa yang akan
datang dengan melihat kondisi masa
sekarang atau masa lalu. Model tersebut
disebut dengan model epidemi.
Model epidemi pertama kali
diperkenalkan
oleh
McKendrick(1927),
Kermack
yaitu
dan
SIR menggambarkan suatu penyebaran
penyakit dimana populasi individu yang
rentan (susceptible) dapat terinfeksi
melalui proses interaksi dengan individu
yang terinfeksi (infective), kemudian
populasi yang sembuh (removal) telah
memiliki
kekebalan
penyakit.
Semakin
terhadap
suatu
berkembangnya
penelitian mengenai model penyebaran
penyakit
menjadikan
epidemiSIRsebagai
pijakan
model
banyak
ilmuwan untuk membuat model epidemi
yang lebih khusus.
Untuk kasus penyakit yang lain,
individu yang terinfeksi dapat sembuh
kembali. Akan tetapi tidak ada jaminan
bahwa individu yang sembuh dari
penyakit tersebut akan kebal terhadap
penyakit yang sama. Selain itu beberapa
penyakit menular memiliki periode
exposedatau disebut juga periode laten.
Periode
exposed
adalah
masa
bersembunyinya penyakit dalam tubuh
ketika sistem kekebalan tubuh dalam
kondisi baik. Adanya individu sembuh
yang kembali rentan dan adanya periode
exposed menjadi alasan pembentukan
model epidemi tipe SEIS (Susceptible
Exposed Infective Susceptible) seperti
yang dikemukakan oleh Fan, Li, dan
Wang (2001).
modelSIR
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
925
Prosiding
ISSN :9 772407 749004
Secara umum, model epidemi
mempertimbangkan
infeksi
tingkat
penyakit
tingkat).Tingkat
kejadian
(incidence
kejadian
infeksi
salah satu upaya untuk mencegah
penyebaran penyakit. Model epidemi
dengan
adanya
memunculkan
pengobatan
populasi
baru
dari
menyatakan banyaknya kasus infeksi
individu terinfeksi yang telah mendapat
baru akibat interaksi antara individu
pengobatan, yaitu populasi treatment,
rentan
sehingga
dengan
individu
terinfeksi.
dan
Serio
(1978)
memperkenalkan
tingkat
kejadian
Treatment)dengan perbedaan periode
infeksi nonlinear yang disebut tingkat
exposed dan tingkat kejadian tersaturasi.
Capasso
diperoleh
SEIT(Susceptible
model
Exposed
epidemi
Infective
kejadian infeksi tersaturasi. Tingkat
kejadian semacam ini lebih efektif
Metode Penelitian
karena mempertimbangkan perubahan
perilaku
dan
pengaruh
kepadatan
individu terinfeksi.Penyebaran penyakit
menular terjadi dalam bentuk yang
beragam, seperti pada penyakit H1N1.
Keberagaman yang terjadi yaitu adanya
perbedaan periode exposed dalam setiap
tubuh individu yang terinfeksi virus
H1N1. Terdapat individu yang melewati
fase periode exposed, dan ada yang
tidak. Hal ini terjadi akibat variasi virus
dan keadaan jasmani yang berbeda dari
setiap individu. Penyebaran penyakit
menular tipe SEIS dengan perbedaan
periode exposed dan tingkat kejadian
tersaturasi telah dimodelkan oleh Wang
(2012).
Penyebaran suatu penyakit dapat
dikendalikan dengan pemberian obat
pada individu terinfeksi. Oleh karena
Pada artikel ini dikonstruksi
model
epidemi
tipe
SEITdengan
perbedaan periode exposed dan tingkat
kejadian tersaturasi. Analisis terhadap
modeldilakukan
titik-titik
untuk
memperoleh
kesetimbangan,
bilangan
reproduksi dasar, dan syarat eksistensi
serta
kestabilan
titik-titik
kesetimbangan model. Pada bagian
akhir, analisis yang telah diperoleh
disimulasikan
dengan
menggunakan
software Matlab.Program simulasi yang
telah dibuat dijalankan denganvariasi
nilai awal, sertavariasi nilai parameter
yang memenuhi dua kondisi, yaitu saat
dan
.Output
program
simulasi dianalisis untuk memastikan
hasil yang sesuai dengan hasil analisis
kestabilan.
