I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah - ARTIKEL Aleksander Hutauruk

Faktorisasi Pada Matriks Ekuivalen Bertanda Positif Total

(Factorization on totally positive sign equivalent matrices) Oleh : Aleksander Hutauruk

( Di bawah bimbingan Muhafzan, Ph.D dan Jenizon, M.Si )

ABSTRACS

Factorization of matrices is the multiply of matrices which is suitable with where A is as input matrix and ,

is as factorial matrices that is matrices suitable with in a certain condition. The number of k represents the number of factorial matrix F. Factorization on totally positive sign equivalent matrices that the matrices being able to

be D 1 QD 2 , with Q is totally positive matrix, D 1 and D 1 are diagonal matrices with main diagonal elements equal to

Theorem in factorization on totally positive sign equivalent matrices that every square real matrix n x n, n ≥ 2 is result of multiplical totally positive sign equivalent matrices, indicated and stated based on facts in Lowner-Neville factorization, the concept about matrix and facorization matrix. One of them is facorization : Cholesky, LU, and QR. Keywords:Totally positive matrix, Totally positive sign equivalent matrix, Factorization

on totally positive sign equivalent matrix, Lowner-Neville factorization.

I. PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Masalah

Faktorisasi matriks merupakan cara untuk menyatakan hubungan sebuah matriks sebagai perkalian dari matriks-matriks lain. Sedangkan matriks itu sendiri adalah suatu susunan berbentuk persegi panjang dari entri-entrinya. Selanjutnya, terdapat berbagai macam tipe matriks berdasarkan pengamatan ukuran maupun karakteristik dari entri matriks tersebut.

Dengan adanya berbagai macam tipe matriks menimbulkan pula berbagai macam cara untuk memfaktorkan suatu matriks, diantaranya dikenal sebagai: faktorisasi Cholesky , faktorisasi LU, faktorisasi SVD, faktorisasi QR dan faktorisasi Loewner- Neville. Penggunaan masing-masing faktorisasi ini tergantung pada tipe matriks yang difaktorkan ataupun tipe matriks sebagai faktor pada perkalian.

Disamping cara memfaktorkan matriks tersebut, terdapat suatu cara lain yang dinamakan faktorisasi matriks ekuivalen bertanda positif total yakni cara memfaktorkan suatu matriks persegi dalam bentuk perkalian matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total. Matriks ekuivalen bertanda positif total itu sendiri adalah suatu matriks

yang dapat dinyatakan sebagai D 1 QD 2 , dimana Q adalah matriks positif total, D 1 dan

D 2 masing-masing merupakan matriks diagonal dengan entri diagonal utama 1 . Sebuah fakta pada faktorisasi Loewner-Neville bahwa setiap matriks riil persegi

merupakan perkalian dari matriks-matriks bidiagonal. Fakta ini sebagai gagasan pokok yang digunakan oleh Daniel Hershkowitz dan Allan Pinkus (2006) dalam artikel On Nonnegative Sign Equivalent and Sign Similar Factorizations of Matrtices pada suatu teorema bahwa setiap matriks riil persegi adalah perkalian dari matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.

Akhirnya penelitian ini dimaksudkan sebagai penegasan tentang matriks ekuivalen bertanda positif total dan bukti dari teorema tersebut dengan menunjukkan bahwa setiap Akhirnya penelitian ini dimaksudkan sebagai penegasan tentang matriks ekuivalen bertanda positif total dan bukti dari teorema tersebut dengan menunjukkan bahwa setiap

1.2. Perumusan Masalah

Diberikan matriks riil A berukuran n x n dengan n 2 , bagaimana memfaktorkan matriks A sedemikian sehingga matriks A merupakan perkalian dari matriks – matriks ekuivalen bertanda positif total.

1.3. Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah menunjukkan bahwa faktorisasi matriks persegi riil merupakan perkalian dari matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total dengan membuktian suatu teorema yang berkaitan dengan hal tersebut.

1.4. Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah: - Menambah pengetahuan penulis mengenai faktorisasi pada matriks persegi riil

khususnya pada matriks ekuivalen bertanda positif total. - Sebagai bahan masukan untuk peneliti selanjutnya dalam mengembangkan dan memperluas cakupan penelitian ini.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Teori Dasar Matriks

Definisi 2.1.1 (Anton, 1988) Suatu matriks mempunyai ukuran yang diperoleh berdasarkan banyaknya baris dan kolom dalam matriks tersebut. Suatu matriks A yang berukuran m x n disimbolkan

a 11 a 12  a 1 n

a 21 a 22  a 2 n

dengan A mxn dan dapat ditulis:A = , a ij entri baris ke-i dan kolom

a m 1 a m 2  a mn

ke-j, i = 1,2,…,m dan j = 1,2,…,n.

Definisi 2.1.2. (Leon, 2001) Suatu matriks persegi D merupakan matriks diagonal jika entri – entri d ij 0 untuk

i j . Definisi 2.1.3. (Leon, 2001)

1 jika i j

Matriks identitas adalah matriks I = a i j berorde n x n, dimana a ij

0 jika i j

a ij adalah entri-entri dari matriks yang terletak dibaris ke i dan kolom ke j. Definisi 2.1.4. (Zwillinger, 2003)

Matriks segitiga adalah matriks persegi yang entri dibawah atau diatas garis diagonal utama adalah nol. Definisi 2.1.5. (Golub & Loan , 1996)

Suatu matriks persegi D d ij merupakan matriks bidiagonal jika entri-entri yang mungkin tak nol adalah d ii dengan i 1 , ..., n , dan d j ,j 1 (atau d j 1 , j ), dengan j= 1,2,........n – 1. Khususnya jika entri d ii 1 , untuk i 1 , , n dinamakan matriks

bidiagonal elementer (elementary bidiagonal Matrices).

