PEMBANGKITAN GELOMBANG GRAVITASI PADA ROTASI BENDA TEGAR DENGAN TIGA SUMBU UTAMA - ITS Repository

  TUGAS AKHIR – SF 14150 1 PEMBANGKITAN GELOMBANG GRAVITASI PADA ROTASI BENDA TEGAR DENGAN TIGA SUMBU UTAMA Syah Reza Mbol osi NRP 1111100039 Dosen Pembimbing Dr. rer. nat . Bi nt oro Anang Subagyo M. Si JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT

TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2016

  FINAL PROJECT – SF 141501

GENERATION OF GRAVITATIONAL WAVE FROM

ROTATING RIGID TRIAXIAL BODY Syah Reza Mbol osi NRP 1111100039 Advisor Lect urer Dr. rer. nat . Bi nt oro Anang Subagyo M. Si PHYSICS DEPARTMENT FACULTY OF MATHEMATICS AND NATURAL SCIENCES SEPULUH NOPEMBER INSTITUTE OF TECHNOLOGY SURABAYA 2016

  

PEMBANGKITAN GELOMBANG GRAVITASI PADA

ROTASI BENDA TEGAR DENGAN TIGA SUMBU

UTAMA Nama : Syah Reza Mbolosi NRP : 1111100039 Pembimbing : Dr. rer. nat. Bintoro Anang Subagyo M.Si

  

Abstrak

  Dalam tugas akhir ini dibahas tentang gelombang gravitasi yang dibangkitkan oleh benda tegar yang berotasi dengan tiga sumbu utama. pada bagian pertama dibahas secara singkat mengenai persamaan medan einstein. Pada bagian kedua, dibahas mengenai teori dasar gelombang gravitasi yang terdiri dari medan gravitasi lemah, transformasi latar Lorentz, transformasi gauge, persamaan medan Einstein yang terlinearisai, perambatan gelombang gravitasi, serta pembangkitan gelombang gravitasi dengan pendekatan quadrupol. Pada bagian ketiga dibahas mengenai pembangkitan gelombang gravitasi oleh benda tegar yang berotasi yang memiliki tiga sumbu utama.

  Kata kunci: gelombang gravitasi, persamaan Einstein yang

  terlinearisasi, benda tegar dengantiga sumbu

  

“Halaman ini sengaja dikosongkan”

  

GENERATION OF GRAVITATIONAL WAVE FROM

ROTATING RIGID TRIAXIAL BODY

Name : Syah Reza Mbolosi NRP : 1111100039

Advisor Lecture : Dr. rer. nat. Bintoro Anang Subagyo

M.Si

  

Abstract

  In this project we discussed the radiation of gravitational wave from rotating rigid triaxial body. In the first part, a brief review about Einstein’s field equation is discussed. In the second part, the basic theory of gravitational wave involving the general relativity formalism of its propagation, gravitational weak field, background Lorentzian transformation, gauge transformation, and generation of gravitational wave from same sources are discussed. In the end, we discussed generation of gravitational wave from rotating rigid triaxial body is discussed.

  Keywords: gravitational wave, linearized Einstein field equation, rigid triaxial body

  

“Halaman ini sengaja dikosongkan”

KATA PENGANTAR

  Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, yang telah melimpahkan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Laporan Tugas Akhir yang berjudul “PEMBANGKITAN GELOMBANG GRAVITASI PADA

  

ROTASI BENDA TEGAR DENGAN TIGA SUMBU

UTAMA”. Adapun tujuan dari penulisan Tugas Akhir ini adalah

  sebagai syarat untuk menyelesaikan program studi Strata–1 di Jurusan Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Berbagai daya, upaya dan perjuangan turut mewarnai dalam penyusunan Tugas Akhir ini.

  Dalam penyusunan laporan Tugas Akhir ini, telah banyak daya, upaya, dan perjuangan yang dilakukan oleh penulis. Atas bantuan, dorongan dan juga bimbingan dari berbagai pihak maka akhirnya penulis dapat menyelesaikan laporan Tugas Akhir ini dengan baik. Sehubungan dengan hal tersebut maka pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan rasa terima kasih dan penghargaaan yang sebesar-besarnya kepada:

  1. Allah S.W.T., serta keluarga besar yang selalu memberikan semangat dalam penyelesaian Tugas Akhir ini.

  2. Dr. rer. nat. Bintoro Anang Subagyo M.Si, selaku dosen pembimbing Tugas Akhir.

  3. Dr. Yono Hadi Pramono, M.Eng, selaku Ketua Jurusan Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya.

  4. Drs. Ali Yunus Rohedi , M.T. dan Ir. Didiek Basuki Rachmat, selaku dosen wali penulis.

  5. Dr. Ir. Bambang Sampurno, MT sebagai Pembina Beasiswa BNC BRI.

  6. Keluarga besar Beasiswa Nusantara Cerdas Bank Rakyat Indonesia.

  7. Teman-teman Kru ITS Tv, atas bantuannya yang tak ternilai selama ini.

  8. Teman-teman Fisika ITS angkatan 2011, bantuan, kebersamaan dan rasa kekeluargaan yang dibagi.

  9. Teman-teman Laboratorium Fisika teori dan ilmu filsafat

  10. Semua orang yang berkontribusi dalam tugas akhir ini namun tidak dapat saya sebutkan satu-persatu.

  Penulis berharap laporan penelitian Tugas Akhir ini nantinya akan dapat berguna dan dapat dimanfaatkan dengan baik sebagai referensi bagi yang membutuhkan serta menjadi sarana pengembangan kemampuan ilmiah bagi semua pihak yang bergerak dalam bidang yang berhubungan dengan Fisika, khususnya fisika teoritik.

