KAJIAN RUANG WAKTU KERR-NEWMAN DALAM GRAVITASI EINSTEIN - ITS Repository

  TUGAS AKHIR - SF 141501

KAJIAN RUANG WAKTU KERR-NEWMAN DALAM GRAVITASI

EINSTEIN ANDIKA IRAWAN NRP 1112100070 Dosen Pembimbing Dr.rer.nat Bintoro Anang Subagyo JURUSAN FISIKA Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, 2016

  TUGAS AKHIR - SF 141501

  

KAJIAN RUANG WAKTU KERR-NEWMAN DALAM GRAVITASI

EINSTEIN

  ANDIKA IRAWAN NRP 1112100070 Dosen Pembimbing Dr.rer.nat Bintoro Anang Subagyo

JURUSAN FISIKA

  Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, 2016

  UNDERGRADUATE THESIS - SF 141501

STUDY OF KERR-NEWMAN SPACETIME

  ANDIKA IRAWAN NRP 1112100070 Supervisor Dr.rer.nat Bintoro Anang Subagyo Department of PHYSICS Faculty of Mathematics and Natural Science Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, 2016

  

Halaman ini sengaja dikosongkan

  

KAJIAN RUANG WAKTU KERR-NEWMAN DALAM

GRAVITASI EINSTEIN

  Nama : ANDIKA IRAWAN NRP : 1112100070 Jurusan : Fisika FMIPA Pembimbing : Dr.rer.nat Bintoro Anang Subagyo, M.Si

  

ABSTRAK

  Dalam laporan tugas akhir ini telah dikaji solusi dari persamaan Einstein- Maxwell. Metrik dari solusi ini disebut sebagai metrik Kerr-Newman yang berotasi dan bermuatan tidak sama dengan nol. Pada awalnya dibahas so- lusi statis dan simetri bola, yaitu Schwarzschild dan Reissner-Nordstrom yang masing-masing merupakan solusi yang tidak bermuatan dan bermu- atan. Kemudian untuk mendapatkan solusi berotasi, ruang-waktu diputar menggunakan algoritma Newman-Janis sehingga didapatkan solusi Kerr dan Kerr-Newman. Di sini juga dikaji sifat-sifat disekitar event horizon metrik Kerr-Newman.

  Kata-Kunci: Persamaan Medan Einstein, Singularitas, Kerr-Newman

  

Halaman ini sengaja dikosongkan

  

STUDY OF KERR-NEWMAN SPACETIME IN EINSTEIN

GRAVITY

  Name : ANDIKA IRAWAN NRP : 1112100070 Department : Physics Supervisor : Dr.rer.nat Bintoro Anang Subagyo, M.Si

  

ABSTRACT

In this report we studied the solution of Einstein-Maxwell equations.

  The metric of solutions known as Kerr-Newman metric which are rota- ting and having non zero charge. In the beginning we discussed static and spherically symmetric solution, i.e. Schwarzhild and Reisnerr-Nordstrom that are charged and non-charged solution respectively. In order to obtain spinning solution,we rotate spacetime following Newman-Janis algorithm for Kerr and Kerr-Newman. We discussed also the main feture of Kerr- Newman near event horizon.

  Keywords: Einstein Field Equation, Singularity, Kerr-Newman

  

Halaman ini sengaja dikosongkan

  Alhamdulillaahirabbil’alamiin

  Puji syukur penulis panjatkan kehadirat ALLAH SWT karena atas karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir dengan judul

  

”KAJIAN RUANG-WAKTU KERR-NEWMAN DALAM

GRAVITASI EINSTEIN”

  Tugas akhir ini diharapkan dapat membantu rekan-rekan mahasiswa S1 yang ingin belajar lebih mendalam tentang Fisika terutama di sekitar to- pik solusi persamaan medan Einstein.

  Terselesaikannya tugas akhir ini tidak luput dari bantuan berbagai pi- hak. Penulis mengucapkan terima kasih dengan setulus hati kepada:

  1. Emak dan Bapak tercinta atas semua yang telah diberikan kepada penulis. Penulis tidak akan pernah mampu membalasnya.

  2. Bapak Dr.rer.nat Bintoro Anang Subagyo, yang tak hanya membim- bing penulis dalam penyelesaian Tugas Akhir. Penulis mohon maaf atas segala kesalahan yang telah penulis lakukan.

  3. Bapak Agus Purwanto, D.Sc selaku dosen penguji. Terima kasih atas semua kritik yang membangun dan saran yang telah diberikan kepada penulis.

  4. Bapak Heru Sukamto, M.Si selaku dosen penguji. Terimakasih atas segala bimbingannya selama menjadi mahasiswa terutama pada ke- giatan olimpiade.

  5. Bapak Dr. Yono Hadi Pramono, M.Eng selaku Ketua Jurusan Fisika atas kepercayaannya kepada penulis

  6. Bapak Dr. Mashuri selaku dosen wali penulis selama mahasiswa.

  7. Bapak Achmad Zainuri, S.Pd, guru penulis yang telah ”meracuni” dan ”men-comblangkan” penulis dengan ilmu Fisika di saat-saat pe- nulis sangat membenci Fisika. Bu Tri atas semua buku-buku Fisika Lanjut yang mengarahkan penulis untuk memilih Jurusan Fisika.