Definisi 2.1.6. ( Leon, 2001).

Suatu matriks A berukuran n x n disebut simetris jika A T = A.

a 11 a 21  a n 1

a 21 a 22  a n 2

Matriks simetris berukuran n x n disajikan sebagai: A

  a n 1 a n 2 a nn

Definisi 2.1.7. ( Zwilinger, 2003). Transpos suatu matriks A berukuran m x n dilambangkan dengan T A adalah suatu

matriks berukuran n x m dengan baris dan kolom saling berganti sedemikian sehingga komponen baris ke-i kolom ke-j dari matriks A adalah komponen baris ke-j kolom ke-i

dari matriks T A dan ( A )

( A ) ij a ij .

ji

Definisi 2.1.8. ( Zwilinger, 2003). Misalkan A a ij merupakan matriks berukuran m x n dan

matriks berukuran n x p; ( bahwa banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B

B b jk

), maka AB adalah matriks berukuran m x p yakni matriks C c ij dengan elemen pada

ditentukan oleh

rumus: c ij

a ik b kj

a i 1 b 1 j a i 2 b 2 j  a in b nj dengan i 1 ,..., m dan j 1 ,..., p .

Definisi 2.1.9. ( Zwillinger, 2003).

Suatu matriks A berukuran n x n dikatakan nonsingular atau invertibel jika terdapat

suatu matriks B sedemikian sehingga: AB I n BA

Setiap matriks 1 B yang memenuhi sifat tersebut dinamakan invers A ditulis A .

Jika A tidak memiliki invers maka A dinamakan matriks singular.

1 Adj ( A )

Invers suatu matriks A dirumuskan sebagai: A , dengan Adj (A ) adalah

det( A )

adjoin dari matriks A sedangkan det( A ) merupakan determinan matriks A.

Definisi 2.1.10. (Zwillinger, 2003)

Adjoin suatu matriks A a ij berukuran n n ditulis Adj (A ) adalah matriks

A 11 A 21  A n 1

12 A 22  berukuran A n 2

n n yang disajikan sebagai:

Adj ( A )

, dimana A ij

 A 1 n A 2 n  A nn

merupakan kofaktor a ij .

Definisi 2.1.11. . (Hager, 1988) Suatu matriks A disebut matriks ortogonal jika hasilkali A dan transposnya yaitu T A

adalah matriks identitas atau T A A AA I dengan I matriks identitas. Definisi 2.1.12 (Jacob, 1990)

Operasi baris elementer pada suatu matriks adalah penerapan diantara hal berikut pada matriks: (i). Mengalikan salah satu baris dengan suatu bilangan skalar tak nol. (ii). Menjumlahkan suatu hasilkali dari salah satu baris pada baris lainnya. (iii). Mempertukarkan dua baris. Definisi 2.1.13 (Jacob, 1990) Matriks elementer n n adalah suatu matriks yang diperoleh dari matriks identitas

n n dengan menggunakan operasi baris elementer tunggal.

2.2. Minor dan Determinan Matriks

Definisi 2.2.1. ( Leon, 2001). Minor baris ke-i kolom ke-j (ditulis M ij ) adalah determinan matriks berukuran

dari suatu matriks berukuran n x n tanpa entri baris ke-i dan entri kolom ke-j.

Definisi 2.2.2. (Zwillinger, 2003) Kofaktor baris ke-i kolom ke-j dari matriks persegi A a ij berukuran n n ditulis A ij

dimana M ij merupakan determinan dar matriks A dengan menghapus elemen baris ke-i dan elemen kolom ke-j ( M ij biasa disebut minor dari a ij ) .Definisi 2.2.3. (Strang, 1988).

adalah hasil kali j 1 M

ij

Determinan dari matriks persegi A a ij berukuran n x n biasa ditulis A atau det(A) dapat dibedakan oleh formula berikut:

a 11 a 12

a. Matriks persegi berukuran 2 x 2: A , maka deteminan dari A adalah:

a 21 a 22

a 11 a 22 det(A) = a 12 a 21 ..... (1.1)

b. Matriks persegi ukuran n (dengan n > 2) Misalkan A merupakan matriks persegi ukuran n x n, dengan n > 2 ditulis A a ij

dimana a ij adalah entri pada baris ke i dan kolom ke j untuk i 1 , , n dan j 1 , , n maka determinannya dapat dihitung dengan ekspansi kofaktor dari salah satu baris atau

salah satu kolom. Dengan ekspansi kofaktor baris ke-i atau ekspansi kofaktor kolom ke- j , maka determinan matriks A adalah:

det( A ) a ij A ij a i 1 A i 1 a i 2 A i 2  a in A in

atau

det( A )

2.3. Faktorisasi dalam matriks

Definisi 2.3.1. (Hager, 1988) . Faktorisasi Cholesky adalah faktorisasi suatu matriks persegi H yang dinyatakan sebagai

bentuk perkalian matriks T H KK dengan K adalah matriks segitiga bawah yang disebut segitiga Cholesky (Cholesky triangle). Sebagai ilustrasi, misalkan matriks H

sebagai berikut:

h 11 h 12  h 1 n

h 21 h 22  h 2 n

H dengan h ij h ji (i = 1,...,n dan j = 1,...,n).