  Surabaya, Januari 2016 Penulis

  

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL………………………………………. i

HALAMAN JUDUL……………………………………..... iii

HALAMAN PENGESAHAN……………………………... v

ABSTRAK…………………………………………………. vii

ABSTRACT............................................................................. ix

KATA PENGANTAR……………………………………... xi

DAFTAR ISI………………………………………………. xiii

BAB I. PENDAHULUAN

  1.1 Latar Belakang …………………………………………

  1 1.2 Rumusan Masalah……………………………………...

  2 1.3 Ruang Lingkup Kajian………………………………….

  2

  1.4 Tujuan Penelitian…………………………..……………

  3 1.5 Metode dan Teknik Pengumpulan Data………………...

  3 BAB II. PERSAMAAN MEDAN EINSTEIN

  5 BAB III. TEORI DASAR GELOMBANG GRAVITASI 3.1 Medan Gravitasi Lemah…………………………………..

  13 3.2 Persamaan Medan Einstein Untuk Gravitasi Lemah……..

  18 3.3 Perambatan Gelombang Gravitasi………………………..

  22 3.4 Efek Gelombang Gravitasi pada Parikel Bebas…..…….

  27 3.5 Pembangkitan gelombang gravitasi …..…………….….

  32 BAB IV. GELOMBANG GRAVITASI DARI BENDA

  DENGAN TIGA SUMBU UTAMA (TRIAXIAL BODY) 4.1 Gelombang gravitasi dari rotasi pada sumbu utama ……..

  51

  4.2 Gerak presisi benda tegar ………………………………

  57

  4.3 Radiasi goyangan dari benda tegar simetri sumbu ………

  59

  4.4 Gelombang gravitasi dari rotasi benda tegar dengan gerak presisi ……………………………………….

  61

  tiga sumbu…………………………………………………….

BAB V. PEMBAHASAN

  68 BAB VI. KESIMPULAN

  70 DAFTAR PUSTAKA………………………………………..

  72 LAMPIRAN………………………………………………….

  74 BIODATA PENULIS.………………………………………

  93

BAB I PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

  Teori relativitas umum secara umum merupakan teori fisika yang mengkaji mengenai gejala berat dan pengaruhnya terhadap berbagai hukum fisika lainnya. Teori ini dirumuskan oleh fisikawan Jerman, Albert Einstein. Einstein menganggap bahwa timbulnya gaya berat ini karena ruang-waktu bermatra (berdimensi) empat di sekitar benda tersebut melengkung. Pernyataan mendasar yang menjadi landasan teori ini sebenarnya adalah bahwa semua hukum fisika bersifat mutlak atau tak ubah terhadap setiap pengamat, termasuk yang bergerak dengan percepatan.

  Implikasi dari teori relativitas umum ini adalah makin besar massa dari sebuah benda maka semakin besar pula kelengkungan ruang-waktu di sekitar benda tersebut. Massa yang bergerak dalam ruang-waktu akan menyebabkan kelengkungan ruang-waktu yang dilewatinya berubah. Perubahan kurvatur ini dapat dianalogikan seperti riak yang terjadi ketika batu dilemparkan ke permukaan kolam. Saat batu mengenai permukaan air, maka air yang berada di sekeliling batu akan terganggu dan menyebar keluar dari sumber. Hal yang sama juga dapat diterapkan pada kurvatur ruang-waktu, diaman riak yang merambat dengan kecepatan cahaya dalam kurvatur ruang-waktu disebut sebagai gelombang gravitasi. Di alam semesta ini terdapat berbagai sumber gelombang gravitasi. Beberapa diantaranya adalah sistem bintang ganda, ledakan supernova, tumbukan antara _. dua blackhole, dan big bang

  Secara fisika, gelombang gravitasi membawa energi yang harganya menentukan kuat lemahnya pancaran atau radiasi gelombang gravitasi. Sayangnya, jumlah energi yang dipancarkannya sangat kecil. Namun diperlihatkan bahwa besar kecilnya jumlah energi yang dipancarkan bergantung pemancarnya. Para ahli astronomi dengan demikian berharap bahwa sumber pemancar gelombang gravitasi yang paling mungkin adalah sumber astronomi seperti bintang mampat (bintang neutron) yang berputar cepat sekali pada sumbunya yang dikenal sebagai bintang pulsar, juga bintang ganda yang anggotanya saling mengorbit dan bintang meledak yang disebut supernova.

  Setelah inti neutron terbentuk dengan kerapatan yang ₃ amat tinggi (270 triliun gram/cm ) runtuhnya materi ke inti bintang ditahan oleh inti neutron tadi sehingga timbullah suatu gelombang kejut yang memantul ke arah permukaan bintang.

  Proses pemantulan ini, yang berlangsung sangat cepat, membuat bintang meledak hancur dan meninggalkan inti tadi yang kemudian diberi nama bintang neutron.

  Salah satu langkah awal untuk mempelajari pancaran gelombang gravitasi dari bintang neutron adalah dengan mempelajari pembangkitan dari pendekatan model paling sederhana dari bintang neutron yaitu benda tegar dengan tiga sumbu yang berotasi. Oleh karena itulah dalam tugas akhir ini akan dikaji pembangkitan gelombang gravitasi yang berasal dari rotasi benda tegar dengan tiga sumbu.