  8. Kawan-kawan di LaFTiFA, Mas Nur, Mas Yo, Mas Fadlol, Mas Fi- qi, Mas Usykur, Mbak Philin, Bayu, Afif, Ira, Anom, Afidah dan Adam. Penulis mengucapkan terima kasih secara khusus kepada Mas Nur atas bantuan referensinya serta Afif atas bantuan dalam pengetikan lampiran.

  9. FBI 2012, teman-teman sepanjang masa penulis penulis. Terima kasih telah menjadi teman terbaik penulis dan telah mewarnai kehi- dupan penulis. Physics ON! Physics ON! Fisika, FBI Fisika Buat Indonesia.

  10. Saudara-saudara UKM PSHT ITS. Terima kasih telah atas keken- talan persaudaraannya. Suro Diro Joyo Diningrat Lebur Dening Pa- ngastuti, Ngluruk Tanpo Bolo, Menang Tanpo Ngasorake.

  11. PSDM Himasika ITS, PSDM BEM ITS serta Divisi Kaderisasi Fosif sebagai wadah penulis untuk belajar berorganisasi.

  12. Adik-adik Gamma 2013 yang sering bertempur dan adu batin de- ngan Antares 2014 demi adik-adiknya, Fisika 2015.

  13. Serta semua pihak yang tidak dapat penulis tuliskan satu per satu.

  Semoga Laporan tugas akhir ini bermanfaat bagi pihak-pihak yang berkepentingan serta menjadi sumbangan yang berguna bagi almamater.

  Surabaya, 31 Januari 2016 Penulis

  ABSTRAK ix ABSTRACT xi Kata Pengantar xiii

  xv DAFTAR TABEL xvii

DAFTAR GAMBAR xix

1 PENDAHULUAN

  1

  1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

  1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

  1.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

  1.4 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

  1.5 Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 PERSAMAAN MEDAN EINSTEIN

  5

  2.1 Persamaan Geodesik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

  2.2 Tensor kurvatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

  2.3 Tensor Energi-Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

  2.4 Persamaan Medan Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

  2.5 Algoritma Newman-Janis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 SOLUSI STATIK PERSAMAAN MEDAN EINSTEIN

  19

  3.1 Solusi Schwarzchild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

  3.2 Solusi Reissner-Nordstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 SOLUSI BEROTASI PERSAMAAN MEDAN EINSTEIN

  27

  4.1 Solusi Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

  4.2 Solusi Kerr-Newman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6 PENUTUP

  45

  6.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

  6.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

DAFTAR PUSTAKA

  47 A

  49 A.1 Persamaan Geodesik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

  A.2 Tensor Kurvatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 A.3 Tensor Energi-Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 A.4 Persamaan Medan Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 A.5 Solusi Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 A.6 Solusi Reissner-Nordstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 A.7 Solusi Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 A.8 Solusi Kerr-Newman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

BIODATA PENULIS 153

  2.1 Geodesik pada ruang datar 2 dimensi . . . . . . . . . . . . 5

  2.2 Geodesik pada ruang lengkung 2 dimensi . . . . . . . . . 6 2.3 2 titik yang dihubungkan dengan 3 lintasan . . . . . . . . 7

  2.4 Translasi vektor pada ruang lengkung . . . . . . . . . . . 9

  5.1 Ergosphere dan SIR pada lubang hitam Kerr-Newman . . . 41

5.1 Kedudukan lubang hitam bermuatan dan berotasi . . . . . 37

  

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

  Gravitasi antar berbagai partikel telah diterangkan dengan sangat baik oleh Newton dengan Hukum Gravitasi Universal-nya yaitu partikel- partikel di alam semesta saling tarik menarik dengan gaya yang berban- ding lurus dengan hasil kali dari massa masing-maisng partikel dan ber- banding terbalik dengan kuadrat dari jarak diantara mereka. Hukum ini sangat berhasil dalam menerangkan sifat-sifat pergerakan benda langit de- ngan ketelitian yang cukup tinggi.

  Pada tahun 1905, Albert Einstein mencetuskan teorinya yang diberi nama Teori Relativitas Khusus. Teori ini merumuskan ulang bagaimana formasi ruang-waktu. Teori ini didasarkan pada 2 postulat yaitu semua hukum fisika harus berbentuk sama (invarian) pada semua kerangka acu- an dan kecepatan cahaya adalah kecepatan mutlak. Koreksi dari hukum gravitasi universal Newton terhadap teori ini adalah jika misal terdapat partikel-partikel yang salah satunya digerakkan dan yang lain diam (rela- tif terhadap partikel yang lain), maka gaya gravitasi antar partikel tersebut akan berubah secara spontan tak peduli berapapun besarnya. Kata ”spont- an” dipakai karena perubahan jarak antara partikel 1 dengan partikel lain- nya akan berubah saat itu juga. Hal ini berarti komunikasi antar berbagai partikel tersebut terjadi sangat cepat (spontan) yang melebihi kecepatan cahaya tak bergantung berapapun besar jaraknya, sehingga hal ini telah melanggar postulat ke-2 Teori Relativitas Khusus.