Ambil K

maka K

k n 1 k n 2  k nn

0 0  k nn

Bentuk faktorisasi Cholesky dari matriks H berukuran n n adalah: Bentuk faktorisasi Cholesky dari matriks H berukuran n n adalah:

Dengan menyelesaikan (2.1) diperoleh: 2 h

k ip k jp , dengan i j ..... (2.3)

Definisi 2.3.2. (Hager, 1988). Faktorisasi LU adalah suatu bentuk perkalian dari suatu matriks A yang dinyatakan sebagai hubungan A = LU dimana L adalah matriks segitiga bawah dan U merupakan matriks segitiga atas. Khususnya, jika matriks A berukuran 3 x 3, yakni:

a 11 a 12 a 13

A a 21 a 22 a 23 maka hubungan pada faktorisasi LU menjadi:

a 31 a 32 a 33

a 11 a 12 a 13 l 11 0 0 u 11 u 12 u 13

a 21 a 22 a 23 l 21 l 22 0 0 u 22 u 23 ..... ( 2.4)

a 31 a 32 a 33 l 31 l 32 l 33 0 0 u 33

l 11 0 0 u 11 u 12 u 13

dimana L l 21 l 22 0 , dan U

0 u 22 u 23 . Persamaan (2.4) berakibat:

l 31 l 32 l 33 0 0 u 33

a 11 a 12 a 13

a 11 l 11 u 11 , a 12 l 11 u 12 dan a 13 l 11 u 13 atau l 11

Sebagai contoh pehatikan matriks A 4 7 7 . Dengan operasi baris elementer

2 2 2 1 0 0 2 2 faktorisasi ditulis sebagai: 2

Definisi 2.3.3. (Hager, 1988). Suatu faktorisasi QR dari suatu matriks persegi A yang riil adalah suatu bentuk perkalian matriks yang dinyatakan sebagai A = QR dimana Q merupakan matriks ortogonal dan R matriks segitiga atas.

Sebagai contoh, perhatikan matriks:

Dengan MATLAB diperoleh

Definisi 2.3.4. (Fiedler & Markham, 1997) Suatu faktorisasi dari matriks persegi A berukuran n x n disebut faktorisasi Loewner- Neville jika A dapat dinyatakan sebagai: A = BDC ..... (2.6)

dimana D adalah matriks diagonal, B dan C masing-masing adalah hasilkali dari matriks-matriks bidiagonal yaitu: B B 1 B 2  B n 1 ..... (2.7)

dan C C n 1 C n 2  C 1

dengan B i dan C i untuk i 1 ,  , n 1 disajikan sebagai:

Sebagai contoh perhatikan matriks berukuran 3 3 : A a 21 a 22 a 23

a 31 a 32 a 33

Sesuai definisi (2.3.4), ambil matriks diagonal: D 0 d 2 0 ,

Sesuai (2.9) dan (2.10) matriks bidiagonal: B 1 0 1 0 , B 2 b 21 1 0 ,

0 b 31 1 0 b 32 1

1 0 0 1 c 12 0

dan C 1 0 1 c 13 , C 2 0 1 c 23 . Dengan menyelesaikan persamaan (2.7)

1 0 0 1 c 12 c 12 c 13

dan (2.8) diperoleh: B b 21 1 0 dan C 0 1 c 13 c 23

b 21 b 31 b 31 b 32 1 0 0 1

Sehingga faktorisasi Loewner-Neville dari matriks A dinyatakan dengan:

a 11 a 12 a 13 1 0 0 d 1 0 0 1 c 12 0 11 12 13

a 21 a 22 a 23 b 21 1 0 0 d 2 0 0 1 c 23 21 22 23 ..... (2.11)

a 31 a 32 a 33 b 21 b 31 b 31 b 32 1 0 0 d 3 0 0 1 31 32 33

dimana: 11 d 1 , 12 d 1 c 12 , 13 d 1 c 12 c 13 , 21 d 1 b 21 , 22 d 2 d 1 b 21 c 12 ,

23 d 1 b 21 c 12 c 13 d 2 ( c 13 c 23 ) , 31 d 1 b 21 b 31 , 32 d 1 b 21 b 31 c 12 d 2 ( b 31 b 32 ) ,

33 d 1 b 21 b 31 c 12 c 13 d 2 ( b 31 b 32 )( c 13 c 23 ) d 3 ..... (2.12)

III. METODOLOGI PENILITIAN

3.1. Tempat dan Waktu

Penelitian ini dilakukan pada perpustakaan jurusan Matematika Universitas Andalas, dan Pustaka Digital (Digital Library) dari berbagai situs matematika sesuai dengan permasalahan yang dihadapi dan berlangsung sejak Desember 2007 sampai April 2008.

3.2. Metode

Penelitian ini merupakan penelitian deskriptif dan analitik yang menggunakan analisa teori yang relevan dengan masalah yang dibahas dan berlandaskan pada studi kepustakaan. Dalam melakukan penelitian ini penulis memulai dengan meninjau permasalahan, mengumpulkan teori-teori yang didapat sebagai penunjang untuk menyelesaikan permasalahan tersebut dan terakhir menarik kesimpulan dari permasalahan yang telah dibahas.

Langkah - langkah kerja yang dilakukan pada penelitian adalah:

1. Meninjau konsep-konsep dasar matriks

2. Meninjau konsep-konsep faktorisasi pada matriks.

3. Meninjau tentang matriks positif total dan matriks ekuivalen bertanda positif total .

4. Menyelesaikan masalah faktorisasi matriks ekuivalen bertanda positif total dengan teori-teori dan algoritma yang berhubungan dengan pemecahan masalah tersebut.