  1.2. Rumusan Masalah

  Dengan latar belakang di atas, rumusan masalah yang perlu diajukan adalah bagaimana efek gelombang gravitasi yang dibangkitkan oleh rotasi benda tegar dengan tiga sumbu.

  1.3. Ruang Lingkup Kajian

  Untuk menjawab rumusan masalah di atas akan penulis kaji hal-hal sebagai berikut:

• Gravitasi terlinearisasi
• Perambatan gelombang gravitasi
• Pembangkitan gelombang gravitasi
• Radiasi gelombang gravitasi dari rotasi benda tegar dengan tiga sumbu

  1.4. Tujuan Penulisan

  Tujuan yang hendak penulis capai melalui penulisan ini adalah untuk membuat suatu model yang dapat menggambarkan efek gelombang gravitasi yang dibangkitkan oleh benda tegar dengan tiga sumbu.

  1.5. Metode dan Teknik Pengumpulan Data

  Metode yang penulis gunakan adalah metode deskriptif analitis, dimana teori dasar dan data yang diambil dari studi pustaka akan dianalisis. Dan untuk mengumpulkan data, penulis melakukan studi pustaka dari berbagai literatur yang meliputi referensi dari beberapa jurnal internasional, buku- buku sumber, maupun informasi dari berbagai media lain sebagai penunjang

  

“Halaman ini sengaja dikosongkan”

BAB II PERSAMAAN MEDAN EINSTEIN Dalam limit Newtonian teori relativitas umum akan

  tereduksi menjadi hukim gravitasi Newton pada medan gravitasi lemah. Sifat ini dikenal sebagai asas korespondensi. dalam ruang-waktu yang berisi medan gravitasi, geometri yang digunakan adalah geometri Riemann, sedangkan dalam ruang-waktu tanpa medan gravitasi, geometri yang digunakan adalah geometri Euclid. Pada ruang Euclid, metrik ruang- waktu diberikan oleh metrik Minkowski yang dirumuskan sebagai:

  2

  2

  2

  2

  2

• = = + +

  −

  (2.1))

2 Karena itu dalam medan gravitasi lemah, metrik ruang –waktu yang digunakan tidak berbeda jauh dari metrik diatas.

  Tensor metrik dalam medan gravitasi lemah dapat didekati dengan bentuk:

  (2.2)

• =

  ℎ Dengan adalah tensor metrik Minkowski dan ℎ ≪ 1.

  Ditinjau sebuah partikel yang bergerak dalam medan gravitasi. Partikel tersebut akan ruang-waktu menempuh lintasan yang dinamakan sebagai lintasan geodesik. Persamaan geodesik lintasan tersebut dirumuskan sebagai

  2 (2.3)

  = 0 Γ

• 2

  Dengan menggunakan hubungan

  2

  2 (2.4)

  = − Persamaan (2.3) berubah menjadi :

  2 (2.5)

  = 0 Γ

• 2

  Dimana merupakan waktu proper, yaitu didefinisikan sebagai selang waktu yang diukur oleh jam pengamat yang diam terhadap kejadian. Dengan menentukan

  = = 0 diperoleh:

  2

  2 (2.6)

  = 0 Γ �

• 2

  00

  � Karena medan tersebut bersifat stasioner, yaitu tidak berubah terhadap waktu, maka seluruh turunan terhadap waktu akan lenyap, sehingga persamaan (2.6) dapat berubah menjadi:

  1

  (2.7)

  = Γ − ℎ

  00

  00

  2 Dengan demikian persamaan (2.6) diatas dapat dipecahkan menjadi dua persamaan yaitu:

  2

  2

  1 ⃗

  (2.8)

  = � ∇ℎ

  00

  2

  2 �

  Dan

  2 (2.9)

  = 0

2 Persamaan (2.9) menyatakan bahwa ⁄ bernilai konstan.

  Dengan membagi kedua ruas persamaan (2.8) dengan

  2

  ( , maka diperoleh percepatan gerak benda:

  ⁄ )

  2

  1 ⃗

  (2.10) = .

  ∇ℎ

  00

  2

  2 Di sisi lain, jika adalah potensial gravitasi Newton pada jarak r dari tititk massa M yang besarnya:

  (2.11)

  = − Maka percepatan benda tersebut sama dengan

  −∇ . Jika kita bandingkan dengan persamaan (2.10), maka akan diperoleh hasil yaitu:

  (2.12)

  = ℎ −2 + konstanta

00 Pada tempat yang jauh dari sumber medan gravitasi,

  sistem koordinatnya menjadi koordinat Minkowski. Hal ini diakibatkan karena pada jarak yang jauh medan gravitasi yang dirasakan oleh benda akan sangat kecil sehingga mendekati ruang-waktu datar. Oleh karena itu menjadi lenyap. Begitu

  ℎ

  00

  juga dengan pada persamaan (2.11) sehingga tetapan diatas bernilai nol. Maka akan diperoleh persamaan berbentuk:

  (2.13)

  = −(1 + 2 )

  00 Sedangkan pasangan kontravariannya adalah: 00 −1 (2.14)

  = −(1 + 2 )

  Seperti yang telah dijelaskan di awal bahwa hukum gravitasi Einstein dapat direduksi menjadi hukum gravitasi Newton pada medan gravitasi lemah dan distribusi materi bersifat statik. Dari proses pereduksian ini akan terlihat kaitan antara konstanta