itu, pengobatan perlu dilakukan sebagai
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
926
Prosiding
ISSN :9 772407 749004
:tingkat individu terinfeksi
Hasil dan Pembahasan
yang menjadiexposed,
A. Konstruksi model
: tingkat individu terinfeksi
Model epidemi tipe SEIT dengan
yang menjadi infective,
perbedaan periode exposed dan tingkat
: tingkat kejadian tersaturasi.
kejadian tersaturasi dikonstruksi dari
sistem
persamaan
autonomous
Diagram
kompartemen
dari
sistem
nonlinear dengan empat variabel tak
persamaan (1) ditampilkanpada Gambar
bebas.Variabel-variabel
1.
adalah ,
,
banyaknya
dan
tersebut
yang mewakili
populasi
susceptible,
exposed, infective, dan treatment. Laju
perubahan keempat populasi tersebut
adalah sebagai berikut.
(1)
Gambar 1. Diagram kompartemen
Dari sistem (1) diperoleh jumlah
total
populasi
,
sehingga
dengan
(2)
Dengan mensubstitusikan
: tingkat kelahiran,
ke persamaan (1) dan menyertakan
: tingkat kematian alami,
:
tingkat
kematian
akibat
persamaan (2) yang menggantikan
,
diperoleh sistem baru sebagai berikut.
penyakit,
: tingkat pengobatan,
: tingkat individu infectiveyang
kembali rentan,
: tingkat individu
treatmentyang kembalirentan,
: tingkat individu exposed yang
menjadiinfective,
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
927
Prosiding
ISSN :9 772407 749004
Titik
kesetimbangan
menjelaskan bahwa pada keadaan ini
(3)
tidak terdapat individu exposed dan
infective dalam populasi, sehingga tidak
pernah terjadi kontak atau interaksi
antara
individu
susceptibledengan
individu infective. Dengan kata lain
semua individu dalamkeadaan sehat.
dengan
Keadaan seperti ini disebut dengan
keadaan
bebas
kesetimbangan
penyakit.Titik
menjelaskan bahwa
pada keadaan ini terdapat individu
terinfeksi
B. Titik kesetimbangan dan
dalam populasi.
Keadaan
seperti ini disebut keadaan endemi.
bilangan reproduksi dasar
Dari titik kesetimbangan endemi
Titik-titik kesetimbangan dari
sistem persamaan (3) dapat diperoleh
diperoleh bilangan reproduksi dasar
dengan
jika
maka hanya terdapat satu
titik kesetimbangan yang eksis yaitu
Sehingga
didapatkandua
titik
kesetimbangan,
titik kesetimbangan bebas penyakit.
Sedangkan jika
dan
dengan
maka terdapat
dua titik kesetimbangan yang eksis,
yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit
dan endemi.
C. Analisis kestabilantitik
kesetimbangan
Untuk mencari kestabilan dari
titik kesetimbangan yang diperoleh
maka dibentuk matriks Jacobi dari
dimana
dan
sistem persamaan (3), yaitu
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
928
Prosiding
[
ISSN :9 772407 749004
]
[
dengan
]
Nilai eigen matriks diperoleh dari
persamaan karakteristik |
|
, sehingga
Akar-akar persamaan karakteristikyang
diperoleh
adalah
dan
yang
diperoleh
polinomial
, serta
dan
dari
persamaan
.Berdasarkan
teorema
Vieta, diperoleh
Titik kesetimbangan bebas penyakit
disubstitusikan ke dalam
matriks Jacobi, diperoleh matriks
yaitu
,
dan
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
929
Prosiding
ISSN :9 772407 749004
Berdasarkan
diperoleh
Jika
dan
maka
(
Titik
)
kesetimbangan
endemi
disubstitusikan
ke
matriks diperoleh
sehingga
[
]
dengan
Dari
dan
terbukti bahwa jika
persamaan
, maka
memiliki akar-akar
(
)
negatif, sehingga semua nilai eigen
bernilai negatif. Dengan kata lain titik
kesetimbangan
bersifat
asimtotik. Jika
,maka
stabil. Jika
stabil
bersifat
, maka
sehingga persamaan
memiliki
salah satu akar yang positif. Karena
terdapat nilai eigen yang positif maka
terbukti titik kesetimbangan
tidak
stabil.