5. Menyimpulkan hasil yang diperoleh.

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1. Matriks Positif Total

Definisi 4.1.1. (Hershkowitz & Pinkus, 2007) Suatu matriks A dinamakan matriks positif total jika setiap minor dari matriks A adalah

a 11 a 12

nonnegatif. Secara khusus, jika A berukuran 2 x 2, yakni: A maka A

a 21 a 22

merupakan matriks positif total jika: det( A ) a 11 a 22 a 12 a 21 0 .... (3.1)

a 11 a 12 a 13

dan jika A matriks berukuran 3 x 3, yakni: A a 21 a 22 a 23 maka A adalah

a 31 a 32 a 33

matriks positif total jika setiap nilai minornya adalah nonnegatif atau M 11

a 22 a 23 a 21 a 23

M 11 a 22 a 33 a 23 a 32 0 , M 12 a 21 a 33 a 23 a 31 0 ,

a 32 a 33 a 31 a 33

M 33 a 11 a 22 a 12 a 21 0 ..... (3.2)

a 21 a 22

Sebagai contoh diberikan A , akan diselidiki apakah A adalah matriks positif

total. Karena det( A ) 3 0 maka sesuai (3.1) A adalah matriks positif total.

Contoh lainnya misalkan A 2 3 2 , akan diselidiki apakah A adalah matriks

positif total. Dengan memeriksa minor-minor dari A yaitu:

Karena M ij 0 untuk i 1 , 2 , 3 dan j 1 , 2 , 3 , maka sesuai (3.2) jelas A adalah matriks positif total.

Beberapa tipe matriks khusus yang memenuhi matriks positif total berdasarkan definisi (4.1.1), diantaranya : 1). Matriks Identitas

a. Ukuran 2 2 : I , det( I ) 1 0 berarti matriks ini adalah matriks

positif total.

b. Ukuran n n dengan n 2

Sesuai definisi minor pada baris ke-i kolom ke-j ( M ij ) dari suatu matriks, maka

1 untuk i j

minor matriks identitas berukuran n n tersebut adalah: M ij

0 untuk i j

Dengan hasil ini diperoleh bahwa setiap minor dari matriks identitas berukuran n n adalah nonnegatif. Menurut definisi (4.1.1), jelas bahwa matriks identitas termasuk matriks positif total. 2). Matriks diagonal

Sesuai definisi (2.1.2), maka matriks diagonal D dapat disajikan sebagai: Sesuai definisi (2.1.2), maka matriks diagonal D dapat disajikan sebagai:

D adalah nonnegatif. Sesuai definisi (4.1.1), D dengan kondisi tersebut merupakan matriks positif total. 3). Matriks Bidiagonal

Berdasarkan definisi (2.1.5), maka matriks bidiagonal D ( d ij ) berukuran n x n adalah:

a). Untuk entri-entri yang bukan d ii , i 1 ,..., n dan d j (j 1 ) , j 1 ,..., n 1 adalah nol dapat disajikan sebagai:

Dengan mengambil kondisi entri d ii 0 , i 1 ,..., n dan d j (j 1 ) 0 , j 1 ,..., n 1 , jelas bahwa semua nilai minornya adalah nonnegatif. Menurut definisi (4.1.1), maka

matriks bidiagonal dengan kondisi tersebut merupakan matriks positif total.

dan d ( j 1 ) j , j 1 ,..., n 1 adalah nol dapat disajikan sebagai:

b). Untuk entri-entri yang bukan d ii , i 1 ,..., n

Dengan mengambil kondisi entri d ii 0 , i 1 ,..., n dan d ( j 1 ) j 0 , j 1 ,..., n 1 jelas bahwa semua nilai minornya adalah nonnegatif. Menurut definisi (4.1.1), maka

matriks bidiagonal dengan kondisi tersebut merupakan matriks positif total. 4). Matriks segitiga

a). Matriks segitiga bawah

dapat disajikan sebagai:

Sesuai definisi (2.1.4), matriks segitiga bawah berukuran n n

l 11 0  0 l 21 l 22  0

l n 1 l n 2  l nn

Dengan mengambil kondisi entri l ij 0 , i j jelas bahwa semua nilai minor l ij adalah nonnegatif. Sesuai definisi (4.1.1), matriks segitiga bawah dengan kondisi

tersebut adalah matriks positif total. b). Matriks segitiga atas Sesuai definisi (2.1.4), matriks segitiga atas berukuran n n dapat disajikan sebagai:

Dengan mengambil konidisi u ij 0 untuk i j jelas semua nilai minor u ij adalah nonnegatif. Sesuai definisi (4.1.1), maka matriks segitiga atas dengan kondisi tersebut

merupakan matriks positif total.

4.2. Matriks Ekuivalen Bertanda Positif Total

Definisi 4.2.1. (Hershkowitz & Pinkus, 2007) Suatu matriks persegi A disebut matriks ekuivalen bertanda positif total jika A dapat

dinyatakan sebagai: A D 1 QD 2

(4.1) dimana Q adalah matriks positif total, D 1 dan

D 2 merupakan matriks-matriks diagonal dengan entri diagonal utama adalah 1 . Karena D 1 dan D 2 merupakan matriks diagonal dengan entri pada diagonal 1 maka

1 dan D 2 merupakan matriks nonsingular yakni D 1 dan D 2 ada.