  (gravitasi Einstein) dan konstanta G Selanjutnya akan ditinjau bentuk tensor Riemann- Christoffel dalam medan lemah seperti yang diberikan pada persamaan tensor metrik (2.2). nilai simbol Christoffel dari tensor metrik tersebut adalah:

  1

  = Γ � − � =

• 2

  (2.15) ℎ ℎ ℎ

  1

• 2

  � − �

  Jika nilai perkaalian diabaikan, maka nilai tensor Ricci ℎ untuk

  = = 0 bernilai: =

  Γ − Γ

  00

  00 ℎ ℎ 1 ℎ

  = � � − �� −

• 2 ℎ ℎ 1 ℎ

  00

• 2

  � � − ��

  1

  = � ℎ ℎ − ℎ −

• 00 2 (2.16)

  ℎ � Jika distribusi materi bersifat statis maka bukan

  ℎ merupakan fungsi t atau

  (2.17)

  = 0 ℎ

  Sehingga persamaan (2.16) menjadi

  1

  1

  11

  22

  = = ( + + ℎ

  00

  00

  1

  1

  2

  2

  2

  2 (2.18)

  1

  33

  ) =

  ℎ ∇ℎ

  3

  3

  00

  

00

  2 Dengan

  2

  

2

  2

  2 (2.19)

  = + + ∇

  2

  2

  2 Dalam gravitasi newton, potensial medan gravitasi dapat

  dituliskan dalam bentuk persamaan Poisson

  2 (2.20)

  ∇ = 4 ( ⃗) Dengan menggunakan persamaan (2.13) dan persamaan (2.20), persamaan (2.18) dapat dituliskan menjadi:

  2 (2.21)

  = −∇ = −4

00 Dalam hal ini , materi di alam semesta dianggap sebagai fluida

  sempuna dengan densitas dan tekanan , sehingga Tensor energi-momentum untuk fluida sempurna dirumuskan sebagai

  = ( + (2.22)

• ) Karena distribusi materi bersifat statik maka, yaitu materi dianggap sebagai kumpulan debu/dust, maka materi tersebut bisa dianggap tidak memiliki tekanan internal P sehingga persamaan (2.22) tereduksi ke bentuk

  = (2.23) Selain itu vektor kecepatan-4 adalah

  (2.24)

  = �−1, ��⃗�

  00 Skalar T dapat dihitung dengan perkalian dalam antara tensor

  Sehingga seluruh komponen lenyap kecuali = .

  metrik kontravarian dan tensor energi-momentum kovarian untuk dust sebagai:

  00

  = = (2.25) = −

  

00

  1 + 2 Dengan digunakannya geometri Riemann maka potensial gravitasi dalam persamaan Einstein harus diperluas. Dalam teori relativitas umum potensial gravitasi dapat diperluas menjadi kelengkungan ruang-waktu yang tertuang dalam tensor Einstein, yaitu

  1

  (2.26)

  = −

  2 Adapun rapat massa yang menimbulkan potensial medan gravitasi dapat diperluas menjadi tensor energi-momentum dengan rapat massa-energi termasuk salah satu komponen di dalamnya.

  Melihat bentuk persamaan (2.20) yang menyatakan bahwa potensial medan gravitasi sebanding dengan rapat massa sumber medan, maka dapat dilakukan perluasan bahwa kelengkungan ruang-waktu sebanding pula dengan tensor energi momentum yang dirumuskan sebagai:

  1

  (2.27)

  − = −

  2

  1 (2.28)

  − = −

2 Dan bentuk campuran dari persamaan medan Einstein

  1 (2.29)

  − = −

2 Persamaan diatas menampilkan hukum gravitasi Einstein

  dengan berupa suatu tetapan positif yang ada hubungannya

  (2.29) maka persamaan medan Einstein dapat pula ditulis kedalam bentuk:

  1

  (2.30)

  = � − �

  2 Dengan menggunakan persamaan diatas maka nilai dari

  00

  adalah:

  1

  1

  = { � − � = � −(1 +

  00

  00

  

00

  2

  2 (2.31)

  1

  2 )} �− � − � = −

  1+2

  2 Jika dibandingkan dengan persamaan (2.21) maka akan

  diperoleh:

  8

  (2.32)

  =

  

4

Sehingga persamaan gravitasi Einstein(2.27) menjadi:

  1

  8

  (2.33)

  − = −

  4

  2

  

“Halaman ini sengaja dikosongkan”

BAB III TEORI DASAR GELOMBANG GRAVITASI

3.1 Medan gravitasi lemah

3.1.1 Ruang-waktu mendekati datar

  Karena ruang-waktu datar akibat dari tidak adanya medan gravitasi, maka medan gravitasi lemah dapat didefinisikan dari ruang-waktu mendekati datar (nearly flat

  

space-time ). Yang dimaksud mendekati disini adalah kita

  dapat menemukan sistem koordinat yang mempunyai metrik =

• (3.1)

  ℎ

  Dimana

  (3.2)

  = diag( −1,1,1,1)

  Merupakan metrik Minkowski pada relativitas khusus, dan �ℎ � ≪ 1 untuk semua dan . Sistem koordinat yang memenuhi persamaan (3.1) dan (3.2) disebut sistem koordinat mendekati Lorentz.