  Teori Relativitas Khusus dapat menjelaskan dengan sangat baik untuk kerangka acuan yang satu yang bergerak relatif dengan kerangka acuan yang lain dengan kecepatan konstan yang sangat tinggi (mendekati kece- patan cahaya). Untuk kerangka acuan yang bergerak relatif dengan perce- patan konstan, maka pada tahun 1916 Albert Einstein men-generalisasi Teori Relativitas Khusus dengan mencetuskan Teori Relativitas Umum yaitu teori yang menjelaskan kerangka acuan yang saling bergerak rela- tif dengan suatu percepatan. Dalam teori ini gravitasi bukan dipandang sebagai gaya, tetapi lebih sebagai manifestasi dari kelengkungan ruang- waktu. Efek kelengkungan ruang-waktu terjadi jika ada benda bermassa. Semakin besar massa suatu benda, maka semakin besar pula efek keleng- kungan ruang-waktunya. Formulasi dari kelengkungan ruang-waktu ini dirumuskan dalam persamaannya yang terkenal yaitu Persamaan Medan Einstein.

  Solusi dari persamaan medan Einstein pertama kali dikerjakan oleh Karl Schwarzschild pada tahun yang sama sejak Teori Relativitas Umum dipublikasikan. Schwarzschild memberikan solusi statik dan simetri bola untuk persamaan medan Einstein. Hasil yang didapatkan adalah lubang hitam (black hole) statik. Lubang hitam adalah suatu benda dengan ke- rapatan massa sangat tinggi sehingga kelengkungan ruang-waktu di seki- tarnya sangat kuat. Kekuatan dari kelengkungan ruang-waktu ini mampu menarik benda-benda di sekitarnya hingga cahaya pun tidak bisa keluar setelah masuk ke dalamnya.

  Secara astrofisika, benda langit umumnya berputar (berotasi). Karena solusi Schwarzschild hanya untuk lubang hitam yang tidak berotasi, maka seharusnya terdapat solusi lain untuk sumber massa yang berotasi. Pada tahun 1963, Roy Patrick Kerr menemukan solusi bagi persamaan medan Einstein untuk sumber massa yang berotasi.

  Jika persamaan medan Einstein digabungkan dengan persamaan Ma- xwell, maka akan didapat persamaan medan Einstein-Maxwell. Solusi statik untuk persamaan ini dikerjakan oleh Hans Jacob Reissner dan Gun- nar Nordstrom yang diberi nama solusi Reissner-Nordstrom yaitu solusi untuk lubang hitam yang statik, bermuatan dan simetri bola. Kemudian ji- ka lubang hitam yang bermuatan ini juga berotasi, maka akan didapatkan solusi Kerr-Newman.

  1.2 Perumusan Masalah

  Rumusan masalah pada Tugas Akhir ini adalah bagaimana mendapatk- an solusi Kerr dan Kerr-Newman dengan menerapkan Algoritma Newman- Janis pada metrik Schwarzschild dan Reissner-Nordstrom yang diungkapk- an dalam koordinat null.

  1.3 Tujuan

  Tujuan yang ingin dicapai pada Tugas Akhir ini adalah untuk men- dapatkan solusi Kerr dan Kerr-Newman dengan menerapkan Algoritma Newman-Janis pada metrik Schwarzschild dan Reissner-Nordstrom yang diungkapkan dalam koordinat null. Kemudian dicari sifat-sifat didekat horison peristiwa dari metrik Kerr-Newman

  1.4 Metode Penelitian

  Metode yang digunakan dalam penyusunan Tugas Akhir ini adalah metode analitis dari studi literatur.

  1.5 Sistematika Penulisan

  Dalam penulisan Tugas Akhir ini , terdiri dari 6 bab. Pada bab I diura- ikan mengenai motivasi dan sejarah singkat munculnya Teori Relativitas Umum. Pada bab II akan diuraikan beberapa Persamaan Medan Einstein yang dipakai yaitu bagaimana mendapat Persamaan Medan Einstein serta Algoritma Newman-Janis yaitu metode untuk mendapatkan solusi lubang hitam berotasi dari lubang hitam statik. Pada bab III akan diturunkan so- lusi statik dari Persamaan Medan Einstein yaitu solusi Schwarzschild dan solusi Reissner-Nordstrom. Pada bab IV akan diturunkan solusi berota- si Persamaan Medan Einstein yaitu solusi Kerr dan Solusi Kerr-Newman dengan menggunakan Algoritma Newman-Janis. Bab V adalah diskusi yang berisi penjelasan mengenasi sifat-sifat di sekitar horison peristiwa lubang hitam Kerr-Newman. Bab 6 adalah kesimpulan dan saran. Lam- piran berisi penurunan rumus secara detail. Pada tugas akhir ini, indeks yang digunakan untuk huruf yunani (misal µ) berjalan dari (0,1,2,3) dan untuk indeks huruf latin (misal i) untuk indeks yang berjalan dari (1,2,3), serta tanda yang dipilih untuk metrik adalah -+++. Untuk menjaga kera- pian penulisan, penurunan rumus pada tiap bab dituliskan sesingkat dan seringkas mungkin, sedangkan penurunan secara detailnya dapat dilihat pada Lampiran.