1 Apabila persamaan (4.1) dikali dari kiri dengan 1 D

1 dan dari kanan dengan D 2

1 diperoleh: 1 Q D

Kasus 1: Matriks riil A berukuran 2 2 , yaitu: A

a 21 a 22

Untuk menyelidiki apakah A merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total dapat

dipilih D 1 , dan D 2 dengan d 1 , d 2 , 1 , 2 1 , 1 .

q 11 q 12

Berdasarkan definisi (4.2.1), pilih Q matriks positif total maka A

q 21 q 22

merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total jika memenuhi hubungan persamaan (4.1), yaitu:

a 11 a 12 d 1 0 q 11 q 12 1 0

a 21 a 22 0 d 2 q 21 q 22 0 2

Perhatikan D 1 dan D 2 adalah matriks-matriks nonsingular

maka : D 1 dan D 2

Karena d 1 , d 2 , 1 , 2 1 , 1 jelas

Sehingga dengan persamaan (4.2) diperoleh: Q D 1 AD 2 ..... (4.3)

qq d 0 a a d a d 11 a 12 1 11 12 1 0 1 1 11 1 2 12 atau

..... (4.4) q 21 q 22 0 d 2 a 21 a 22 0 2 d 2 2 a 21 d 2 2 a 22

q 12 d 1 2 a 12 , q 21 d 2 1 a 21 dan q 22 d 2 2 a 22 Karena d 1 , d 2 , 1 , 2 1 , 1 , maka d 1 1 1, d 1 2 1, d 2 1 1 dan d 2 2 1.

Dari hubungan (4.4), diperoleh: q 11 d 1 1 a 11 ,

Karena Q D 1 AD 2 maka det( Q ) det( D 1 AD 2 ) ,

Perhatikan bahwa Q merupakan matriks positif total berarti:

q 21 q 22

q 11 q 22 q 12 q 21 d 1 d 2 1 2 ( a 11 a 22 a 12 a 21 ) 0 Karena d 1 , d 2 , 1 , 2 1 , 1 , maka d 1 d 2 1 2 1.

a 11 a 12

Untuk menentukan apakah A merupakan matriks ekuivalen bertanda

a 21 a 22

positif total dilakukan dengan memilih Q , D 1 dan D 2 sebagai berikut: (1). Jika det( A ) a 11 a 22 a 12 a 21 0 , maka d 1 , d 2 , 1 , 2 memenuhi d 1 d 2 1 2 1. (2). Jika det( A ) a 11 a 22 a 12 a 21 0 , maka d 1 ,d 2 , 1 , 2 memenuhi d 1 d 2 1 2 1. Untuk kedua hal tersebut ditentukan Q yang memenuhi definisi (4.1.1) dengan menggunakan hubungan (4.3).

Dengan demikian jika A adalah matriks riil berukuran 2 2 maka ada 3 matriks disamping matriks identitas yang dapat dipilih sebagai D 1 dan D 2 untuk memeriksa

A matriks ekuivalen bertanda positif total , yaitu:

, dan .

Contoh: Akan diperiksa apakah matriks A adalah matriks ekuivalen bertanda

positif total. Karena det( A ) 5 . 2 6 . 3 8 0 maka d 1 d 2 1 2 1 dengan d 1 , d 2 1 , 1

dan 1 , 2 1 , 1 , Pilih : D 1 dan D 2 . Dalam hal ini : d 1 1 ,

d 2 1 , 1 1 dan 2 1 . Akibatnya , q 11 5 , q 12 6 , q 21 3 dan q 22 2 .

Dengan hubungan (4.3) diperoleh: Q yaitu matriks yang memenuhi

definisi (4.1.1).

Jadi, A

D 1 QD 2

a 11 a 12 a 13

Kasus 2 : Matriks riil A berukuran 3 3 , yaitu: A a 21 a 22 a 23

a 31 a 32 a 33

Dalam hal ini, untuk menyelidiki apakah A merupakan matriks ekuivalen bertanda

positif total dipilih D 1 0 d 2 0 , dan D 2 0 2 0 , dimana

q 11 q 12 q 13

Berdasarkan definisi (4.2.1), pilih Q q 21 q 22 q 23 yang memenuhi definisi (4.1.1)

q 31 q 32 q 33

sebagai matriks positif total sedemikian sehingga A matriks ekuivalen bertanda positif total jika memenuhi hubungan persamaan (4.1) yaitu:

Perhatikan bahwa D 1 0 d 2 0 dan D 2 0 2 0 adalah matriks-matriks

1 nonsingular 1 yaitu D

1 1 dan D 2 ada. Sesuai definisi (2.1.9) yang dirumuskan maka

D 1 adj ( D 1 ) dan D 2 adj ( D 2 )

det( D 1 )

det( D 2 )

Dengan menggunakan hubungan (1.2) pada baris pertama diperoleh determinan D 1 dan

D 2 yaitu: det( D 1 ) d 1 ( 0 )

dan det( D 2 )

sementara berdasarkan definisi (2.2.1), (2.2.2) dan (2.1.10) diperoleh:

Adj ( D 1 )

dan

Adj (D 2 )

1 Akibatnya , 1 D

1 0 1 / d 2 0 dan D 2 0 1 / 2 0

Karena d 1 , d 2 , d 3 , 1 , 2 , 3 1 , 1 , maka

2 dan

1 Akibatnya , 1 D

1 D 1 dan D 2 D 2

Sehingga dengan hubungan persamaan (4.2) diperoleh:

d 2 1 a 21 d 2 2 a 22 d 2 3 a 23 ..... (4.6)

d 3 1 a 31 d 3 2 a 32 d 3 3 a 33

Dari hubungan (4.6) diperoleh: q ij d i j a ij , dengan d i , j { 1 , 1 }

q 11 q 12 q 13

dimana i 1 , 2 , 3 dan j 1 , 2 , 3 . Perhatikan Q

q 21 q 22 q 23 merupakan matriks

q 31 q 32 q 33

positif total, karena d 1 , d 2 , d 3 , 1 , 2 , 3 1 , 1 maka hasilkali diantara

d 1 , d 2 , d 3 , 1 , 2 , 3 adalah 1 .