  Dalam beberapa sistem koordinat, bisa jadi memiliki komponen-komponen yang sangat kompleks dibandingkan sistem koordinat yang lain. Hal pertama yang dilakukan untuk menemukan solusi dari persamaan dalam teori relativitas umum adalah memilih sistem koordinat yang mewakili pemilihan yang terbaik untuk sistem koordinat, seperti persamaan (3.2) mewakili bentuk paling sederhana yang dapat kita temukan dalam ruang-waktu datar, jadi persamaan (3.1) juga harus mewakili komponen metrik dari ruang-waktu yang mendekati datar dalam bentuk sesederhana mungkin.

  Sistem koordinat yang dapat menyatakan komponen metrik dari ruang-waktu mendekati datar dalam bentuk persamaan (3.1) dan (3.2) tidaklah unik. Jika kita bisa mengidentifikasikan sebuah sistem koordinat maka kita akan mendapatkan dalam jumlah yang tak terbatas turunan sistem sub bab ini akan ditentukan sistem koordinat yang dapat menjaga sifat-sifat dari persamaan (3.1) dan (3.2). sistem koordinat ini masing-masing adalah transformasi latar Lorentz dan transformasi gauge.

3.1.2 Transformasi latar Lorentz

  Diasumsikan kita bekerja pada ruang-waktu

  

Minkowski dari relativitas khusus, dan didefinisikan kerangka

  inersia, S, dengan koordinat (ct,x,y,z). kemudian diasumsikan juga hasil transformasi dari kerangka inersia, ′. dibawah transformasi Lorentz,

  ′ mempunyai koordinat yang diberikan pada matriks berikut

  

−

− ′ ′ ′ ′

  ( , , , ) = (3.3) � � ( , , , )

  1

  1

  1 −

  2

  2

2 Dimana = (1 . bentuk ini kita dapat tuliskan

  − ⁄ ) dalam bentuk yang lebih sederhana

  ′ (3.4)

  = ′ Λ′ ≝

  Invers matriks Lorentz diberikan oleh

  ′ ′ ′ ′ (3.5)

  ( = , , , ) , , , ) � � (

  1

  1 Atau

  (3.6)

  = Λ ′ ≝ ′

  ′ Sekarang diasumsikan bahwa di dalam ruang-waktu mendekati datar, koordinat Lorentz (ct,x,y,z) memenuhi tersebut ditransformasikan ke sistem koordinat baru (ct’,x’,y’,z’) yung dirumuskan

  (3.7)

  = ′ Λ′

  Yaitu dimana matriks transformasi identik dengan persamaan (3.3) untuk kecepatan

  . Dalam sistem koordinat baru ini komponen matrik akan mengambil bentuk

  (3.8)

  = = ′ Λ Λ

  ′ ′

  ′ ′ Dengan mensubtitusikan persamaan (3.1) ke dalam persamaan (3.8) maka akan didapatkan:

  (3.9)

  = ′ ℎ

• ′ ′ ′ ′

  Oleh karena komponen metrik Minkowski bernilai sama dalam setiap kerangka Lorentz maka:

  (3.10)

  = = + + ′ ′ ℎ ℎ′

  ′ ′ Dengan demikian, asalkan dipertimbangkan hanya transformasi dari bentuk persamaan (3.3), komponen

  ℎ bertransformasi seolah-olah adalah komponen tensor (0,2) yang didefinisikan pada latar ruang-waktu datar.

  Oleh karena itu, sistem koordinat mendekati Lorentz yang asli akan tetap berbentuk mendekati Lorentz pada sistem kooridant yang baru. Dengan kata lain, sebuah ruang-waku yang terlihat mendekati datar pada seorang pengamat masih terlihat mendekati datar oleh pengamat lain dalam gerak relatif seragam terhadap pengamat pertama.

3.1.3 Transformasi gauge

  Sekarang diasumsikan diberikan perubahan sangat kecil pada sistem koordinta denganmenerapkan sebuah transformasi koordinat yang berbentuk

  (3.11)

  = ( ) ′

• dimana komponen merupakan fungsi dari koordinat � �.

  Maka: ′

  (3.12)

• =

  ,

  Dari persamaan (3.11) kita juga dapat menuliskan:

  (3.13)

  = ( ) ′ −

  Jika nilai dari kecil, adalah masuk akal jika

  (3.14)

  � � ≪ 1 untuk semua ,

  ,

  Kemudian dengan dalil rantai diperoleh =

  − ≅ −

  , (3.15) ′

  ′ Dimana orde diatas orde pertama akan diabaikan pada nilai yang kecil. Digunakan pula fakta bahwa komponen delta

  Kronecker bernilai sama pada setiap sistem koordinat Telah diasumsikan bahwa komponen-komponen dari sistem koordinat memenuhi persamaan (3.1) dan (3.2). maka berikut akan diselidiki apakah juga memenuhi

  ′ persamaan (3.1) dan (3.2).

  (3.16)

  = ′

  ′ ′ Dengan mensubtitusi persamaan (3.1) dan (3.15) ke dalam persamaan (3.16), maka untuk orde pertama akan didapatkan:

  = ′ � − − �

• , ,

  (3.17)

  ℎ Persamaan diatas dapat disederhanakan lebih jauh menjadi

  (3.18)

  = ′ ℎ − −

• , ,

  Pada persamaan 3.18 didefinisikan bahwa

  (3.19)

  = Kemudian persamaan (3.18) mempunyai bentuk yang sama seperti persamaan (3.1) asalkan:

  (3.20)

  = ℎ′ ℎ − −

  , ,

  Hasil-hasil diatas menunjukkan bahwa sekali diidentifikasikan sebuah sistem koordinat yang bersifat hampir Lorentzian, maka dapat ditambahkan vektor kecil pada koordinat tanpa merubah validitas dari asumsi awal bahwa ruang-waktu adalah hampir datar. Oleh karena itu kita bisa memilih komponen dari untuk membuat persamaan medan Einstein sesederhana mungkin. Proses ini disebut sebaga pemilihan gauge dan transformasi koordinat yang diberikan pada persamaan (3.20) disebut juga sebagai transformasi gauge.