  

Halaman ini sengaja dikosongkan

PERSAMAAN MEDAN EINSTEIN

  Persamaan medan Einstein adalah persamaan yang menggambarkan kelengkungan ruang waktu yang diakibatkan oleh distribusi materi di se- kitarnya. Penjelasan mengenai persamaan medan Einstein beserta deriva- sinya ditunjukan pada subbab-subbab berikut.

2.1 Persamaan Geodesik

  Geodesik adalah jarak terpendek antara 2 titik. Pada ruang koordinat kartesian, geodesiknya adalah garis lurus, sedangkan pada koordinat bola geodesiknya adalah panjang busur terpendek yang menghubungkan 2 titik tersebut pada lingkaran bola dengan jari-jari terbesar. Perhatikan gambar berikut,

  Gambar 2.1: Geodesik pada ruang datar 2 dimensi

  Dari Gambar diatas, terlihat bahwa jarak terdekat antara titik pe- nalti bola ke titik tengah lapangan adalah garis lurus PQ. Sedangkan dari

Gambar 2.2 di bawah ini, terlihat bahwa jarak terdekat antara 2 titik pada ruang lengkung 2 dimensi adalah kurva lengkung PQ.

  Misal terdapat 2 titik A dan B yang dihubungkan oleh 3 buah lintasan seperti Gambar di bawah ini. Koordinatnya diberikan oleh persamaan

  µ µ µ µ

  x = x (s A ) dan x = x (s B ) , dengan s adalah suatu parameter. Dari

  Gambar 2.2: Geodesik pada ruang lengkung 2 dimensi ′ ′′

  gambar di atas, C dan C bukanlah panjang stasioner tetapi merupakan suatu deviasi/simpangan dari C. Untuk memperoleh panjang stasioner ini,

  µ maka variasi δx pada 2 titik A dan B harus bernilai nol.

  µ µ

  δx (s A ) = δx (s B ) = 0 (2.1)

  µ

  Kemudian didefinisikan Lagrangian adalah fungsi dari x dan turuna- nannya terhadap parameter s ( )

  µ

  dx

  µ

  x , , s (2.2)

  L = L ds sehingga integral aksi adalah

  ∫ s ( )

  µ B

  dx

  µ

  I x , , s ds = (2.3)

  L Agar didapatkan panjang kurva stasioner, maka variasi dari integral di atas harus bernilai nol ( )

  ∫ s µ

  B

  dx

  µ

  δI = δ x , , s ds = 0 (2.4) L ds

  s A µ

  ( )

  µ dx

  ds

  x , , s dengan definisi variasi adalah δL

  ( ) ( )

  µ µ µ

  dx dx dx

  µ µ µ

  δ x + δx , + δ , s x , , s (2.5) L = L − L ds ds ds

  Suku pertama pada sehingga [ ( ) ]

  ∫ s

  B

  d ∂ ∂ L L

  µ

  δI = δx ds = 0 (2.6) ( µ ) −

  ∂x µ

  ds ∂x d

  s A

  ∂s

  sehingga didapatkan persamaan Lagrange ( ) d ∂ ∂

  L L = 0 (2.7)

  ( µ ) −

  

∂x µ

  ds ∂x d

  ∂s Gambar 2.3: 2 titik yang dihubungkan dengan 3 lintasan Panjang stasioner untuk suatu kurva adalah ₁ ( )

  ∫ ∫ s µ ν ² B dx dx I = dl = g µν ds (2.8) ds ds

  s A

  dengan s adalah suatu parameter. Bentuk integral tersebut didapatkan dari persamaan metrik berikut:

  µ ν

  2

  dl g dx dx = µν (2.9) sehingga Lagrangian yang bersesuaian dengan bentuk bentuk integral diatas adalah ₁

  ( ) ²

  µ ν

  dx dx g

  µν (2.10)

  L = ds ds Suku pertama yaitu

   

  2 µ µ ν

  d ∂ d x ∂g dx 1 { ∂g µλ νλ } dx L

•   = g µλ ( ) (2.11)

  ν µ λ

  2 dx

  ds ds 2 ∂x ∂x ds ds ∂

  ds

  dan suku ke-2 )

  µ ν

  ∂ 1 ( ∂g µν dx dx L

  = (2.12)

  λ λ

  ∂x ∂x ds ds

  2 kemudian disubstitusikan pada pers.(di atas. Hasil yang diperoleh adalah persamaan geodesik sebagai berikut.

  2 ρ µ ν

  d x dx dx

  ρ

• Γ = (2.13)

  µν

  2

  ds ds ds

  ρ

  Pada suku ke-2 di atas, terdapat koefisien Γ yang disebut

  µν

  sebagai koefisien koneksi atau simbol Christoffel yang merupakan turunan pertama dari tensor metrik. Pada ruang-waktu datar (Minkowski), metrik akan bernilai konstan yang menyebabkan simbol Christoffel bernilai nol sehingga dari pers.(di atas, akan diperoleh geodesik berupa garis lurus.

2.2 Tensor kurvatur

  Jika terdapat suatu vektor A µ pada ruang Minkowski dan ditranslasi ditranslasikan secara paralel pada dua titik sepanjang lintasan tertutup C, maka posisi vektor tersebut akan berimpit dengan vektor awal sebelum di- translasi. Tetapi pada ruang Riemann, jika suatu vektor ditranslasikan se- cara paralel pada dua titik sepanjang lintasan tertutup C, maka operasinya akan bergantung pada lintasannya seperti pada Gambar fig:2.4 dibawah ini.