Secara umum, untuk memeriksa apakah matriks riil A a ij berukuran n n adalah matriks ekuivalen bertanda positif total atau bukan, cukup dengan memeriksa

setiap kemungkinan matriks Q q ij berdasarkan (4.3) yaitu matriks yang memenuhi definisi (4.1.1).

4.3. Faktorisasi Matriks Ekuivalen Bertanda Positif Total

Suatu faktorisasi matriks A merupakan hubungan dari matriks A yang sebagai A F 1 . F 2 . ... . F k ..... (5.1) dengan matriks F i , i 1 , , k memenuhi kondisi-

kondisi tertentu. Sesuai dengan definisi faktorisasi Cholesky, faktorisasi LU, faktorisasi QR dan faktorisasi Loewner-Neville maupun faktorisasi-faktorisasi lainnya maka secara umum dapat dikatakan bahwa faktorisasi matriks merupakan hubungan suatu matriks sebagai perkalian dari matriks-matriks lain sesuai dengan karakteristik matriks yang diberikan maupun karakteristik matriks yang dilibatkan pada perkalian.

Berdasarkan pengertian umum tersebut, maka hubungan matriks persegi riil A sebagai perkalian dari D 1 dan D 2 yakni matriks diagonal dengan entri diagonal utama

1 , serta matriks Q yaitu matriks persegi dengan semua nilai minornya adalah nonnegatif memenuhi A D 1 QD 2 dapat disebut sebagai faktorisasi matriks A.

Hubungan ini, oleh Daniel Hershkowitz dan Allan Pinkus (2007) dalam artikelnya disebut sebagai definisi matriks ekuivalen bertanda positif total. Hal ini telah diuraikan pada bagian pembahasan sebelumnya.

Selanjutnya, berdasarkan rumusan masalah pada penelitian yang dilakukan ini yaitu jika diberikan matriks riil A berukuran n x n dengan n 2 , maka A dapat difaktorkan masing-masing menjadi perkalian dari matriks – matriks ekuivalen bertanda positif total akan ditunjukkan dengan membuktikan suatu teorema.

Teorema 4.3.1.

Setiap matriks persegi riil dapat dinyatakan sebagai perkalian dari matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.

Bukti :

Misalkan A ( a ij ) matriks berukuran n n akan ditunjukan bahwa A dapat dinyatakan sebagai:

..... (5.2) dimana A i , i 1 , 2 ,  , k adalah matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total. Karena A i , i 1 , 2 ,  , k adalah matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total berarti:

A A 1 . A 2 . ... . A k

D 1 Q i D 2 , dimana: Q i , i 1 , 2 ,  , k masing-masing adalah matriks positif total, D 1 ,

D 2 masing-masing merupakan matriks diagonal dengan entri diagonal utama 1 . Berdasarkan suatu fakta dari faktorisasi Loewner-Neville bahwa setiap matriks

persegi merupakan

hasilkali

matriks-matriks

bidiagonal , yaitu untuk

A ( a ij ) berukuran n n yang memenuhi yang hubungan (2.6) yakni: A BDC dengan D matriks diagonal , B dan C memenuhi persamaan (2.7), (2.8), (2.9) dan

(2.10). Berdasarkan hubungan (2.7) dan (2.8) maka hubungan (2.6) dapat ditulis sebagai

hubungan: A B 1 . B 2 . ... . B n 1 . D . C n 1 . C n 2 . ... . C 1 ..... (5.3) Dari hubungan (5.3) dapat dianalisis matriks-matriks pada sisi kanan sebagai berikut:

Karena D matriks diagonal maka menurut definisi (2.1.2) dapat ditulis sebagai:

Kasus 1: Jika d i 0 , i 1 , 2 ,  , n maka D merupakan matriks positif total karena semua minornya adalah nonnegatif. Maka, jelas bahwa D merupakan matriks ekuivalen

bertanda positif total.

Kasus 2: Jika terdapat d i 0 maka D dinyatakan sebagai:

D 2 D d 1 2 D 2 ..... (5.4)

Dalam hal ini D 1 dan D 2 adalah matriks diagonal dengan entri pada diagonal utama 1

dan 0

d 1 0 , yang berarti bahwa: adalah matriks positif total.

Akibatnya, menurut definisi (4.2.1) D adalah matriks ekuivalen bertanda positif total. Karena B i dan C i matriks-matriks bidiagonal, berarti dapat dinyatakan sebagai:

i) B i b ij , dengan b ii 1 , i 1 ,..., n ; b j 1j , 0 , j 1 ,..., n 1 ; dan entri b ij lainnya adalah nol.

ii). C i c ij , dengan c ii 1 , i 1 , 2 ,  , n ; c j ,j 1 0 , j 1 , 2 ,  , n 1 ; dan entri c ij lainnya adalah nol.

Kasus 1: b j 1j , 0 , j 1 , 2 ,  , n 1 dan c j ,j 1 0 , j 1 , 2 ,  , n 1 . Dalam hal ini minor-minor dari matriks B i b ij dan C i c ij adalah nonnegatif. Sehingga menurut definisi (4.1.1) B i b ij dan C i c ij adalah matriks positif total dan tentu saja merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total.