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
930
Prosiding
ISSN :9 772407 749004
2. Jika
positif, maka
.
sehingga
Untuk itu
Berdasarkan
Ruppert(1965),
Quirk
kestabilan
haruslah negatif.
&
matriks
dapat ditentukan. Dari matriks
, didapatkan dua kondisi, yaitu :
1. Jika
(
Terdapat
negatif, maka
dua
)
yaitu
sehingga
Untuk itu
kemungkinan,
atau
.
. Karena
selalu positif
maka kondisi yang mungkin adalah
haruslah positif.
, jadi
(
Terdapat
dua
yaitu
)
kemungkinan,
Selain itu, haruslah
atau
(
. Untuk
maka
)
terbukti
sehingga
Untuk
maka
bernilai negatif, sehingga
(4)
kondisi ini tidak mungkin.
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
931
Prosiding
ISSN :9 772407 749004
Karena
persamaan
(4)
benar, maka jelas
Untuk simulasi numerik saat
bernilai
. Sehingga
kondisi
, nilai parameter yang
digunakan diberikan pada Tabel 1. Dari
terbukti
nilai-nilai parameter pada Tabel 1 dan
dengan
didapatkan
.
Berdasarkan
tingkatpengobatan
dua
kondisi
tersebut, serta karena
bebas
titik
penyakit
dan
,
memenuhi
teorema
kestabilanQuirk
demikiandapat
jika
,maka
kesetimbangan
bersifat
dan
titik
yang
&
Ruppert(1965).Dengan
disimpulkan
,
kesetimbangan
,maka
matriks
,
merupakan kesetimbangan endemi.
titik
stabil
Tabel 1. Nilai parameter dalam simulasi
asimtotik.
Parameter
D. Simulasi
Dinamika penyakit menular pada
model epidemi SEIT dapat diamati
melalui simulasi numerik yang dibuat
menggunakan software Matlab. Model
disimulasikan
saat
Untuk mengetahui potret fase, model
saat
populasi
(
)adalah
0.1
0.01
0.1
0.4
0.5
dan
disimulasikan
Nilai
awal
0.4
0.1
0.1
0.2
dan
Untuk mengetahui perubahan jumlah
populasi,
populasi
adalah
model
disimulasikan
saat
Dari titik-titikkesetimbangan tersebut
awal
terlihat bahwa keduanya eksis, seperti
yang ditampilkan pada Gambar 2.
Berdasarkan Gambar 2 dapat diketahui
bahwa dengan empat jumlah populasi
awal yang berbeda, populasi akan stabil
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
932
Prosiding
di titik
ISSN :9 772407 749004
. Hal ini diperjelas pada
70
Gambar 3.Pada Gambar 3 terlihat bahwa
60
8
6
di titik
50
danjumlah total populasi
Jumlah Individu
populasi akan stabil
.
Titik tersebut adalah titik kesetimbangan
4
2
dengan
10
menunjukkan jika
yang
maka titik
3
30
20
analitik
1
0
350
0
0
50
100
360
370
380
150
200
250
Waktu (Hari)
kesetimbangan endemi bersifat stabil,
sedangkan titik kesetimbangan bebas
E = Exposed
I = Infective
T = Treatment
N = Total populasi
S = Susceptible
5
40
endemi.Hasil simulasi numerik sesuai
perhitungan
7
300
390
400
350
400
Gambar 3. Perubahan populasi saat
penyakit bersifat tidak stabil.
Untuk simulasi saat
Potret fase
30
diperoleh dengan menambah tingkat
Nilai awal
Titik bebas penyakit P o
Susceptible
25
pengobatan
Titik endemi P *
20
parameter
(20,15,10)
15
,
10
menjadi
tersebut
danhanya
. Dari nilai
diperoleh
satu
titik
(5,15,25)
(10,25,5)
kesetimbangan yang eksis, yaitu titik
(10,5,10)
5
30
(6.85,0.64,0.22)
20
(10,0,0)
25
20
15
10
Infective
10
0
5
0
Exposed
sedangkan titik
tidak eksis, seperti
pada Gambar 4.