  Gambar 2.4: Translasi vektor pada ruang lengkung

  Jika perubahan vektor itu adalah ∆A µ , maka:

  I I

  ν ρ

  ∆A µ = δA µ = Γ A ν dx (2.14)

  µρ C C

  Dari teorema Stokes, integral kontur tertutup C dapat ditransformasi ke integral luasan S sehingga I 1 [ ( ) ( )]

  ρ ρ γν

  D A A dS ∆A µ = γ Γ ρ ν Γ ρ (2.15)

  µν − D µγ dengan D γ adalah operator turunan kovarian. Operator ini dapat disim- plifikasi menjadi operator turunan biasa non-tensor D γ γ . Integral → ∂

  akan menjadi

  I 1 [ ( ) ( )]

  ρ ρ γν

  ∂ A A dS ∆A µ = γ Γ ρ ν Γ ρ

  µν − ∂ µγ

  2 C

  I [

  1

  ρ ρ

  = ∂ γ Γ ν Γ

  µν − ∂ µγ

  2 C

  

ρ ρ

λ λ γλ

• Γ Γ Γ ]A ρ dS

  µν − Γ µγ

λγ λν

  I

  1

  

ρ γλ

  R A ρ dS (2.16) ≡ µγν

  2 C

  ρ

  dengan R adalah tensor kurvatur Riemann

  µγν ρ ρ ρ λ ρ λ ρ

  R = ∂ γ Γ ν Γ + Γ Γ Γ (2.17)

  µγν µν − ∂ µγ µν λγ − Γ µγ λν

  Tensor kurvatur Riemann menggambarkan bagaimana bentuk dari keleng- kungan ruang-waktu. Kemudian didefinisikan tensor Ricci yang merupak- an tensor rank-2 sebagai berikut

  ρ ρ

ρ ρ ρ λ λ

  R

  µγ = ∂ γ Γ ρ Γ + Γ Γ Γ (2.18)

  ≡ R µγρ µρ − ∂ µγ µρ λγ − Γ µγ λρ serta scalar Ricci adalah

  µ µγ

  R R

  µ = g µγ (2.19)

  ≡ R

2.3 Tensor Energi-Momentum

  Tensor Energi-Momentum adalah kuantitas tensor yang mendekripsik- an kerapatan dan fluks dari energi dan momentum. Ditinjau aksi yang berbentuk

  ∫ ( ) ∫ ( ) ∂q ∂q

  1 I q, dV dt q, d = = Ω (2.20)

  L L

  µ µ

  ∂x c ∂x dengan L adalah fungsi dari kuantitas q yang mendeskripsikan keadaan ∫ sistem dan turunan pertamanya. Karena

  ∫

  ∂q

  maka bisa ditulis sebagai L adalah rapat Lagrangian. Penulisan µ

  ∂x

  ∂ µ q = q ,µ . Persamaan gerak bisa didapatkan dengan memberikan variasi pada di atas sehingga ∫

  1 δI δ

  = ,µ )dΩ L (q, q c

  ) 1 ∂ L

  ∫ ( ∂L

  = (q ,µ ) Ω (2.21) c ∂q ∂ (q ,µ )

• δq δ d

  Suku ke-2 persamaan di atas dapat dijabarkan menjadi ∂ ∂ ∂q

  L L δ (q ,µ ) = δ

  µ

  ∂ ∂ ∂x (q ,µ ) (q ,µ )

  ∂ ∂ L

  = (δq)

  

µ

  ∂q ,µ ∂x ) )

  ∂ ∂ ( ∂L ( ∂L

  δq =

  − δq

  µ µ

  ∂x ∂q ∂x ∂q

  ,µ ,µ

  (2.22) sehingga menjadi ) )

  ∂ ∂ ∂

  1 ∫ ( ∂L L

  ( ∂L

  = Ω

• δI δq δq d

  − δq

  µ µ

  c ∂q ∂ ∂q ∂x ∂q (x ) ,µ ,µ

  (2.23) ∫ ∫

  µ µ µ

  Dari teorema Gauss ∂ µ F = F n µ dS = 0 dengan F adalah suatu

  S Ω

  medan tensor, maka suku ke-2 persamaan di atas lenyap (lihat lampiran A.3) sehingga:

  ) ∂ ∂

  1 ∫ ( ∂L L

  δI δq d = Ω

  − δq

  µ

  c ∂q ∂x ∂q

  ,µ

  ) ∂ ∂

  1 ∫ ( ∂L L

  δqd = Ω (2.24)

  −

  µ

  c ∂q ∂x ∂q

  ,µ

  Sehingga didapatkan ∂ ∂ ∂

  L L = 0 (2.25)

  −

  µ

  ∂x ∂q ∂q

  ,µ yang disebut sebagai persamaan Euler-Lagrange. Karena rapat lagrangian merupakan fungsi dari kuantitas q dan turunan pertamanya q ,µ yaitu L =