Kasus 2: Ada b j 1j , 0 , j 1 , 2 ,  , n 1 atau c j ,j 1 0 , j 1 , 2 ,  , n 1 . Dalam hal ini, matriks-matriks B i b ij dan C i c ij masing-masing dapat

dinyatakan sebagai:

B i b ij

D 1 B i D 2 , dengan B i b ij dan b j 1j , 0 untuk j 1 , 2 ,  , n 1

C i c ij

D 1 C i D 2 , dengan C i c ij dan c j ,j 1 0 untuk j 1 , 2 ,  , n 1 . Dalam hal ini D 1 dan D 2 merupakan matriks diagonal dengan entri diagonal utama

adalah 1 . Dari kasus 1) dan 2) tentang B i b ij dan C i c ij maka B dan C masing-masing

merupakan perkalian matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total. Perhatikan pada sisi kanan hubungan (5.2) merupakan perkalian sebanyak 2n 1 dari matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total. Selanjutnya pada sisi kanan hubungan (5.4) merupakan perkalian sebanyak k matriks- matriks ekuivalen bertanda positif total.

Dengan mengambil k 2n 1 diperoleh bahwa persamaan (5.2) dan persamaan (5.3)

adalah analog, yaitu: A B 1 B 2  B DC C  C A A   A    n  1   n 1  n  2   1  1  2  k

2 n 1 faktor

k faktor

Dengan demikian suatu matriks riil A berukuran n n , n 2 merupakan hasilkali dari matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total. Berdasarkan hubungan persamaan (5.5) terdapat k yang menyatakan banyaknya matriks sebagai faktor dalam faktorisasi. Sebagaimana pada faktorisasi matriks bidiagonal bahwa banyaknya faktor minimal pada faktorisasi masih merupakan pertanyaan terbuka demikian pula halnya pada faktorisasi matriks ekuivalen bertanda positif total. 1). Faktorisasi Cholesky

Untuk kasus matriks berukuran 2 2 Faktorisasi Cholesky dinyatakan dengan :

h 11 h 12 k 11 0 k 11 k 21

h 21 h 22 k 21 k 22 0 k 22

Sesuai definisi faktorisasi Cholesky matriks segitiga bawah yang disebut segitiga Cholesky jelas setiap elemen segitiga adalah positif, berarti k ii 0 , k 2 i 0 dan k 22 0 .

0 2 . Matriks sisi kanan sesuai hubungan pada

D 2 dengan d 1 , d 2 , 1 , 2 1 , 1

faktorisasi

Cholesky dengan

diperoleh: q 11 d 1 1 k 11 ; q 12 0 ; q 21 d 2 1 k 21 ; q 22 d 2 2 k 22 .

q 11 q 12

Sesuai definisi (4.2.1), bahwa merupakan matriks positif total, maka

q 21 q 22

q 11 q 22 q 12 q 21 d 1 d 2 1 2 k 11 k 22 0 yang berarti d 1 d 2 1 2 1 .

Sehingga dapat diambil 2 diantara entri diagonal utama D 1 dan D 2 adalah 1 dan entri diagonal utama lainnya adalah 1.

k 11 0

Dengan mengambil Q = merupakan matriks positif total maka

Menurut definisi (4.2.1), maka adalah matriks ekuivalen bertanda positif

k 21 k 22

k 11 k 21

total. Tanpa mengurangi keumuman dapat disimpulkan bahwa juga

0 k 22

merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total. 2). Faktorisasi LU

Untuk kasus matriks A berukuran 2 2 dengan faktorisasi LU dinyatakan sebagai:

Ambil D 1 dan D 2 dengan d 1 , d 2 1 , 1 dan 1 , 2 1 , 1

Perhatikan matriks-matriks sisi kanan faktorisasi (5.12), yakni:

dengan d 1 , d 2 , 1 , 2 1 , 1 .

Dengan menggunakan hubungan (4.4) diperoleh: Dengan menggunakan hubungan (4.4) diperoleh:

a. Untuk l 11 l 22 0 berarti untuk matriks D 1 dan D 2 dapat diambil 2 diantara entri diagonal utama adalah – 1 dan entri diagonal utama yang lain adalah 1.

Satu pasangan matriks D 1 dan D 2 yang dapat dipilih adalah

dan .

l 11 0

Dengan mengambil matriks Q = yang merupakan matriks positif total,

D 1 QD 2 …..(5.12c)

l 21 l 22 0 1 l 21 l 22 0 1

b. Untuk l 11 l 22 0 berarti untuk matriks D 1 dan D 2 dapat diambil 3 diantara elemen bernilai –1 dan elemen diagonal lain 1.

Diantara kemungkina D 1 dan D 2 yang dapat dipilih adalah:

dan

l 11 0

dengan mengambil Q = yang merupakan matriks positif total maka:

l 21 l 22

l 11 0 1 0 l 11 0 1 0

D 1 QD 2 ….. (5.12d)

l 21 l 22 0 1 l 21 l 22 0 1

l 11 0

Dari (5.12c) dan (5.12d) menurut definisi (4.2.1) maka adalah matriks

l 21 l 22

ekuivalen bertanda positif total.

u 11 u 21

Dengan cara yang sama untuk matriks segitiga atas dapat dikonstruksi

0 u 22

u 11 u 21

sedemikian sehingga

D 1 QD 2 dengan Q matriks positif total, D 1 dan D 2

0 u 22

u 11 u 21

matriks diagonal dengan elemen diagonal 1.Sesuai definisi maka adalah

0 u 22

matriks ekuivalen bertanda positif total. 3). Faktorisasi QR

Sebagaimana pada faktorisasi Cholesky dan faktorisasi LU maka pada faktorisasi QR dapat pula bahwa pada matriks persegi riil yang merupakan hasilkali matriks ortogonal Q dan matriks segitiga atas R yang juga berbentuk matriks persegi dapat dikonstruksi sebagai hasil kali dari matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.

