Rata rata Harmonik Harmonic Average
Rata-rata Harmonik (Harmonic Average)
Rata-rata harmonik (harmonic average) adalah rata-rata yang dihitung dengan cara
mengubah semua data menjadi pecahan, dimana nilai data dijadikan sebagai penyebut
dan pembilangnya adalah satu, kemudian semua pecahan tersebut dijumlahkan dan
selanjutnya dijadikan sebagai pembagi jumlah data. Rata-rata harmonik ini sering
disebut juga dengan kebalikan darirata-rata hitung (aritmatik). Secara matematis ratarata harmonik dirumuskan sebagai berikut.
Keterangan:
H = rata-rata harmonik
n = jumlah data sampel
xi = nilai data ke-i
Contoh:
Suatu pertandingan bridge terdiri dari 10 meja. Pada pertandingan tersebut ingin
diketahui rata-rata lama bermain dalam 1 set kartu bridge. Pada pertandingan
pertamanya dihitung lama bermain untuk setiap set kartu di setiap meja. Hasilnya
adalah sebagai berikut (dalam menit).
7, 6, 8, 10, 8, 8, 9, 12, 9, 11
Berapakah rata-rata harmonik lama pertandingan tersebut?
Jawab:
Dari rumus dapat dihitung rata-rata harmonik adalah sebagai berikut.
Rata-rata Hitung (Mean)
Rata-rata atau Mean merupakan ukuran statistik kecenderungan terpusat yang
paling sering digunakan. Rata-rata ada beberapa macam, yaitu rata-rata hitung
(aritmatik), rata-rata geometrik, rata-rata harmonik dan lain-lain. Tetapi jika hanya
disebut dengan kata "rata-rata" saja, maka rata-rata yang dimaksud adalah rata-rata
hitung (aritmatik).
Penghitungan
Penghitungan rata-rata dilakukan dengan menjumlahkan seluruh nilai data suatu
kelompok sampel, kemudian dibagi dengan jumlah sampel tersebut. Jadi jika suatu
kelompok sampel acak dengan jumlah sampel n, maka bisa dihitung rata-rata dari
sampel tersebut dengan rumus sebagai berikut.
Keterangan:
= rata-rata hitung
xi = nilai sampel ke-i
n = jumlah sampel
Contoh Penghitungan
Misalkan kita ingin mengetahui rata-rata tinggi badan siswa di suatu kelas. Kita bisa
mengambil sampel misalnya sebanyak 10 siswa dan kemudian diukur tinggi badannya.
Dari hasil pengukuran diperoleh data tinggi badan kesepuluh siswa tersebut dalam
ukuran sentimeter (cm) sebagai berikut.
172, 167, 180, 170, 169, 160, 175, 165, 173, 170
Dari data di atas dapat dihitung rata-rata dengan menggunakan rumus rata-rata :
Dari hasil penghitungan, bisa diambil kesimpulan bahwa rata-rata tinggi badan siswa
di kelas tersebut adalah 170,1 cm.
Varian dan Standar Deviasi (Simpangan Baku)
Varian dan standar deviasi (simpangan baku) adalah ukuran-ukuran keragaman
(variasi) data statistik yang paling sering digunakan. Standar deviasi (simpangan
baku) merupakan akarkuadrat dari varian.
Jadi jika salah satu nilai dari kedua ukuran tersebut diketahui maka akan diketahui
juga nilai ukuran yang lain.
Penghitungan
Dasar penghitungan varian dan standar deviasi adalah keinginan untuk mengetahui
keragaman suatu kelompok data. Salah satu cara untuk mengetahui keragaman suatu
kelompok data adalah dengan mengurangi setiap nilai data dengan rata-rata kelompok
data tersebut, kemudian semua hasilnya dijumlahkan.
Namun cara seperti itu tidak bisa digunakan karena hasilnya akan selalu menjadi 0.