  ,µ ) , maka

  L(q, q ∂ ∂ ∂q ∂ ∂q

  ,ν

  L L L (2.26) + =

  

µ µ µ

  ∂x ∂q ∂x ∂q ∂x

  ,ν ∂L

  Kemudian substitusikan nilai dari dari )

  ∂q

  di atas sehingga: ∂ ∂ ∂ ∂q ∂ ∂q

  ,µ

  L L L

• =

  

µ ν µ ν

  ∂x ∂x ∂q ∂x ∂q ∂x

  ,ν ,µ

  ( ) ∂ ∂

  L q = ,µ (2.27)

  ν

  ∂x ∂q

  ,ν ∂L ∂L ν ∂L

  ∂x ∂x ∂x

  = δ dengan µ bisa dituliskan sebagai µ µ ν , sehingga )

  menjadi ( )

  ∂ ∂ ∂

  ν L L

  δ q = ,µ (2.28)

  µ ν ν

  ∂x ∂x ∂q

  ,µ

  dan didapatkan ( )

  ∂ ∂ ∂ L ν ν q T

  ,µ = 0 (2.29)

  − δ µ L ≡ µ

  ν µ

  ∂x ∂q ∂x

  ,µ ν

  dengan T adalah definisi untuk tensor campuran energi-momentum.

  µ

  Untuk medan elektromagnetik, Lagrangian medan elektromagnetik be- bas diberikan oleh:

  1

  µν

  F F

  F (F µν µν (2.30)

  L ) = − 4µ

  ν

  dengan asumsi bahwa tidak ada sumber arus (J = 0 ) sehinga persamaan Maxwell menjadi

  µν

  ∂ µ F = 0 (2.31)

  µν µν

  dengan F merupakan tensor kuat medan. Tensor kuat medan F ini

  

µ

didefinisikan dari potensial vektor A sebagai berikut.

  F γλ (2.39)

  A

  µ ν

  = 0 (2.37) dengan T

  µ ν

  T

  µ

  ] ≡ ∂

  

µ

ν L

  − δ

  γ

  µ

  µ ν

  ∂

  γ )

  (∂ µ A

  L ∂

  [ ∂

  µ

  (2.36) maka didapatkan ∂

  ∂ µ L

  

µ

ν

  L = δ

  adalah tensor energi-momentum campuran. Dengan mensubs- titusikan ke dalam persamaan di atas, maka didapatkan T

  = −

  γ (2.35)

  1 µ

  γλ

  F

  µν

  1 4µ g

  γ +

  µ

  F

  νγ

  F

  = −

  1 µ

  µν

  T

  F γλ (2.38) dengan bentuk kontravarian dan kovariannya masing-masing adalah:

  γλ

  F

  µ ν

  4µ δ

  F νγ

  µγ

  F

  serta dari definisi ∂ ν

  A

  F

  A

  L = ∂

  ν

  ∂

  Untuk mendefinisikan tensor energi momentum pada medan Elektro- magnetik, maka dihitung dulu turunan dari rapat lagrangian sebagai beri- kut:

  µ (2.33)

  A

  ν

  − ∂

  

ν

  µν = ∂ µ

  γ

  (2.32) dengan bentuk kovariannya adalah F

  µ

  A

  ν

  − ∂

  

ν

  A

  µ

  = ∂

  µν

  L ∂A

  ∂

  µ

  L ∂A

  ] ∂

  γ )

  (∂ µ A

  L ∂

  [ ∂

  γ = ∂ µ

  A

  µ

  ∂

  γ

  dengan ∂

  µ

  γ ) (2.34)

  A

  ν (∂ µ

  ∂

  γ )

  A

  ∂ (∂ µ

  ∂ L

  γ +

  A

• 1

  1

  1

  

γ γλ

• T µν F F µγ g µν F F γλ = − ν (2.40)

  µ 4µ Tensor energi momentum pers.() menggambarkan distribusi energi dan momentum yang disebabkan oleh medan elektromagnetik

2.4 Persamaan Medan Einstein

  Persamaan medan Einstein adalah persamaan yang menggambarkan kelengkungan ruang waktu yang diakibatkan oleh distribusi materi di se- kitarnya. Bentuk kelengkungan ruang-waktu digambarkan oleh bentuk tensor metrik dan bentuk tensor metrik dipengaruhi oleh bagaiamana dis- tribusi massa sebagai sumber dari gravitasi. Integral aksi total yang dise- babkan aksi massa sumber dan aksi oleh gravitasi adalah:

  I = I G + I M (2.41) dengan I G merupakan aksi oleh medan gravitasi pada ruang vakum (dima-

  M na tidak ada sumber medan) dan I merupakan aksi oleh massa sumber.

  Kemudian diambil variasi dari pers.() di atas agar diperoleh aksi mi- nimum yaitu δI = δI G + δI M

  = δI G + δI M

  M = δI G (2.42)

  −δI dengan nilai dari masing-masing δI G dan δI M dapat dilihat pada lampiran A.4. Jika kedua nilai ini disubstitusikan pada maka didapatkan

  M = δI G

  −δI ∫ ∫ (

  

3

  c 1 √

  1

  µν ) √ µν

  T δg R g R d

  µν µν µν Ω

  − −gdΩ = − − −gδg 2c 16πG

  2

  Ω Ω

  (2.43) dari di atas, maka akan di dapatkan: 1 8πG R g R T

  

µν µν = µν

  −

  4

  c

  2 (2.44)

  merupakan Persamaan Medan Einstein. Ruas kiri persamaan medan Einstein menggambarkan kelengkungan ruang-waktu dan ruas ka- nannya menggambarkan distribusi materi. Interpretasi dari persamaan ini adalah materi menyebabkan ruang waktu melengkung atau kelengkungan ruang waktu memerintahkan materi untuk bergerak.