Dalam kasus matriks berukuran 2 2 pada faktorisasi QR dengan memeriksa determinan matriks ortogonal Q dan matriks segitiga atas R, sedemikian sehingga

hubungan A QR sebagai faktorisasi QR juga merupakan faktorisasi matriks ekuivalen bertanda positif total.

Contoh sederhana menunjukkan berlakunya teorema (4.3.1) sebagai berikut:

Berdasarkan uraian dan contoh serta bukti teorema tersebut diatas maka untuk setiap matriks riil A a ij berukuran n n , n 2 difaktorkan menjadi: A A 1 A 2 ... A k

dengan A i , i 1 , , k merupakan matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total. Untuk memeriksa apakah matriks - matriks A i , i 1 , , k merupakan matriks - matriks yang memenuhi definisi (4.2.1) cukup dengan memeriksa matriks-matriks Q i ,

i 1 ,..., k sebagai matriks-matriks yang memenuhi definisi (4.1.1) ber - dasarkan persamaan yang memenuhi hubungan (4.3), yakni: Q i D 1 A i D 2 , i 1 , 2 ,..., k ... (6.2)

dimana D 1 dan D 2 adalah matriks diagonal dengan entri diagonal utama 1 .

V. KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan

1). Suatu matriks riil A ( a ij ) berukuran n n , dengan n 2 merupakan matriks positif total apabila setiap minornya adalah nonnegatif.

a). Untuk n 2 , matriks riil A merupakan matriks positif total jika det( A ) 0 . b). Untuk n 2 , matriks riil A merupakan matriks positif total jika setiap minor

a ij ditulis M ij dengan i 1 ,..., n dan j 1 ,..., n adalah nonnegatif. 2). Suatu matriks riil A ( a ij ) berukuran n n , dengan n 2 merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total jika dapat dinyatakan sebagai A D 1 QD 2 , dengan

Q adalah matriks positif total, D 1 dan D 2 merupakan matriks diagonal dengan entri diagonal

dengan d k , k

1 , 1 untuk k 1 ,..., n atau :

dengan q ij d i j a ij , i 1 ,..., n ; j 1 ,..., n dan d i , j { 1 , 1 } .

3). Matriks-matriks D 1 dan D 2 yang dapat dipilih untuk memeriksa suatu matriks berukuran n n n sebagai matriks ekuivalen bertanda positive total sebanyak: 2 1

kemungkinan matriks disamping matriks identitas yakni matriks-matriks diambil

dari kemungkinan penyajian matriks diagonal:

4). Faktorisasi dari matriks A merupakan hubungan kesamaan matriks A dengan perkalian matriks-matriks lain yakni: A F 1 . F 2 . ... F k , dengan matriks F i , i 1 ,..., k

memenuhi kondisi-kondisi tertentu.

5). Setiap matriks riil A berukuran n n , dengan n 2 dapat difaktorkan menjadi hasilkali matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total ditulis sebagai:

A A 1 . A 2 . ... . A k , dengan A i , i 1 ,..., k matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.

Hal ini ditunjukkan berdasarkan sebuah fakta pada faktorisasi Loewner-Neville bahwa setiap matriks persegi adalah hasilkali dari matriks-matriks bidiagonal.

B. Saran

Penelitian selanjutnya dapat dilakukan pada matriks yang lebih umum dan cara pembuktian yang lain. Berlakunya teorema faktorisasi matriks ekuivalen bertanda positif total pada penelitian ini hanya dihubungkan dengan faktorisasi: Cholesky, LU dan QR, selanjutnya dapat dilakukan pada faktorisasi matriks lainnya.

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H. 1988. Aljabar Linier Elementer Edisi Kelima. Erlangga. Jakarta Fiedler, M & Markham, T.L.1997. Consecutive Column and Row properties of Matrices

and the Loewner-Neville factorization. Linear Algebra and its Applications, 266: 243 – 259. Elsevier Science Inc. New York.

Gasca, M & Peña, J.M. 1996. On Factorizations of Totally Positive Matrices, Total Positivity and Its Applications , pp. 1-3 Kluwer Academic Publisher. Dordrecht. Golub, G. H dan Loan, C. F. 1996. Matrix Computations (Third edition). The John Hopkins University Press. Baltimore London. Hager, W. W. 1988. Applied Linear Algebra.Prentice Hall.Inc. Englewood Cliff, New Jersey. Harville, D. A. 1997. Matrix Algebra From A Statiscian Perspektive. Springer-Verleg. Inc. New York. Hershkowitz, D. & Pinkus, A. 2007. On Nonnegative Sign Equivalent and Sign Similar Factorizations of Matrices . Electronics Journal of Linear Algebra (ELA). ISSN 1081-3810. Volume 16. pp. 162-170.

Horn, R.A & Johnson , C.R. 1985. Matrix Analysis. Cambridge University Press. Jacob, B. 1990. Linear Algebra. W. H. Freeman and Company. New York. Johnson, C.R, Olesky, D.D & Driessche, P.v. 1999. Elementary Bidiagonal

Factorizations, Linear Algebra and Its Applications , 292:233-234. Elsevier Science Inc. New York.

Leon,S.J.2001. Aljabar Linier dan Aplikasinya(Terjemahan). Erlangga. Jakarta. Polyanin, A.D. & Manzhirov, A.V. 2007. Mathematics for Engineers and Scientists.

Chapman & Hall. New York. Riley, K.F, Hobson, M.P & Bence,S.J. 2006. Mathematical Methods for Physics and Engineering. Cambridge University Press. Strang, G. 1988. Linear Algebra and Its Applications. Harcourt Brace Jovanovich. Sandiego. Zwilinger, D. 2003. Standard Mathematical Tables and Formulae. Chapman & Hall /CRC Press Company. New York.