Gambar 2. Potret fase saat
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
933
Prosiding
ISSN :9 772407 749004
mengalami
Potret fase
Nilai awal
jangka waktu
30
25
(10,25,5)
20
sampai
populasinya habis. Akibatnya dalam
Titik bebas penyakit P o
Susceptible
penurunan
hari hanya terdapat
populasi susceptible yang hidup dan
(20,15,10)
jumlahnya stabil di titik kesetimbangan
15
(10,5,10)
10
(10,0,0)
5
25
(5,15,25)
0
bebas penyakit
.
5
20
10
15
15
10
20
5
0
25
Infective
Exposed
Kesimpulan
Gambar 4. Potret fase saat
Kesimpulan yang dapat diambil
dari
penelitian
ini
adalah
sebagai
berikut.
70
1. Model epidemi tipe SEITdengan
15
60
perbedaan
10
50
Jumlah Individu
800
30
900
1000
empat variabel tak bebas.
E = Exposed
I = Infective
T = Treatment
N = Total populasi
S = Susceptible
20
2. Model
memiliki
kesetimbangan,
10
kesetimbangan
200
400
600
Waktu (Hari)
800
1000
bilangan
kesetimbangan
Berdasarkan
titik
titik
penyakit
endemi
yang
kedua
titik
ditentukan
oleh
reproduksi
dasar.
Jika
maka titik kesetimbangan
empat populasi awal yang berbeda,
di
bebas
kestabilan
kesetimbangan
stabil
yaitu
lebih besar darisatu.
3. Syarat
akan
titik
hanya eksis saat bilangan reproduksi
dasar
Gambar 4 menunjukkan bahwa dengan
dua
yang selalu eksis, dan titik
kesetimbangan
Gambar 5. Perubahan populasi saat
populasi
dan
sistem autonomous nonlinear dengan
40
0
0
exposed
tingkat kejadian tersaturasi berupa
5
0
periode
endemi
stabil,
maka
grafik
sebaliknya
jika
hanya
titik
perubahan populasi pada Gambar 5,
kesetimbangan bebas penyakit yang
populasi exposed dan infective terus
stabil.
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
934
Prosiding
4. Simulasi
ISSN :9 772407 749004
numerik
menunjukkan
bahwa tingkat pengobatan
dapat
mengubah bilangan reproduksi dasar.
Semakin besar
reproduksi
, maka bilangan
dasar
kecil.Akibatnya
semakin
semakin
tercapai
, atau kondisi bebas penyakit.
Biosciences, Volume 42, pp. 43-
61.
Fan, M., Li, M. Y. & Wang, K., 2001.
Global Stability of an SEIS
Epidemic
Model
with
Recruitment and a Varying Total
Population Size. Mathematical
Biosciences, Volume 170, pp.
199-208.
Ucapan Terima Kasih
Penulis berterima kasih kepada
Kermack, W. O. & McKendrick, A. G.,
Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi
1927. A Contribution of the
yang
Mathematical
telah
kepada
memberikan
penulis
dukungan
sehingga
dapat
memperoleh ilmu untuk menulis artikel
ini. Penulis juga berterima kasih kepada
Basuki Widodo dan Isa Irawan atas
masukan yang telah diberikan selama
penulisan artikel ini.
Epidemics.
Theory
s.l.,
The
of
Royal
Society, pp. 700-721.
Quirk, J. P. & Ruppert, R., 1965.
Qualitative Economics and The
Stability of Equilibrium. Rev.
Econ. Stud., pp. 311-326.
Pustaka
Wang, J., 2012. Analysis of an SEIS
Capasso, V. & Serio, G., 1978. A
Epidemic
Model
with
a
Generalization of the Kermack-
Changing Delitescence. Abstract
McKendrick
and Applied Analysis, pp. 1-10.
Deterministic
Epidemic Model. Mathematical
Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014)
Yogyakarta, 27 Desember 2014
935