  µ µ

  Jika dibentuk dalam tensor campuran R ν dan T ν maka ak- an didapatkan: 1 8πG

  

µ µ µ

  R δ R T =

  

ν − ν ν

  4

  c

  2 (2.45)

  Kemudian dilakukan kontraksi indeks ν → µ pada persamaan di atas se- hingga 1 8πG

  

µ µ µ

  R δ R = T

  

µ − µ µ

  4

  c

  2 (2.46)

  Karena

  µ

  1

  

2

  3

  δ = δ + δ + δ + δ = 4 (2.47)

  µ

  1

  

2

  3

  maka 8πG

  R T − 2R =

  4

  c 8πG

  R T = (2.48)

  −

  4

  c sehingga ) dapat diungkapkan dengan bentuk yang lain menjadi: ( )

  8πG

  1 R µν = T µν g µν T − (2.49)

  4

2.5 Algoritma Newman-Janis

  Schwarzschild telah memecahkan solusi untuk Persamaan Medan Ein- stein di atas yaitu solusi untuk medan statik dan simetri bola. Penjelasan tentang solusi Schwarzschild ini disajikan dalam bab 3. Karena umumnya benda langit berotasi, maka dari solusi Schwarzschild ini kemudian di- kembangkan solusi untuk yang non-statik yakni berotasi yaitu solusi Kerr. Setelah ditemukannya solusi Kerr yang masih murni, Newman dan Janis dapat menunjukkan bahwa solusi Kerr dapat diturunkan dengan cara lain yang selanjutnya disebut sebagai Algoritma Newman-Janis. Algoritma ini diterapkan pada metrik Schwarzschild yang kemudian menghasilkan solu- si Kerr dan jika Algoritma ini diterapkan pada metrik Reissner-Nordstrom (solusi statik dan simetri bola dari persamaan medan Einstein-Maxwell), maka akan didapatkan solusi Kerr-Newman. Algoritma Newman-Janis adalah sebagai berikut:

  1. Menuliskan bentuk metrik ke dalam koordinat null dengan transfor- masi sebagai berikut:

  ∗ ∗

  u dengan r merupakan tortoise koordinat = t − r

  2. Menuliskan tensor metrik kontravarian dari metrik pada metode per- tama dalam suku-suku vektor-4 null yaitu:

  

µν µ ν ν µ µ ν µ ν

  g n n m m m

• m ¯ + ¯ = −l − l dengan

  

µ µ µ

  l l n m

  

µ = n µ = m µ = 0

µ µ µ n = m µ m ¯ = 1

  −l

  µ µ

  l µ m = n µ m = 0

  µ µ

  3. Mentransformasikan koordinat x menjadi koordinat kompleks ˜x

  

µ µ

  x (2.50) → ˜x

  4. Dilakukan transformasi sebagai berikut

  

µ µ µ µ

  2

  x µ ˜ = x + ia cos x (δ ) (2.51)

  − δ Metrik yang dihasilkan dari algoritma ini adalah metrik Kerr dan me- trik Kerr-Newman yang dinyatakan dalam koordinat null. Kemudian un- tuk menganalisa sifat-sifat seperti singularitas dan event horizon, metrik ini ditransformasikan dalam koordinat Boyer-Lidquist yaitu dengan cara:

  2

  2

  r + a a dt = du + dr, dψ = dϕ + dr (2.52) ∆ ∆

  

Halaman ini sengaja dikosongkan

SOLUSI STATIK PERSAMAAN MEDAN EINSTEIN

3.1 Solusi Schwarzchild

  Solusi Schwazschild adalah solusi untuk Persamaan Medan Einstein untuk kasus statik dan simetri bola dari massa M. Statik berarti tensor me-

  2

  g trik g µν tidak bergantung waktu atau ∂ γ µν = 0 , serta ds harus invarian terhadap transformasi x (pembalikan waktu). Konsekuensinya

  → −x

  2 i

  dx adalah ds tidak boleh mengandung suku dx yang menjadikannya ti- dak invarian terhadap transformasi pembalikan waktu atau g i = g 0i = 0 .

  Karena tensor metrik tidak bergantung waktu serta elemen garisnya tidak boleh terdapat suku silang antara t dengan (r, θ, ϕ), maka tensor metrik g

  

µν hanya memiliki elemen diagonal yang koefisiennya merupakan fung-

si dari parameter r saja untuk mempertahankan bentuk simetri bola.