  

3.2 Persamaan medan Einstein untuk medan gravitasi

lemah

  Dalam persamaan medan Einstein, tensor Einstein dirumuskan sebagai:

  8

  (3.21)

  =

4 Yang menghubungkan geometri ruang-waktu yang dinyatakan

  dalam suku tensor Einstein dengan sumber dari medan gravitasi yang direpresentasikan oleh tensor energi-momentum . Komponen dari tensor Einstein dibangun dari komponen tensur kurvatur-Riemann yang menjelaskan geometri ruang-waktu.

  Pertama-tama didefinisikan simbol Christoffel , Γ yang tergantung pada komponen metrik ruang-waktu dan turunan pertamanya.

  1

  (3.22)

• = ( ) Γ

  2 Tensor kurvatur Riemann mempunyai komponen

  (3.23)

  = � Γ − Γ − Γ Γ − Γ Γ �

  Kemudian berikutnya diperkenalkan tensor simetris Ricci = (3.24)

  Dan trace dari tensor tersebut disebut dengan skalar Ricci

  (3.25)

  = Maka, tensor Einstein didefinisikan sebagai

  1

  (3.26)

  ≝ −

  2 Jika kondisi (3.1) dipenuhi, maka persamaan medan Einstein dapat dilinierkan dengan bergantung pada . Proses

  ℎ ini dimulai dengan terlebih dahulu melinierkan simbol Christoffel . Untuk persamaan (3.1) simbol Christoffel

  Γ akan berbentuk:

  1

  (3.27)

  = ( ) + + Γ ℎ ℎ ℎ

  2

  1

  (3.28)

  = ( ) + + ℎ ℎ ℎ

  2 Karena simbol Christoffel merupakan kuantitas orde pertama, maka satusatunya yang memiliki kontribusi pada tensor Riemann terlinearisasi adalah turunan dari simbil Christoffel. Menggunakan persamaan (3.23) dan persamaan (3.28) didapatkan:

  1 =

• (3.29)

  � ℎ ℎ − ℎ

  2 − ℎ �

  Dari tensor kurvatur Riemann terlinearisasi kemudian didefinisikan tensor Ricci. Menggunakan persamaan (3.29) diperoleh:

  1

  (3.30)

  = � ℎ ℎ − ℎ − □ℎ �

• 2

  Dimana h adalah trace dari metrik perturbasi ℎ

  (3.31)

  ℎ ≝ ℎ Dan diperkenalkan juga operator d’Alembert

  □ dalam ruang- waktu datar Minkowski

  1

  

2

  2

  2

  2 (3.32)

  = + + + □ ≝ −

2 Kemudian skalar Ricci yang terlinearisasi

  (3.33)

  = = ℎ − □ℎ

  Dengan komponen-komponen tensor Einstein terlinearisasi yang telah diturunkan sebelumnya maka diperoleh tensor Einstein:

  1

  = + + � ℎ ℎ − ℎ − ℎ

  2 (3.34)

  �□ℎ − ℎ �� Ruas kanan dari persamaan (3.34) dapat disederhanakan lebih jauh dengan memperkenalkan kuantitas

  1

  (3.35)

  ℎ� ≝ ℎ − ℎ

  2 Dari definisi persamaan (3.35) didapatkan

  1

  (3.36)

  = ℎ ℎ� − ℎ�

  2 Dimana ℎ� ≝ ℎ�

  1

  = � ℎ� ℎ� − □ℎ� −

• 2 (3.37)

Persamaan (3.37) disebut sebagai tensor Einstein terlinearisasi dalam bentuk trace reversed. Dari persamaan ini dapat diturunkan persamaan medan Einstein yang terlinearisasi.

3.2.1 Persamaan medan Einstein yang terlinearisasi

  Dari persamaan (3.21) dan persamaan (3.37) maka akan didapatkan persamaan medan Einstein terlinearisasi:

  16 (3.38)

• 4

  = ℎ� ℎ� − □ℎ� − ℎ�

  Pada sub bab 3.1.3 telah dijelaskan bahwa dapat dipilih komponen untuk membuat persamaan Einstein menjadi sesederhana mungkin. Dengan alasan tersebut maka dapat dipilih kondisi Lorentz gauge yang memenuhi:

  (3.39)

  = 0 ℎ�

  Kondisi (3.39) dapat juga ditulis dalam bentuk

  (3.40)

  = 0 ℎ�

  Jika kondisi di atas terpenuhi maka tiga suku selain □ℎ� dalam tensor Einstein terlinearisasi akan lenyap. Sehingga tensor Einstein terlinearisasi akan tereduksi menjadi;

  1

  (3.41)

  = − □ℎ�

  2 Dengan demikian, dalam gauge Lorentz tensor Einstein akan tereduksi menjadi operator gelombang yang bekerja pada metrik gangguan trace reversed. Sehingga persamaan medan Einstein yang terlinearisasi akan mengambil bentuk yang lebih sederhana yaitu:

  16

  (3.42)

  = □ℎ�

4 Persamaan (3.24) disebut juga dengan nama persamaan medan

  Einstein yang terlinearisasi. Arti terlinearisasi disini adalah bahwa sejak awal suku yang merupakan metrik perturbasi ℎ telah dijaga agar tetap linier sejak awal. Hal ini mengakibatkan ruas kiri yang tidak lain adalah tensor Einstein yang pada awalnya terdiri dari tensor Ricci, tensor metrik, dan scalar Ricci tereduksi menjadi operator gelombang yang bekerja terhadap metrik perturbasi dalam bentuk trace-reversed .