Oleh karena itu, solusi agar nilainya tidak menjadi 0 adalah dengan mengkuadratkan
setiap pengurangan nilai data dan rata-rata kelompok data tersebut, kemudian
dilakukan penjumlahan. Hasil penjumlahan kuadrat (sum of squares) tersebut akan
selalu bernilai positif.
Nilai varian diperoleh dari pembagian hasil penjumlahan kuadrat (sum of squares)
dengan ukuran data (n).
Namun begitu, dalam penerapannya, nilai varian tersebut bias untuk menduga
varian populasi. Dengan menggunakan rumus tersebut, nilai varian populasi lebih
besar dari varian sampel.
Oleh karena itu, agar tidak bias dalam menduga varian populasi, maka n sebagai
pembagi penjumlahan kuadrat (sum of squares) diganti dengan n-1 (derajat bebas)
agar nilainya menjadi lebih besar dan mendekati varian populasi. Oleh karena itu
rumus varian menjadi :
Nilai varian yang dihasilkan merupakan nilai yang berbentuk kuadrat. Jika satuan
nilai rata-rata adalah gram, maka nilai varian adalah gram kuadrat. Untuk
menyeragamkan nilai satuannya maka varian diakarkuadratkan sehingga hasilnya
adalah standar deviasi (simpangan baku).
Untuk mempermudah penghitungan, rumus varian dan standar deviasi (simpangan
baku) tersebut bisa diturunkan :
Rumus varian :
Rumus standar deviasi (simpangan baku) :
Contoh Penghitungan
Misalkan dalam suatu kelas, tinggi badan beberapa orang siswa yang dijadikan sampel
adalah sebagai berikut.
172, 167, 180,170, 169, 160, 175, 165, 173, 170
Dari data tersebut dapat dihitung varian dengan menggunakan rumus varian di atas.
Dari penghitungan, diperoleh nilai varian sama dengan 30,22.
Dari nilai tersebut bisa langsung diperoleh nilai standar deviasi (simpangan baku)
dengan cara mengakarkuadratkan nilai varian.
Keterangan:
s2 = varian
s = standar deviasi (simpangan baku)
xi = nilai x ke-i
= rata-rata
n = ukuran sampel
Rata-rata harmonik (harmonic average) adalah rata-rata yang dihitung dengan cara
mengubah semua data menjadi pecahan, dimana nilai data dijadikan sebagai penyebut
dan pembilangnya adalah satu, kemudian semua pecahan tersebut dijumlahkan dan
selanjutnya dijadikan sebagai pembagi jumlah data. Rata-rata harmonik ini sering
disebut juga dengan kebalikan darirata-rata hitung (aritmatik). Secara matematis ratarata harmonik dirumuskan sebagai berikut.
Keterangan:
H = rata-rata harmonik
n = jumlah data sampel
xi = nilai data ke-i
Contoh:
Suatu pertandingan bridge terdiri dari 10 meja. Pada pertandingan tersebut ingin
diketahui rata-rata lama bermain dalam 1 set kartu bridge. Pada pertandingan
pertamanya dihitung lama bermain untuk setiap set kartu di setiap meja. Hasilnya
adalah sebagai berikut (dalam menit).
7, 6, 8, 10, 8, 8, 9, 12, 9, 11
Berapakah rata-rata harmonik lama pertandingan tersebut?
Jawab:
Dari rumus dapat dihitung rata-rata harmonik adalah sebagai berikut.
Rata-rata Hitung (Mean)
Rata-rata atau Mean merupakan ukuran statistik kecenderungan terpusat yang
paling sering digunakan. Rata-rata ada beberapa macam, yaitu rata-rata hitung
(aritmatik), rata-rata geometrik, rata-rata harmonik dan lain-lain. Tetapi jika hanya
disebut dengan kata "rata-rata" saja, maka rata-rata yang dimaksud adalah rata-rata
hitung (aritmatik).
Penghitungan
Penghitungan rata-rata dilakukan dengan menjumlahkan seluruh nilai data suatu
kelompok sampel, kemudian dibagi dengan jumlah sampel tersebut. Jadi jika suatu
kelompok sampel acak dengan jumlah sampel n, maka bisa dihitung rata-rata dari
sampel tersebut dengan rumus sebagai berikut.