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

• ds θdϕ
• V (r)dr + W (r)r (dθ sin ) (3.1) = −U(r)dt

  Dari kondisi khusus yang didapatkan di sini, maka 10 komponen bebas

  µ

  tensor metrik yang secara umum bergantung pada x menjadi tereduksi hanya menjadi 4 komponen bebas yang merupakan fungsi r saja. Kare- na persamaan medan merupakan turunan ke-2 dari tensor metrik, maka 3 fungsi U(r), V (r)danW (r) di atas bisa direduksi hanya menjadi 2 fungsi saja. Karena r merupakan parameter radial, maka bisa digantikan dengan

  √

  2

  2

  sembarang fungsi r. Misal kan diambil W r = ˆ r , maka ˆr = W r , serta ( )

  √ d r r dW ˆ

  = W 1 + (3.2) dr dr

  2W maka

  −

  ( )

  2 V r dW

  2

  2

  2 V dr d r V d r

  = 1 + ˆ ˆ (3.3) ≡ ˆ

  W dr

  2W dengan V ≡ ˆV . Dengan cara yang sama maka bisa didapatkan U ≡ ˆU. Dengan mengganti r menjadi ˆr, maka elemen garis diatas akan menjadi

  2

  2

  

2

  2

  2

  2

  2 V (ˆ r )dt + ˆ U (ˆ r )dr + ˆ r (dθ sin θdϕ ) (3.4)

• ds = − ˆ

  Kemudian dengan menghilangkan tanda topi pada persamaan di atas serta dipilih fungsi dari U dan V adalah

  2ν(r) 2λ(r)

  U , (r) = e dan V (r) = e (3.5) maka elemen garisnya akan menjadi

  2 2 2ν 2 2 2λ

  2

  2

  2

  2

  2

  ds c dt + e dr + (r dθ + r θdϕ ) = −e sin (3.6)

  Dari elemen garis di atas, maka didapatkan tensor metrik g

  µν sebagai berikut

   

  2ν

  −e

  2λ

    e   g

  µν = (3.7)

  2

   r 

  2

  2

  r θ sin dengan bentuk kontravarian dari tensor metrik diatas adalah

   − 

  2ν

  −e

  −

  2

  µν

    e λ

    g − =

  (3.8)

  2

   r 

  − −

  2

  2

  r θ sin Nilai dari simbol Christoffel jenis ke-2 dari tensor metrik pers.(di atas adalah

  1

  ρ ρσ ρσ

  Γ = g Γ σ,µν = g (∂ ν g µσ + ∂ µ g νσ σ g µν )

  µν − ∂

  2 yang berjumlah sebanyak 64 komponen. Komponen-komponen yang ti- dak bernilai 0 adalah:

  ′

  Γ = Γ = ν

  01

  

10

′

1 (2ν−2λ)

  Γ = ν e

  00

′

  1

  λ Γ =

  11 − 1 2λ

  Γ = −re

  22 − 1 2 2λ

  θ e Γ = (3.9)

  −r sin

  33

  1

  2

  

2

  Γ = Γ =

  12

  

21

  r

  2

  Γ = − sin θ cos θ

  33

  1

  3

  

3

  Γ = Γ =

  13

  

31

  r

  3

  

3

  Γ = Γ = cot θ

  23

  

32

Tensor Ricci dapat dihitung dengan menggunakan persamaan σ σ ρ σ ρ σ

  R µν = ∂ ν Γ σ Γ + Γ µ ν Γ Γ (3.10)

  µσ − ∂ µν ρν − Γ µν ρσ

  Karena Tensor Ricci bersifat simetri (R µν = R νµ ) , maka hanya memiliki , 10 komponen bebas. Untuk komponen R i (i = 1, 2, 3) :

  ρ ρ σ σ σ σ

  R i = ∂ Γ σ Γ + Γ Γ Γ (3.11)

  iσ − ∂ i ρ − Γ ρσ iσ i σ

  iσ

  g dengan kondisi statik mensyaratkan bahwa ∂ µν = 0 sehingga ∂ Γ =

  . Tensor Ricci menjadi

  j ρ j ρ j

  R i j Γ + Γ Γ Γ (3.12) = −∂ ρ − Γ

  i ij i ρj ρ i

  Dengan menggunakan nilai Γ = 0 , Γ = 0 dan Γ = 0 , maka dida-

  j ij 0ρ

  patkan R

  i = R 0i = 0 (3.13)

  sehingga komponen tensor Ricci yang tersisa adalah komponen dalam

• Γ
• Γ
• ν
• Γ

• (ν
• Γ
• Γ

  33

  Untuk µ = 3 R

  − 1 (3.16)

  (−2λ)

  ) e

  

′

  − rλ

  ′

  = (1 + rν

  σ ρσ

  Γ

  22

  ρ

  − Γ

  2

  σ ρ

  Γ

  ρ 2σ

  22

  

σ Γ

σ

  − ∂

  σ 2σ

  Γ

  2

  = ∂

  22

  Untuk µ = 2 R

  = ∂

  3

  Γ

  2

  22 (3.17)

  θ R

  2

  = sin

  − 1 ]

  (−2λ)

  ) e

  ′

  − rλ

  ′

  (1 + rν

  θ [

  = sin

  σ 3σ

  σ ρσ

  Γ

  33

  ρ

  − Γ

  3

  σ ρ

  Γ

  ρ 3σ

  33

  

σ Γ

σ

  − ∂

  r (3.15)

  − 2λ

  ′