  ℎ�

3.3 Perambatan gelombang gravitasi

  Dalam ruang vakum tensor energi-momentum akan = 0, dan persamaan medan Einstein yang lenyap, terlineaisasi dalam gauge Lorentz akan tereduksi ke dalam bentuk persamaan gelombang homogen untuk semua komponen metrik perturbasi :

  ℎ�

  (3.43)

  = 0 □ℎ�

  Solusi bergantung waktu dari persamaan gelombang ini dapat ditafsirkan sebagai gelombang gravitasi lemah yang merambat sepanjang wilayah dari ruang-waktu dimana persamaan (3.43) bernilai benar, yaitu dimana metrik ruang-waktu adalah mendekati Minkowskian.

  Solusi paling sederhana dari persamaan (3.43) merupakan gelombang datar

  (3.44)

  = exp ( ) ℎ�

  Dimana dan dikenal sebagai masing-masing sebagai amplitudo gelombang dan vektor gelombang. Jika persamaan (3.44) dimasukkan ke dalam persamaan (3.43) maka akan didapatkan bahwa persamaan (3.44) merupakan solusi dari

  (3.45)

  = 0 Yang merupakan vektor null. Dari hal ini dapat ditafsirkan bahwa gelombang gravitasi merambat dengan kecepatan cahaya.

  Metrik pada awalnya memiliki 16 komponen, ℎ� namun karena kesimetrisan diantara komponen-komponennya maka jumlah komponen dapat tereduksi menjadi 10 komponen. Namun kesepuluh komponen tersebut dapat direduksi lebih jauh lagi dengan gauge Lorentz, transformasi gauge, dan transformasi latar Lorentz.

  Pertama-tama dimulai dengan menerapkan gauge Lorentz pada persamaan (3.44), maka akan didapatkan:

  (3.46)

  = 0 Hal ini berarti bahwa harus tegak lurus terhadap vektor �⃗. Persamaan (3.46) pada faktanya terdiri dari empat persamaan linier. Hal ini berarti bahwa ada cukup kebebasan untuk menetapkan nilai dari empat komponen dari , yang kemudian mereduksi jumlah komponen dari 10 ke 6 komponen independen dari .

  Kita masih bisa membatasi lebih jauh komponen dari dengan menggunakan pemilihan transformasi gauge. Kondisi gauge Lorentz mensyaratkan bahwa memenuhi

  2

  1

  ( 2 ) (3.47)

• ,

  = �− ∇ � ℎ�

  2

2 Namun, untuk setiap set komponen yang

  memenuhui persamaan (3.47), kita dapat menambahkan komponen untuk mendefiniskan transformasi baru:

  (3.48)

• =

  ′ → Dan asalkan memenuhi:

  2

  1

  

2

(3.49)

  2

2 Maka akan memenuhi

• = 0 �− ∇ �

  2

  1

  ( 2 )

• (3.50)

  =

  ,

  �− ∇ � ℎ�

  2

  2 Oleh karena itu metrik perturbasi termodifikasi ( ( ) )

  (3.51)

  = ℎ ℎ − −

  , ,

  Masih menyatakan tensor Einstein dalam bentuk sederhana, bentuk gauge Lorentz dari persamaan (3.43).

  Label ‘(TT)’ merupakan singkatan dari Transverse

  

Traceles, dan transformasi gauge (atau setara dengan )

mendefinisikan Transverse Traceless gauge.

  Persamaan (3.49) memberikan persamaan tambahan yang komponen-komponennya dapat diatur sedemikian rupa pada transformasi gauge yang telah dipilih sebelumnya, dengan tujuan untuk memilih sistem koordinat yang membuat dan juga sesederhana mungkin. Faktanya, dapat

  ℎ� ditunjukkan bahwa kebebasan yang dipertahankan dalam memilih , sementara masih memuaskan dalam gauge Lorentz, membolehkan kita untuk membatasi lebih jauh dengan memasangkan lagi nilai dari empat komponen yang lainnya, hingga mereduksi komponen menjadi tinggal dua komponen.

  Lebih spesifiknya, jika U kecepatan-4 tertentu dengan komponen dari untuk memastikan bahwa tensor amplitudo gelombang memenuhi

  (3.52)

  = 0 Bahkan, dapat juga dipilih komponen sehingga

  = = 0 (3.53) Yaitu, bahwa trace A dapat diatur agar bernilai nol. Diasumsikan sebuah partikel uji mengalami gelombang gravitasi pada salah satu bagian ruang-waktu mendekati datar. Diasumsikan pula bahwa transformasi ke kerangka latar Lorentz yang mana partikel tersebut dalam keadaan diam, yaitu pada saat kecepatan-4 nya mempunyai komponen (1,0,0,0), yang juga dapat dituliskan seperti berikut:

  (3.54)

  = Persamaan (3.52) dan (3.54) kemudian mengakibatkan:

  (3.55)

  = 0 untuk semua Selanjutnya sumbu koordinat ruang diorientasikan sedemikian rupa sehingga gelombang merambat pada arah z, yaitu

  (3.56)

  = = = 0, = ,

  Dan

  (3.57)

  = = = 0, = − ,

  (3.58)

  = 0 untuk semua Yang berarti bahwa tidak ada komponen metrik perturbasi dalam arah perambatan gelombang. Hal ini menjelaskan asal kata ‘Transverse’ dari ‘Transverse Traceless gauge’; dalam gauge ini metrik perturbasi sepenuhnya transverse pada arah perambatan dari gelombang gravitasi.