Keterangan:
= rata-rata hitung
xi = nilai sampel ke-i
n = jumlah sampel
Contoh Penghitungan
Misalkan kita ingin mengetahui rata-rata tinggi badan siswa di suatu kelas. Kita bisa
mengambil sampel misalnya sebanyak 10 siswa dan kemudian diukur tinggi badannya.
Dari hasil pengukuran diperoleh data tinggi badan kesepuluh siswa tersebut dalam
ukuran sentimeter (cm) sebagai berikut.
172, 167, 180, 170, 169, 160, 175, 165, 173, 170
Dari data di atas dapat dihitung rata-rata dengan menggunakan rumus rata-rata :
Dari hasil penghitungan, bisa diambil kesimpulan bahwa rata-rata tinggi badan siswa
di kelas tersebut adalah 170,1 cm.
Varian dan Standar Deviasi (Simpangan Baku)
Varian dan standar deviasi (simpangan baku) adalah ukuran-ukuran keragaman
(variasi) data statistik yang paling sering digunakan. Standar deviasi (simpangan
baku) merupakan akarkuadrat dari varian.
Jadi jika salah satu nilai dari kedua ukuran tersebut diketahui maka akan diketahui
juga nilai ukuran yang lain.
Penghitungan
Dasar penghitungan varian dan standar deviasi adalah keinginan untuk mengetahui
keragaman suatu kelompok data. Salah satu cara untuk mengetahui keragaman suatu
kelompok data adalah dengan mengurangi setiap nilai data dengan rata-rata kelompok
data tersebut, kemudian semua hasilnya dijumlahkan.
Namun cara seperti itu tidak bisa digunakan karena hasilnya akan selalu menjadi 0.
Oleh karena itu, solusi agar nilainya tidak menjadi 0 adalah dengan mengkuadratkan
setiap pengurangan nilai data dan rata-rata kelompok data tersebut, kemudian
dilakukan penjumlahan. Hasil penjumlahan kuadrat (sum of squares) tersebut akan
selalu bernilai positif.
Nilai varian diperoleh dari pembagian hasil penjumlahan kuadrat (sum of squares)
dengan ukuran data (n).
Namun begitu, dalam penerapannya, nilai varian tersebut bias untuk menduga
varian populasi. Dengan menggunakan rumus tersebut, nilai varian populasi lebih
besar dari varian sampel.
Oleh karena itu, agar tidak bias dalam menduga varian populasi, maka n sebagai
pembagi penjumlahan kuadrat (sum of squares) diganti dengan n-1 (derajat bebas)
agar nilainya menjadi lebih besar dan mendekati varian populasi. Oleh karena itu
rumus varian menjadi :
Nilai varian yang dihasilkan merupakan nilai yang berbentuk kuadrat. Jika satuan
nilai rata-rata adalah gram, maka nilai varian adalah gram kuadrat. Untuk
menyeragamkan nilai satuannya maka varian diakarkuadratkan sehingga hasilnya
adalah standar deviasi (simpangan baku).
Untuk mempermudah penghitungan, rumus varian dan standar deviasi (simpangan
baku) tersebut bisa diturunkan :
Rumus varian :
Rumus standar deviasi (simpangan baku) :
Contoh Penghitungan
Misalkan dalam suatu kelas, tinggi badan beberapa orang siswa yang dijadikan sampel
adalah sebagai berikut.
172, 167, 180,170, 169, 160, 175, 165, 173, 170
Dari data tersebut dapat dihitung varian dengan menggunakan rumus varian di atas.
Dari penghitungan, diperoleh nilai varian sama dengan 30,22.
Dari nilai tersebut bisa langsung diperoleh nilai standar deviasi (simpangan baku)
dengan cara mengakarkuadratkan nilai varian.
Keterangan:
s2 = varian
s = standar deviasi (simpangan baku)
xi = nilai x ke-i
= rata-rata
n = ukuran sampel