  Ringkasnya, di dalam Transverse Traceless gauge persamaan (3.44) dapat disederhanakan menjadi:

  ( ( ) )

  (3.59)

  = cos[ ℎ� ( − )]

  Persamaan (3.55) dan (3.58), dikombinasikan dengan simetri dari , menyiratkan bahwa komponen tidak nol dari hanyalah , , = . Bahkan, pada kondisi

traceless , persamaan (3.53), mengakibatkan = .

  − Karenanya, komponen dari dalam Transverse Traceless

  gauge adalah

( (

) )

  (

  ⎛ ⎞

  ) (3.60)

  =

  ⎜ ⎟

  ( ) (

  )

  − ⎝ 0⎠

  Yang juga mengakibatkan:

  

( (

) ) (

  ⎛ ℎ� ℎ� ⎞

  ) (3.61)

  = ℎ�

  ( ( )

  ⎜ ) ⎟ ℎ�

  −ℎ� ⎝ 0⎠

  Dimana:

  ( ( ) ) (3.62)

  = cos[ ℎ� ( − )]

  Dan

  ( ( ) ) (3.63)

  = cos[ ℎ� ( − )]

  Akhirnya, harus dicatat bahwa dalam Transverse Traceless

  gauge adalah trivial untuk mengaitkan komponen dari

  ℎ� terhadap metrik perturbasi yang asli . Dengan ℎ mensubtitusi persamaan (3.35) ke dalam persamaan (3.31) maka didapatkan:

  1 =

  ℎ� = ℎ� �ℎ − ℎ�

  (3.64)

  2 =

  ℎ − 2ℎ = −ℎ Jelas bahwa untuk kasus khusus pada Transverse Traceless

  gauge ,

  ℎ� dan ℎ kedua-duanya identik bernilai nol. Maka untuk semua ,

  ( ( ) ) (3.65) = .

  ℎ� ℎ

3.4 Efek gelombang gravitasi pada partikel bebas

3.4.1 Deviasi geodesik dari partikel uji

  Dalam medan gravitasi lemah, partikel yang bergerak memenuhi persamaan geodesik:

  2 (3.66)

  = = −

2 Subtitusi persamaan (3.29) ke dalam persamaan (3.66) dan

  dengan mempertahankan bahwa masih dalam Transverse

  1

  ( ) (3.67)

  = = − ℎ�

  ,

  2

  1

  ( ) (3.68)

  = = − ℎ�

  ,

  2 Karenanya, dua partikel yang awalnya terpisah oleh pada arah x, mempunyai vektor deviasi geodesik yang mematuhi:

  2

  2

  1

  ( ) (3.69)

  = ℎ

  2

  2

  2 Dan

  2

  2

  1

  ( ) (3.70)

  = ℎ

  2

  2

  2 dengan cara yang sama dapat didapatkan untuk arah y

  2

  2

  1

  ( ) (3.71)

  = ℎ

  2

  2

  2 Dan

  2

  2

  1

  ( ) (3.72)

  = ℎ

  2

  2

  2

3.4.2 Cincin partikel uji: polarisai gelombang gravitasi

  Persamaan (3.69) sampai (3.72) dapat diperluas lebih jauh lagi untuk menentukan deviasi geodesik dari dua partikel, (yang satu berada pada titik asal dan yang lain berada pada koordinat

  = cos , = sin , = 0, yaitu pada sebuah arah z. dapat ditunjukkan bahwa dan mematuhi persamaan:

  2

  2

  2

  1

  1

  ( ( ) ) (3.73)

• 2

  = cos ℎ sin ℎ

  2

  2

  2

  2 Dan

  2

  2

  2

  1

  1

  ( ( ) ) (3.74)

  2

  = cos ℎ − sin ℎ

  2

  2

  2

  2 Dengan mensubtitusi persamaan (3.63) dan (3.65) ke dalam persamaan (3.73) dan (3.74), maka didapatkan solusi:

  

(

  1

)

  = cos cos + + cos

  2 (3.75)

  (

  1 )

  cos sin

  2 Dan

(

1

)

  = cos sin + cos −

  2 (3.76)

  (

  1 )

  cos sin

2 Diasumsikan

  bervariasi antara 0 sampai 2 , sehingga keadaan awal pada cincin partikel berbentuk lingkaran sempurna pada bidang x-y yang mengakibatkan jarak setiap partikel uji terhadap titik asal bernilai sama satu- sama lain. Gambar 3.1 menunjukkan efek dari gelombang gravitasi yang merambat melalui sumbu z pada cincin partikel uji.

  Panel atas menunjukkan kasus dimana metrik

  

( (

) )

  perturbasi mempunyai = 0. Dalam kasus ≠ 0 dan ini solusi untuk dan tereduksi menjadi

  1

  ( ) (3.77)

  = cos cos �1 + �

  2 Dan

  1

  ( ) (3.78)

  = cos sin �1 − �

  2 Keadaan ini disebut juga sebagai polarisai ‘+’